DALLA TEORIA DEGLI ERRORI AL TRATTAMENTO DEI DATI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "DALLA TEORIA DEGLI ERRORI AL TRATTAMENTO DEI DATI"

Transcript

1 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat DALLA TEORIA DEGLI ERRORI AL TRATTAMENTO DEI DATI LA MISURA DELLE GRANDEZZE Nel descrere fenomen, occorre da un lato elaborare de modell (coè delle relazon matematche fra le grandezze, che consentano d descrere e preedere l fenomeno) e dall altro dars degl strument per erfcare l grado d approssmazone d queste elaborazon (essenzalmente nterrogando la realtà fsca, coè msurando grandezze). In natura c sono delle quanttà dfferent tra loro, ma che, all nterno della stessa spece, possono essere poste n relazone tra loro. S defnsce grandezza tutto cò d cu s può dre che è pù o meno rspetto a qualcosa della stessa spece: un tronco pù lungo d un altro, una quanttà d acqua meno rleante d un altra... Una grandezza è una caratterstca che ene rconoscuta come comune n sngole concretzzazon d concett che nascono dall osserazone della realtà....dces msura d una grandezza... qualsas metodo con cu s stablsca una corrspondenza unoca e recproca fra tutte le grandezze d un determnato genere e tutt numer nter, razonale e real secondo l caso... la msurazone rchede una relazone uno - uno tra l numero e le grandezze n questone: relazone che può essere dretta o ndretta... secondo le crcostanze (Bertrand Russel, I prncp della matematca) Quando s effettua la msura d una quanttà d grandezza lo scopo dell operazone è quello d assocare n modo unoco un numero alla quanttà d grandezza sottoposta all'operazone d msura. Quanttà d grandezza e msure deono corrsponders unocamente. Ad ogn quanttà d grandezza dee coè corrspondere una ed una sola msura e ad un numero dee corrspondere, nell'ambto della stessa classe d grandezza, una ed una sola quanttà d grandezza. Una grandezza può essere msurata con: - osserazon drette: quelle nelle qual s conta quante olte la grandezza campone è contenuta nella grandezza osserata. Un esempo d determnazone

2 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat dretta è la msurazone d una lunghezza con un nastro metrco. - osserazon ndrette: quelle che permettono d ottenere la msura d una grandezza msurandone altre. Sono defnte da un legame funzonale che lega una grandezza ad altre drettamente msurabl. (es: area l x l ). - osserazon condzonate: quelle che deono soddsfare aduna determnata equazone d condzone (es: somma angol nternd un trangolo 80 ). L INCERTEZZA DELLA MISURA L esgenza d ntrodurre l ncertezza nasce da una osserazone spermentale: la rpetzone della msura d una medesma grandezza n talune condzon porta a rsultat ders, sa pure tutt raggruppat n un nterallo lmtato. Per rdurre ad un unco alore la molteplctà d numer che s rferscono ad una stessa quanttà d grandezza, s deono cercare le cause che generano questa arabltà d rsultat della msura rpetuta e defnre delle modaltà per rcaare un unco alore dalla molteplctà de alor ottenut medante le operazon d msura rpetute. Tal cause engono ndduate n due possbl categore, una legata pù propramente a lmt mpost dagl strument con cu le operazon d msura engono effettuate, l'altra legata all'ambente n cu tal operazon hanno luogo. S defnsce sensbltà d uno strumento la pù pccola quanttà d grandezza msurable unocamente con esso. Esemp: per un rghello mllmetrato la sensbltà è mm; per una blanca con scala graduata n gramm la sensbltà è grammo. S defnsce precsone d uno strumento l rapporto tra la sensbltà dello strumento e la massma quanttà d grandezza (range) che lo strumento può msurare. La precsone è qund un numero admensonale; s dce che la precsone d uno strumento è tanto maggore quanto mnore è l numero che la esprme. Esemp: una rga d metro con suddsone n mllmetr ha una precsone d mm mm una blanca che può pesare una massa d enttà massma d 0 kg e aente una graduazone n gramm ha un precsone d g g

3 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 3 Per l fatto d essere admensonale, la precsone c permette d confrontare l'accuratezza d msure d derso tpo che nterengono nella determnazone d una grandezza msurata ndrettamente. Esempo: Una termometro per la msura corporea ha un range da 34 a 4 con graduazone n grad ha una precsone d g 0.04 ; 70g un metro estensble d m con suddsone n mm ha una precsone d mm ; 000mm s può affermare che l metro estensble sa pù precso. Una delle cause che crea la mancanza d unoctà su alor ottenut nel rpetere la msura d una stessa quanttà d grandezza, rsede nel fatto che generalmente no usamo gl strument pretendendo d aumentare con operazon d stma la sensbltà, oppure con operazon rpette la precsone. Ad esempo msuramo una lunghezza con un rghello mllmetrato e stmamo decm d mllmetro se la lunghezza non rsulta uguale ad un numero fnto d mllmetr. Oppure msuramo una lunghezza d decne d metr rportando pù olte una rga d un metro, commettendo delle mprecson. Quest due fatt, coè usare uno strumento al d fuor del suo campo d precsone, pretendere d aumentarne la sensbltà con un'operazone d stma, esempo: s msura una lunghezza con un rghello mllmetrato e s stmano decm d mllmetro se la lunghezza non rsulta uguale ad un numero fnto d mllmetr. Oppure s msura una lunghezza d decne d metr rportando pù olte una rga d un metro, commettendo delle mprecson. ntroducono nell'operazone d msura de fattor soggett, coè dpendent dal modo d esegure la msura da parte dell'operatore; quest fattor non s mantengono costant al rpeters dell'operazone d msura. Questo causa una dspersone de alor numerc che rappresentano l rsultato delle msure. Spesso s cerca d aumentare la precsone d uno strumento con operazon d stma e d rporto, ma è propro questa la causa degl gl error. Esempo: s uole msurare la lunghezza d una trae rettlnea con un metro graduato n mllmetr. Se la trae è lunga ders metr, la arabltà de rsultat nasce almeno da due cause: a) samo costrett a rportare pù olte lo zero del metro;

4 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 4 b) se alutamo la lunghezza al mllmetro, dobbamo stmare a quale tacca della graduazone corrsponde l estremo della trae. In ogn rpetzone del processo rport e la stma sono soggett a fluttuazon accdental che generano percò pccole arazon nel alore fnale stmato della lunghezza. Notamo che: - tanto maggore è l numero d rport, tanto maggor saranno le dscordanze fra le rpetzon della msura; - se la trae fosse lunga meno d un metro, non occorrendo rport, le msure dfferrebbero al pù per mm. Tal consderazon c mpongono d abbandonare l concetto d alore che una grandezza come enttà a se stante: s dorà sempre esprmere l rsultato d ogn operazone che msura assocando al alore numerco la alutazone dell ncertezza con cu esso è stato rcaato. A fanco al concetto d precsone s troa l concetto d accuratezza nteso come la concentrazone d msure rpetute. La msura ottmale dorà oamente essere precsa ed accurata Esstono, accanto alle fluttuazon accdental, anche le cosddette cause sstematche d errore, la cu natura emerge charamente consderando l modello usato per descrere l fenomeno. IL MODELLO Ogn descrzone matematca d un fenomeno fsco, utlzzata per esprmere l alore che un a data grandezza n funzone d altre grandezze o parametr, dee rcorrere a semplfcazon. Il modello dee essere percò: a) l pù semplce possble, perché sa utlzzable faclmente (non rcheda la conoscenza o la msura d tropp parametr); b) complcato quanto necessaro, n relazone alla approssmazone (ncertezza) che s rchede a alor predett dal modello stesso. Nel modello s dstnguono una componente funzonale ed una stocastca, che sono strettamente connesse: ) la componente funzonale descre analtcamente la relazone fra la grandezza osserable ed parametr (fsc, geometrc) che sono ad essa collegat. La rleanza, l numero ed l ruolo d quest parametr entro l modello dee essere alutato n relazone alla ncertezza da ottenere nella stma della osserazone: n funzone d

5 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 5 tale alore, potranno assumere mportanza o meno effett d tpo sstematco che possono essere modellzzat. ) la componente stocastca del modello é nece legata al complesso delle cause d arabltà del alore osserato che non s ncludono esplctamente nel modello funzonale: essa tene conto coè della dspersone delle msure douta a cause, dette accdental, che sfuggono ad una modellzzazone analtca o che s decde d non modellzzare analtcamente perché troppo complesse. Esempo: consderamo la msura d una dstanza pana L con una bndella centmetrata, lunga 50 m. Il coeffcente d dlatazone termca della bndella è b0-5 C - e la temperatura nell ambente d msura è d 0 C superore a quella rspetto a cu la bndella è stata graduata. S consder che l coeffcente d allungamento del materale 5 costtuente la bndella è a 5 0 kg e che la tensone applcata n fase d msura è d 5 kg. Le corrspondent arazon d lunghezza della bndella sono qund par a 5 L b T 50m 0 C 0 C cm 5 L a F 50m 5kg 5 0 kg, 5cm E edente che se oglo msurare con ncertezza cna al cm deo tenere conto della deformabltà della bndella, coè n sostanza deo correggere alor msurat L oss delle quanttà L e L. Il modello funzonale denta percò L b T a F L oss ( ) doe L oss rappresenta la stma d L, coè la alutazone della lunghezza ottenuta n base alle msure fatte. Il modello funzonale nclude qund due effett sstematc (la dlatazone termca e l allungamento douto alla forza applcata), consderat lnear, che rchedono d conoscere alor d b ed a, oltre alla msura d T ed F. Osserazon:. In condzon ambental stabl e con forza applcata costante, se non correggo ottengo una lunghezza L oss maggore d L (lunghezza effetta): commetto coè un errore d stma della grandezza a cu sono nteressato. La caratterstca d questo errore, che dpende da F e T, è l fatto che posso preederne l enttà, perché sono n grado d descrerlo analtcamente: errore sstematco. Supponamo d oler msurare una lunghezza per cu sa necessaro l rporto. Eseguamo derse sere d msure, arando n modo casuale da una sere all altra le condzon ambental e le forze applcate, senza correggere le osserazon. Ottengo allora una dspersone d rsultat assa maggore rspetto al caso precedente, n cu

