19 = una decina + nove unità

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1 Dott. Ing Paolo Serafn Clc per tutt gl appunt (AUTOMAZIONE TRATTAMENTI TERMICI ACCIAIO SCIENZA delle COSTRUZIONI ) e-mal per suggerment 3 SISTEMI DI NUMERAZIONE 3. Sstema decmale Nel sstema decmale qualsas numero vene espresso dalla combnazone d smbol (cfre) dvers, qual assumono un sgnfcato e valore dfferente secondo la poszone occupata nel numero. I dec smbol adoperat sono:,,2,3,4,5,6,7,8,9 Il smbolo "" rappresenta la cfra nulla. I prm nove numer, n ordne crescente, sono qund:,,2,3,4,5,6,7,8,9. Un smbolo, nell'ordne scrtto, da snstra a destra, ha un valore par ad un'untà n pù d quello precedente. Il decmo numero, dopo l 9, lo s fa corrspondere ad una untà d ordne superore, alla quale s dà l nome d "decna". Il decmo numero vene espresso come una untà della prma potenza d dec: ; n tal modo l'untà vene pesata rspetto a Il smbolo che esprme l decmo numero è composto dalle cfre, poste n ordne da destra verso snstra, e s scrve:, con l sgnfcato d zero untà e una decna: = + S not che le prme nove untà possono essere espresse secondo la potenza d ordne zero: = 2 3 = 3... I numer successv al s ottengono lascando l numero nella seconda poszone (decna) e cambando successvamente la cfra nella prma, n sequenza da a 9:,2,3,..., ove : = + una decna + una untà... 9 = + 9 una decna + nove untà

2 Dott. Ing Paolo Serafn Dopo l numero 9 s ottene un numero corrspondente a una decna + dec untà; ma untà corrsponde ad una untà d ordne superore : qund a due decne La numerazone contnua con = 2 + Ogn untà s passa da una d ordne "n" ad un'altra d ordne "n+"- Così partendo da 2, dopo dec untà (2,22...,29) s passa al numero 3 e così va... Un qualsas numero può essere espresso con una combnazone de dec smbol, l cu ordne d dsposzone da destra verso snstra rappresenta la potenza d dec con la quale la cfra ndcata s deve moltplcare. Così: 348= S ntende che la prma poszone a snstra della vrgola (l'untà) è quella d ordne zero; segue... Come noto a destra della vrgola vengono post decm -, centesm che sono potenze negatve della base 25.62= Da quanto detto s può concludere che un numero nel sstema decmale è espresso da un polnomo ordnato secondo le potenze decrescent della base : coeffcent delle potenze d rappresentano le cfre sgnfcatve del numero: (N) n 3 2 b = an a a3 + a2 + a + a Dove a può assumere valor,,2,3,4,5,6,7,8,9 a 9 È da notare che smbol che contraddstnguono l numero, oltre allo zero, sono de smbol del tutto convenzonal: possono essere rappresentat anche da segn dvers da quell usual T 3.2 NUMERAZIONE IN BASE "b" Un numero può essere espresso da un polnomo ordnato secondo le potenze decrescent d una qualsas base b (numero naturale maggore d ): ( N ) = a b + a b +...+a b +...+a b + a b + a b + a b b n n n- n- Il coeffcente generco a (cfra sgnfcatva) può essere rappresentato da b smbol dvers, de qual uno ndcherà l'elemento neutro ""- Oltre lo zero, a assumerà b- smbol dvers Così se la base è 5: b=5 oltre allo zero, v saranno b-=5-=4 smbol da dovere fssare. Scelt quest tra numer natural, a può assumere caratter: 2

3 Dott. Ing Paolo Serafn Consderamo una numerazone con base 3,,2,3,4 con elemento nullo Con base b=3, oltre allo zero s possono sceglere altr due smbol per le due untà d valore rspettvamente superore come:,,2 oppure,a b oppure,,$, ecc... S scelgano come smbol la prme tre cfre de numer natural :,,2. Sono rportat nello schema numer espress secondo la base 3 - (potenza d tre) Numero naturale Base I prm tre numer ( coeffcent d 3 ) sono: 2 con l sgnfcato d: 3 = 3 = 2 3 = 2 Dopo l terzo numero s passa dalla untà d ordne nferore 3 a quella d ordne superore 3. Il numero successvo a due sarà: con l sgnfcato d: 3

4 Dott. Ing Paolo Serafn = = 3 Seguranno due numer con untà crescent nell'ordne nferore 3 ess sono: = = 4 2 = = 5 Qund al terzo numero s passerà ad una untà d ordne superore: Segue: 2 = = 6 2 = = 7 22 = = 8 Dopo quest'ultmo s passa ad una untà d ordne superore a 3, che, aggungendos alle due untà d ordne 3, farà scattare la cfra d una untà nell'ordne superore Così l numero successvo a 22= =8 è: = =9 In generale s può affermare che effettuando una numerazone n base "b" occorrono b- smbol sgnfcatv oltre lo. Nell'effettuare la numerazone, dopo b smbol (compreso lo ) nella potenza b, scatta una untà "" nella potenza superore b, mentre nza d nuovo da la cfra nella potenza nferore b ; così, dopo altr b smbol nella potenza nferore b scatterà un'altra untà nella potenza superore b che, sommandos alla precedente la porta a b 2, e così va... Nel procedere della numerazone dopo b smbol s passa dalla potenza b alla potenza b + 3 Trasformazone d un numero dal sstema decmale n uno n base b 3- Trasformazone d un numero ntero Sa N un numero ntero del sstema decmale - S dvda N per la base b nella quale s vuole trasformare l numero : N:b Effettuando la dvsone s otterrà, n generale, un quoto Qo e un resto che s ndcherà con ao ( ao b ) N b Qo a N:b=Qo resto ao ; per cu rsulterà: N=Qo b+ao (3..) b: Se l quoto Qo rsulta maggore della base b: Qo b, allora s effettu la dvsone tra Qo e Q b a Q Q :b = Q o resto a rsulterà: Q = Q b+ a o (3..2) Sosttuendo nella (3.) s ottene: 4

5 Dott. Ing Paolo Serafn N = ( Q + a ) b+ ao 2 N = Q b + a b+ a o (3..3) Sa ancora l quoto Q b. S dvda questo ancora per b. S ha: Q :b = Q2 resto a 2 ; da cu s ha: Q = Q b+ a Sosttuendo nella (3.3) s ha: 2 N = ( Q b+ a ) b + a b+ a S procederà fno a che rsulta Q n- <b o N = Q 2 b + a 2 b + a b+ ao (3..4) 2 2 N = Q b + a b...+a b + a b+ a (3..5) n- n n- n- 2 2 o Allora effettuando ancora la dvsone tra l. quoto ottenuto Q n- e b s avrà: a n Q n b = Q Q :Q = n- n- resto: Q = a n- n Il quoto della dvsone è zero "" mentre l suo resto a n rsulta uguale al dvdendo Q n-. Qund rsulterà: Q n- = b + a n Sosttuendo nella (3..5) s ottene: n n- 2 (N) b = an b + an- b a b a2 b + a b + ao (3..6) Dove a o, a,a 2,...a,..., a n sono rest delle dvson successve per la base b. Il numero N espresso nella base b sarà ndcato da coeffcent del polnomo (N) b, post n ordne secondo la potenza decrescente da snstra verso destra S debba trasformare l numero 262 n base n un numero n base b=3 fg..5 n Dvdendo per 3 successv quozent, s ottengono rest che vengono post n ordne da destra verso snstra. Dalle successve dvson s ottene: 2 262:3 = 87 resto => 262 = :3 = 29 resto => 87 = => 262 = ( ) = :3 = 9 resto 2 29 = = ( ) =

