Lezione n 18. Lezioni di Ricerca Operativa. Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno. Prof. Cerulli Dott.ssa Gentili Dott.

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1 Lezon d Rcerca Operatva Corso d Laurea n Informatca Unverstà d Salerno Lezone n 18 - Teora de graf: defnzon d base - Problema del flusso a costo mnmo Prof. Cerull Dott.ssa Gentl Dott. Carrabs

2 Teora de Graf Concett fondamental Un grafo non orentato G=(V,E) è dato da una coppa d nsem fnt: V={v 1,...,v n } l nseme degl n Nod d G E={e 1,..,e m } VxV l nseme degl m Arch non orentat d G Ogn arco non orentato d G corrsponde ad una coppa non ordnata d nod d G e k =(v,v j ). La presenza d un arco tra una coppa d nod ndca una relazone tra nod stess. 2

3 Un esempo: G=(V,E) v 1 e 2 v 2 e 6 e 1 e e 5 v v 5 e v e 7 {,,,, } V v v v v v = {,,,,,, } E e e e e e e e = e = v, v e = v, v ( ) ( )

4 Defnzon d base: un arco (v,v) è detto loop un arco e=(u,v) E s dce ncdente su u e su v due nod u,v V sono dett adacent (u,v) E due arch e 1,e 2 E sono dett adacent e 1 =(u,v) ed e 2 =(v,w) (hanno un nodo n comune) l nseme d nod N(u)={v V: v adacente a u} è detto ntorno d u n G l nseme d arch δ(u)={e E: e ncde su u} è detto stella d u n G δ(u) è detto grado del nodo u v 1 e 1 v 5 e 2 v 2 e 6 e e 5 v e v e 7

5 Teora de Graf Concett fondamental I graf sono un mezzo per rappresentare relazon bnare Ad esempo: due cttà connesse da una strada due calcolator conness n una rete telematca due persone legate da una relazone d parentela (come, padre-fglo) due persone che condvdono una stanza l collegamento tra due component elettronc un operazone che deve essere eseguta da una certa macchna... 5

6 I graf possono essere usat come strumento per modellare n manera schematca un vastssmo numero d problem decsonal. Ad esempo: determnare l percorso pù breve che connette due cttà determnare come connettere nella manera pù economca (pù effcente) un nseme d calcolator n una rete telematca assegnare un nseme d operazon ad un nseme d macchne determnare l percorso pù convenente da far percorrere ad una flotta d vecol commercal per effettuare delle consegne e qund rentrare al deposto... 6

7 Grafo semplce: Non esstono arch parallel (al pù un arco per ogn coppa d nod) o loop. Graf e Sottograf G =(V,E ) è detto sottografo d G=(V,E) V V e E E G =(V,E ) è detto sottografo ndotto da V n G=(V,E) V V e u,v V se (u,v) E allora (u,v) E. 7

8 Esempo v1 e 2 v 2 e 1 v 5 e e e 5 v e 6 v e 7 G=(V,E) v 1 e 2 v 2 e 1 v v 5 G è unsottografo d G 8

9 Esempo v 1 e 2 v 2 e 1 e v v 5 e v e 5 e 6 e 7 G=(V,E) v 1 e 2 v 2 e 1 e e 6 v V ={v 1,v 2,v,v 5 } v 5 G è un sottografo ndotto d G 9

10 Graf bpartt e graf complet G è detto grafo bpartto se esste una partzone d V=V 1 V 2 tale che: V 1 V 2 = e=(u,v) E se u V 1 allora v V 2 oppure se u V 2 allora v V 1 Esempo grafo bpartto grafo non bpartto 10

11 G è detto completo contene tutt possbl arch, ovvero δ(v) =n-1 v V l massmo numero d arch d un grafo completo è dato da Esempo n = 2 n( n 1) 2 grafo completo 11

12 Graf conness e component connesse Dato G=(V,E), un nodo v V s dce connesso ad un nodo u V se esste un cammno tra u e v n G v V è connesso a v (rflessvtà) v V è connesso a u V u V è connesso a v V (smmetra) se v V è connesso a u V e u V è connesso a w V v V è connesso a w V (transtvtà) Un grafo G=(V,E) è connesso tutt suo nod sono conness tra loro. 12

13 L nseme V può essere partzonato n sottonsem C ={v V:v è connesso a u, u C } Il sottografo ndotto da C n G è detto componente connessa d G G è connesso possede una sola componente connessa ( v,u V v è connesso a u) Esempo component connesse grafo connesso 1

14 Graf orentat G=(V,E) è detto orentato se, dato V={v 1,...,v n }, l nseme degl arch E={e 1,..,e m } è formato da coppe ordnate d nod. Per un grafo orentato s ha che e =(v k,v h ) e j =(v h,v k ) e,e j E Coda v h e v k Testa L arco e s dce uscente da v h ed entrante n v k 1

15 Esempo v 1 e v 2 e 1 e 2 e e 6 v v e 5 grafo orentato Fs(v)={u V: (v,u) E} è detto stella uscente d v Bs(v)={u V: (u,v) E} è detto stella entrante d v S(v)= Fs(v) Bs(v) è detto stella d v le defnzon d sottografo, sottografo ndotto e componente connessa d un grafo orentato sono analoghe a quelle date per graf non orentat 15

16 Graf orentat e component fortemente connesse Dato G=(V,E), un nodo v V s dce fortemente connesso ad un nodo u V se esste una path (cammno orentato) tra v e u n G. v V è connesso a v (rflessvtà) se v V è fortemente connesso a u V e u V è fortemente connesso a w V v V è fortemente connesso a w V (transtvtà) Un grafo G=(V,E) è fortemente connesso tutt suo nod sono fortemente conness tra loro. 16