6 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 6 alor osserat sono ds n tant gruppett, cascuno corrspondente ad una sere d msura: se aro n modo accdentale le condzon ambental e la forza, queste cause assumono, se non corrette, un comportamento d tpo accdentale, poché aumentano la dspersone delle osserazon. Pertanto la dstnzone fra comportamento sstematco ed accdentale, pur chara concettualmente, all atto pratco dpende dalle condzon specfche. Spesso, quando è presente un comportamento sstematco che tuttaa non s resce a correggere (ad esempo perché non é noto l alore d un parametro da cu esso dpende), l unca alternata è propro quella d rendere artfcalmente accdentale l sstematsmo, rpetendo pù olte la msura. Nelle operazon topografche gl strument mpegat, le condzon operate e ambental, le modaltà d msura sono tal per cu l ncertezza d msura dee quas sempre essere consderata. S pone pertanto l problema d un corretto trattamento de dat rleat. FENOMENI ALEATORI C sono fenomen l cu esto non è preedble a pror. Ad esempo: - l rsultato del lanco d un dado; - la msura d una lunghezza; - l peso d uno studente scelto a caso. Per quanto ncapac d preedere con esattezza l rsultato del sngolo eento, samo però n grado edenzare delle regolartà, d descrere un comportamento n meda. Nel caso che pù nteressa l rleo, oero la msura d grandezze, l affermazone appena fatta mplca l assunzone che la arabltà (oero l ncertezza) d msura d tpo accdentale possa essere descrtta a pror da un meccansmo d tpo probablstco, coè che le oscllazon de alor osserat sano rappresentabl come estrazon da una arable casuale. Le dscplne che studano come descrere e nterpretare fenomen aleator sono:. la teora della probabltà: essenzalmente dedutta, nsegna a costrure le probabltà d eent compless a partre da un modello stocastco noto.. la statstca: d tpo ndutto, cerca d rcostrure un modello stocastco a partre da eent gà realzzat; essa s artcola n: - teora della stma (la rcerca della mglor stratega d nterrogazone della realtà per estrarre nformazon sul fenomeno); - nferenza, coè nella erfca d potes sul modello nterpretato del fenomeno, erfca che, necessaramente, s effettua sulla base d dat estratt dal fenomeno.

7 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 7 Defnzon: arable aleatora o stocastca: una enttà, numerca o non, che può assumere uno solo tra tutt alor d un nseme, ed a cascuno de qual è assocata una probabltà. arable statstca: una enttà che, nelle osserazon effettuate sulle untà che costtuscono la popolazone, ha assunto pù alor, frequentemente ders tra loro. S defnsce noltre: a) popolazone l'nseme d N untà statstche o nddu che possedono tutt una stessa caratterstca che s presenta n quanttà dfferent; b) attrbuto la caratterstca suddetta (oggetto della rleazone); c) alor argomental dfferent alor dell'attrbuto che possono presentars negl nddu della popolazone; d) frequenza assoluta l numero degl nddu che hanno lo stesso alore argomentale; e) frequenza relata l rapporto tra la frequenza assoluta ed l numero totale degl nddu della popolazone. Una arable statstca può essere rappresentata grafcamente medante l stogramma. La rpetzone delle msure o rdondanza E necessaro sottolneare che condzone necessara per applcare un trattamento statstco alle msure è la rpetzone delle osserazon (rdondanza). Analtcamente la rdondanza è data da: r n m con n numero delle osserazon e m numero delle ncognte CLASSIFICAZIONE DEGLI ERRORI Come abbamo sto se msuramo una grandezza pù olte, otterremo una sere d msure, che, causa gl error sempre present nell atto del msurare, dfferranno fra loro. - error grossolan: quando n una sere d msure s ha un alore che s dscosta nettamente. Sono dout essenzalmente alla dsattenzone o alla poca perza dell osseratore. S mettono n edenza e s elmnano eseguendo un numero esuberante d msure per poter n seguto esegure delle erfche ( esempo; trascrzone errata d una msura, ); - error sstematc o bases: s manfestano regolarmente al rpeters delle msurazon e sono da mputare a are cause, qual dfett strumental. Per correggerl

8 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 8 s rcorre a legg determnstche (error d ertcaltà, error nel consderare lo zero della cordella metrca, ) 3- error accdental o random errors: s presentano con ammontare derso ad ogn msura, spesso non preedbl. Non sono elmnabl ma rducbl aumentando la precsone dello strumento, oppure rpetendo l operazone. Per correggerl s rcorre a legg statstche e costtuscono l campo d applcazone della teora degl error, la quale ha come duplce scopo quello d: a) trarre una sere d osserazon d una grandezza un alore da assumere che, tra tutt quell deducbl, da l massmo affdamento, ossa abba la massma probabltà d concdere con un alore ero; b) stablre un crtero globale per gudcare la precsone delle osserazon esegute e l alore assunto dalla grandezza osserata, aendo constatato che gl error accdental non s elmnano, ma s compensano. PARAMETRI STATISTICI Consdereremo le nostre sere d msure affette da sol error d tpo accdentale. Aere una sere d dat nzal comporta la necesstà d troare certe caratterstche numerche che rassumono fedelmente le nformazon contenute ne dat e che s prestno bene a calcol. Quest alor, destnat a rappresentare dat nzal d una sere d msure, deono permettere calcol ulteror e rappresentare dat nzal; ess engono appunto dett parametr statstc della sere n oggetto. Un parametro statstco è tanto pù effcace quanto meglo rassume l contenuto nformato de dat nzal con la mnor perdta d nformazon e quanto meglo s presta a calcol ulteror e test. I parametr statstc pù effcac sono: la meda artmetca de dat; la aranza o la deazone standard. Quest due parametr sono quell che contengono la maggor quanttà d nformazon utl. La MEDIA è l alore centrale attorno a cu oscllano alor troat. µ X f N Essa racchude solo una parte dell nformazone su dat perché le manca una caratterstca essenzale, quella coè d non drc come alor oscllano ntorno a le. Vene defnta un ndce d poszone perché ndca la poszone del alore centrale sulla scala de alor. Esstono altr ndc d poszone come:

9 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 9 la MODA, che rappresenta l alore pù frequente della dstrbuzone la MEDIANA che rappresenta l alore centrale della dstrbuzone, come rsulta dopo l rordno della popolazone. La VARIANZA msura la dspersone de alor attorno alla meda, e dera da consderazon matematche. La aranza, che s ndca generalmente con la, la defnamo matematcamente come la somma de quadrat degl scart ds per l numero de grad d lbertà. ( µ ) x f N A dfferenza della meda, la aranza ene defnta un ndce d dspersone, perché ndca come le osserazon sono concentrate attorno ad un alore. Un altro parametro ntuto è lo SCARTO (o deazone standard), oero la dfferenza fra un generco alore della sere e l alore medo. La DEVIAZIONE STANDARD o SQM altr non è che la radce della aranza. Rassumendo: Meda µ X f N Varanza x f N Deazone standard o sqm Errore standard della meda o eqm della meda m N doe f frequenza relata N popolazone X osserazone x scarto

10 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 0 Esempo: calcolo del alore dell altezza d un ano. Nel nostro caso è: Popolazone: 7 msure Attrbuto: altezza del ano Valor argomental:.75; ;.7;.685;.70 Osserazon X [m] Scarto x (X - µ) [m] Scarto al quadrato x,75 0,0 0,00049,705 0,00 0,00000,690-0,03 0,0007,75 0,0 0,0005,700 0,003 0,0000,685-0,08 0,0003,700-0,003 0,0000 sommatora Σ: 8,90 sommatora Σ x : 0,000 sommatora Σ x : 0,004 meda µ [m],703 aranza [m²] 0,0009 moda [m],700 sqm [m] ± 0,006 medana [m],700 I grad d lbertà S defnsce Sere d msure ndpendent: una sere n cu nessun alore può essere dedotto dalla conoscenza degl altr alor. Sono coè ndpendent fra loro. Se le msure sono n e ndpendent, grad d lbertà sono parment n. S consderno gl scart x : n una sere l ultmo è determnato e può essere calcolato a partre da prm alor perché la somma algebrca degl scart dee essere uguale a zero. Percò, nella sere d n scart n- alor sono ndpendent fra loro, oero grad d lbertà della sere scart sono n-. Passando dalla sere msure alla sere scart s perde sempre un grado d lbertà. I grad d lbertà esprmono l numero d dat effettamente dsponbl per alutare la quanttà d nformazon contenuta n ess. Non è l numero totale de dat che conta, ma l numero de dat ndpendent. quando un dato non è ndpendente le sue nformazon potenzal sono gà present negl altr dat.