6 Dott. Ing Paolo Serafn 3 2 9:3 = 3 resto 9 = = ( 3 3+ ) = :3 = resto 3 = = ( 3+ ) = :3 = resto = 3+ qund: = ( 3+) :3 = resto = Le potenze d 3 superor a 5 hanno tutt coeffcent null. Nel procedmento d dvsone c s ferma all'ultmo resto nferore a b. Il numero 262 espresso nella base b=3 sarà: = Il numero s ndca omettendo le potenze d 3 262=2 Le cfre del numero n base b=3 sono rest delle dvson multple. In ordne crescente, da destra verso snstra, s scrve: fg..6 Numero (N) 3 =2 3.2 Trasformazone della parte decmale d un numero espresso n base n un numero espresso n base b Sa,D l numero da trasformare; avendo ndcato con D la parte decmale a destra della vrgola. S moltplch l numero,d per la base b. Dalla moltplcazone s otterrà un numero costtuto da una parte ntera I (che può essere anche nulla) e una parte decmale restante D (che può essere nulla),d b = I,D = I +,D (3.2.) 6

7 Dott. Ing Paolo Serafn da cu, rcavando,d s ha:, D = I +, D (3.2.2) b b TT Per esempo l numero decmale sa:,d=,342 La nuova base nella quale s vuole esprmere l numero dato sa: b=4 Moltplcando l numero per 4 s ha:,342x4=,368,342x4 = +,368 (a) dove la parte ntera è I= e quella decmale D=,368 rcavando dalla espressone (a) l numero dato:,342, s ottene:, = +, TT S moltplch la parte decmale,d ottenuta nella (3.2.2) ancora per b, ottenevo un nuovo numero decmale con parte ntera I 2 e decmale D 2 : I 2, D 2 da cu:,d x b = I,D = I +,D , D I2, D2 = + (3.2.3) b b Sosttuendo la (3.2.3) nella (3.2.2) s ha: 2, 2, D I I D = + + b b b b 2, 2, D I I D = b b b In generale, salvo cas partcolar, l'operazone può contnuare fno all'nfnto. C s ferma ad un termne n mo, dpendente dalla approssmazone che s vuole ottenere. Consderando le espresson gà ottenute è facle esprmere l'n mo termne 2 3,, D I I I In Dn = n + n (3.2.4) b b b b b Se l'ultmo termne,d n allora l rapporto: ε =,D n n (3.2.5) b rappresenta l'errore che s commette nell'esprmere l numero n base b lmtato ad n termn dopo la vrgola. 7

8 Dott. Ing Paolo Serafn Qund, con l'approssmazone anzdetta, l numero decmale n base b è espresso da un polnomo n detta base, ordnato secondo le potenze decrescent negatve, fno all'ordne n, dpendente dalla approssmazone che s vuole ottenere n,d= I b + I2 b + I3 b In b (3.2.6) Dove I, I 2, I 3,..., I n sono gl nter ottenut dalle moltplcazon successve per la base b delle part decmal. Sottntendendo le potenze negatve d b n ordne decrescente da snstra verso destra, e scrvendo solamente coeffcent, l numero decmale n base b è espresso nella forma: = 2 3, D I I I... I n S debba cos' trasformare,487 dal sstema decmale ad un altro sstema n base b=7 In pratca s opera secondo l seguente schema: fg..7 Come precedentemente detto, s moltplca l numero,487 n base per la base 7 (,487x7=3,49), ottenendo la parte ntera 3 e la parte decmale,49. La parte ntera 3 dà la prma cfra sgnfcatva. La parte decmale,49 s moltplca per la base 7, ottenendo la parte ntera 2 che rappresenta la seconda cfra sgnfcatva. E così va... Il numero decmale approssmato d 4 cfre che s ottene è:,3262 con l sgnfcato d ,3262 = =, ,487 L'errore effettuato rsulta d: ε =,487 -, =,536 T 3.3 SOMMA DI NUMERI IN BASE b S consderno per semplctà due numer nter: n ( N ) b = a b = Sano: m ( N ) = c b b = prmo numero secondo numero 8

9 Dott. Ing Paolo Serafn Sa n m. In forma esplcta due numer s possono esprmere: ( N ) = a b +...+a b + a b +...a b +...+a b + a b b n n m m m- ( N ) = c b + c b +...c b +...+c b + c b b m m m- La somma (N) b +(N ) b s ottene sommando termn sml. Consderando così due termn sml generc a b, c b, la somma darà: S possono dstnguere due cas: m- m- a b + c b = ( a + c ) b (3.3.) - a+c < b - In tal caso la cfra della ma poszone sarà quella corrspondente al rsultato a +c Esempo base b=5 (N) b 23 + (N ) b 24 = (N) b +(N ) b = 444 T 2 - a +c b La somma de termn sml è uguale o supera b. S supponga che a +c >b Allora s dvda la somma (a +c ) per la base b: a+c : b (a +c ) b S ottene un quoto Q ed un resto R ; per cu s può scrvere che l dvdendo (a +c ) è uguale al dvsore b per l quoto Q pù l resto R : ( a + c )= Q b+ R Così l termne mo della somma s scrverà: R Q ( a + c ) b = ( Q b+ R ) b + ( a + c ) b = Q b + R b (3.3.2) Ne vene che: nella poszone ma del numero rsultante dalla somma, s pone, come cfra, l resto della dvsone, mentre l quoto va sommato alla cfra d ordne superore successvo +. Così se con la base b=5 la somma d due termn rsulta a+c=7, allora s effettua la dvsone: 7:5= con resto d 2. In tal caso s procede nella seguente manera: - S pongono due untà, par al resto "R=2", nella poszone ma 2- Il quoto della dvsone "Q =" 'verrà sommato alla cfra della poszone successva + T Esempo: Sano dat n base b=5 tre numer da sommare: 2343, 34, 43 9

10 Dott. Ing Paolo Serafn rporto = Somma delle cfre della I colonna: 3+4+3= ; :5=2 resto= è la cfra rsultante della I colonna - s rporta 2 sulla II Somma delle cfre della II colonna: =3 ; 3:5=2 resto=3 3 è la cfra rsultante della II colonna - s rporta 2 sulla III Somma delle cfre della III colonna: 2+3+=6; 6:5= resto è la cfra rsultante della III colonna - s rporta sulla IV Somma delle cfre della IV colonna: +2=3 La somma rsultante "3" non supera la base 5, questa rappresenta la cfra della IV colonna T 3.4 SOTTRAZIONE DI DUE NUMERI IN BASE b S abbano due numer n base b, rspettvamente d ordne ne m. Ess s possono esprmere con polnom caratterstc n ( N ) b = a b prmo numero = Sano: m ( N ) = c b b secondo numero = Sa n m. In forma esplcta due numer s possono esprmere: ( N ) = a b +...+a b + a b +...a b +...+a b + a b b n n m m m- ( N ) = c b + c b +...c b +...+c b + c b b m m m- m- m- La dfferenza (N) b -(N ) b s ottene sottraendo termn sml Consderando due termn generc come a b,c b s ha: a b - c b = ( a - c ) b (3.4.) S presentano tre cas a>c a=c a<c a>c Il rsultato della dfferenza è una cfra compresa tra e la base b "<a-c<b", esso, n tal caso, s pone come cfra da assegnare alla colonna ma a=c Allora a-c= e s assegnerà la cfra alla colonna ma a<c La dfferenza a-c non è effettuable nel campo de numer natural.

