Ottimizzazione dei Progetti

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1 Sapenza Unverstà d Roma - Dpartmento d Ingegnera Informatca, Automatca e Gestonale Ottmzzazone de Progett Renato Brun brun@ds.unroma.t Il materale presentato è dervato da quello de proff. A. Sassano e C. Mannno

2 I Progett Un numero sempre crescente d attvtà è organzzato per progetto tutte quelle per cu è determnato un nzo e una fne. Caratterstche de progett Obettvo: un prodotto fnale, un rsultato o un output, tpcamente defnbl n termn d tempo, costo e qualtà. Unctà: un progetto (anche quell rpetbl) è unco per rsorse dsponbl e ambente d svluppo Temporanetà: progett hanno date d nzo e termne prestablte e le organzzazon vengono create appostamente per la durata del progetto Multdscplnartà: progett rchedono molteplc competenze che devono essere coordnate. Le relazon fra var task del progetto possono essere molto complcate. Incertezza: progett devono essere panfcat prma della loro realzzazone Rsorse Lmtate: un progetto utlzza rsorse costose e lmtate

3 Esemp d progett Esemp storc Pramd egze Muragla cnese Esemp modern Manhattan Project (bomba atomca) Progetto Apollo Moon Tunnel sotto la Manca Olmpad o Camponat mondal Rcostruzone Torr dopo l attacco terrorstco Rconversone IBM a forntore d servz software

4 Progett Tpc Costruzone d aeroport Costruzone grand mpant sportv Progetto d un nuovo aeromoble Svluppo d sstem nformatv Costruzone d mpant produttv Introduzone d un nuovo prodotto sul mercato Rengegnerzzazone d un azenda Svluppo un nuovo prodotto software Costruzone d una dga, un ponte, un autostrada Rcerche Scentfche Campagne Pubblctare Project Management (PM): processo d gestone, allocazone e temporzzazone delle rsorse per ottenere obettv predefnt n modo effcente (Badru 99)

5 Cclo d Vta d un progetto /. Dsegno concettuale: l organzzazone concepsce la necesstà d un progetto o rceve rcheste da un clente, tpcamente n forma scrtta (request for proposal (RFP)). Selezone del progetto.. Defnzone: n questa fase vengono stablt gl obettv e la stratega. a. Obettv: contenut del progetto e de suo prodott fnal b. Stratega: defnzone d massma d come l progetto realzzerà gl obettv e soddsferà le msure d qualtà. Panfcazone: l progetto vene decomposto n untà controllabl (work packages) format da specfche attvtà (Work Breakdown Structure). Per ogn attvtà s stablsce la rchesta d rsorse e la loro dsponbltà, la durata e rapport d precedenza con le altre attvtà. S stmano cost. S costrusce così la rete del progetto (project network).

6 Cclo d Vta d un progetto /. Sequenzamento (Schedulng): defnzone del project base plan. Vengono determnat temp d nzo e fne delle sngole attvtà n base alla dsponbltà d rsorse, alle durate, a rapport d precedenza, alla funzone obettvo.. Esecuzone e controllo: mplementazone del project base plan. Se s rvelano rtard o sforament nel budget bsogna apportare delle correzon. In genere è dffcle trovare de corrett ndcator dello stato d un progetto. 6. Termnazone: consegna del prodotto o del servzo

7 Cclo d vta / Panfcazone e Sequenzamento Costruzone della Work Breakdown Structure (WBS) Vengono defnte rsorse umane, temp e rsorse fnanzare La panfcazone dettaglata n genere rguarda poche settmane o mes, a causa dell ncertezza sulla dsponbltà futura delle rsorse necessare: questa fase deve essere rvsta contnuamente. PASSI FONDAMENTALI. Strutturazone: defnzone delle attvtà e delle relazon d precedenza; defnzone dell organgramma azendale e del budget d progetto.. Sequenzamento: la defnzone del pano temporale, ovvero gl stant n cu le attvtà comncano e termnano; contestualmente vene defnta l allocazone delle rsorse: le rsorse (lmtate) devono essere assegnate alle sngole attvtà e confltt devono essere rsolt. Dsegno Concettuale Defnzone Panfcazone Sequenzamento Esecuzone Termnazone ta vdlocc

8 Panfcazone: Work Breakdown Structure Rappresentazone del Work Breakdown: la Work Breakdown Structure (WBS) La WBS è una decomposzone gerarchca delle operazon del progetto. La WBS vene rappresentata attraverso un albero. La dstanza d un nodo dalla radce vene detta lvello. I nod a uno stesso lvello rappresentano uno stesso grado d decomposzone delle operazon. A ogn nodo è assocata unvocamente un etchetta che dentfca l lvello e la poszone nel lvello

9 Panfcazone: Work Breakdown Structure Progetto d costruzone d un centro d stoccaggo. Lvello 0 Progetto Centro (0000) codfca Lvello Uffc (000) Magazzn (000) Rparazon (000) Lvello Edfc (00) Costruzone Strade d accesso Intern Infrastrutture Fondamenta (0) Mur e tett (0) Infrastrutture (0) Rete fognara Plon () Prefabbrcat () Serbato () Sstem antncendo Lvello Cemento () Mur portant Fognature nterne Parchegg Work packages Tetto Sstem d carco/scarco Strade Pavmento porte Ultmo lvello: attvtà