11 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat Una sere d msure come campone d una propagazone Una sere d msure altr non è che un campone preso dalla popolazone delle msure possbl d una grandezza, che sono nfnte. Fno a che punto l campone esprme le caratterstche della popolazone orgnara? L esperenza ha dmostrato che la maggor parte delle msurazon possono consderars estratte da popolazon d orgne dstrbute normalmente. In una dstrbuzone normale: uno de alor apparrà con frequenza massma, alor pù bass o pù alt d questo comparranno con una frequenza tanto mnore quanto s allontanano dal alore pù frequente. Rsulta lecto pors l questo d troare un tpo d funzone f(x) che nterpol bene gl stogramm (andamento arable causale normale) e che possa essere consderata come la funzone della dstrbuzone delle probabltà della arable causale d meda µ e aranza assocable ad una qualsas popolazone d msure possbl. La funzone f(x) che rsulta pù donea a questo scopo, è la cura d Gauss, che ha la seguente espressone: f ( x) e π x µ doe µ e sono rspettamente meda e aranza della arable causale. Possamo pertanto concludere che: - dat una certa quanttà d grandezza da msurare, lo strumento d msura e l'ambente n cu s opera, s genera una popolazone d msure possbl; - questa popolazone d msure è rappresentable con una arable casuale contnua, defnta tra - e +, che ha una meda µ, uno scarto quadratco medo ed una dstrbuzone d probabltà defnta dalla espressone della cura d Gauss.

12 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat frequenze relate x n-k µ xn+k alor Fg : cura gaussana e dstrbuzone degl error La cura normale, detta cura o dstrbuzone d GAUSS ha una forma a campana ed è smmetrca rspetto al alore d massma frequenza. E computamente nota quando s conoscono l ascssa della sommtà della cura, che è l alore medo, e la dstanza da questo de punt d flesso della cura, smmetrc a destra e a snstra della meda, che altr non sono che la deazone standard. La fgura mostra la dstrbuzone normale d una popolazone con meda µ e deazone standard ±. I alor che s allontanano dalla meda sono pù rar d quell ad essa cn. L espressone matematca della cura, che è asntotca, c dce che tutt gl nddu della popolazone stanno sotto la cura tra - e + + la probabltà che un ndduo preso a caso fra la popolazone present un alore compreso entro un nterallo assegnato è data dal calcolo dell area sottesa dalla cura n quel nterallo. Quest alor sono contenut n apposte taole. Per esempo l 68,6% della popolazone s troa nell nterallo µ ±, l 94,44% fra µ ±, l 99,73% fra µ ± 3, l 00% fra µ ±.

13 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 3 La stma d µ e d S può dedurre che è possble stmare alor pù probabl d µ e. La mglor stma della meda µ della popolazone è la meda artmetca X La mglor stma della deazone standard della popolazone è la deazone standard S del campone. L errore standard della meda Negl esercz precedent s sono rappresentat parametr statstc X e S del campone estratto dalla popolazone delle msure possbl. Supponamo ora d estrarre dalla popolazone un altro campone d se msure e calcolamo la meda X (pure essa una stma d µ): l suo alore sarà leggermente derso da X. Procedamo analogamente ottenendo un altro campone d se nddu e qund una meda X e così a. Se rpetessmo nfnte olte questa operazone otterremmo una popolazone d campon cascuno con l suo alore della meda. Esste un teorema fondamentale che dce che : Se una popolazone è dstrbuta normalmente con meda µ e deazone standard, le mede d un numero nfnto d campon, cascuno composto da n nddu estratt a caso dalla popolazone, s dstrbuscono secondo la cura normale la cu meda è µ e la cu deazone standard è n. m frequenze relate Dstrbuzone d mede d campon d alor Dstrbuzone d mede d campon d 6 alor Dstrbuzone de dat nddual µ - alor Fg : Cura d Gauss: nddu e mede de campon Le mede calcolate a partre da un campone oscllno molto meno attorno alla meda

14 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 4 d quanto non faccano gl nddu che costtuscono l campone. Quanto è maggore la dmensone del campone oero l numero n d nddu che lo compongono, tanto mnore è la dspersone delle mede attorno al alore ero. Al lmte, quando µ ±, la deazone standard tende a zero e qund la meda stmata tende alla meda era oero alla msura era. SCARTO QUADRATICO MEDIO E TOLLERANZA Data qund una sere d osserazon, l calcolo dello scarto quadratco medo s.q.m., oltre a fornre l grado d precsone, tramte l equazone ± x con cu s sono n effettuate le msure, stablsce anche lmt, dat dall nterallo µ 3 < X < µ + 3, oltre qual gl error non potranno pù essere consderat come accdental e pertanto trattat come tal. Per questo moto l alore: t3 è chamato tolleranza e tutte le osserazon, cu scart superano tale alore, doranno essere scartate dalle msurazon n quanto probablmente affette da error materal (grossolan). Pertanto fssare la tolleranza n un rleo sgnfca fssare la massma quanttà n cu una msura può dscostars dal alore della meda (alore pù probable) n pratca sgnfca fssare l'ampezza dell'nterallo d dspersone delle msure. Se, ad esempo, ene rchesto d determnare la quota d un punto con la tolleranza d ± cm, questo sgnfca che s dorà operare con una metodologa tale per cu la popolazone d msure possbl sa tutta contenuta entro un nterallo che a da - cm a + cm nell'ntorno del alore µ, che possamo chamare quota gusto del punto n questone. Ma, per ottenere questo rsultato, le operazon doranno essere ottmzzate per ottenere un s.q.m. par a ± cm. 3 Generalmente d un metodo d msura o d uno strumento s dà l s.q.m. a pror. S dce ad esempo: con questo teodolte s possono msurare gl angol con s.q.m ± " d errore, ntendendo con questo che s può sbaglare nella determnazone dell'angolo anche d 6". Imporre l's.q.m. sgnfca mporre anche le condzon d accdentaltà degl error e della loro dstrbuzone gaussana. Vceersa se s mpone la tolleranza s dee accettare un laoro anche se s constata che gl error n esso present, pure essendo tutt nferor alle tolleranze, sono tutt dello stesso segno e, come alore assoluto, tutt poco al d sotto della tolleranza.

15 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 5 PROPAGAZIONE DELL ERRORE Abbamo sto come la meda e la aranza d una arable casuale monodmensonale sano n grado d rappresentarne l barcentro e la dspersone. In topografa però raramente s msura drettamente la quanttà che s uole determnare: ad esempo s msurano angol azmutal, zental, dstanze e dslell per determnare coordnate ecc.(osserazon ndrette). Occorre allora poter rcaare la meda e la aranza della arable casuale funzone d altre arabl casual, oero derare le caratterstche d aleatoretà della grandezza msurata ndrettamente, una olta not parametr caratterstc delle quanttà msurate drettamente. Nel caso d osserazon lnear ndpendent l una dall altra, la legge che regola la propagazone dell errore può essere scrtta n questo modo: a + b +... f x y n cu x e y sono le aranze delle derse msure, mentre a e b sono coeffcent. Esempo: calcolo dell ncertezza d una msura Sommando l segmento AB d lunghezza 5 con ncertezza par a 3 cm e l segmento BC d lunghezza 54 e ncertezza par a 4 cm, quale sarà la lunghezza e l ncertezza del segmento totale AC? La lunghezza sarà data da: cm Mentre l ncertezza sarà: 3^ + 4^ 5 +/-5 cm per cu l segmento AC 79 cm +/- 5 cm

16 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 6 IL PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATI Supponamo d aere una grandezza η della quale s faccano n osserazon l ndpendent; sano,,... gl error d osserazone. Il problema è quello d determnare l alore pù probable d η sulla base delle n osserazon l, l che equale a troare pù probabl alor per. Quest ultm, nelle potes fatte, sono n arabl casual, cascuna delle qual segue la dstrbuzone normale, con denstà d probabltà data dalla ( ) e f π Sccome le arabl sono fra loro ndpendent per l teorema delle probabltà composte, la probabltà che aengano n eent contemporaneamente è data dal prodotto delle probabltà de sngol eent, s ha che la funzone denstà d probabltà congunta è data dal prodotto delle are funzon component. ( ) n n n n n n n e e e e f......,...,, π π π π La funzone ( ) n,...,, f denstà d probabltà raggunge l massmo del suo alore quando l esponente raggunge l mnmo. Per cu s può screre: mn n Se ntroducamo una costante arbtrara o non ene modfcato l rsultato della condzone d mnmo, n quanto o rappresenta numercamente un fattore d scala. mn n o Detto P o, peso dell osserazone, la condzone d mnmo denta: mn P P t n η η η n l n l l...