17 Esempo v 1 v 2 C sono n G component fortemente connesse? v v G v 1 v 2 v v Component fortement connesse 17

18 Rappresentazon d un Grafo Lste d adacenza: ad ogn vertce è assocata la lsta de vertc adacent (può essere una tabella o una lsta concatenata). Matrce d adacenza: (n x n) a h = 1 se (v, v h ) E, a h = 0 altrment Matrce d ncdenza: (n x m) a h = 1 se v e h, a h = 0 altrment 18

19 Matrc d Incdenza de Graf Dato G=(V,E) grafo non orentato, A G =[a j ], con =1,...,n e j=1,...,m è la matrce d ncdenza d G, dove n= V ed m= E, e tale che a j = 1 se v è testa o coda d e j 0 altrment 19

20 Esempo v v 2 e 5 e 1 e A G = v e v e1 e2 e e e v v v v 1 2 matrce d ncdenza d un grafo non orentato 20

21 Dato G=(V,E) grafo orentato, A G =[a j ], con =1,...,n e j=1,...,m è la matrce d ncdenza d G, dove n= V ed m= E, e tale che a j = se v se v è coda è testa altrment d d e e j j (arco uscente da (arco entrante n v v ) ) 21

22 Esempo e 5 v v 1 v 2 e 1 e 2 e e v A G = e1 e2 e e e v v v v matrce d ncdenza d un grafo orentato

23 Rappresentazon d un Grafo: Vantagg e Svantagg Lsta d adacenza: memora O(m) Vantagg: permette d scorrere nod adacent a v n O(grado(v)) Svantagg: nserment e cancellazon su lste concatenate n O(grado(v)) Matrce d adacenza: memora O(n2) Vantagg: Inserment e cancellazon n O(1) Svantagg: permette d scorrere nod adacent a v n O(n) D.: matrce d ncdenza? 2

24 Problema del flusso a costo mnmo Sa G=(V,E) un grafo connesso e orentato n cu: Ø Ad ogn arco (,j) è assocato un costo c j che rappresenta l costo da pagare per ogn untà d flusso che transta sull arco (,j). Ø Ad ogn vertce v V è assocato un valore ntero b v dove: - b v >0 ndca che l nodo v è un nodo d offerta - b v <0 ndca che l nodo v è un nodo d domanda - b v =0 ndca che l nodo v è un nodo d passaggo Ø La somma d tutt b v deve essere uguale a zero (condzone d blancamento). Cò che vene prodotto dalle sorgent vene consumato dalle destnazon. Nel problema del flusso a costo mnmo bsogna far gungere la merce prodotta (da nod d offerta) alle destnazon (nod d domanda) mnmzzando cost d trasporto. 2

25 Problema del Flusso a costo Mnmo FORMULAZIONE mn c j (, j) A x j con vncol : j k j FS ( ) k BS ( ) x j x 0 x = b A = 1,...n x c j j b = quanttà d flussosull'arco (, j) = costo d trasporto d un'untà d flussosull'arco (, = valore assocato al nodo : seb seb seb > 0 : nodo offerta < 0 : nodo domanda = 0 : nodo d passaggo j) 25

26 Problema del Flusso a costo Mnmo: FORMULAZIONE mn n n = 1 j= 1 c con vncol : j x j x n j x j n j= 1 k= 1 0 x k = b = 1,...n = 1,,n; j = 1,...n x c b j j = quanttà d flusso sull'arco (, j) = costo d "trasporto"d un'untà d = valore assocato al nodo : seb seb seb > 0 : nodo offerta < 0 : nodo domanda = 0 : nodo d passaggo flusso sull'arco (, j) 26

27 Problema del Flusso a costo Mnmo FORMULAZIONE NOTA: In forma matrcale: mn c T x Ax x = 0 1. La matrce A(m,n) è la matrce d ncdenza nodo-arco, ogn colonna a j è assocata all arco (,j), ed n partcolare abbamo che: a j = e e j 2. Il rango d questa matrce è: r(a)=m-1 b (e vettore colonna con tutt 0 eccetto un 1 n poszone -ma.)

28 Problema del Flusso a costo Mnmo: Esempo Consderamo un grafo orentato G=(V,E) rappresentante una rete d trasporto. L obettvo è quello d far vaggare ( flure ), al mnmo costo, determnate quanttà d merce (untà d flusso) da nod d offerta a quell d domanda (eventualmente passando per de nod d passaggo) Abbamo: Una quanttà b >0 per nod offerta, <0 per nod domanda, =0 per nod d passaggo (quanttà d offerta/domanda) Un costo c j 0 per ogn arco (costo per l trasporto d una untà d merce)

29 Problema del Flusso a costo Mnmo: Esempo Soluzone 1 Costo: (6*5)+(*1)+(*2)=0 Flusso Flusso 5-= Flusso 5 Soluzone 2 Costo: Flusso 5 1 (1*5)+(2*5)+(1*)+(*)=28 Flusso Flusso 2 - Flusso 1+2=

30 Problema del Flusso a costo Mnmo: Esempo Modellamo l problema Consderamo una varable x j 0 per ogn arco (,j), rappresentante la quanttà d flusso che attraverserà l arco nella soluzone

31 Rappresentamo l grafo medante una matrce d ncdenza nodo-arco A; per ogn nodo v ed arco e, la corrspondente entrata A ve varrà: 1 se e esce da v (v è la coda d e) -1 se e entra n v (v è la testa d e) 0 altrment Problema del Flusso a costo Mnmo: Esempo A (1,2) (1,) (2,5) (,2) (,) (,1) (,2) (,5)