10 Ret d attvtà

11 Defnzon d base Il Progetto è costtuto d event (o petre mlar) e d attvtà (o task) che devono essere esegute rspettando vncol d precedenza. Ogn attvtà ha una durata e rchede rsorse (eventualmente nulle) Un evento s rfersce a un nseme d attvtà che devono essere completate n un certo stante d tempo Rsorse sono, ad esempo, l credto, la forza lavoro, le macchne, l equpaggamento, l energa, lo spazo, ecc. Vncol d precedenza fra attvtà: l pù tpco è l vncolo fne/nzo: un attvtà non può comncare prma che un altra sa fnta. Altr esemp d relazon temporal: nzo/nzo, fne/fne, nzo/fne, con o senza ntervall d tempo (tme lag). Tempo: l tempo vene tpcamente msurato n untà prestablte (ore, gorn, ). Orzzonte temporale l nseme de perod rchest per l esecuzone del progetto o dsponbl a pror se n presenza d scadenze (deadlne).

12 Scop: Tecnche retcolar. Defnre lo schedule delle attvtà, coè assocare a ogn attvtà un stante nzale.. Permettere l anals de rtard, coè determnare la durata complessva del progetto e le attvtà che la determnano. Input:. L nseme delle attvtà del progetto. La durata d cascuna attvtà (certa o ncerta). Le precedenze temporal. Metod classc:. CPM (crtcal path method): durate certe e relazon temporal d fne/nzo (certe attvtà possono comncare solo dopo che altre sono termnate).. MPM (metra potental method): come l CPM, ma con relazon temporal pù complcate (nzo/nzo, fne/fne, nzo/fne). PERT (program evaluaton & revew techque): come CPM ma durate stocastche..... GERT, VERT,...)

13 Input: Identfcazone delle attvtà Warehouse Uffc Warehouse Rparazon Edfc Strade d accesso Intern Infrastrutture Fondamena Mur e tett Infrastrutture Rete fognara Plon Prefabbrcat Serbato Antncendo Cemento Mur portant Fognature Parchegg Tetto carco/scarc Strade Pavmento porte Attvtà Le attvtà vengono dentfcate nella fase d panfcazone e rappresentate nella WBS (nelle fogle). Per ogn attvtà s devono determnare la durata e rapport d nterdpendenza temporal con le altre attvtà, e le rsorse rcheste. Le attvtà e rapport d precedenza vengono rappresentat con un grafo orentato

14 Un esempo Per la produzone d un nuovo prodotto sono state ndvduate le seguent attvtà con relatv temp d completamento Attvtà Descrzone Tempo Dsegno del prodotto (6 settmane) Dsegno della confezone ( settmane) Ordne e rcezone de materal per prodotto ( settmane) Ordne e rcezone de materal per confezone ( settmane) Assemblaggo de prodott ( settmane) 6 Preparazone delle Confezon ( settmana) 7 Impacchettamento de prodott ( settmana) 8 Test d mercato del prodotto (6 settmane) 9 Revsone del prodotto ( settmane) 0 Revsone della confezone ( settmana) Presentazone de rsultat al CdA ( settmana) Descrvamo le relazon d precedenza (mmedate). deve fnre prma che comnc ( < ). Tutte le relazon sono d tpo Fnsh/Start <, <, < 6, < 7, 6 < 7, 7 < 8, 8 < 9, 8 < 0, 9 <, 0 <.

15 Rete d attvtà La rete delle attvtà (rete delle precedenze, grafo de vncol) è un grafo orentato che rappresenta le relazon d precedenza fra attvtà. Esstono due possbl rappresentazon: Rete delle attvtà G = (V, A) Actvty-on-arc: gl arch sono attvtà e nod event Actvty-on-node: nod sono attvtà ed event, gl arch rappresentano vncol d precedenza

16 Actvty on Nodes (AoN) Nod rappresentano attvtà + due nod fttz (nzo e fne progetto). Arch rappresentano relazon d precedenza. Es. attvtà {a, b, c, d, e}: precedenze (semplc) a < c, a < d, b< e, c < d, c < e. s a b c d e t I due nod fttz (nzo e fne progetto) vanno sempre aggunt e sono anche utlzzat per rappresentare complesse relazon d precedenza. L attvtà nzo progetto ha durata nulla e fnsce prma dell nzo d qualunque altra attvtà del progetto L attvtà fne progetto ha durata nulla e comnca dopo la fne d qualunque altra attvtà del progetto

17 Altre relazon d precedenza Fnora s è vsta solo una sola relazone d precedenza, la cosddetta Fnsh/Start (b comnca dopo che a è termnato). Questa è l unca faclmente rappresentable nello standard AoA. Ne esstono altre, pù complesse, rappresentabl con AoN: ad esempo, un attvtà può comncare un certo tempo dopo che un altra è termnata, oppure deve essere eseguta n parallelo. Fnsh Start: FS j l attvtà j deve comncare dopo che l attvtà è fnta. Se è rchesto un tempo t d attesa (tme lag) mnmo prma che j comnc, ad esempo per l lead tme s scrve: FS mn j (t) FS mn j (t) j Esempo: s può posare l parquet solo dopo un po d tempo che l pavmento è stato completato (per farlo ascugare) Se nvece s può aspettare al massmo un certo tempo t s scrve FS j (t) Esempo: Tra lanco pubblctaro d un prodotto e sua effettva presenza ne negoz non può passare pù d un certo tempo

18 Altre relazon d precedenza Start Start: SS j mn (t) l attvtà j deve comncare almeno t untà d tempo dopo che l attvtà è comncata. Analogamente SS j (t) sgnfca che j deve comncare al pù t untà d tempo dopo che l attvtà è comncata Esempo: stendere l asfalto e spanarlo: la spanatura deve comncare un po dopo che s è comncato a stendere l asfalto ma non troppo dopo (altrment l asfalto s raffredda). Fnsh Fnsh: FF j mn (t), FF j (t), l attvtà j deve fnre dopo che l attvtà è fnta. Start Fnsh: SF j mn (t), SF j (t), l attvtà j deve fnre dopo l attvtà è comncata. Esempo: un veccho mpanto produttvo può essere fermato solo dopo che quello nuovo ha comncato a operare.