17 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 7 Una osserazone che abba aranza aranza dell untà d peso. ha peso e percò è chamata o Usando altr termn, s può affermare che data una sere d osserazon ndpendent, alor pù probabl sono quell per cu la sommatora de loro scart al quadrato sa mnma. Questo tpo d compensazone rguarda sstem d equazon lnear o lnearzzate che hanno un numero d equazon maggore del numero d arabl. I sstem soradetermnat ( pù equazon che ncognte) non hanno una soluzone unca e qund s cerca la soluzone mglore (d mnma aranza). A causa degl error d msura present, error che rterremo d tpo accdentale oero escludendo error sstematc o grossolan, l legame tra osserazon e ncognte arà un resduo ν. In poche parole, se rsolessmo nel sstema soradetermnato un numero d equazon uguale al numero delle ncognte x aremmo un sstema esattamente determnato. Sosttuendo però le ncognte x nelle rmanent equazon del sstema soradetermnato queste non sono dentcamente nulle, ma ammettono de resdu dout agl error d msura. Conene pertanto determnare le ncognte x n modo tale che resdu sano rpartt n ragone proporzonale all ncertezza delle osserazon, così che sa mnma la sommatora de loro scart quadrat. f x, α, doe ogn equazone alle msure è Il sstema soradetermnato è del tpo ( ) f x,. del tpo ( α ) V sono due problem da rsolere. Il prmo è che non tutte le equazon del sstema contano allo stesso modo, occorre coè pesarle. Il secondo è che molto spesso le equazon s presentano n forma non lneare e percò occorre lnearzzarle. La soluzone al secondo problema è semplce n quanto se supponamo che le quanttà msurate α non sano eccessamente dsperse, oero sano affette da error solo accdental e pccol, anche le x k non dfferranno eccessamente tra d loro. Sarà percò possble troare de alor approssmat delle ncognte x e operare un cambamento d arabl del tpo x xo + δx sluppable n sere d Taylor arrestata al prmo ordne. f x, α generca del sstema s ha: Esplctando una equazone ( ) f f f f ( xo, α ) + δx + δx δxm x x x o o m o doe l prmo termne è una quanttà nota l e coeffcent

18 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 8 f xk o delle nuoe ncognte δx k costtuscono una matrce A. Il nuoo sstema lneare (o lnearzzato) assume la forma A δ x + l n m ncognte δx e n ncognte. Il prmo problema, quello de pes delle equazon, può essere rcondotto alla determnazone della aranza dell osserazone. Anche senza doerla stmare emprcamente attraerso l anals della dstrbuzone d ogn sngola osserazone, s può fare rfermento, nell ambto delle msure, alla aranza dello strumento d msura. Il peso da assegnare a cascuna equazone è percò nersamente proporzonale alla aranza dell osserazone. La matrce de pes P è una matrce dagonale del tpo: P P.. 0 P P n Il sstema sottodetermnato A δ x + l, assocato alla condzone d mnmo pesato della somma degl scart al quadrato, dà luogo ad un sstema esattamente determnato detto sstema normale Aδx + l sstema normale P mnmo la cu soluzone è data da: δx δx t t δ x ( A PA) A Pl.. δx m La stma delle aranze delle ncognte δx è data da termn dagonal h della matrce quadrata ( ) A t PA moltplcat per un termne detto aranza dell untà d peso. o Questo è formato dalla sommatora degl scart pesat al quadrato ds per la rdondanza del sstema, oero P t P o n m n m

19 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 9 LA PRECISIONE NEGLI ELABORATI DI RILIEVO: ERRORE DI GRAFICISMO E SCALA NOMINALE A questo punto s può affermare che l prmo obetto delle operazon d rleo non è la determnazone del alore ero della msura, ma stablre statstcamente l errore che potremmo ncontrare nelle msurazon e qund prefgurare e fssare l nterallo all nterno del quale consderare attendble l rsultato. In ogn operazone d rleo andrà così alutata l ncertezza che s potrà rscontrare nelle msure, ed a laoro effettuato andrà effettamente erfcato che non s sa superato quel alore. Fno ad ora s è osserato come l ncertezza dpenda da molt parametr, tra cu le condzon n cu s opera, le procedure, le tecnche, gl strument, l operatore Spermentalmente è stato comunque erfcato che è possble utlzzare come parametr d ncertezza quell derant dall errore d grafcsmo, n cu le ncertezze sono relazonate alla scala d rappresentazone. Per conenzone l errore d grafcsmo è l errore nsto n una lnea dello spessore d 0.mm (lo spessore pù pccolo comunque rproducble al tratto), per cu ad ogn scala questo fattore assume un alore specfco. S calcola moltplcando 0. mm per l denomnatore della scala e.g. 0. mm x denomnatore Scala Se ad esempo consdero un rleo n scala :00, una lnea d 0, mm rappresenta lo spessore d cm. Se msuro un taolo su quel dsegno, leggo sul decmetro l alore d.8 cm, che rportato n scala corrsponde a,8 metr. Questo alore è msurato consderando le due lnee d bordo, per cu non sapendo cosa succede nello spessore al reale delle lnee, per esattezza dore dre che l mo taolo è lungo.8 ± 0.0 metr. Un ulterore consderazone rguarda la relazone tra l ncertezza e l attuale produzone degl elaborat d rleo. L uso dello strumento nformatco è orma completamente assodato e dffuso, per cu è necessaro anche relazonars a questo strumento. Trattandos d dsegno al CAD, generalmente s rtene che non esstano lmt d scala e che s possa dsegnare e qund rleare a qualsas scala, e solo n fase d stampa decdere l fattore d rproduzone. Non esstono pù neppure lmt dat dallo spessore della matta che una olta mpedano l traccamento d due lnee parallele oppure rendeano ncerto l punto d ncontro d due arch d cercho. Per quest mot sembra orma mpropro parlare d errore d grafcsmo. Questo non è del tutto ero perché anche se sono stat elmnat gl error d traccamento (due arch d cercho d ncontrano n un punto unoco), l dsegno al calcolatore non nterene nella precsone della msurazone che s effettua sul foglo stampato. Graze a quest ultma consderazone s consdera aldo l concetto d errore d grafcsmo e gl s affanca anche l concetto d SCALA NOMINALE, ntesa come la scala d rduzone (o d

20 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 0 ngrandmento) per cu è corretto stampare un dsegno. Quando s dce che un rleo resttuto al CAD ha scala nomnale :N s ntende che ha contenuto metrco e semantco d un corrspondente dsegno su carta d par scala; per cu l ncertezza delle msure e l numero de segn rsulta approprato. Vene utlzzato l termne nomnale per contraddstnguerla dalle normal scala d rappresentazone. Infatt aendo un rleo realzzato al CAD, è sempre possble stamparlo con ders fattor d scala: n alcun cas l dsegno stampato sarà troppo rcco d segn (e qund le lnee s mpasteranno tra loro), mentre n altr cas dsegno sarà troppo poero. La scala nomnale non fornsce solamente l alore dell ncertezza del dsegno, ma da anche delle ndcazon all operatore ancor prma d nzare la fase d msurazone. Infatt è nutle rleare dettagl che sono contenut nell ncertezza del dsegno, perché rsulteranno ntern allo spessore della lnea. Così ad esempo doendo rleare un dettaglo, o un ordne archtettonco, alla scala :00, non s doranno rleare gl element d dmensone mnore al centmetro. Se s realzza un rleo a scala nomnale :00 (e qund s rleano tutt gl element maggor o ugual a cm) e lo s stampa ad una scala mnore :00 o :500, le lnee saranno mpastate e non sarà possble rconoscerle con esattezza. Se nece s stampa lo stesso dsegno n scala :50 o :0, l dsegno sarà poero d lnee. Scala NOMINALE INCERTEZZA :000 0 cm :500 0 cm :00 4 cm :00 cm :50 cm :0 0,4 cm (4 mm) :0 0, cm ( mm) :5 0, cm ( mm) Tab. : rapporto tra scala nomnale e ncertezza

Principi di ingegneria elettrica. Lezione 6 a. Analisi delle reti resistive

Principi di ingegneria elettrica. Lezione 6 a. Analisi delle reti resistive Prncp d ngegnera elettrca Lezone 6 a Anals delle ret resste Anals delle ret resste L anals d una rete elettrca (rsoluzone della rete) consste nel determnare tutte le corrent ncognte ne ram e tutt potenzal

Dettagli

LA COMPATIBILITA tra due misure:

LA COMPATIBILITA tra due misure: LA COMPATIBILITA tra due msure: 0.4 Due msure, supposte affette da error casual, s dcono tra loro compatbl quando la loro dfferenza può essere rcondotta ad una pura fluttuazone statstca attorno al valore

Dettagli

Prova di verifica n.0 Elettronica I (26/2/2015)

Prova di verifica n.0 Elettronica I (26/2/2015) Proa d erfca n.0 lettronca I (26/2/2015) OUT he hfe + L OUT - Fgura 1 Con rfermento alla rete elettrca d Fg.1, determnare: OUT / OUT / la resstenza sta dal generatore ( V ) la resstenza sta dall uscta

Dettagli

Dai circuiti ai grafi

Dai circuiti ai grafi Da crcut a graf Il grafo è una schematzzazone grafca semplfcata che rappresenta le propretà d nterconnessone del crcuto ad esso assocato Il grafo è costtuto da un nseme d nod e d lat Se lat sono orentat

Dettagli

Relazione funzionale e statistica tra due variabili Modello di regressione lineare semplice Stima puntuale dei coefficienti di regressione

Relazione funzionale e statistica tra due variabili Modello di regressione lineare semplice Stima puntuale dei coefficienti di regressione 1 La Regressone Lneare (Semplce) Relazone funzonale e statstca tra due varabl Modello d regressone lneare semplce Stma puntuale de coeffcent d regressone Decomposzone della varanza Coeffcente d determnazone

Dettagli

Circuiti di ingresso differenziali

Circuiti di ingresso differenziali rcut d ngresso dfferenzal - rcut d ngresso dfferenzal - Il rfermento per potenzal Gl stad sngle-ended e dfferenzal I segnal elettrc prodott da trasduttor, oppure preleat da un crcuto o da un apparato elettrco,