11 Dott. Ing Paolo Serafn Consderamo quest'ultmo caso n cu rsult a < c. alla dfferenza a c sommamo e sottraamo b. Vale l'uguaglanza : a - c = a - c + b -b (3.4.2) Per cu, sosttuendo la (3.4.2) nella (3.4.), l coeffcente della potenza ma s può scrvere nella forma: + ( a - c ) b = ( a - c + b - b ) b = ( a + b - c ) b - b Il termne b + andrà sottratto alla cfra d ordne +. Così nella dfferenza de termn sml de polnom caratterstc de due numer n base b comparranno : ( a - c ) b + ( a + b - c ) b - b... = + + =...( a - - c ) b + ( a + b - c ) b Quando nella poszone ma l mnuendo a è nferore al sottraendo c, allora s prende n prestto una untà dalla cfra successva d ordne superore (+): b + Tale untà corrsponde a b untà nell'ordne nferore : + b = b b S somma così al mnuendo mo: "a " le b untà prese n prestto dalla cfra d ordne superore: (a+b) e al rsultato verrà sottratto l sottraendo c<b. S ottene così nella poszone ma la cfra rsultante ( a +b - c ) ossa: ( a +b - c ) b. Avendo preso n prestto una untà dalla cfra d ordne superore +, nella poszone +ma occorre toglere detta untà al mnuendo a+ e po sottrarre l sottraendo c+ : + ( a c + ) b T Esempo: S debba effettuare la dfferenza de due numer n base b=5 : (34-223) rporto n base = = Post due numer n colonna,ordnat da destra verso snstra, s effettua la dfferenza delle cfre d una stessa colonna Se la cfra del mnuendo è superore o uguale al sottraendo: s effettua la sottrazone, ottenendo la cfra rsultante della colonna consderata. Se l mnuendo è nferore al sottraendo, s prende n prestto untà dalla cfra d ordne superore, che corrsponde a b=5 untà nell'ordne nferore. In tal caso s rportano 5 untà sulla colonna nella quale s sta effettuando la sottrazone e "-" untà sulla colonna d ordne superore. Dfferenza della prma colonna a destra:

12 Dott. Ing Paolo Serafn S deve effettuare la dfferenza -3 - Occorre prendere n prestto una untà dalla cfra della seconda colonna e s porrà su d essa l rporto -; mentre sulla prma colonna s pongono le 5 untà corrspondent alla untà d ordne superore preso n prestto. S effettua qund la seguente operazone: al mnuendo s sommano le 5 untà d prestto e s sottrae l sottraendo -3, ottenendo la cfra della prma colonna +5-3=3 (cfra rsultante della I colonna) Dfferenza della seconda colonna: Al mnuendo 4 s sottrae la cfra data n prestto e, al rsultato, s sottrae l mnuendo = (cfra rsultante della seconda colonna) e così va... T 3.5 MOLTIPLICAZIONE Sano dat due numer (per semplctà nter) n base b ( N ) = a b +...+a b + a b +...a b +...+a b + a b b n n m m m- ( N ) = c b + c b +...c b +...+c b + c b 2 b m S debbano moltplcare due numer (N ) b x (N 2 ) b. m Per fare cò occorre moltplcare due polnom caratterstc. S pongano nella stessa colonna termn avent la stessa potenza della base b m- (N ) b = a n b n + a n- b n a m b m a b a 2 b 2 + a b + a b (N 2 ) b = c m b m c b c 2 b 2 + c b + c b a n c b n b +a - c b n b +.. +a m c b m b +...+a c b b +..+a 2 c b 2 b +a c b b a n c b n b + a n c bn b + a n- c b n b a m c b m b a c b b +..+a 2 c b 2 b a n c m b n b m a m c b m b h n+m b n+m h m b m h b h 2 b 2 + h b + h b La moltplcazone va effettuata moltplcando cascun termne del prmo polnomo per cascuno del secondo. Così, partendo dal termne c b del secondo polnomo, questo s moltplca per cascuno del prmo ; successvamente s prende l II termne c b del secondo polnomo lo s moltplca per tutt termn del prmo. m- m- 2

13 Dott. Ing Paolo Serafn Le moltplcazon effettuate vengono scrtte n rghe successve, ponendo sulla stessa colonna termn con uguale potenza. Ogn rga,ottenuta dalla moltplcazone d un termne del secondo polnomo per tutt termn del prmo, rsulta spostata d una colonna verso snstra rspetto alla precedente, essendo l termne moltplcatore d un grado superore rspetto a quello precedente. S consder l termne generco del polnomo "h b ", nel quale h rappresenta la cfra sgnfcatva dell' mo posto del rsultato del prodotto. S possono presentare due cas. - h<b Allora l coeffcente h resta come cfra sgnfcatva dell'mo posto 2 - h b In tal caso s effettua la dvsone h:b ; s ottene l quoto q e resto r h r b q Per cu s può scrvere : h = q b + r Così l termne generco del polnomo s può porre nella forma: h b = ( q b + r ) b = q b + r b Dalla espressone s nota che: l resto r è la cfra sgnfcatva dell' mo posto ; mentre l quoto q va ad aggungers alla cfra successva d ordne superore + Esemp: Sano dat due numer n base b=5 : 343, 4 s moltplch 343x4 base 5 base rporto x = S nza con 3x4=2 Il rsultato 2 della moltplcazone è superore alla base b=5 S effettua la dvsone tra l rsultato 2 e la base b=5 e rsulta: Il quoto q =2:5=2, l resto r =2: s pone r =2 come cfra sgnfcatva della prma colonna d destra e s rporta l quoto q =2 n cma alla seconda colonna - S moltplca 4x=4 Al rsultato 4 della moltplcazone s somma l rporto 2, n cma alla colonna: 4+2=6 Il rsultato 6 è maggore della base b=5 qund : q =6:5=,resto r =.S pone come cfra sgnfcatva della seconda colonna l resto r = ; mentre l quoto q 2= s rporta n cma alla terza colonna. - S moltplca 4x4=6 3

14 Dott. Ing Paolo Serafn Al rsultato 6 della moltplcazone s somma l rporto, n cma alla colonna: 6+=7 Il rsultato 7 è maggore della base b=5 qund : q 2 =7:5=3,resto r 2 =2.S pone come cfra sgnfcatva della terza colonna l resto r 2 =2 ; mentre l quoto q 2 =3 s rporta n cma alla quarta colonna. - S moltplca 3x4=2 Al rsultato 2 della moltplcazone s somma l rporto 3, n cma alla colonna: 2+3=5 Il rsultato 5 è uguale alla base b=5 qund : q 3 =5:5=3,resto r 3 =.S pone come cfra sgnfcatva della terza colonna l resto r 3 = ; mentre l quoto q 3=3 s rporta n cma alla quarta colonna. - Il rporto 3 sulla qunta colonna determna la cfra sgnfcatva d essa. Il rsultato della moltplcazone è Così s effettu la moltplcazone de due numer n base 5 : 342x 342 base 5 base rporto 342x3 2 2 rporto 342x4 3 3 rporto 342x x = rporto somme prodotto 342x prodotto 342x prodotto 342x S not che: = = = = = = 2534 = 222x97 Per effettuare l operazone occorre lascare uno spazo, lmtato da una lnea tratteggata, al d sopra de due numer da moltplcare, post n colonna, per scrvere rport delle moltplcazone de sngol numer. Un altro spazo occorre lascare tra due numer post n colonna e rsultat delle moltplcazon, ove ndcare rport delle loro somme - S nza a moltplcare la prma cfra 2 d 342 per la prma cfra 2 del fattore 342: 2x2=4 4

15 Dott. Ing Paolo Serafn essendo l prodotto nferore alla base 5 s scrve drettamente l rsultato senza rporto n corrspondenza della prma colonna a destra rspondente a 5 - S moltplca po la prma cfra 2 del fattore 342 per la seconda cfra 4 del fattore 342 della colonna 5 2x4=8 Essendo 8 maggore della base 5, s dvde 8 per detta base: 8:5= con resto 3 s pone l resto 3 come cfra sgnfcatva sulla colonna 5 mentre l quoto s pone come rporto sulla rga al d sopra della lnea tratteggata sulla colonna successva S moltplca po la prma cfra 2 del fattore 342 per la terza cfra 3 del fattore 342 della colonna 2 5 2x3=6 al prodotto va sommato l rporto del prodotto precedente posto sulla rga al d sopra della lnea tratteggata 6+=7 Essendo 7 maggore della base 5, s dvde 7 per detta base: 7:5= con resto 2 s pone l resto 2 come cfra sgnfcatva sulla colonna 2 5 mentre l quoto s pone come rporto sulla rga sopra la lnea tratteggata nella colonna successva S contnua po a moltplcare la prma cfra 2 d 342 per tutte le altre cfre d S passa po a moltplcare la seconda cfra 4 del fattore 342 per cascuna cfra d 342 Così s nza con 4x2=8 Essendo 8 maggore della base 5, s dvde 8 per detta base: - E cos va 8:5= con resto 3 la prma cfra sgnfcatva è l resto 3 che va posta n una rga al d sotto de prodott precedent e una colonna a snstra della prma cfra d dett prodott: colonna d 5. Il quoto va rportato n una rga al dsopra de precedent rport e nella colonna successva a snstra Alla fne s ottengono su rghe successve, dall alto verso l basso, spostate cascuna rspetto all altra d una colonna a snstra prodott d cascuna cfra d 342 per le cfre d Il rsultato del prodotto de due numer s ottene sommando le cfre poste su una stessa colonna d tutte le rghe ottenute. I rport della somma sono post sopra la rga tratteggata 5