19 Esemp d relazon complesse L attvtà j deve comncare al massmo dopo 6 settmane (untà d tempo) dopo l nzo del progetto SS j (6) j L attvtà j deve comncare esattamente settmane dopo che l attvtà è fnta. mn FS j () j FS j () Il progetto deve termnare entro e non oltre tre settmane. SF n () n

20 Il grafo delle precedenze Le relazon d precedenza generalzzate vengono rappresentate medante l grafo delle precedenze generalzzate H(V,F). V = {,,n} nseme delle attvtà, nzo progetto, 0 fne progetto. Esempo d grafo d precedenze (generalzzate) (De Reyck (998)) 0 SS mn () SS mn (0) SS mn () SS mn () FF () 6 FF mn () 9 FF () SS mn () FS mn () 6 8 FS mn (0) FF mn () SS mn () 7 SF mn (0) SF mn (6) 7 SF () FS () FS () FS mn () FS () 0 0

21 0 SS mn () SS mn (0) SS mn () 7 FF () Nod e precedenze fttze SS mn () FF () FS mn () FS () FS () 7 SF mn (0) SF mn (6) SF () 6 SS mn () FF mn () 9 SS mn () 6 FS 8 mn (0) FF mn () FS mn () FS () 0 0 Le relazon d precedenza fra nod fttz e gl altr nod del grafo vengono spesso omesse (tranne quelle mmedate ) nelle rappresentazon grafche. L attvtà nzo progetto ha durata nulla e fnsce prma dell nzo d qualunque altra attvtà del progetto. Spesso vengono solo rappresentate le relazon fra n nodo e le attvtà (rconoscute come) nzal. L attvtà fne progetto ha durata nulla e comnca dopo la fne d qualunque altra attvtà del progetto. Spesso vengono solo rappresentate le relazon fra le attvtà rconoscute come fnal e l nodo n d fne progetto. In realtà, tutte le relazon fttze devono essere consderate negl algortm per la costruzone de pan delle attvtà.

22 Anals temporale L anals temporale serve a rspondere a una sere d quest qual: n quanto tempo l progetto (o una sua parte) termnerà? quando può (o deve) comncare una determnata attvtà? quanto può essere rtardato l nzo d un attvtà senza rallentare l ntero progetto? ASSUNZIONI DEL MODELLO Rsorse: nessun vncolo Attvtà non nterrompbl (no preempton) OBIETTIVI: calcolare l mnmo tempo d completamento del progetto (makespan) dentfcare le attvtà crtche e altre grandezze d nteresse

23 Pano temporale delle attvtà L nput è l grafo delle precedenze generalzzate H = (V, F) con nseme d attvtà V e nseme d arch F (precedenze generalzzate), untamente al vettore delle durate delle attvtà d R V + Prncpale prodotto dell ottmzzazone è l pano temporale delle attvtà (schedule) che soddsf tutt vncol d precedenza e ottmzz una specfca funzone obettvo. Il pano può essere rappresentato assocando a ogn attvtà V una varable reale s che ndca l stante nzale (start) dell attvtà. Il pano è qund un vettore s R V L obettvo è mnmzzare la durata dell ntero progetto, ovvero la quanttà: s n s (nzo attvtà fne progetto nzo attvtà nzo progetto)

24 Problema del makespan Def. Makespan: durata mnma del progetto Problema del calcolo del makespan: trovare un pano s che soddsf tutt vncol d precedenza e mnmzz la durata del progetto s n s. Questo problema può essere formulato come problema d PL, costruto a partre dal grafo delle precedenze generalzzate. Introducamo anche la varable f che rappresenta l stante fnale (fnsh) dell attvtà V Valendo l potes d no-preempton s ha f = s + d per ogn V.

25 Un modello d PL Il grafo delle precedenze generalzzate è la base d partenza per costrure un modello d Programmazone lneare Le varabl del modello sono assocate a nod del grafo I vncol del modello sono assocat agl arch del grafo Le relazon d precedenza sono tradotte n vncol lnear sulle varabl s e f Inoltre, essendo f = s + d per ogn V, le varabl f possono essere elmnate Obettvo: rappresentare vncol temporal come vncol lnear della forma Ms l dove l è l vettore de termn not e M la matrce de vncol I vncol avranno tutt forma s j - s l j corrspondent alla relazone SS j mn (l j ) I coeffcent l j possono assumere valor postv, negatv o null

26 Determnazone vncol I. Relazone FINISH/START FS j mn, FS j a. j deve comncare almeno FS j mn stant dopo che fnsce: s j f + FS j mn s j - s d + FS j mn b. j deve comncare al massmo FS j stant dopo che fnsce s j f + FS j s - s j - d - FS j. Relazone START/START SS j mn, SS j a. j deve comncare almeno SS j mn stant dopo che è comncata: s j s + SS mn j s j - s SS mn j b. j deve comncare al massmo SS j stant dopo che è comncata s j s + SS j s - s j - SS j 6

