Rappresentazione dei numeri PH. 3.1, 3.2, 3.3

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1 Rappresentazone de numer PH. 3.1, 3.2, 3.3 1

2 Tp d numer Numer nter, senza segno calcolo degl ndrzz numer che possono essere solo non negatv Numer con segno postv negatv Numer n vrgola moble calcol numerc dfferent grad d precsone precsone sngola (IEEE) doppa precsone (IEEE) precsone quadrupla 2

3 Rappresentazone de numer Notazone poszonale Rappresentazone n base 2 degl nter Conversone bnaro-decmale degl nter Rappresentazone n base 2 de numer frazonar Conversone bnaro-decmale de numer frazonar Rappresentazone n base 16 3

4 Sstem d numerazone poszonal La base rappresenta l numero d cfre dverse utlzzate per rappresentare numer (cardnaltà dell'alfabeto) Il sstema d numerazone n base 10 usa 10 cfre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Il sstema d numerazone n base 8 (ottale) usa 8 cfre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } Il sstema d numerazone n base 2 (bnaro) usa 2 cfre: { 0, 1 } Il sstema d numerazone n base 16 (esadecmale) usa 16 cfre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } 4

5 Notazone poszonale (1) Ne sstem d numerazone l peso d ogn cfra dpende dalla poszone: L ntero 853 (n base 10) vale: 8 centnaa ( = ) + 5 decne ( = 5 10) + 3 untà ( = 3 1) L ntero 675 (n base 10) vale: 6 centnaa ( = ) + 7 decne ( = 7 10) + 5 untà ( = 5 1) 5

6 Notazone poszonale (2) In generale, un numero formato da una sequenza d cfre n una base b : c c... c c c ( n 1) ( n 2) ha un valore determnato dalla somma de pes (potenze della base) per l valore della cfra: n 1 = 0 ( c b ) ad esempo, per la rappresentazone d 745 s ha che: n 1 = 0 ( c= b ) c + 10 c + 10 c =

7 IL sstema bnaro (1) S usa la base 2 (numer bnar): Qund s usano solamente due cfre, ndchamole con 0 e 1 Per esplctare la base utlzzata, usamo un pedce I numer n base 10 saranno scrtt come e I numer n base 2 saranno scrtt come e

8 IL sstema bnaro (2) S consder un numero bnaro: c c... c c c ( n 1) ( n 2) l valore del numero è la somma de pes d ogn cfra: n 1 = 0 ( c 2 ) bt meno sgnfcatvo - l bt d poszone 0 (peso mnore) bt pù sgnfcatvo l bt d poszone 31 (peso maggore) 8

9 IL sstema bnaro (3) Ad esempo, l valore n base 10 del numero bnaro è: n 1 = 0 ( c = b ) +x c 2 + c 2 +( c 2 c =Β Α = 11 9

10 Conversone decmale bnaro Procedmento medante dvson rpetute; ad esempo per ottenere l numero bnaro equvalente al numero decmale 11, s procede: 11/2 = 5 resto 1 5/2 = 2 resto 1 2/2 = 1 resto 0 1/2 = 0 resto

11 Sstema esadecmale Il sstema d numerazone n base 16 (esadecmale) usa 16 cfre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, E, F } A vale 10,...., F vale 15 Il valore è dato da: n 1 = 0 ( c (16) ) Esempo, l valore d (1A5) 16 è : n 1 = 0 ( c π= b ) c+ 16 c+ 16 c =Β Α 5 1 =

12 Da base 16 a base 2 (e vceversa) Per convertre da base 16 a base 2 basta: convertre una cfra esadecmale alla volta nella corrspondente rappresentazone n base 2 Esempo: per convertre 1AC5 16 n base 2: 1 A C Per convertre da base 2 a base 16 basta: convertre a grupp d 4 bt per volta partendo da quattro bt meno sgnfcatv Esempo: per convertre n base 16: A 4 E 12

13 Notazone poszonale per frazonar (1) Per numer con una parte frazonara l meccansmo è lo stesso vengono usate poszon e potenze negatve della base c c... c c c. c c... c ( n 1) ( n 2) m n 1 m c+ b = 0 = 1 ( ) ( c b ) Esempo, per rappresentare l numero rsulta: x