Dettagli

Variabili statistiche - Sommario

Variabili statistiche - Sommario Varabl statstche - Sommaro Defnzon prelmnar Statstca descrttva Msure della tendenza centrale e della dspersone d un campone Introduzone La varable statstca rappresenta rsultat d un anals effettuata su

Dettagli

PROCEDURA INFORMATIZZATA PER LA COMPENSAZIONE DELLE RETI DI LIVELLAZIONE. (Metodo delle Osservazioni Indirette) - 1 -

PROCEDURA INFORMATIZZATA PER LA COMPENSAZIONE DELLE RETI DI LIVELLAZIONE. (Metodo delle Osservazioni Indirette) - 1 - PROCEDURA INFORMATIZZATA PER LA COMPENSAZIONE DELLE RETI DI LIVELLAZIONE (Metodo delle Osservazon Indrette) - - SPECIFICHE DI CALCOLO Procedura software per la compensazone d una rete d lvellazone collegata

Dettagli

Capitolo 3 Covarianza, correlazione, bestfit lineari e non lineari

Capitolo 3 Covarianza, correlazione, bestfit lineari e non lineari Captolo 3 Covaranza, correlazone, bestft lnear e non lnear ) Covaranza e correlazone Ad un problema s assoca spesso pù d una varable quanttatva (es.: d una persona possamo determnare peso e altezza, oppure

Dettagli

* * * Nota inerente il calcolo della concentrazione rappresentativa della sorgente. Aprile 2006 RL/SUO-TEC 166/2006 1

* * * Nota inerente il calcolo della concentrazione rappresentativa della sorgente. Aprile 2006 RL/SUO-TEC 166/2006 1 APAT Agenza per la Protezone dell Ambente e per Servz Tecnc Dpartmento Dfesa del Suolo / Servzo Geologco D Itala Servzo Tecnologe del sto e St Contamnat * * * Nota nerente l calcolo della concentrazone

Dettagli

Valore attuale di una rendita. Valore attuale in Excel: funzione VA

Valore attuale di una rendita. Valore attuale in Excel: funzione VA Valore attuale d una rendta Nella scorsa lezone c samo concentrat sul problema del calcolo del alore attuale d una rendta S che è dato n generale da V ( S) { R ; t, 0,,,..., n,... } n 0 R ( t ), doe (t

Dettagli

CAPITOLO 3 Incertezza di misura Pagina 26

CAPITOLO 3 Incertezza di misura Pagina 26 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 6 CAPITOLO 3 INCERTEZZA DI MISURA Le operazon d msurazone sono tutte nevtablmente affette da ncertezza e coè da un grado d ndetermnazone con l quale l processo d msurazone

Dettagli

Ministero della Salute D.G. della programmazione sanitaria --- GLI ACC - L ANALISI DELLA VARIABILITÀ METODOLOGIA

Ministero della Salute D.G. della programmazione sanitaria --- GLI ACC - L ANALISI DELLA VARIABILITÀ METODOLOGIA Mnstero della Salute D.G. della programmazone santara --- GLI ACC - L ANALISI DELLA VARIABILITÀ METODOLOGIA La valutazone del coeffcente d varabltà dell mpatto economco consente d ndvduare gl ACC e DRG

Dettagli

GLI ERRORI SPERIMENTALI NELLE MISURE DI LABORATORIO

GLI ERRORI SPERIMENTALI NELLE MISURE DI LABORATORIO GLI ERRORI SPERIMETALI ELLE MISURE DI LABORATORIO MISURA DI UA GRADEZZA FISICA S defnsce grandezza fsca una propretà de corp sulla quale possa essere eseguta un operazone d msura. Msurare una grandezza

Dettagli

Relazioni tra variabili: Correlazione e regressione lineare

Relazioni tra variabili: Correlazione e regressione lineare Dott. Raffaele Casa - Dpartmento d Produzone Vegetale Modulo d Metodologa Spermentale Febbrao 003 Relazon tra varabl: Correlazone e regressone lneare Anals d relazon tra varabl 6 Produzone d granella (kg

Dettagli

Il modello markoviano per la rappresentazione del Sistema Bonus Malus. Prof. Cerchiara Rocco Roberto. Materiale e Riferimenti

Il modello markoviano per la rappresentazione del Sistema Bonus Malus. Prof. Cerchiara Rocco Roberto. Materiale e Riferimenti Il modello marovano per la rappresentazone del Sstema Bonus Malus rof. Cercara Rocco Roberto Materale e Rferment. Lucd dstrbut n aula. Lemare 995 (pag.6- e pag. 74-78 3. Galatoto G. 4 (tt del VI Congresso

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 5 REGRESSIONE LINEARE

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 5 REGRESSIONE LINEARE Matematca e statstca: da dat a modell alle scelte www.dma.unge/pls_statstca Responsabl scentfc M.P. Rogantn e E. Sasso (Dpartmento d Matematca Unverstà d Genova) STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. REGRESSIONE

Dettagli

Università degli Studi di Urbino Facoltà di Economia

Università degli Studi di Urbino Facoltà di Economia Unverstà degl Stud d Urbno Facoltà d Economa Lezon d Statstca Descrttva svolte durante la prma parte del corso d corso d Statstca / Statstca I A.A. 004/05 a cura d: F. Bartolucc Lez. 8/0/04 Statstca descrttva

Dettagli

Tutti gli strumenti vanno tarati

Tutti gli strumenti vanno tarati L'INCERTEZZA DI MISURA Anta Calcatell I.N.RI.M S eseguono e producono msure per prendere delle decson sulla base del rsultato ottenuto, come per esempo se bloccare l traffco n funzone d msure d lvello

Dettagli

Precisione e Cifre Significative

Precisione e Cifre Significative Precsone e Cfre Sgnfcatve Un numero (una msura) è una nformazone! E necessaro conoscere la precsone e l accuratezza dell nformazone. La precsone d una msura è contenuta nel numero d cfre sgnfcatve fornte

Dettagli

Macchine. 5 Esercitazione 5

Macchine. 5 Esercitazione 5 ESERCITAZIONE 5 Lavoro nterno d una turbomacchna. Il lavoro nterno massco d una turbomacchna può essere determnato not trangol d veloctà che s realzzano all'ngresso e all'uscta della macchna stessa. Infatt

Dettagli

NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA

NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA IL PROBLEMA Supponamo d voler studare l effetto d 4 dverse dete su un campone casuale d 4

Dettagli

Laboratorio 2B A.A. 2012/2013. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica

Laboratorio 2B A.A. 2012/2013. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica Laboratoro B A.A. 01/013 Elaborazone Dat Lab B CdL Fsca Lab B CdL Fsca Elaborazone dat spermental Prncpo della massma verosmglanza Quando eseguamo una sere d msure relatve ad una data grandezza fsca, quanto

Dettagli

* PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE *

* PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE * * PROBABILITÀ - SCHEDA N. LE VARIABILI ALEATORIE *. Le varabl aleatore Nella scheda precedente abbamo defnto lo spazo camponaro come la totaltà degl est possbl d un espermento casuale; abbamo vsto che

Dettagli

Norma UNI CEI ENV 13005: Guida all'espressione dell'incertezza di misura

Norma UNI CEI ENV 13005: Guida all'espressione dell'incertezza di misura orma UI CEI EV 3005: Guda all'espressone dell'ncertezza d msura L obettvo d una msurazone è quello d determnare l valore del msurando, n altre parole della grandezza da msurare. In generale, però, l rsultato

Dettagli

Adattamento di una relazione funzionale ai dati sperimentali

Adattamento di una relazione funzionale ai dati sperimentali Adattamento d una relazone 1 funzonale a dat spermental Sno ad ora abbamo vsto come può essere stmato, con un certo lvello d confdenza, l valore vero d una grandezza fsca (dretta o dervata) con l suo ntervallo

Dettagli

Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa 2012-2013 lezione 13: 24 aprile 2013

Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa 2012-2013 lezione 13: 24 aprile 2013 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa 2012-2013 lezone 13: 24 aprle 2013 professor Danele Rtell www.unbo.t/docent/danele.rtell 1/23? reammortamento uò accadere che, dopo l erogazone

Dettagli

Studio grafico-analitico di una funzioni reale in una variabile reale

Studio grafico-analitico di una funzioni reale in una variabile reale Studo grafco-analtco d una funzon reale n una varable reale f : R R a = f ( ) n Sequenza de pass In pratca 1 Stablre l tpo d funzone da studare es. f ( ) Determnare l domno D (o campo d esstenza) della

Dettagli

Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica. DINAMICI CA - 04 ModiStabilita

Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica. DINAMICI CA - 04 ModiStabilita Automaton Robotcs and System CONTROL Unverstà degl Stud d Modena e Reggo Emla Corso d laurea n Ingegnera Meccatronca MODI E STABILITA DEI SISTEMI DINAMICI CA - 04 ModStablta Cesare Fantuzz (cesare.fantuzz@unmore.t)

Dettagli

Concetti principale della lezione precedente

Concetti principale della lezione precedente Corso d Statstca medca e applcata 6 a Lezone Dott.ssa Donatella Cocca Concett prncpale della lezone precedente I concett prncpal che sono stat presentat sono: I fenomen probablstc RR OR ROC-curve Varabl