16 Dott. Ing Paolo Serafn 3.6 DIVISIONE Sano dat due numer n base b 2 : n m m- ( N ) = a b +...+a b + a b +...a b +...+a b + a b b n m m- ( N ) = c b + c b +...c b +...+c b + c b 2 b m m m- m- La dvsone (N ) b =(N ) b :(N 2 ) b è quel numero (N) b che moltplcato per (N 2 ) b dà come rsultato (N ) b. S opera come nella dvsone normale S prenda ad esempo la dvsone de due numer n base b=7: "42356 : 625" fg..8 S pongano numer nello schema della dvsone, nel quale: l dvdendo è posto nella parte superore a snstra l dvsore a destra, l quoto sotto l dvsore e l resto sotto l dvdendo Le prme tre cfre 423 a snstra del dvdendo sono nferore al dvsore (423<625); occorre qund prendere n consderazone le prme quattro cfre 4235 S può ora dvdere 4235 per l dvsore 625. Per far cò, s rcerca quel numero nferore alla base b=7,tale che, moltplcato per 625 da come rsultato l numero pù prossmo per dfetto al dvdendo 4235 (la moltplcazone è tra numer n base 7) S prov con numer 5 e x x 5 = 4 = rsulta 4364> nferore a 4235 La moltplcazone 625x5 dà come rsultato 4364 maggore del dvdendo Per la moltplcazone s procede come s è esposto 5x5=25 s dvde per la base 7 25:7=3 resto 4 prma cfra sgnfcatva 4 rporto quoto 3 5x2= pù rporto +3=3 s dvde per la base 7 3:7= resto 6 prma cfra sgnfcatva 6 rporto quoto 6

17 Dott. Ing Paolo Serafn 5x6=3 pù rporto 3+=3 s dvde per la base 7 3:7=4 resto 3 prma cfra sgnfcatva 3 rporto quoto 4 l ultmo rporto determna l ultma cfra sgnfcatva: x5+4=4 La moltplcazone 625x4 dà come rsultato 4235 nferore del dvdendo: qund la prma cfra del quoto è 4 S rport l rsultato della moltplcazone per 4 (3436) sotto le quattro cfre del dvdendo e s effettu la sottrazone = 466 S abbassa l 6 del dvdendo, ponendolo accanto a 466 e s ottene 4666 S rcerca l numero che moltplcato per 625 approssm per dfetto 4666 : tale numero è 5 ; nfatt 625x5=4364 Qund la seconda cfra del quoto è 5. S rporta 4364 sotto l dvdendo 4666 e s effettua la sottrazone = 32 che rappresenta l resto della dvsone 4 SISTEMA BINARIO Il bnaro è l sstema d numerazone n base è: b=2 Occorrono solo due smbol. Usualmente vengono scelt caratter : Nel sstema bnaro valgono ovvamente le stesse regole studate per la base b qualsas. Per trasformare un numero da decmale a bnaro s effettuano le dvson multple per 2: rest delle dvson danno le cfre sgnfcatve del numero bnaro cercato. Per numer non elevat s può effettuare la trasformazone a mente. Esempo S debba trasformare l numero 4 n numero bnaro. Convene procedere nella seguente manera: - S determn la potenza d due pù prossma a 4 per dfetto: essa è 2 3 =8 2- S effettu la dfferenza 4-8=6 3- S determn la potenza d due pù prossma a 6 per dfetto: essa è 2 2 =4 4- S effettu la dfferenza 6-4 =2 5-2 concde con 2 6- Il numero è completamente scomposto secondo le potenze d 2. Non s ha nessuna cfra con la potenza 2 Il numero 4 è composto dalle seguent potenze d due

18 Dott. Ing Paolo Serafn corrsponde 4 4. Somma += += += += con rporto d nell'ordne superore Al numero bnaro s può assocare una nterpretazone fsca, come d un parametro che può assumere due stat oppost. Ad esempo lo stato de contatt d un relè o la condzone d accensone e spegnmento d una lampada: Relè ecctato contatto chuso = Relè dsecctato contatto aperto = Lampada accasa = Lampada spenta = La somma d numer bnar corrsponde al parallelo de contatt Infatt, s consderno due contatt n parallelo e s stud l'effetto che l loro stato può avere sull'accensone d un lampada S ndch con lo stato che fa passare la corrente da snstra verso destra e fa accendere la lampadna, con lo stato che nterrompe la corrente Il smbolo "+" ndch l parallelo. S verfca che: fg..9 a Come s può constatare v è una dfferenza nell'nterpretazone della somma + nel funzonamento crcutale del parallelo de contatt rspetto alla somma bnara: += nella nterpretazone crcutale += nella somma bnara ( ma con rporto d nella cfra con potenza d ordne superore) 4.2 Prodotto = 8

19 Dott. Ing Paolo Serafn = = = Il prodotto bnaro corrsponde alla sere d contatt. Infatt, consderando l'effetto sulla accensone della lampada n relazone alla combnazone degl stad che contatt n sere possono assumere. S verfca.: fg..9 b Dfferenza -= -= -= -= con rporto d - nella cfra d ordne superore Esemp T Somma rport = = 4 Inzando dalla prma colonna a destra s ha: Prma colonna Seconda colonna... += l rsultato va sommato a : + = con rporto d sulla colonna successva a snstra. S parte dal rporto e s sommano ad esso le altre cfre della seconda colonna : +++= con rporto d sulla colonna successva a snstra. Qunta colonna Il rporto vene sommato ad della qunta colonna: += con rporto d sulla 6 colonna successva a snstra. Sesta colonna S ha solamente l rporto 9

20 Dott. Ing Paolo Serafn T Moltplcazone rporto delle somme x x 3 = = Post due numer n colonna, s nza a moltplcare la prma cfra a destra "" del moltplcatore per tutte le cfre del moltplcando. x = Il rsultato s pone al d sotto del moltplcatore con le cfre n colonna partendo dalla cfra a destra. S moltplca qund la seconda cfra del moltplcatore per l moltplcando, ottenendo tutte le cfre uguale a. x = Le cfre ottenute s pongono spostate d una colonna a snstra rspetto al rsultato della moltplcazone precedente. S procede nella stessa manera per tutte le cfre del moltplcatore; al termne s sommano le cfre delle colonne ottenute Nella rga superore v sono rport delle somme. T Sottrazone rport negatv = = S nza la sottrazone dalla prma colonna a destra Prma colonna S ha : = con rporto d - sulla colonna successva a snstra. S ottene così come rsultato sulla prma colonna Seconda colonna S consdera la cfra del mnuendo e la s sottrae al rporto: = con rporto d - sulla colonna successva a snstra. Il rsultato ottenuto va sottratto allo del sottraendo = ; s ottene così la cfra come rsultato sulla seconda colonna. 2

21 Dott. Ing Paolo Serafn Terza colonna S consdera la cfra del mnuendo e la s sottrae al rporto: = con rporto d - sulla colonna successva a snstra. Il rsultato ottenuto va sottratto allo cfra del sottraendo: = ; s ottene così come rsultato della terza colonna. Quarta colonna S consdera la cfra del mnuendo e la s sottrae al rporto: = Questo rsultato s sottrae alla cfra del sottraendo: = con rporto d - sulla colonna successva a snstra. S ottene così come rsultato della quarta colonna. Qunta colonna Alla cfra del mnuendo s sottrae l rporto: =. Il rsultato ottenuto non vene posto sulla qunta colonna, n quanto non è sgnfcatvo T 4.3 Dvsone S effettua normalmente come s è proceduto per le dvson n base b. È evdente che nel caso d dvsone d due numer n base bnara le cfre del quoto sono solamente oppure. Da questa osservazone ne vene che rsultat delle dvson parzal sono o oppure fg..2 S consderno le prme tre cfre. Il numero che esse esprmono è mnore d. Occorre qund consderare le prme quattro cfre da dvdere per dvsore : s otterrà come quoto con un resto. Per ottenere l resto s moltplca l quoto per l dvsore x= e l rsultato ottenuto s sottrae alle quattro cfre del dvdendo : Gl zer davant alla cfra non sono sgnfcatv, per cu l resto della dvsone : rsulta 2