14 Conversone numer frazonar Procedmento che a partre da una frazone F < 1 ottene la rappresentazone d F n bnaro (o una approssmazone) Sequenza rpetuta d moltplcazon: Moltplchamo F per 2 S ottene una parte ntera (che può essere 0 oppure 1) ed una parte decmale F1 La parte ntera rappresenta l prmo bt pù sgnfcatvo mentre F1 vene moltplcato per 2 S ottene una parte ntera (che può essere 0 oppure 1) ed una parte decmale F2 La parte ntera rappresenta l secondo bt pù sgnfcatvo mentre F2 vene moltplcato per 2 fno a quando F vale 0 oppure decdamo d fermarc 14

15 Conversone numer frazonar Esempo, convertre 0.81 : = 1.62 parte nt = 1.24 parte nt = 0.48 parte nt = 0.96 parte nt = 1.92 parte nt = 1.84 parte nt 1 Sequenza rpetuta d moltplcazon,... s prende la parte ntera 15

16 Conversone numer frazonar Il processo d conversone d una frazone non necessaramente termna Una frazone decmale con un numero fnto d cfre può avere un numero nfnto d cfre nella rappresentazone bnara possamo termnare l procedmento quando rtenamo d aver raggunto una precsone suffcente 16

17 Inter con segno Inter con segno 17

18 Inter con segno Fnora abbamo solamente consderato la rappresentazone d nter postv, per rappresentare nter con segno: tre possbl rappresentazon sono: la rappresentazone con modulo e segno la rappresentazone n complemento a uno la rappresentazone n complemento a due 18

19 Rappresentazone con modulo e segno La rappresentazone n modulo e segno usa l bt pù sgnfcatvo per ndcare l segno: (+) se bt31 = 0, (-) se bt31 = 1 Il valore del numero rsulta essere: n 2 N = ( c 2 ) se c = 0 = 0 n 2 = 0 n 1 N = ( c 2 ) se c = 1 n 1 19

20 Alcun problem del modulo e segno Addzone e sottrazone complcata da segn de numer modulo de numer Doppa rappresentazone dello zero: nfatt lo zero può essere rappresentato (es.: su 8 bt) sa da che da Non va bene! Vorremmo una rappresentazone che faclt la progettazone della ALU che non deve essere complcata da problem dovut alla rappresentazone 20

21 Rappresentazone n complemento 2 Rappresentazone n complemento 2 21

22 Rappresentazone n complemento 2 Dato un numero n base 2 : c c... c c c ( n 1) ( n 2) Il valore del numero espresso n complemento a due è : n 1 n 1 2 n 2 ( ) = 0 V = c + c b Il bt pù sgnfcatvo assume peso negatvo! 22

23 Rappresentazone n complemento 2 Poche è : n 2 c n 1 2 n 1 =0 c b Il numero è postvo se l bt pù sgnfcatvo vale 0 Il numero è negatvo se l bt pù sgnfcatvo vale 1 23

24 Rappresentazone n complemento 2 Esempo, l numero su 4 bt vale : = = 3 Esempo, numer n complemento 2 su 4 bt :

25 Conversone da decmale a bnaro Supposto X numero decmale da convertre a) Fssare l numero n d cfre bnare da usare per la rappresentazone del numero convertto n bnaro b) se X è postvo : s converte X n bnaro su gl n-1 bt meno sgnfcatv s pone l bt pù sgnfcatvo a 0 c) se X è negatvo : s converte n bnaro 2 n-1 + X su gl n-1 bt meno sgnfcatv s pone l bt pù sgnfcatvo a 1 25

26 Conversone da decmale a bnaro Esempo: convertre l numero X = -4 su n = 5 bt convertamo 2 n-1 + X = = 16 4 = 12 su n-1 = 4 bt ottenamo l rsultato parzale:? mettamo l bt pù sgnfcatvo (l qunto) a 1 ottenamo l rsultato fnale:

27 Lavorare con l complemento a due Espansone: ad es. passare da numer a 16 bt a numer a 32 bt rchesto per operazon con regstr (32 bt) e operazon mmedate (16 bt) Estensone del segno 16 bt meno sgnfcatv restano nvarat copa l segno (bt pù sgnfcatvo) ne rmanent 16 bt