Dettagli

TITOLO: L INCERTEZZA DI TARATURA DELLE MACCHINE PROVA MATERIALI (MPM)

TITOLO: L INCERTEZZA DI TARATURA DELLE MACCHINE PROVA MATERIALI (MPM) Identfcazone: SIT/Tec-012/05 Revsone: 0 Data 2005-06-06 Pagna 1 d 7 Annotazon: Il presente documento fornsce comment e lnee guda sull applcazone della ISO 7500-1 COPIA CONTROLLATA N CONSEGNATA A: COPIA

Dettagli

La retroazione negli amplificatori

La retroazione negli amplificatori La retroazone negl amplfcator P etroazonare un amplfcatore () sgnfca sottrarre (o sommare) al segnale d ngresso (S ) l segnale d retroazone (S r ) ottenuto dal segnale d uscta (S u ) medante un quadrpolo

Dettagli

INDICI STATISTICI MEDIA, MODA, MEDIANA, VARIANZA

INDICI STATISTICI MEDIA, MODA, MEDIANA, VARIANZA Lezone 7 - Indc statstc: meda, moda, medana, varanza INDICI STATISTICI MEDIA, MODA, MEDIANA, VARIANZA GRUPPO MAT06 Dp. Matematca, Unverstà d Mlano - Probabltà e Statstca per le Scuole Mede -SILSIS - 2007

Dettagli

Statistica e calcolo delle Probabilità. Allievi INF

Statistica e calcolo delle Probabilità. Allievi INF Statstca e calcolo delle Probabltà. Allev INF Proff. L. Ladell e G. Posta 06.09.10 I drtt d autore sono rservat. Ogn sfruttamento commercale non autorzzato sarà perseguto. Cognome e Nome: Matrcola: Docente:

Dettagli

Circuiti elettrici in regime stazionario

Circuiti elettrici in regime stazionario rcut elettrc n regme stazonaro Metod d anals www.de.ng.unbo.t/pers/mastr/ddattca.htm ersone del -0-00 Premessa Nel caso pù generale è possble ottenere la soluzone d un crcuto rsolendo un sstema formato

Dettagli

Calibrazione. Lo strumento idealizzato

Calibrazione. Lo strumento idealizzato Calbrazone Come possamo fdarc d uno strumento? Abbamo bsogno d dentfcare l suo funzonamento n condzon controllate. L dentfcazone deve essere razonalmente organzzata e condvsa n termn procedural: s tratta

Dettagli

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Progetto: Metodo di soluzione basato su generazione di colonne

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Progetto: Metodo di soluzione basato su generazione di colonne Metod e Modell per l Ottmzzazone Combnatora Progetto: Metodo d soluzone basato su generazone d colonne Lug De Govann Vene presentato un modello alternatvo per l problema della turnazone delle farmace che

Dettagli

La t di Student. Per piccoli campioni si definisce la variabile casuale. = s N. detta t di Student.

La t di Student. Per piccoli campioni si definisce la variabile casuale. = s N. detta t di Student. Pccol campon I parametr della dstrbuzone d una popolazone sono n generale ncognt devono essere stmat dal campone de dat spermental per pccol campon (N N < 30) z = (x µ)/ )/σ non ha pù una dstrbuzone gaussana

Dettagli

Analisi di mercurio in matrici solide mediante spettrometria di assorbimento atomico a vapori freddi

Analisi di mercurio in matrici solide mediante spettrometria di assorbimento atomico a vapori freddi ESEMPIO N. Anals d mercuro n matrc solde medante spettrometra d assorbmento atomco a vapor fredd 0 Introduzone La determnazone del mercuro n matrc solde è effettuata medante trattamento termco del campone

Dettagli

A. AUMENTO DELLA SPESA PUBBLICA FINANZIATO ESCLUSIVAMENTE TRAMITE INDEBITAMENTO

A. AUMENTO DELLA SPESA PUBBLICA FINANZIATO ESCLUSIVAMENTE TRAMITE INDEBITAMENTO 4. SCHMI ALTRNATIVI DI FINANZIAMNTO DLLA SPSA PUBBLICA. Se l Governo decde d aumentare la Spesa Pubblca G (o Trasferment TR), allora deve anche reperre fond necessar per fnanzare questa sua maggore spesa.

Dettagli

Corso di. Dott.ssa Donatella Cocca

Corso di. Dott.ssa Donatella Cocca Corso d Statstca medca e applcata 3 a Lezone Dott.ssa Donatella Cocca Concett prncpale della lezone I concett prncpal che sono stat presentat sono: Mede forme o analtche (Meda artmetca semplce, Meda artmetca

Dettagli

Elementi di statistica

Elementi di statistica Element d statstca Popolazone statstca e campone casuale S chama popolazone statstca l nseme d tutt gl element che s voglono studare (ndvdu, anmal, vegetal, cellule, caratterstche delle collettvtà..) e

Dettagli

Lezione 10. L equilibrio del mercato finanziario: la struttura dei tassi d interesse

Lezione 10. L equilibrio del mercato finanziario: la struttura dei tassi d interesse Lezone 1. L equlbro del mercato fnanzaro: la struttura de tass d nteresse Ttol con scadenza dversa hanno prezz (e tass d nteresse) dfferent. Due ttol d durata dversa emess dallo stesso soggetto (stesso

Dettagli

Verifica termoigrometrica delle pareti

Verifica termoigrometrica delle pareti Unverstà Medterranea d Reggo Calabra Facoltà d Archtettura Corso d Tecnca del Controllo Ambentale A.A. 2009-200 Verfca termogrometrca delle paret Prof. Marna Mstretta ANALISI IGROTERMICA DEGLI ELEMENTI

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL

STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL Corso d CPS - II parte: Statstca Laurea n Informatca Sstem e Ret 2004-2005 1 Obettv della lezone Introduzone all uso d EXCEL Statstca descrttva Utlzzo dello strumento:

Dettagli

Capitolo 3. Cap. 3-1

Capitolo 3. Cap. 3-1 Statstca Captolo 3 Descrzone Numerca de Dat Cap. 3-1 Obettv del Captolo Dopo aver completato l captolo, sarete n grado d: Calcolare ed nterpretare la meda, la medana e la moda d un set tdd dat Trovare

Dettagli

Amplificatori operazionali

Amplificatori operazionali mplfcator operazonal Parte www.e.ng.unbo.t/pers/mastr/attca.htm (ersone el 9-5-0) mplfcatore operazonale L amplfcatore operazonale è un sposto, normalmente realzzato come crcuto ntegrato, otato tre termnal

Dettagli

CAPITOLO IV CENNI SULLE MACCHINE SEQUENZIALI

CAPITOLO IV CENNI SULLE MACCHINE SEQUENZIALI Cenn sulle macchne seuenzal CAPITOLO IV CENNI SULLE MACCHINE SEQUENZIALI 4.) La macchna seuenzale. Una macchna seuenzale o macchna a stat fnt M e' un automatsmo deale a n ngress e m uscte defnto da: )

Dettagli

Analisi ammortizzata. Illustriamo il metodo con due esempi. operazioni su di una pila Sia P una pila di interi con le solite operazioni:

Analisi ammortizzata. Illustriamo il metodo con due esempi. operazioni su di una pila Sia P una pila di interi con le solite operazioni: Anals ammortzzata Anals ammortzzata S consdera l tempo rchesto per esegure, nel caso pessmo, una ntera sequenza d operazon. Se le operazon costose sono relatvamente meno frequent allora l costo rchesto

Dettagli

Il pendolo di torsione

Il pendolo di torsione Unverstà degl Stud d Catana Facoltà d Scenze MM.FF.NN. Corso d aurea n FISICA esna d ABORAORIO DI FISICA I Il pendolo d torsone (sezone costante) Moreno Bonaventura Anno Accademco 005/06 Introduzone. I

Dettagli

Condensatori e resistenze

Condensatori e resistenze Condensator e resstenze Lucano attaa Versone del 22 febbrao 2007 Indce In questa nota presento uno schema replogatvo relatvo a condensator e alle resstenze, con partcolare rguardo a collegament n sere

Dettagli

Teoria degli errori. La misura implica un giudizio sull uguaglianza tra la grandezza incognita e la grandezza campione. Misure indirette: velocita

Teoria degli errori. La misura implica un giudizio sull uguaglianza tra la grandezza incognita e la grandezza campione. Misure indirette: velocita Teora degl error Processo d msura defnsce una grandezza fsca. Sstema oggetto. Apparato d msura 3. Sstema d confronto La msura mplca un gudzo sull uguaglanza tra la grandezza ncognta e la grandezza campone

Dettagli

Trigger di Schmitt. e +V t

Trigger di Schmitt. e +V t CORSO DI LABORATORIO DI OTTICA ED ELETTRONICA Scopo dell esperenza è valutare l ampezza dell steres d un trgger d Schmtt al varare della frequenza e dell ampezza del segnale d ngresso e confrontarla con

Dettagli

Grafi ed equazioni topologiche

Grafi ed equazioni topologiche Graf ed equazon topologche www.de.ng.unbo.t/pers/mastr/ddattca.htm (ersone del --) Premessa Se s ndca con l l numero d corrent e l numero d tenson de component d un crcuto, la rsoluzone del crcuto rchede

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità alcolo delle Probabltà Quanto è possble un esto? La verosmglanza d un esto è quantfcata da un numero compreso tra 0 e. n partcolare, 0 ndca che l esto non s verfca e ndca che l esto s verfca senza dubbo.