22 Dott. Ing Paolo Serafn S abbassa la cfra del dvdendo, successva alla quarta: essa è ; questa vene posta dopo le due cfre sgnfcatve del resto e s ottene. Il numero ottenuto lo s dvde per : v sta volte. S moltplca per : x= e l rsultato va sottratto al dvdendo ottenendo come resto l numero stesso (). S abbassa che posto dopo le tre cfre del resto ottenendo. Il numero ottenuto lo s dvde per : v sta volte con un resto. Per ottenere l resto s moltplca l quoto per l dvsore x= e l rsultato ottenuto s sottrae alle quattro cfre del dvdendo : Se non s procede oltre nella dvsone s ottene: 2 Quoto della dvsone = = 5 Resto della dvsone = = 2 4. Trasformazone Bnaro - Ottale Ottale - Bnaro Il sstema d numerazone ottale ha base 8. Dalla sua conformazone, che s presenta come la terza potenza d due : 8=2 3, ne derva la propretà che ogn gruppo d tre cfre nel sstema bnaro corrsponde ad una cfra n ottale. Per trasformare n ottale un numero bnaro, basta suddvdere questo n grupp d tre cfre, a partre dalla prma a destra, e sostture ad ogn gruppo l corrspondente valore nella base decmale, la quale corrsponde al numero n ottale, n quanto un qualsas gruppo d tre cfre bnare ha un valore nferore a 8 (massmo 7 ) È evdente che gl eventual zer alla snstra delle cfre sgnfcatve del gruppo non sono nfluent sul valore numerco: Per esempo 2 = = 3 corrsponde S abba così l numero bnaro: = = 233 S dvda l numero n grupp d tre cfre a partre da destra e s sosttusca ad ogn gruppo l corrspondente valore n base, che corrsponde anche al numero n ottale. fg..2 S sosttusce: 2 = = 5 22

23 Dott. Ing Paolo Serafn = 3 Il numero n ottale rsulta costtuto dalle cfre: 35 con l sgnfcato: 2 35 = = 233 S ottene lo stesso rsultato del numero bnaro d partenza. Vale la trasformazone nversa. Per trasformare un numero da ottale n bnaro, basta sostture, procedendo da destra verso snstra, ad ogn cfra dell'ottale l corrspondente numero bnaro, completando, se occorre, l gruppo d tre cfre con zer alla snstra delle cfre sgnfcatve del numero bnaro. S debba trasformare l numero ottale 732 nel corrspondente numero bnaro. Il numero ottale 732 corrsponde al seguente numero n base : = = 474 S sosttuscano alle cfre 2, 3, 7 corrspondent numer bnar secondo l seguente schema: fg..22 S sosttusce: 2 = = = Il numero bnaro corrspondente all'ottale 732 rsulta: Infatt detto numero, rportato n base dà come rsultato lo stesso dell'ottale: = = Trasformazone Bnaro esadecmale; Esadecmale - Bnaro Un numero esadecmale appartene al sstema d numerazone n base 6. Questa base è la quarta potenza d due: 2 4 =6, ne vene che l valore d ogn quattro cfre n bnaro corrsponde ad un numero esadecmale. Per trasformare n esadecmale un numero bnaro, basta suddvdere questo n grupp d quattro cfre, a partre dalla prma a destra, e sostture ad ogn gruppo l corrspondente valore nella base decmale, la quale corrsponde al numero n esadecmale, n quanto un qualsas gruppo d quattro cfre bnare ha un valore nferore a 6 (massmo 5 ) Smbol per la numerazone esadecmale Per rappresentare n numer nel sstema esadecmale occorrono 5 smbol oltre quello nullo (). Come smbol s assumono, usualmente, oltre allo zero "" le cfre da a 9 e, dopo quest'ultmo, le prme 6 lettere dell'alfabeto. fg

24 Dott. Ing Paolo Serafn S debba trasformare n esedacmale l numero bnaro : = = 997 S dvda l numero n grupp d quattro cfre partendo dalla prma a destra. fg..24 S sosttusce: = = 4 E = 3 Il numero nel sstema esadecmale è rappresentato da smbol 3 E 5: 2 3 E 5 = = 997 Il numero esadecmale ottenuto dà, ovvamente, lo stesso rsultato nella trasformazone n base del numero bnaro d partenza. Vale la regola nversa per trasformare un numero dal sstema esadecmale a quello bnaro. Per trasformare un numero dal sstema esadecmale n quello bnaro, basta sostture, da destra verso snstra, ad ogn cfra del numero esadecmale l corrspondente numero bnaro, completando, quando occorre, l gruppo d quattro cfre con zer alla snstra delle cfre sgnfcatve del numero bnaro. S abba così l numero esadecmale 4 B 8: 2 4 B 8 = = 28 S sosttusce ad ogn cfra del numero esadecmale l corrspondente numero bnaro, completando a snstra, se occorre, l groppo d 4 cfre con zer. fg..25 S sosttusce: = B = =

25 Dott. Ing Paolo Serafn Il numero dato, nel sstema bnaro è rappresentato da: 4 B 8 5. Alfabeto 5 CODIFICA DELLE INFORMAZIONI Vene defnto Alfabeto un nseme fnto e non vuoto d smbol, tra loro dstnt, denomnat caratter 5.2 Parola Così A = { }, costtusce l'alfabeto bnaro, composto da smbol, S defnsce Parola una successone fnta d caratter, anche con rpetzone, appartenent all'nseme alfabetco prefssato. Il numero bnaro costtusce una parola formata con due smbol dell'alfabeto bnaro. 5.3 Codfca S abba un nseme I d element qualsas, da dover rappresentare e un nseme P d parole ottenute con un alfabeto A. fg..26 S defnsce codfca un procedmento che fa corrspondere bunvocamente ad ogn elemento dell'nseme I una parola dell'nseme P, ottenuta con caratter dell'alfabeto A. Per esempo sa I l'nseme de numer natural. S può far corrspondere a cascuno d ess, bunvocamente, una parola, presa dall'nseme P de numer bnar (parole), qual sono format con caratter dell'alfabeto bnaro: A = {, }, composto da due smbol,. La corrspondenza s ottene, come noto con la regola del polnomo caratterstco: 2 3 ecc. 25

26 Dott. Ing Paolo Serafn 5.4 CODIFICA DEI NUMERI La codfca de numer n bnaro puro non è vantaggosa per l'elevato numero d caratter occorrent per rappresentare numer grand. Occorre porre n rlevo che la memora d un calcolatore è organzzata n celle; n tal modo s possono trattare strnghe d bt d lmtate dmenson. Il prmo multplo del bt è l byte, composto da otto bt: byte=8bt La parola per la codfca può essere formata da uno o pù byte: usualmente 2 o 4 o 5 byte. S hanno così parole d 6 (2 byte) - 32 (4 byte) - 4 (5 byte) 5.4. Indrzzo Ogn otto celle d memora formano un byte. Ogn byte d memora è numerato con un numero naturale partendo da. V è un corrspondenza bunvoca tra byte d memora e numer natural, denomnat ndrzz : ad ogn byte corrsponde un ndrzzo e vceversa. Come s è detto, un certo numero d byte costtusce la parola d conformazone del sstema d memora: v saranno così memore conformate a 2 byte (6 bt) - 4 (32 bt) - 5 byte (4 bt). Essendo byte d memora n corrspondenza bunvoca con numer natural, nasce anche una corrspondenza bunvoca tra le parole d conformazone del sstema e numer natural, multpl del numero d byte costtuent detta parola. I numer natural che sono n corrspondenza bunvoca con le parole, costtuscono loro ndrzz Per charre quanto detto s consder un sstema d memorzzazone a 4byte=32bt. fg..27 Facendo rfermento alla fgura, byte sono n corrspondenza bunvoca con numer natural che nzano da : byte - byte - byte 2 ecc. Le parole, composte da 4 byte sono n corrspondenza bunvoca con numer natural multpl d 4: parola - parola 4 - parola 8 - parola 6 ecc. 5.5 Rappresentazone de numer nter Ogn valore d tpo ntero "nteger" è contenuto n una parola. In una parola d 4 byte=32 bt possono essere dsponbl 2 32 = dsposzon dverse dell'alfabeto bnaro A = {, }, composto da due smbol,; ogn dsposzone può rappresentare un dverso numero ntero, per cu con la confgurazone a 32 bt possono essere rappresentat numer nter dvers. 26