27 Determnazone vncol II. Relazone START/FINISH SF j mn, SF j a. j deve fnre almeno SF j mn stant dopo che è comncata: f j s + SF j mn s j - s SF j mn - d j b. j deve fnre al massmo SF j stant dopo che è comncata f j s + SF j s - s j d j - SF j. Relazone FINISH/FINISH FF j mn, FF j a. j deve fnre almeno FF j mn stant dopo che è fnta: f j f + FF mn j s j - s d - d j + FF mn j b. j deve fnre al massmo FF j stant dopo che è fnta f j f + FF j s - s j d j - d - FF j 7

28 Dal grafo precedenze a quello de vncol Quest vncol lnear d precedenza defnscono un poledro: l poledro de pan ammssmbl Al poledro de pan ammssbl è possble assocare un grafo orentato: l grafo de vncol. Le propretà del grafo de vncol permettono d studare l poledro de pan ammssbl e qund la struttura delle soluzon. Grafo delle precedenze Poledro de pan ammssbl Gafo de vncol 8

29 Poledro de pan ammssbl e grafo de vncol Obettvo: defnre l poledro {s R V : Ms l} de pan ammssbl Le precedenze s traducono n vncol asssocat a coppe ordnate d attvtà del tpo s v - s u l uv uv A (Vncol d precedenza) Se esstono due vncol dstnt sulla stessa coppa (ordnata) uv d varabl () s v - s u l uv, () s v - s u l uv con l uv l uv, l vncolo () può essere elmnato perché domnato. La matrce M ha esattamente un + e un - n ogn rga (tutt gl altr element sono null) M è la matrce d ncdenza archnod d un grafo orentato, semplce: grafo de vncol G(V,A) Attvtà = Nod V vncol d precedenza = Arch A Temn not: l uv peso dell arco uv A u l uv v

30 Il grafo de vncol Costruzone del grafo de vncol a partre dal grafo delle precedenze generalzzate: mn FS j j s j - s d + FS j mn mn d FS j j FS j j s - s j - d - FS j d FS j j mn SS j j s j - s SS j mn mn SS j j SS j j s - s j -SS j SS j j

31 Il grafo de vncol mn SF j j s j - s - d j + SF j mn mn d j SF j j SF j j s - s j d j - SF j d j SF j j mn FF j j s j - s d - d j + FF j mn d d j FF mn j j FF j j s - s j d j - d - FF j d j d FF j j

32 I nod nzo e fne progetto Ogn nodo j è n relazone con nod e n. Ogn nodo j può comncare solo dopo che è fnto (tme lag 0) s j f + FS j mn s j - s d + FS j mn sj - s 0 FS mn j j 0 j Il nodo n può comncare solo dopo che ogn j è fnto (tme lag 0) s n f j + FS jn mn s n - s j d j + FS jn mn sn - s j d j j mn FS jn n j d j n

33 0 SS mn () SS mn (0) SS mn () 7 SS mn () FF () FF () FS mn () FS () FS () 7 SF mn (0) SF mn (6) SF () Vanno aggunte le relazon fttze mancant e corrspondent arch nel grafo de vncol 0 Grafo de vncol le durate sono n blu accanto al nodo 6 FF mn () l j = SS mn SS mn j j 9 SS l j = -SS j j FS mn () SS mn () SF mn l j = SF mn j j - d j 6 FS 8 mn (0) 0 0 SF l j = d j - SF j j SS mn () FF mn () Grafo de vncol FS () FS j mn FS j FF j mn FF j l j = d + FS j mn l j = -d - FS j l j = d - d j + FF j mn l j = d j - d - FF j 0

34 I nod nzo e fne progetto Ogn nodo j è n relazone con nod e n. Ogn nodo j può comncare solo dopo che è fnto (tme lag 0) s j f + FS j mn s j - s d + FS j mn sj - s 0 Il nodo n può comncare solo dopo che ogn j è fnto (tme lag 0) s n f j + FS jn mn s n - s j d j + FS jn mn sn - s j d j d 6 = 0

35 Formulazone Makespan Problema del calcolo del makespan: costrusc un pano (schedule) che soddsf tutt vncol d precedenza e mnmzz la durata del progetto. Il problema d calcolo del makespan può essere formualto come PL: mn s s n j s s l j j A (PM) s R V Ogn soluzone ammssble d (PM) è detta pano o schedule In forma compatta: mn {s n s : Ms l, s R V }, M R A V, l R A M matrce d ncdenza arch-nod del grafo de vncol

36 Walk, Cammn e Ccl W WALK IN G(V,A) SEQUENZA ALTERNANTE DI NODI e ARCHI W=(v, e, v, e, v,, e p, v p ) e =(v,v )=(6,) 6 G(N,A) 6 6 V V V V V p- V p CAMMINO WALK n G(V,A) senza arch e nod ntern rpetut 6 CICLO CAMMINO CHIUSO (nod estrem concdent) 6 G(N,A) 6

37 Graf Orentat: Cammn e Ccl Orentat CAMMINO ORIENTATO CAMMINO P=(V, (V,V ), V, (V,V ),, (V p-,v p ), V p ) con: V k coda d ( V k,v k+ ) per ogn k=,,p- 6 V V V V CICLO ORIENTATO CAMMINO ORIENTATO CHIUSO 6 G(N,A) 6 6 V V V V Peso d un cammno P d G(V,A): somma de pes d suo arch l(a(p))=l(p)= l uv uv A(P) 7