Dettagli

La taratura degli strumenti di misura

La taratura degli strumenti di misura La taratura degl strument d msura L mportanza dell operazone d taratura nasce dall esgenza d rendere l rsultato d una msura rferble a campon nazonal od nternazonal del msurando n questone affnché pù msure

Dettagli

Introduzione al Machine Learning

Introduzione al Machine Learning Introduzone al Machne Learnng Note dal corso d Machne Learnng Corso d Laurea Magstrale n Informatca aa 2010-2011 Prof Gorgo Gambos Unverstà degl Stud d Roma Tor Vergata 2 Queste note dervano da una selezone

Dettagli

Indicatori di rendimento per i titoli obbligazionari

Indicatori di rendimento per i titoli obbligazionari Indcator d rendmento per ttol obblgazonar LA VALUTAZIONE DEGLI INVESTIMENTI A TASSO FISSO Per valutare la convenenza d uno strumento fnanzaro è necessaro precsare: /4 Le specfche esgenze d un nvesttore

Dettagli

Corso AFFIDABILITÀ DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE. Prof. Dario Amodio d.amodio@univpm.it. Ing. Gianluca Chiappini g.chiappini@univpm.

Corso AFFIDABILITÀ DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE. Prof. Dario Amodio d.amodio@univpm.it. Ing. Gianluca Chiappini g.chiappini@univpm. Corso AFFIDABILITÀ DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE Prof. Daro Amodo d.amodo@unvpm.t Ing. Ganluca Chappn g.chappn@unvpm.t http://www.dpmec.unvpm.t/costruzone/home.htm (Ddattca/Dspense) Testo d rfermento: Stefano

Dettagli

Fondamenti di Visione Artificiale (Seconda Parte) Corso di Robotica Prof.ssa Giuseppina Gini Anno Acc.. 2006/2007

Fondamenti di Visione Artificiale (Seconda Parte) Corso di Robotica Prof.ssa Giuseppina Gini Anno Acc.. 2006/2007 Fondament d Vsone Artfcale (Seconda Parte PhD. Ing. Mchele Folgherater Corso d Robotca Prof.ssa Guseppna Gn Anno Acc.. 006/007 Caso Bdmensonale el caso bdmensonale, per ndvduare punt d contorno degl oggett

Dettagli

Induzione elettromagnetica

Induzione elettromagnetica Induzone elettromagnetca L esperenza d Faraday L'effetto d produzone d corrente elettrca n un crcuto prvo d generatore d tensone fu scoperto dal fsco nglese Mchael Faraday nel 83. Egl studò la relazone

Dettagli

Grafico di una serie di dati sperimentali in EXCEL

Grafico di una serie di dati sperimentali in EXCEL Grafco d una sere d dat spermental n EXCEL 1. Inseramo sulla prma rga l ttolo che defnsce l contenuto del foglo. Po nseramo su un altra rga valor spermental della x e su quella successva valor della y.

Dettagli

Calcolo della caduta di tensione con il metodo vettoriale

Calcolo della caduta di tensione con il metodo vettoriale Calcolo della caduta d tensone con l metodo vettorale Esempo d rete squlbrata ed effett del neutro nel calcolo. In Ampère le cadute d tensone sono calcolate vettoralmente. Per ogn utenza s calcola la caduta

Dettagli

Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa 2012-2013 Esercitazione: 4 aprile 2013

Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa 2012-2013 Esercitazione: 4 aprile 2013 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca Fnanzara aa 2012-2013 Eserctazone: 4 aprle 2013 professor Danele Rtell www.unbo.t/docent/danele.rtell 1/41? Aula "Ranzan B" 255 post 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Dettagli

{ 1, 2,..., n} Elementi di teoria dei giochi. Giovanni Di Bartolomeo Università degli Studi di Teramo

{ 1, 2,..., n} Elementi di teoria dei giochi. Giovanni Di Bartolomeo Università degli Studi di Teramo Element d teora de goch Govann D Bartolomeo Unverstà degl Stud d Teramo 1. Descrzone d un goco Un generco goco, Γ, che s svolge n un unco perodo, può essere descrtto da una Γ= NSP,,. Ess sono: trpla d

Dettagli

Corso di Statistica (canale P-Z) A.A. 2009/10 Prof.ssa P. Vicard

Corso di Statistica (canale P-Z) A.A. 2009/10 Prof.ssa P. Vicard Corso d Statstca (canale P-Z) A.A. 2009/0 Prof.ssa P. Vcard VALORI MEDI Introduzone Con le dstrbuzon e le rappresentazon grafche abbamo effettuato le prme sntes de dat. E propro osservando degl stogramm

Dettagli

LEZIONE 2 e 3. La teoria della selezione di portafoglio di Markowitz

LEZIONE 2 e 3. La teoria della selezione di portafoglio di Markowitz LEZIONE e 3 La teora della selezone d portafoglo d Markowtz Unverstà degl Stud d Bergamo Premessa Unverstà degl Stud d Bergamo Premessa () È puttosto frequente osservare come gl nvesttor tendano a non

Dettagli

Il logaritmo discreto in Z p Il gruppo moltiplicativo Z p delle classi resto modulo un primo p è un gruppo ciclico.

Il logaritmo discreto in Z p Il gruppo moltiplicativo Z p delle classi resto modulo un primo p è un gruppo ciclico. Il logartmo dscreto n Z p Il gruppo moltplcatvo Z p delle class resto modulo un prmo p è un gruppo cclco. Defnzone (Logartmo dscreto). Sa p un numero prmo e sa ā una radce prmtva n Z p. Sa ȳ Z p. Il logartmo

Dettagli

Programmazione e Controllo della Produzione. Analisi dei flussi

Programmazione e Controllo della Produzione. Analisi dei flussi Programmazone e Controllo della Produzone Anals de fluss Clent SERVIZIO Uscta Quanto al massmo produce l mo sstema produttvo? Quanto al massmo produce la ma macchna? Lo rsolvo con la smulazone? Sarebbe

Dettagli

Fotogrammetria. O centro di presa. fig.1 Geometria della presa fotogrammetrica

Fotogrammetria. O centro di presa. fig.1 Geometria della presa fotogrammetrica Fotogrammetra Scopo della fotogrammetra è la determnazone delle poszon d punt nello spazo fsco a partre dalla msura delle poszon de punt corrspondent su un mmagne fotografca. Ovvamente, affnché questo

Dettagli

Modelli descrittivi, statistica e simulazione

Modelli descrittivi, statistica e simulazione Modell descrttv, statstca e smulazone Master per Smart Logstcs specalst Roberto Cordone (roberto.cordone@unm.t) Statstca descrttva Cernusco S.N., govedì 28 gennao 2016 (9.00/13.00) 1 / 15 Indc d poszone

Dettagli

Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili. Modelli per la Logistica: Single Flow One Level Model Multi Flow Two Level Model

Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili. Modelli per la Logistica: Single Flow One Level Model Multi Flow Two Level Model Rcerca Operatva e Logstca Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentl Modell per la Logstca: Sngle Flow One Level Model Mult Flow Two Level Model Modell d localzzazone nel dscreto Modell a Prodotto Sngolo e a Un

Dettagli

Intorduzione alla teoria delle Catene di Markov

Intorduzione alla teoria delle Catene di Markov Intorduzone alla teora delle Catene d Markov Mchele Ganfelce a.a. 2014/2015 Defnzone 1 Sa ( Ω, F, {F n } n 0, P uno spazo d probabltà fltrato. Una successone d v.a. {ξ n } n 0 defnta su ( Ω, F, {F n }

Dettagli

Laboratorio 2B A.A. 2013/2014. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica

Laboratorio 2B A.A. 2013/2014. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica Laboratoro B A.A. 013/014 Elaborazone Dat Lab B CdL Fsca Elaborazone dat spermental Come rassumere un nseme d dat spermental? Una statstca è propro un numero calcolato a partre da dat stess. La Statstca

Dettagli

Capitolo 6 Risultati pag. 468. a) Osmannoro. b) Case Passerini c) Ponte di Maccione

Capitolo 6 Risultati pag. 468. a) Osmannoro. b) Case Passerini c) Ponte di Maccione Captolo 6 Rsultat pag. 468 a) Osmannoro b) Case Passern c) Ponte d Maccone Fgura 6.189. Confronto termovalorzzatore-sorgent dffuse per l PM 10. Il contrbuto del termovalorzzatore alle concentrazon d PM

Dettagli

Strada B. Classe Velocità valore frequenza Frequ. ass Frequ. % hi Freq. Cum

Strada B. Classe Velocità valore frequenza Frequ. ass Frequ. % hi Freq. Cum Eserczo SINTESI S supponga d avere eseguto 70 msure della veloctà stantanea de vecol che transtano nelle sezon d due strade A e B. S supponga che tal msure sano state eseguta n corrspondenza d valor modest

Dettagli

Capitolo 7. La «sintesi neoclassica» e il modello IS-LM. 2. La curva IS

Capitolo 7. La «sintesi neoclassica» e il modello IS-LM. 2. La curva IS Captolo 7 1. Il modello IS-LM La «sntes neoclassca» e l modello IS-LM Defnzone: ndvdua tutte le combnazon d reddto e saggo d nteresse per le qual l mercato de ben (curva IS) e l mercato della moneta (curva