27 Dott. Ing Paolo Serafn Con la confgurazone d memora, contenente parole a n bt s possono rappresentare 2 n numer nter dvers Rappresentazone d numer nter con segno Per semplctà d trattazone s consdera una conformazone con parole a 2byte = 6 bt con la quale s possono rappresentare un totale d 2 6 = numer nter. Per rappresentare numer nter con segno v sono due metod metodo - bt del segno algebrco Il segno algebrco vene rappresentato dal dverso valore assunto dal prmo bt a snstra della parola: Il segno postvo è rappresentato dal bt l negatvo dal bt In tal caso le altre celle d memora (nell'esempo 6-=5) rappresentano numer nter n valore assoluto. In tale rappresentazone v è una ncongruenza nella rappresentazone dello zero. Questo vene rappresentato, assegnando l bt= a tutte le celle determnant l numero ntero n valore assoluto (5 celle), con la prma cella che può assumere, ndfferentemente, due valor oppost : oppure : s hanno due confgurazon d zero + -. Da quanto detto n una conformazone d memora, con parole a 6 bt, una cella, la prma, è rservata ad ndcare l segno, le altre 5 a rappresentare l valore assoluto del numero ntero. Con le 5 celle s possono avere 2 5 = dsposzon dverse, delle qual una è rservata a rappresentare lo zero, sa quando l segno è postvo che negatvo. Ne vene che: Con una parola a 6 bt, oltre lo zero possono essere rappresentat = numer nter postv e altrettant negatv: N S debba rappresentare l numero +8. Il numero è postvo, qund alla prma cella d snstra è assegnato l bt=. Il numero ntero 8 trasformato n bnaro fornsce la parola: n bnaro 8 A tutte le celle a snstra dell'ultma cfra sgnfcatva d s assegna l bt= fg..28 S rappresent l numero -2. Il numero è negatvo, qund alla prma cella d snstra è assegnato l bt=. Il numero ntero 2 trasformato n bnaro fornsce la parola: 27

28 Dott. Ing Paolo Serafn n bnaro 2 A tutte le celle a snstra dell'ultma cfra sgnfcatva d s assegna l bt= fg..29 In una conformazone con parole a 4 byte=32 bt, la prma cella è adbta a ndcare l segno, le altre 3 a rappresentare valor assolut de numer nter, compreso lo zero. Con 3 celle oltre lo zero s possono rappresentare numer nter fno a 2 3 = N metodo - Complemento a due I numer postv s rappresentano con lo stesso metodo addotto nel precedente caso : s pone uno zero nella prma cella rappresentante l segno algebrco postvo e, nelle restant celle, l numero assoluto trasformato n bnaro. S completano le celle alla snstra dell'ultma cfra sgnfcatva con bt= Per ottenere n codce un numero negatvo, rappresentato da una parola a n bt (per esempo 6) s procede nella seguente manera: - S trasforma l valore assoluto del numero ntero dal sstema decmale n quello bnaro, questo occuperà un numero d celle nferore o tutt'al pù uguale a n- ( negl esemp 6 = 5), partendo dall'ultma cella d destra. 2- Alla snstra del numero bnaro s pongono tant bt=, fno ad ottenere, n totale n cfre (compreso l numero bnaro) 3- S determna l complemento a due: Questo s ottene effettuando la dfferenza tra l numero 2, posto sulla n ma colonna e l numero bnaro posto sulle precedent n- colonne. Con questa operazone scuramente la prma cella d snstra assume l valore, ndcante l segno negatvo. Per charezza c s rfersca ad un esempo pratco. S vogla rappresentare, con l complemento a due, l numero negatvo 2 n un sstema a 6 bt "n=6". Il numero bnaro corrspondente al numero assoluto 2 è: n bnaro 2 Alla snstra del numero bnaro s pongono tant fno ad ottenere n totale 6 cfre. S effettua la dfferenza tra l numero 2 posto sulla 6 ma colonna e l numero bnaro, completo degl zer come spegato al punto precedente. fg

29 Dott. Ing Paolo Serafn In pratca, come s può notare dal rsultato dell'esempo, l complemento a due s ottene nella seguente manera: Per effettuare l complemento a due, partendo dalla prma cfra a destra del numero, s lascano nalterat gl fno al prmo, che resta pur esso nvarato, per tutte le rmanent cfre alla snstra d questo s scamba con e vceversa. Esemp Con l metodo del complemento a due s debbano scrvere n codce due numer oppost +44, -44. S trasforma l valore assoluto del numero 44 nel sstema bnaro: n bnaro 44 Il numero postvo n codce s ottene ponendo sulla prma cella a snstra ( 6 ma colonna ) che rappresenta la postvtà del numero; l numero bnaro del valore assoluto s pone sulle ultme celle a destra e nelle restant celle alla sua snstra s assegnano tutt. n bnaro + 44 Per ottenere n codce l numero negatvo "-44" s deve effettuare l complemento a due del suo valore assoluto, espresso nel sstema bnaro. S consdera così l precedente numero che rappresenta +44: Il numero presenta, partendo da destra, due che rmangono nalterat. S lasca nalterato l prmo che s ncontra andando da destra verso snstra; qund, per tutte le altre cfre alla snstra d esso, s scamba con e vceversa. S ottene così: complemento a due Il numero -44 è rappresentato n codce con l complemento a due da: n codce con complemento a due 44 La codfca de numer con l metodo del complemento a due ammette un unco zero costtuto da tutte le celle con la cfra. Per l sstema d codfca de numer nter con segno, medante l complemento a due nella rappresentazone de negatv, s possono trarre le seguent concluson: - In una conformazone d memorzzazone con parole a n bt s possono rappresentare un numero totale d numer nter par a 2 n 2- Nella rappresentazone con segno s ha un solo zero costtuto da n zer () 29

30 Dott. Ing Paolo Serafn 3- I numer postv sono rappresentat con uno zero posto sulla prma casella d snstra; contraddstnguendo questa anche lo zero (), per la rappresentazone de numer postv rmangono a dsposzone le altre n- cfre (celle) 4- Dal punto precedente ne derva che con parole a n bt possono essere rappresentat numer nter fno al valore max 2 n 5- I numer nter negatv sono rappresentat con un posto sulla prma cfra (cella) d snstra 6- I numer nter negatv s ottengono effettuando l complemento a due del numero postvo codfcato 5.6 Decodfca delle parole Per decodfcare una parola rferentes ad un numero postvo occorre consderare che l prmo a snstra contraddstngue la postvtà del numero, le restant cfre rappresentano, nel sstema bnaro, l numero ntero. Il numero ntero s ottene trasformando le cfre sgnfcatve della parola dal sstema bnaro n quello decmale: gl alla snstra delle cfre sgnfcatve non vengono consderate. Per decodfcare una parola rferentes ad un numero negatvo basta effettuare l complemento a due dell'ntera parola e qund trasformare le cfre sgnfcatve dal sstema bnar n quello decmale 5.7 Traboccamento - Overflow La conformazone d un sstema d memora è contraddstnto dal tpo d parola che può essere a bt. Un numero ntero con segno, codfcato, è rappresento da una partcolare parola composta,. S genera una corrspondenza bunvoca tra numer nter con segno e l'nseme delle parole. Da questo modo d rappresentazone n codce de numer nter ne vene che: dalle dverse dsposzon con rpetzone de due smbol dell'alfabeto bnaro A = { } Non possono essere rappresentat numer nter che, trasformat n codce, occupno un numero d cfre (celle) superor a quelle component la parola d conformazone del sstema. Se con un sstema d memorzzazone a n bt s mmette un numero ntero che codfcato occupa pù d n cfre s ha una errore d traboccamento (overflow). Così può avvenre che, nell'effettuare una somma tra due numer nter rappresentabl n codce, l rsultato ha un valore che, codfcato, supera l numero d bt del sstema: s ha n tal caso un errore d traboccamento (overflow). 5.8 Operazone d somma tra numer nter codfcat Per comodtà d trattazone s consderano parole composte solamente da 6 cfre (celle). S suppone che l metodo d codfca de numer negatv sa quello del complemento a due. Con l metodo d codfca adottato s tratta ndfferentemente la somma tra due numer nter dello stesso segno o d segn oppost; e precsamente: - S sommano tutte le cfre delle due parole, compreso quella rferta al segno - Nella parola a 6 element, presa come esempo, la cfra ndcante l segno è la prma a snstra: sesta colonna, partendo da destra. 3