38 Problema del Cammno d Peso Massmo OSS: Esste (almeno) un cammno orentato dal nodo a ogn nodo del grafo de vncol TEOREMA.: Sa P * u l cammno d peso massmo da ad un generco nodo u V. Se l grafo de vncol G(V,A) non ha ccl orentat d peso totale postvo allora s u =l(p * u ) per ogn u V è una soluzone ammssble per (PM). DIMOSTRAZIONE: Se s v s u l uv per ogn uv A s è una soluzone ammssble Se nvece ho s che vola qualche vncolo, coè s v s u < l uv per qualche uv A l(p * v ) l(p* u ) < l uv l(p * v ) < l(p* u )+l uv v Se v non appartene a P * u =(,,u) P =(,,u,uv,v) è un cammno con: l(p )=l(p * u )+l uv > l(p* v ) CONTRADDIZIONE P * v P * u P u Qund: v appartene a P * u = (,,u) Detto P =(v,,u) l sotto-cammno d P * u da v ad u C= P {uv} è un cclo orentato l(p * v )<l(p* v )+l(p )+l uv 0<l(P )+l uv =l(c) P * v C v P 8 CICLO POSITIVO, contraddzone! u

39 COROLLARIO.: Se l grafo de vncol G(V,A) non ha ccl orentat d peso totale postvo allora (PM) ha soluzon ammssbl. TEOREMA.: Sa P uv un cammno dal nodo u V al nodo v V n G e sa s una soluzone ammssble per (PM). Allora s v s u + l(p uv ) DIMOSTRAZIONE: Condzone d esstenza delle soluzon Sappamo che l prob. del cammno massmo ha soluzone ammssble solo se non c sono ccl orentat d peso totale postvo Sa P uv =(u=u, u u, u,, u k- u k, u k =v) un cammno orentato d G(V,A) Pochè S è una soluzone ammssble abbamo: s u s u l u,u v u k u k- s u s u l u,u s uk s uk- l uk-,uk + u u u u s uk s u l u,u + l u,u + + l uk,uk- = l(p uv ) 9 s v - s u

40 Condzone d Lmtatezza COROLLARIO.: Se (PM) ha soluzon ammssbl allora l grafo de vncol G(V,A), con pes l non ha ccl orentat d peso totale postvo DIMOSTRAZIONE: u k u k- Sa s una soluzone ammssble Per assurdo, sa C=(u=u, u u, u,, u k u, u =u) un cclo orentato d G(V,A) avente peso totale l(c) postvo. u u u u Applcando l Teorema. s ha 0 = s u s u l(c) > 0, contraddzone TEOREMA.: (PM) ha soluzon ammssbl se e solo se l grafo de vncol G(V,A) non ha ccl orentat d peso totale postvo. Segue banalmente da corollar. e. Def. Un progetto è realzzable se e solo se l suo grafo de vncol G(V,A) non ha ccl orentat d peso totale postvo Allora assumamo che G non contenga ccl orentat d peso postvo 0

41 Condzone d ottmaltà TEOREMA.: Sa P * u l cammno d peso massmo da ad un generco nodo u V. Allora s * u =l(p* u ) per ogn u V è una soluzone ottma per (PM) DIMOSTRAZIONE: s * è ammssble (Teorema.) Poché G non contene ccl d peso postvo s ha s * = 0 La soluzone vale s * n s* = l(p* n )-0 = l(p* n ) (Peso del cammno massmo da a n) Sa s una qualunque soluzone ammssble Applcando l Teorema. s ha s n s l(p* n ) e allora s* è ottma Allora possamo lmtarc a soluzon ammssbl con s = 0. (Il progetto nza all stante 0) Propretà fondamentale d s * : per ogn soluzone ammssble s con s = 0, s ha s u = s u s l(p* u ) = s* u s * : è chamata Earlest Start Schedule (es) perché non esstono schedule ammssbl con s u < s* u per qualche u

42 Calcolo dell es L earlest start schedule s * vene d solto denotato con es Calcolo dell es Calcola l cammno (d peso) massmo P * u Pon es u = l(p * u ) per ogn u V da a ogn nodo u V Gl algortm per l calcolo dell es costruscono un arborescenza de cammn massm, e coè un albero rcoprente con radce n costtuto da tutt cammn orentat d peso massmo da a ogn altro nodo u S può ovvamente trasformarlo n un problema d cammno mnmo: Se trasformamo l j = - l j l problema è equvalente alla costruzone dell arborescenza de cammn mnm. Se G(V,A) non contene ccl d peso totale postvo rspetto a l, non conterrà ccl orentat d peso totale negatvo rspetto a l = - l

43 L arborescenza de cammn massm Arborescenza (d radce ): albero n cu, per ogn j V, l unco cammno dal nodo al nodo j è un cammno orentato OSS. Ogn nodo dverso dal nodo radce ha un unco predecessore nell arborescenza. Un arborescenza può essere descrtta medante l vettore de predecessor, prec