Dettagli

lxmi.mi.infn.it/~camera/silsis/laboratorio-1/2-statistica.ppt http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/zucca/index.htm Misura:

lxmi.mi.infn.it/~camera/silsis/laboratorio-1/2-statistica.ppt http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/zucca/index.htm Misura: Elaborazone de dat geochmc e cenn d statstca lm.m.nfn.t/~camera/slss/laboratoro-1/-statstca.ppt http://www.dm.unto.t/pagnepersonal/zucca/nde.htm Msura: Espressone quanttatva del rapporto fra una grandezza

Dettagli

Analisi dei flussi 182

Analisi dei flussi 182 Programmazone e Controllo Anals de fluss Clent SERVIZIO Uscta Quanto al massmo produce l mo sstema produttvo? Quanto al massmo produce la ma macchna? Anals de fluss 82 Programmazone e Controllo Teora delle

Dettagli

FUNZIONAMENTO IN REGIME ALTERNATO SINUSOIDALE

FUNZIONAMENTO IN REGIME ALTERNATO SINUSOIDALE FUNZIONAMENTO IN REGIME ALTERNATO SINUSOIDALE In presenza d una almentazone alternata snusodale tutte le grandezze elettrche saranno alternate snusodal. Le equazon d funzonamento n regme comunque varale

Dettagli

Lezioni di Statistica (25 marzo 2013) Docente: Massimo Cristallo

Lezioni di Statistica (25 marzo 2013) Docente: Massimo Cristallo UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BASILICATA FACOLTA DI ECONOMIA Corso d laurea n Economa Azendale Lezon d Statstca (25 marzo 2013) Docente: Massmo Crstallo QUARTILI Dvdono la dstrbuzone n quattro part d uguale

Dettagli

Aritmetica e architetture

Aritmetica e architetture Unverstà degl stud d Parma Dpartmento d Ingegnera dell Informazone Poltecnco d Mlano Artmetca e archtetture Sommator Rpple Carry e CLA Bozza da completare del 7 nov 03 La rappresentazone de numer Rappresentazone

Dettagli

PARENTELA e CONSANGUINEITÀ di Dario Ravarro

PARENTELA e CONSANGUINEITÀ di Dario Ravarro Introduzone PARENTELA e CONSANGUINEITÀ d Daro Ravarro 1 gennao 2010 Lo studo della genealoga d un ndvduo è necessaro al fne d valutare la consangunetà dell ndvduo stesso e la sua parentela con altr ndvdu

Dettagli

La regressione. La Regressione. La Regressione. min. min. Var X. X Variabile indipendente (data) Y Variabile dipendente

La regressione. La Regressione. La Regressione. min. min. Var X. X Variabile indipendente (data) Y Variabile dipendente Unverstà d Macerata Facoltà d Scenze Poltche - Anno accademco - La Regressone Varable ndpendente (data) Varable dpendente Dpendenza funzonale (o determnstca): f ; Da un punto d vsta analtco, valor della

Dettagli

VA TIR - TA - TAEG Introduzione

VA TIR - TA - TAEG Introduzione VA TIR - TA - TAEG Introduzone La presente trattazone s pone come obettvo d analzzare due prncpal crter d scelta degl nvestment e fnanzament per valutare la convenenza tra due o pù operazon fnanzare. S

Dettagli

Regressione Multipla e Regressione Logistica: concetti introduttivi ed esempi

Regressione Multipla e Regressione Logistica: concetti introduttivi ed esempi Regressone Multpla e Regressone Logstca: concett ntroduttv ed esemp I Edzone ottobre 014 Vncenzo Paolo Senese vncenzopaolo.senese@unna.t Indce Note prelmnar alla I edzone 1 Regressone semplce e multpla

Dettagli

Esercitazione sulle Basi di di Definizione

Esercitazione sulle Basi di di Definizione Eserctazone sulle as d d Defnzone ESERIZIO Un bpolo ressto (dodo) ha la seguente equazone: = k [ 0 + 00] con k 0 nella quale ed sono descrtt dalla conenzone degl utlzzator come n fgura. Stablre se l bpolo

Dettagli

Appunti delle lezioni di Laboratorio di Strumentazione e Misura

Appunti delle lezioni di Laboratorio di Strumentazione e Misura Sergo Frasca Appunt delle lezon d Laboratoro d Strumentazone e Msura Dpartmento d Fsca Unverstà d Roma La Sapenza Museo del Dpartmento d Fsca dell'unverstà La Sapenza Versone 5 ottobre 004 Versone aggornata

Dettagli

Strutture deformabili torsionalmente: analisi in FaTA-E

Strutture deformabili torsionalmente: analisi in FaTA-E Strutture deformabl torsonalmente: anals n FaTA-E Il comportamento dsspatvo deale è negatvamente nfluenzato nel caso d strutture deformabl torsonalmente. Nelle Norme Tecnche cò vene consderato rducendo

Dettagli

Leggere i dati da file

Leggere i dati da file Esempo %soluzon d una equazone d secondo grado dsp('soluzon d a^+b+c') anput('damm l coeffcente a '); bnput('damm l coeffcente b '); cnput('damm l coeffcente c '); deltab^-4*a*c; f delta0 dsp('soluzon

Dettagli

La rappresentazione dei numeri. La rappresentazione dei numeri. Aritmetica dei calcolatori. La rappresentazione dei numeri

La rappresentazione dei numeri. La rappresentazione dei numeri. Aritmetica dei calcolatori. La rappresentazione dei numeri Artmetca de calcolator Rappresentazone de numer natural e relatv Addzone e sommator: : a propagazone d rporto, veloce, con segno Moltplcazone e moltplcator: senza segno, con segno e algortmo d Booth Rappresentazone

Dettagli

STATISTICA SOCIALE Corso di laurea in Scienze Turistiche, a.a. 2007/2008 Esercizi 16 novembre2007

STATISTICA SOCIALE Corso di laurea in Scienze Turistiche, a.a. 2007/2008 Esercizi 16 novembre2007 STATISTICA SOCIALE Corso d laurea n Scenze Turstche, a.a. 07/08 Esercz 6 novembre07 Eserczo La Tabella contene alcun dat relatv a 6 lavorator delle azende Alfa e Beta. Tabella Lavorator delle azende Alfa

Dettagli

Statistica descrittiva

Statistica descrittiva Statstca descrttva. Indc d poszone. Per ndc d poszone d un nseme d dat, ordnat secondo la loro randezza, s ntendono alcun valor che cadono all nterno dell nseme. Gl ndc pù usat sono: I. eda. II. edana.

Dettagli

MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI

MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI CONTROLLI AUTOMATICI Ingegnera Gestonale http://www.automazone.ngre.unmore.t/pages/cors/controllautomatcgestonale.htm MODELLISTICA DI SISTEMI DINAMICI Ing. Federca Gross Tel. 059 2056333 e-mal: federca.gross@unmore.t

Dettagli

Esercitazioni del corso di Relazioni tra variabili. Giancarlo Manzi Facoltà di Sociologia Università degli Studi di Milano-Bicocca

Esercitazioni del corso di Relazioni tra variabili. Giancarlo Manzi Facoltà di Sociologia Università degli Studi di Milano-Bicocca Eserctazon del corso d Relazon tra varabl Gancarlo Manz Facoltà d Socologa Unverstà degl Stud d Mlano-Bcocca e-mal: gancarlo.manz@statstca.unmb.t Terza eserctazone Mlano, 8 febbrao 7 SOMMARIO TERZA ESERCITAZIONE

Dettagli

Test delle ipotesi Parte 2

Test delle ipotesi Parte 2 Test delle potes arte Test delle potes sulla dstrbuzone: Introduzone Test χ sulla dstrbuzone b Test χ sulla dstrbuzone: Eserczo Test delle potes sulla dstrbuzone Molte concluson tratte nell nferenza parametrca

Dettagli

LA STATISTICA: OBIETTIVI; RACCOLTA DATI; LE FREQUENZE (EXCEL) ASSOLUTE E RELATIVE

LA STATISTICA: OBIETTIVI; RACCOLTA DATI; LE FREQUENZE (EXCEL) ASSOLUTE E RELATIVE Lezone 6 - La statstca: obettv; raccolta dat; le frequenze (EXCEL) assolute e relatve 1 LA STATISTICA: OBIETTIVI; RACCOLTA DATI; LE FREQUENZE (EXCEL) ASSOLUTE E RELATIVE GRUPPO MAT06 Dp. Matematca, Unverstà

Dettagli

CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE

CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE CORRETT RPPREETZIOE DI U RIULTTO: LE CIFRE IGIFICTIVE Defnamo cfre sgnfcatve quelle cfre che esprmono realmente l rsultato d una msura, o del suo errore, coè che non sono completamente ncluse nell ntervallo

Dettagli

CARATTERISTICHE DEI SEGNALI RANDOM

CARATTERISTICHE DEI SEGNALI RANDOM CARATTERISTICHE DEI SEGNALI RANDOM I segnal random o stocastc rvestono una notevole mportanza poché sono present, pù che segnal determnstc, nella maggor parte de process fsc real. Esempo d segnale random:

Dettagli

6. Catene di Markov a tempo continuo (CMTC)

6. Catene di Markov a tempo continuo (CMTC) 6. Catene d Markov a tempo contnuo (CMTC) Defnzone Una CMTC è un processo stocastco defnto come segue: lo spazo d stato è dscreto: X{x,x 2, }. L nseme X può essere sa fnto sa nfnto numerable. L nseme de

Dettagli