31 Dott. Ing Paolo Serafn 2- L'eventuale rporto a snstra, dalla somma delle ultme cfre ndcant l. segno, vene gnorato. Così nell'esempo con parola a 6 element, vene gnorato l rporto sulla 7 ma colonna. Esemp I Esempo S debbano sommare due numer negatv 7, 6 : 7 + ( 6 ) = 7 6 = 3 S codfchno due numer con parole a 6 element: n bnaro 7 codfca parola a 6 element 7 complemento a 2 n bnaro parola a 6 element 6 codfca complemento a 2 6 S effettua ora la somma de due numer codfcat. rport = Il numero è negatvo essendo la prma cfra a snstra. Per rcavare l rsultato occorre decodfcare l numero negatvo: s deve effettuare l complemento a due complemento a due Le cfre sgnfcatve del rsultato della somma sono. La trasformazone da bnaro n decmale fornsce l numero: 3 2 = = 3 II Esempo Sommare numer -7, ( 3) = 4 n bnaro 7 codfca parola a 6 element 7 complemento a 2 n bnaro parola a 6 element 3 codfca rport = Il numero rsultante è negatvo essendo la prma cfra a snstra. Il valore assoluto, decodfcato, s ottene effettuando l complemento a 2 complemento a due 3

32 Dott. Ing Paolo Serafn S trasformano po le cfre sgnfcatve dal sstema bnaro n quello decmale: 2 = = 4 Il rsultato decodfcato è qund Numer a vrgola moble Per codfcare numer real occorre rappresentare numer format da una parte ntera ed una decmale. I numer rrazonal da codfcare s avvcneranno tanto pù al loro valore vero quanto maggore è l numero d cfre decmal che possono essere rappresentate. Un metodo d codfca che rsponde meglo alle esgenze d codfcazone de numer real è quello a vrgola moble. Il numero, nella codfca a vrgola moble, vene scrtto n forma normalzzata esponenzale, ed è costtuto da cfre sgnfcatve moltplcate per una potenza d. Il numero a vrgola moble è formato da due part essenzal Mantssa Rappresenta la prma parte del numero a vrgola moble ed è formato da un numero fsso d cfre ntere e decmal, costtuent le cfre sgnfcatve. ± x x2 x3... xh, y y... yk Caratterstca È la potenza d per la quale deve essere moltplcata la mantssa per defnre la poszone della vrgola nel numero. ± b b 2.. b n Il numero s presenta nella forma: ± b b b ± x x x xh y y yk 2.. n ,... dove ± x x2 x3... xh, y y... yk rappresenta la mantssa e l'esponente ± b b 2 b n rappresenta la caratterstca. Esempo S fss una mantssa formata da due cfre ntere e 8 decmal. La caratterstca sa formata da due cfre. Il numero +234,562 s scrve l numero -,32 s scrve V sono ovvamente var tp d normalzzazone a seconda delle dverse forme che possono assumere mantssa e caratterstca. Una partcolare normalzzazone è quella d esprmere la mantssa con una parte ntera (zero) e tutte le cfre sgnfcatve nella parte decmale. Il numero s presenta nella forma: ± b ±.... b2.. b y y y n k Dove l punto sta al posto della la vrgola. Così 32,45 s scrve

33 Dott. Ing Paolo Serafn Come per la precedente codfca de numer nter, l numero a vrgola moble codfcato è rappresentato da una parola, con suo element costtuent una partcolare dsposzone con rpetzone de due smbol dell'alfabeto bnaro. Per la codfca sono possbl dverse rappresentazon con adozone d partcolar convenzon. S prende qu n esame una partcolare rappresentazone che adotta le seguent convenzon - S sottntende lo zero della parte ntera e l punto che esprme la mantssa nella forma normalzzata descrtta. Così della forma normalzzata: s sottntendono due caratter "." b ±. y y... y b2 bn k 2- S fssa la lunghezza della mantssa n un numero d cfre costant 3- S lmta l valore dell'esponente d due che serve a rappresentare l numero nel sstema bnaro. Tale esponente vene compreso n un ntervallo fsso: per esempo S somma convenzonalmente all'esponente un numero postvo n modo che l suo valore nell'ntervallo d esstenza rsult sempre postvo Così se s assume come ntervallo d esstenza dell'esponente, affnché questo rsult sempre postvo basta sommare ad esso la costante +64. In tal modo s ha: a- L'esponente mnmo -64 n codce è rappresentato da: = b- L'esponente n codce è rappresentato n codce da: + 64 = 64 c- L'esponente + n codce è rappresentato n codce da: = 65 ±.. Da quanto detto ne vene per esempo che: L'esponente -23 s tramuta n codce nel numero: = 2 Vceversa l numero n codce 25 corrsponde all'esponente: = 39 Così l numero n codce +89 corrsponde all'esponente: = + 25 S consder un sstema d conformazone della parola a 4 byte= 32 bt. S adottno le seguent convenzon per codfcare numer a vrgola moble. Il prmo byte=8 bt della parola rguarda l segno del numero e l valore dell'esponente, e precsamente: a- Il prmo bt rappresenta con numer postv con numer negatv b- Gl altr 7 bt del prmo byte della parola sono rservat a ndcare l'esponente della base 2 per rappresentare la caratterstca, par al numero d cfre bnare che la compongono, che s traduce n codce sommando ad esso la costante +64 La mantssa è rappresentata dagl altr tre byte=24 bt della parola Con 7 bt rservat per codfcare l'esponente, nel sstema bnaro s possono rappresentare 2 7 = 28 numer compreso lo zero. 33

34 Dott. Ing Paolo Serafn In codce l'esponente zero della base 2 è rappresentato da + 64 = 64. Questo trasformato n numero bnaro dà. S osserv che l'esponente della base 2 (2 ) è rappresentato da +64=65 che tradotto n numero bnaro è Il numero è rappresentato n codce nella seguente manera: a- S pone sul prmo bt (prma cella) rappresentante l segno. b- Sulle altre 7 cfre del prmo byte s pone l numero bnaro corrspondente 64, che, n codce, rappresenta l'esponente ( = ) c- S pone zero "" su tutt gl altr bt de tre byte rappresentant la mantssa. fg..3 Se l'esponente zero, n codce è rappresentato dal numero 64 trasformato n bnaro: tutt gl esponent postv sono rappresentat da numer bnar con 7 cfre avent la cfra fssa sul 7 m o bt a snstra. Il numero d esponent postv che s possono rappresentare sarà la metà meno del numero d dsposzon con rpetzone de due smbol, che s possono ottenere con le 7 celle: = = 64 = occorre toglere tenendo conto che una delle combnazon "" è rservata a rappresentare l'esponente L'altra metà delle dsposzon, che s possono ottenere con le 7 celle rservate alla codfca dell'esponente, content la cfra fssa sul 7 m o bt, vene utlzzata per rappresentare gl esponent negatv. S possono così rappresentare gl esponent negatv fno a: = = Il mnmo esponente codfcable è qund -64. Per codfcarlo s aggunge +64 ottenendo: = L'esponente -64 è rappresentato da Esempo 34