44 Algortmo teratvo d Bellman Ford Per trovare quest cammn massm, non possamo usare l algortmo d Djkstra perché pes possono avere valor sa postv sa negatv Alternatva: algortmo d Bellman-Ford (metodo del rlassamento): applcable quando l grafo non contene ccl orentat d peso postvo Inzalmente vengono ordnat gl arch e defnta una partcolare soluzone nzale s 0 non ammssble. A ogn terazone gl arch vengono vstat nell ordne prefssato: se per un arco (,j) s ha s j < s + l j volando l corrspondente vncolo d precedenza (), s pone s j = s + l j Dmostreremo che dopo al pù n = V terazon tutt vncol saranno soddsfatt. Inoltre s è ottma e s avrà s = es (earlest start tme d ) per ogn V Alla fne è possble rcostrure l arborescenza de cammn massm utlzzando l vettore de predecessor prec

45 Schema algortmo Bellman Ford Calcolo dell arborescenza de cammn massm dal nodo a per =,, n Inzalzzazone: s = 0, s = - e prec() = 0 per =,, n. Ordna gl arch A = {e,, e m } Repeat (fnchè s non s modfca pù) For k = to m (per ogn arco) If e k = (,j) è tale che s j < s + l j Endfor EndRepeat pon s j = s + l j pon prec(j) = Iterazon pccole Iterazon grand L algortmo termna con s = es Il blocco {Repeat EndRepeat} (terazone grande) vene eseguto al pù n volte Ogn ter. grande sono m terazon pccole, qund la complesstà è O(mn) (numero totale d terazon pccole)

46 Esempo d applcazone Inzalzzazone: s() = 0, s() = s() = s() = - Ordno gl arch: e = (,), e = (,), e = (,), e = (,), e = (,), e 6 = (,) Repeat -6 Iter. k =. s() = - < s() + s() = s() + = prec() = Iter. k =. s() = - < s() + s() = s() + = prec() = Iter. k =. s() = 0 > s() -6 Iter. k =. s() = - < s() + s() = s() + = 6 prec() = Iter. k =. s() = 6 < s() + s() = s() + = 7 prec() = Iter 6. k = 6. s() = < s() + s() = s() + = 9 prec() = Repeat Iter. k =. s()= 9 > s() + Iter. k =. s() = = s() + Iter. k =. s() = 0 > s() -6 Iter. k =. s() = 7 < s() + s() = s() + = prec() = Iter. k =. s() = > s() + Iter 6. k = 6. s() = s() +

47 L arborescenza de cammn massm Nella successva terazone grande non vengono aggornate le varabl, qund stop L arborescenza de cammn massm può essere rcostruta a partre dal vettore de predecessor, prec() -6 prec() = prec() = prec() = prec() non esste 7

48 Prncpo d Ottmaltà per cammn massm Def. Lunghezza d un cammno = numero arch che lo compongono Dato che non c sono ccl orentat postv, cammn massm contengono al pù n- arch. Prncpo d ottmaltà. Se P = {, j, j,., j k-, j k } è un cammno (d peso) massmo da a j k, allora P = {, j, j,., j k- } è un cammno (d peso) massmo da a j k- P j j k- j k- j l k h h P 8

49 Ottmaltà dell ultmo arco del cammno Sa es l vettore de pes de cammn massm Dal prncpo d ottmaltà segue es j ( ) es j l j per ogn V {} (A) es h es w h w l w l h es es j j l j Propretà d ottmaltà es es j l j, per ogn j ( ), V {} 9

50 Per V, sa Correttezza algortmo Bellman-Ford q s l valore della varable s alla fne della q-esma terazone pccola OSS. A ogn terazone pccola vene vstato un solo arco Se (r,h) è l arco vstato alla q-esma terazone pccola allora s q s q per ogn h Lemma.. q s es per ogn q e per ogn V Per q = 0, s ha s s es es V {} e la condzone del lemma (nvarante) è soddsfatta Per assurdo, sa q > 0 la prma terazone n cu l nvarante è volato. Sa (r,h) l arco vstato alla q-esma terazone. Poché alla (q-)-esma terazone l nvarante è soddsfatto sarà: Poché alla q-esma terazone l nvarante è volato sarà: Qund la varable corrspondente ad h è stata aggornata e sarà Da () e () es r l Per la propretà d ottmaltà rh s q r l rh es h s q h es r l rh s es q h s s q h q esh s h q h h es q r h rh r s l () contraddzone l rh q r r h e s es ()

51 Indchamo con S s q Per ogn V, q > t qm S t l valore della varable s alla fne della q-esma terazone grande Lemma.6. Sa V tale che esste un cammno massmo da a con un numero q d arch mnore o uguale k. Allora S es (coè alla q-esma terazone ho gà raggunto l ottmo) per q k S q (varabl non decrescent) Per nduzone. Per k = 0. L unco cammno massmo d lunghezza 0 è l cammno da a. S 0 es Correttezza algortmo Bellman-Ford 0 Dal lemma. es S q per q 0. Per la non decrescenza S q es per q 0. Per k > 0 sa P = {, j,, j k-, j k = } un cammno massmo fno a. Ponamo h = j k-. Il cammno {, j,, j k- = h} è un cammno massmo fno a h d lunghezza k- (prncpo d ottmaltà). Qund, es = es h + l h. Per potes nduttva, alla fne della k--esma terazone grande, s ha S k h es Durante la k-esma terazone grande, alla r-esma terazone pccola s vsta l arco (h,) s r h es h Dopo l aggornamento Da cu es s e per l Lemma. r S k es s r ( s s es es l s r h h r h r r r, sh lh) ( s, l h es ) es h h j j k- l h j k