28 Addzone bnara PH

29 Esempo d addzone Supponamo d addzonare due numer bnar (11 10 ) e (18 10 ) : rport =

30 Artmetca complemento a due Operazone d negazone Negazone nell'artmetca complemento a 2 : dato un numero A n rappresentazone bnara complemento a due voglamo ottenere A (sempre n rapp.zone bnara) Per ottenere la rappresentazone n complemento due d -A (1) s complementa ogn cfra bnara d A (2) s aggunge 1 alla sequenza d bt cos ottenuta 30

31 Operazone d negazone Esempo, s vuole ottenere la negazone del numero A = -62 (nella rappresentazone bnara complemento 2 su 8 bt) la rappresentazone su 8 bt d 62 è : l suo complemento bt a bt è : sommando 1 s ottene l rsultato :

32 Operazone d negazone, gustfcazone Supponamo che A (n complemento a 2) sa l numero da negare, l suo valore è: n 1 n 1 2 n 2 ( 2 ) = 0 A = c + c Costruamo B (negazone d A) complementando bt d A ed aggungendo 1, ottenamo: n 2 n 1 B = cn ( c 2 ) = 0 Calcolamo A + B; se vale A + B = 0 allora B = -A n 2 n 1 ( n 1 n 1) 2 1 ( ) 2 = 0 A + B = c +x c + + c +2c 32

33 Operazone d negazone, gustfcazone Osservando che : ( c + c) = 1 Dall'espressone: n 2 n 1 ( n 1 n 1) 2 1 ( ) 2 = 0 A + B = c +x c + + c +2c Rcavamo : n 2 n 1 n 1 n 1 A + B = = (2 1) = 0 = 0 33

34 Operazone d negazone, osservazon Supponamo d negare l numero A = 0 (rappresentazone n complemento a 2 su 5 bt) la rappresentazone: l complemento bt a bt: sommando 1 : l bt d rporto vene gnorato!

35 Operazone d negazone, osservazon Se s prova a negare 2 n 1 ne rsulta: la rappresentazone: l complemento bt a bt: sommando 1 : la negazone del numero non può essere rappresentata n complemento a 2!

36 Operazone d negazone, osservazon Il massmo postvo è : n corrspondente a : Il massmo negatvo è : 2 n 1 corrspondente a : Un numero negatvo n pù rspetto a numer postv Assmetra nevtable, dovendo rappresentare: postv, lo zero, e negatv con un numero 2 n d confgurazon possbl 36

37 La regola d overflow Nella somma d nter con segno rappresentat n complemento due s verfca un OVERFLOW se e solo se: la somma d due nter postv dà come rsultato un ntero negatvo la somma d due nter negatv da come rsultato un ntero postvo La somma d due operand con segno opposto non può dare overflow; nfatt: la somma è mnore o uguale, n valore assoluto, d uno degl addend; es = -6 37

38 Somma e overflow (1) Somma de numer 5 e 4 su n=4 bt ( max rappr =7 ) overflow, la somma d due numer postv non può dare un negatvo! =

39 Somma e overflow (2) Somma de numer -6 e -7 su n=4 bt ( mn rappr = -8 ) = l ultmo bt d rporto vene gnorato overflow, la somma d due numer negatv non può dare un postvo! 39

40 Sottrazone Per calcolare A B s osserva che A B = A + (-B) procedmento: negazone d B somma A + negazone d B nella rappresentazone complemento 2 non è necessaro un crcuto apposto dverso da quello della somma per mplementare n hardware la sottrazone! 40

41 Overflow sottrazone Sottrazone mplementata con negazone e somma Vale regola overflow somma : somma d due nter postv con rsultato un ntero negatvo somma d due nter negatv con rsultato un ntero postvo Sottrazone : operand con lo stesso segno NO overflow operand segno dverso: se rsultato segno dverso dal mnuendo SI overflow Rassunto condzon overflow operazone A B rsultato A + B 0 0 < 0 A + B < 0 < 0 0 A - B 0 < 0 < 0 A - B <

42 Esempo overflow n sottrazone A B = 5 (-3) = A + (-B) = + 8 A = 5 rappr. su 4 bts A = B = -3 rappr. complemento 2 B = B = = A postvo, B negatvo rsultato negatvo overflow