35 Dott. Ing Paolo Serafn S trasform l numero +243,57 nel numero a vrgola moble secondo la codfca consderata con parole a 32 bt. Occorre trasformare l numero dal sstema decmale n quello bnaro. Dato che l numero è abbastanza grande, convene prma convertrlo n esadecmale e da questo po n bnaro. Trasformazone parte ntera fg = 243 esadecmale La parte ntera n esadecmale è 243 F3 Trasformazone parte decmale fg..32 Termnando la trasformazone alla 4 cfra s ha l numero approssmato: = Con approssmazone. 57 esadecmale. 9EB esacecmale Il numero 243,57 nel sstema esadecmale è 243, 57 F3. 9EB S trasform l numero da esadecmale n bnaro: F 3. 9 E B. n bnaro 243, 57, Tale cfra sgnfcatva del numero bnaro va a rempre le celle de tre byte=24 bt della parola rservat per memorzzare l numero. La caratterstca è l numero d cfre della parte ntera del numero bnaro, par al numero d celle a snstra della vrgola e rappresenta l'ottavo esponente d due compreso lo zero. Nel caso n esame la cfra ntera è composta da 8 cfre. Al numero 8 va sommato = 72 tradotto n bnaro s ottene 72 n bnaro La caratterstca è 35

36 Dott. Ing Paolo Serafn Il numero da codfcare (+243,57) è postvo, qund l prmo bt a snstra è Il numero +243,57 n codce forma la seguente parola: fg..33 Vceversa s debba trasformare n base l seguente numero n codce fg..34 Il prmo bt è, qund l numero è negatvo. La caratterstca è espressa dal numero Il numero d cfre n bnaro è 73-64=9 corrsponde a 73 delle cfre sgnfcatve se ne prendono 9 a snstra prma della vrgola, Convene suddvdere l numero n grupp d 4 per trasformarlo n esadecmale, C F, A l numero nel sstema esadecmale è: -CF,462A; trasportandolo nel sstema n base s ottene: CF,462A = = 463, Altro metodo d codfca Un altro modo d codfcare numer real a vrgola moble è l seguente. S assuma una parola d 5 byte= 4 bt Le regole d codfca possono essere le seguent: 36

37 Dott. Ing Paolo Serafn - Il prmo byte è rservato con tutt suo 8 bt alla memorzzazone dell'esponente della base 2 del numero n codce bnaro. Con gl 8 bt s possono memorzzare 8 2 = numer compreso lo zero. 2- Metà de numer che s possono memorzzare, "28", rappresentano quell con segno negatvo, partendo da -; l'altra metà rappresentano lo zero "" e successv 27 numer postv. 3- Affnché l'esponente(la caratterstca) sa sempre espresso da un numero postvo, s somma ad esso, convenzonalmente, la costante Dalle precedent convenzon ne vene che lo zero della caratterstca è espresso n bnaro da: sommando 28 n bnaro + 28 = 28 Il mnmo numero negatvo della caratterstca è 28 e, sommando ad esso la costante +28, è rappresentato da: sommando 28 n bnaro = Il massmo numero postvo della caratterstca è + 27 e, sommando ad esso la costante +28, è rappresentato da: sommando 28 n bnaro = 255 La caratterstca è espressa da un numero dell'ntervallo Gl altr 4 byte=32 bt della parola sono rservat alla codfca del segno del numero e alla mantssa e precsamente: Il prmo bt alla snstra è rservato al segno del numero: per numer postv per negatv. I restant 3 bt sono rservat alla codfca del valore assoluto della mantssa. 6- Convenzonalmente la mantssa vene scrtta omettendo l prmo bt= sgnfcatvo a snstra: lo s sottntende nella codfca occorre po aggungerlo nella decodfca. S consder l numero codfcato secondo le suddette regole fg..35 L'esponente n bnaro corrsponde a 34, toglendo 28 s ottene: Esponente base = 6 I restant 4 byte sono compost da Il prmo bt d snstra è, qund l numero è postvo. 37

38 Dott. Ing Paolo Serafn Tolto l prmo bt ndcante l segno (n questo caso ) occorre aggungere l prmo bt sgnfcatvo sottnteso nella codfca ottenendo: Occorre ora porre la vrgola dopo le prme 6 cfre (par all'esponente). S ottene, Il numero n bnaro è che corrsponde a: = 55 5.Overflow e underflow Se nel calcolo con numer a vrgola moble l rsultato d una operazone produce un numero la cu rappresentazone comporterebbe una mantssa con numero d bt superor al sstema, questa vene troncata ottenendo un numero approssmato. Se nel calcolo s ottene un numero l cu esponente supera la caratterstca della parola d sstema s ottene un traboccamento "overflow" e l computer non può produrre l rsultato: l programma s blocca producendo n uscta un messaggo d errore. Cò avvene anche se l'esponente rsulta molto pccolo: s ha n tal caso l fenomeno d underflow. 5.CODICI Sono stat studat var codc con qual agl element d un nseme s fa corrspondere bunvocamente una parola composta da element dell'alfabeto, usualmente bnaro o esadecmale. 5.. Codce BCD (Bnary Coded Decmal) È un sstema d codfca numerco con l quale ad ogn elemento dell'nseme delle cfre del sstema decmale {,, 2, 3, 4,. 5, 6, 7, 8, 9} s fa corrspondere la parola d 4 element, ottenuta cambando la cfra decmale nella corrspondente bnara. La parola è composta da 4 element dell'alfabeto bnaro A = {, } Così l numero 543 vene codfcato tramutando ogn sua cfra n una parola d 4 bt che ne esprme l valore bnaro: fg..36 nel codce BCD 547 Decmale B CD

39 Dott. Ing Paolo Serafn Codce eccesso a tre Come per l codce BCD e cfre da a 9 del sstema decmale vengono codfcate con parole d 4 bt dell'alfabeto bnaro. Nella codfca con eccesso a tre s somma 3 alla cfre da codfcare e po l rsultato lo s tramuta nel corrspondente valore bnaro. In tal modo, la cfra corrsponde a 3 e l'ultma cfra 9 a 2. S ottene così la seguente tabella d codfca Decmale Eccesso a tre codce eccesso a 3 Così l numero 953 n codce dvene: Codce Gray Il codce Gray ha la caratterstca che ogn parola che esprme un numero dffersce dalla precedente per l cambamento d un solo bt. Questa propretà verrà utlzzata negl encoder assolut ne qual s fa corrspondere ad una poszone angolare o lneare una parola d un certo numero d bt. Perché non v sa ambgutà d lettura de bt è bene che ogn poszone che può essere letta dffersca dalla precedente per un solo bt. fg

40 Dott. Ing Paolo Serafn S not che cò non avvene con la codfca n bnaro puro. S consderno per esempo le due poszon successve contraddstnte dalle due parole corrspondent a due numer 5 6 : s alla parola passa dalla parola con l cambamento contemporaneo d 4 bt. S consder una codfca con parole a 4 bt. Ogn parola d codfca d un numero decmale n codce Gray s ottene dal corrspondente numero bnaro nel quale ogn cfra vene sommata con quella posta alla sua snstra trascurando l rporto: n tal modo += senza rporto. Per charezza s codfch l numero 6 nel codce Gray con parole a 4 bt: nel codce bnaro 6 S nz dalla prma cfra d destra. cfra n bnaro: S sosttusce al posto della cfra la somma d essa con che s trova alla sua snstra: += 2 cfra n bnaro: S sosttusce al posto della cfra la somma d essa con che s trova alla sua snstra: += 3 cfra n bnaro: S sosttusce al posto della cfra la somma d essa con la cfra che s trova alla sua snstra: += 4 cfra n bnaro: Resta la cfra n quanto alla sua snstra non v sono pù cfre n codce Gray In codce Gray l numero 5 s tramuta: Codce ASCII È un codce studato per rappresentare oltre a numer, anche altr caratter : lettere mauscole e mnuscole, segn d operazon ecc. Inoltre sono codfcate partcolar struzon. 4