52 Termnazone algortmo Bellman-Ford Corollaro.7. L algortmo d Bellman-Ford termna n al pù n terazon grand Il cammno massmo pù lungo contene al pù n- arch Alla fne della (n-)-esma terazone grande S es per ogn V (Lemma.6) n Per la non decrescenza, le varabl non vengono pù aggornate durante l n-esma terazone grande e l algortmo termna

53 Ancora sulle relazon fttze Precedenze fttze: Per ogn nodo, esste l arco (,) d peso 0. Per ogn nodo n, esste l arco (,n) d peso d. Nelle rappresentazon grafche del grafo delle precedenze generalzzate vengono spesso omesse. Nella rsoluzone degl esercz possono essere omesse solo se certamente mplcate dalle altre relazon d precedenza.. E possble omettere l arco (,) se esste nel grafo un cammno orentato P da a d peso l(p ) almeno par a 0. Infatt, per l Teorema. s s + l(p ) e l vncolo s s corrspondente all arco (,) è mplcato. Analogamente, è possble omettere l arco (,n) se esste nel grafo un cammno orentato da a n d peso almeno par a d

54 FS mn (0) SS mn 0 () Un eserczo completo 0 FS () FS mn () FS mn (0) FS mn (0) 8 FS mn (0) FS 6 mn (0) SS () SS mn () SS mn () FS mn () FS mn (0) FS mn (0) 7 7 FS () 0-0 In questo esempo è facle vedere che le relazon fttze sono mplcate dagl altr vncol

55 0 e 0 - e e e e e e e 9 e 7 e - 8 e e e Repeat 8 k =. s() = - < s() + 0 s() = s() + 0 = 0 prec() = k =. s() = - < s() + 0 s() = s() + 0 = 0 prec() = k =. s() = - < s() + 0 s() = s() + 0 = 0 prec() = k =. s() = 0 > s() k =. s() = - < s() + s() = s() + = prec() = k = 6. s() = 0 < s() + s() = s() + = prec() = k = 7. s() = 0 < s() + s() = s() + = prec() = k = 8. s(6) = - < s() + 0 s(6) = 0 prec(6) = k = 9. s() = s() - k = 0. s(7) = - < s() + 8 s(7) = prec(7) = k =. s(8) = - < s() + 0 s(8) = prec(8) = k =. s(7) = > s(6) + k =. s(8) = < s(6) + 8 s(8) = 8 prec(8) = 6 k =. s() = = s(7) - 8 k =. s(8) = 8 > s(7) + 7 e e Un eserczo completo Inzalzzazone: s() = 0, s() = s() = s() = s(6) = s(7) = s(8)= -, prec() = *, V Ordnamento arch: e =(,), e =(,), e =(,), e =(,), e =(,), e 6 =(,), e 7 =(,), e 8 =(,6), e 9 =(,), e 0 =(,7), e =(,8), e =(6,7), e =(6,8), e =(7,), e =(7,8). s prec *

56 0 e e 0 - e e e e e 8 e e 9 e 7 e e - 8 e e e Repeat k =. s() = > s() + 0 k =. s() = 0 = s() + 0 k =. s() = > s() + 0 k =. s() = 0 > s() k =. s() = < s() + s() = s() + = 0 prec() = k = 6. s() = = s() + k = 7. s() = = s() + k = 8. s(6) = 0 = s() + 0 k = 9. s() = s() - k = 0. s(7) = = s() + 8 k =. s(8) = 8 < s() + 0 s(8) = 60 prec(8) = k =. s(7) = > s(6) + k =. s(8) = 0 > s(6) + 8 k =. s() = = s(7) - 8 k =. s(8) = 0 > s(7) + 7 Un eserczo completo Ordnamento arch: e =(,), e =(,), e =(,), e =(,), e =(,), e 6 =(,), e 7 =(,), e 8 =(,6), e 9 =(,), e 0 =(,7), e =(,8), e =(6,7), e =(6,8), e =(7,), e =(7,8). Nella prossma repeat le varabl non s modfcano pù e l algortmo termna s prec *

57 Arborescenza de cammn massm Arborescenza de cammn massm, costruta a partre dal vettore de predecessor prec * s

58 Il cammno massmo dal nodo al nodo n (fne progetto) è detto cammno crtco Cammno crtco Il peso del cammno massmo dal nodo al nodo n (fne progetto) corrsponde alla durata (mnma) dell ntero progetto (makespan) Se rallento attvtà crtche ho lo stesso rtardo sull ntero progetto! Se rallento attvtà non crtche, non ho rtardo sul progetto fno a che, se rallentate troppo, l cammno massmo camba e passa per esse, che qund dventano crtche 0 0

59 Replogando: dal grafo de vncol n po Le relazon d precedenza vengono rappresentate sul grafo de vncol G(V,A) (orentato con pes l j assocat agl arch) In assenza d ccl postv (coè progett realzzabl) l es vene calcolato utlzzando gl algortm per l cammno massmo dal nodo (nzo progetto) a tutt gl altr nod del grafo de vncol In partcolare es = peso del cammno cammno d peso massmo dal nodo al nodo, per ogn V Il peso del cammno massmo dal nodo al nodo n (fne progetto) corrsponde alla durata mnma dell ntero progetto e vene detto makespan Ogn cammno massmo dal nodo al nodo n (fne progetto) è detto cammno crtco Esstono dvers algortm per l calcolo del cammno d peso massmo, con complesstà dstnte. Nel caso generale s può usare l algortmo d Bellman- Ford 9

60 Calcolo del latest completon tme Supponamo sa data una scadenza (deadlne) T per l progetto, coè un vncolo: s n T deadlne Cò corrsponde ad aggungere l arco (n,) d peso T al grafo de vncol SS j n s - s j SS j Voglamo rspondere alla domanda: quando al pù tard possono comncare le sngole attvtà del progetto (determnando così l Latest Start Schedule e l Latest Fnsh Schedule) n modo da rspettare la deadlne T? T n Def. Per ogn j V s ndca con ls j l latest start tme dell attvtà j, e coè l ultmo stante d tempo n cu l attvtà j può comncare senza volare l vncolo d deadlne T

61 Calcolo del Latest Start Schedule Sa P n un cammno da a n. La deadlne T mplca T s n Per l Teorema. sarà necessaramente s n s + l(p n ). Qund T s + l(p n ) s T - l(p n ) per ogn cammno P n da a n. Il vncolo pù strngente s ottene n corrspondenza del cammno massmo P * n, per cu vale s T - l(p * n ) = ls Algortmo generco calcolo ls for = to n- Calcola l peso L del cammno massmo da a n Pon ls = T - L Endfor P n n 6

62 Complesstà del calcolo dell ls Per ogn nodo V, l algortmo prevede l calcolo del cammno massmo da a n L algortmo del Bellman-Ford ha complesstà O(mn) e deve essere rapplcato partendo da ogn nodo, qund la complesstà rsulta O(mn ) OSS. L algortmo d Bellman-Ford calcola l peso de cammn massm dal nodo nzale a tutt gl altr nod del grafo IDEA: costrusc un grafo G (V,A ) ottenuto da G(V,A) nvertendo gl arch, ovvero sosttuendo ogn arco j con un arco j d peso par al peso dell arco orgnaro h w - j q v h w - j q v Grafo reverse Infatt ogn cammno da n a n G corrsponde a un cammno da a n n G d uguale peso 6

63 Algortmo per calcolare ls Calcolo del latest start schedule. Costrusc l grafo G reverse d G. Applca Bellman - Ford per calcolare l peso L del cammno massmo da n a per ogn V {n}. Pon ls = T - L per ogn V {n} Poché l grafo reverse può essere (faclmente) costruto n O(m), la complesstà dell algortmo e O(mn). 6

64 Total Float e Attvtà Crtche Def. Total float tf dell attvtà msura quanto l attvtà può essere rtardata senza volare la deadlne del progetto L attvtà non può comncare prma del suo earlest start tme es Se l attvtà comnca dopo l suo latest start tme ls l progetto vene rtardato tf = ls - es per ogn j n V Def. Un attvtà è detta crtca se l suo total float è 0 6

65 Altre rappresentazon (Gantt Charts) Dato un pano d attvtà s ammssble è possble darne una rappresentazone grafca medante Gantt Charts (ntrodotte dall ngegner Gantt nel 98) Un dagramma d Gantt è una grgla bdmensonale: sulle rghe c sono le attvtà mentre sulle colonne gl stant d tempo dell orzzonte temporale. Ogn attvtà è rappresentata con una barra orzzontale d lunghezza par alla sua durata d, partendo dalla casella nella colonna s Vengono coè rempte le caselle della grgla corrspondent a stant n cu l attvtà è (prevsta) n svolgmento. RI. RI. RI. RI. RI. RI. RI. RI. RI. RI. RI. Identfcazone degl scenar tecnologc Defnzone degl obettv d servzo Defnzone de requst funzonal d sstema Defnzone metrche d valutazone Generazone Mappe D Generazone Mappe Vettoral Modell neural d predzone d camp Studo d Algortm d panfcazone d ret wreless Realzzazone prototpale algortm d panfcazone Studo d Algortm d gestone delle rsorse d ret wreless Realzzazone prototpale algortm d gestone SP. Gestone e controllo calcolo dstrbuto SP. Progettazone del protocollo d data communcaton SP. Realzzazone sstem d data storage RI. RI. RI.6 Defnzone pan d spermentazone Esecuzone de test ATTIVITA' Anals de rsultat ottenut dal progetto PRIMO ANNO SECONDO ANNO

66 Altre rappresentazon (Gantt Charts) Esstono n natura dvers format per le Gantt Chart Ad esempo, s possono rappresentare sulla stessa rga pù attvtà che non s sovrappongono temporalmente D seguto rportamo una rappresentazone per l earlest start schedule 6 7 Gantt chart Earlest start schedule Il cammno crtco è evdenzato n rosso 66

67 Esempo d calcolo es e ls Applcando Bellman-Ford con nodo radce calcolo l arborescenza de cammn massm e qund l earlest start schedule es

68 Calcolo dell ls Per avere l latest start tme corrspondente ad una deadlne T=7 trovo l peso L del cammno massmo da a n e pongo ls = T - L Applcando Bellman-Ford con nodo radce calcolo l cammno massmo da a n Ad esempo, con radce ho T = 7, = L = ls = 7- = Ma non posso calcolare, ad esempo, ls e sono qund obblgato a rapplcare Bellman-Ford con radce T = 7, = L = ls = 7- = 6

69 Calcolo dell ls Se nvece applco Bellman-Ford al grafo reverse con radce n devo farlo una sola volta e ottengo l arborescenza reverse con cu calcolo l latest start tme Es. T = 7 L = ls = 7- = L = ls = 7- = L = ls = 7- = L = ls = 7- = 6 69