DALLA TEORIA DEGLI ERRORI AL TRATTAMENTO DEI DATI

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1 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat DALLA TEORIA DEGLI ERRORI AL TRATTAMENTO DEI DATI LA MISURA DELLE GRANDEZZE Nel descrere fenomen, occorre da un lato elaborare de modell (coè delle relazon matematche fra le grandezze, che consentano d descrere e preedere l fenomeno) e dall altro dars degl strument per erfcare l grado d approssmazone d queste elaborazon (essenzalmente nterrogando la realtà fsca, coè msurando grandezze). In natura c sono delle quanttà dfferent tra loro, ma che, all nterno della stessa spece, possono essere poste n relazone tra loro. S defnsce grandezza tutto cò d cu s può dre che è pù o meno rspetto a qualcosa della stessa spece: un tronco pù lungo d un altro, una quanttà d acqua meno rleante d un altra... Una grandezza è una caratterstca che ene rconoscuta come comune n sngole concretzzazon d concett che nascono dall osserazone della realtà....dces msura d una grandezza... qualsas metodo con cu s stablsca una corrspondenza unoca e recproca fra tutte le grandezze d un determnato genere e tutt numer nter, razonale e real secondo l caso... la msurazone rchede una relazone uno - uno tra l numero e le grandezze n questone: relazone che può essere dretta o ndretta... secondo le crcostanze (Bertrand Russel, I prncp della matematca) Quando s effettua la msura d una quanttà d grandezza lo scopo dell operazone è quello d assocare n modo unoco un numero alla quanttà d grandezza sottoposta all'operazone d msura. Quanttà d grandezza e msure deono corrsponders unocamente. Ad ogn quanttà d grandezza dee coè corrspondere una ed una sola msura e ad un numero dee corrspondere, nell'ambto della stessa classe d grandezza, una ed una sola quanttà d grandezza. Una grandezza può essere msurata con: - osserazon drette: quelle nelle qual s conta quante olte la grandezza campone è contenuta nella grandezza osserata. Un esempo d determnazone

2 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat dretta è la msurazone d una lunghezza con un nastro metrco. - osserazon ndrette: quelle che permettono d ottenere la msura d una grandezza msurandone altre. Sono defnte da un legame funzonale che lega una grandezza ad altre drettamente msurabl. (es: area l x l ). - osserazon condzonate: quelle che deono soddsfare aduna determnata equazone d condzone (es: somma angol nternd un trangolo 80 ). L INCERTEZZA DELLA MISURA L esgenza d ntrodurre l ncertezza nasce da una osserazone spermentale: la rpetzone della msura d una medesma grandezza n talune condzon porta a rsultat ders, sa pure tutt raggruppat n un nterallo lmtato. Per rdurre ad un unco alore la molteplctà d numer che s rferscono ad una stessa quanttà d grandezza, s deono cercare le cause che generano questa arabltà d rsultat della msura rpetuta e defnre delle modaltà per rcaare un unco alore dalla molteplctà de alor ottenut medante le operazon d msura rpetute. Tal cause engono ndduate n due possbl categore, una legata pù propramente a lmt mpost dagl strument con cu le operazon d msura engono effettuate, l'altra legata all'ambente n cu tal operazon hanno luogo. S defnsce sensbltà d uno strumento la pù pccola quanttà d grandezza msurable unocamente con esso. Esemp: per un rghello mllmetrato la sensbltà è mm; per una blanca con scala graduata n gramm la sensbltà è grammo. S defnsce precsone d uno strumento l rapporto tra la sensbltà dello strumento e la massma quanttà d grandezza (range) che lo strumento può msurare. La precsone è qund un numero admensonale; s dce che la precsone d uno strumento è tanto maggore quanto mnore è l numero che la esprme. Esemp: una rga d metro con suddsone n mllmetr ha una precsone d mm mm una blanca che può pesare una massa d enttà massma d 0 kg e aente una graduazone n gramm ha un precsone d g g

3 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 3 Per l fatto d essere admensonale, la precsone c permette d confrontare l'accuratezza d msure d derso tpo che nterengono nella determnazone d una grandezza msurata ndrettamente. Esempo: Una termometro per la msura corporea ha un range da 34 a 4 con graduazone n grad ha una precsone d g 0.04 ; 70g un metro estensble d m con suddsone n mm ha una precsone d mm ; 000mm s può affermare che l metro estensble sa pù precso. Una delle cause che crea la mancanza d unoctà su alor ottenut nel rpetere la msura d una stessa quanttà d grandezza, rsede nel fatto che generalmente no usamo gl strument pretendendo d aumentare con operazon d stma la sensbltà, oppure con operazon rpette la precsone. Ad esempo msuramo una lunghezza con un rghello mllmetrato e stmamo decm d mllmetro se la lunghezza non rsulta uguale ad un numero fnto d mllmetr. Oppure msuramo una lunghezza d decne d metr rportando pù olte una rga d un metro, commettendo delle mprecson. Quest due fatt, coè usare uno strumento al d fuor del suo campo d precsone, pretendere d aumentarne la sensbltà con un'operazone d stma, esempo: s msura una lunghezza con un rghello mllmetrato e s stmano decm d mllmetro se la lunghezza non rsulta uguale ad un numero fnto d mllmetr. Oppure s msura una lunghezza d decne d metr rportando pù olte una rga d un metro, commettendo delle mprecson. ntroducono nell'operazone d msura de fattor soggett, coè dpendent dal modo d esegure la msura da parte dell'operatore; quest fattor non s mantengono costant al rpeters dell'operazone d msura. Questo causa una dspersone de alor numerc che rappresentano l rsultato delle msure. Spesso s cerca d aumentare la precsone d uno strumento con operazon d stma e d rporto, ma è propro questa la causa degl gl error. Esempo: s uole msurare la lunghezza d una trae rettlnea con un metro graduato n mllmetr. Se la trae è lunga ders metr, la arabltà de rsultat nasce almeno da due cause: a) samo costrett a rportare pù olte lo zero del metro;

4 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 4 b) se alutamo la lunghezza al mllmetro, dobbamo stmare a quale tacca della graduazone corrsponde l estremo della trae. In ogn rpetzone del processo rport e la stma sono soggett a fluttuazon accdental che generano percò pccole arazon nel alore fnale stmato della lunghezza. Notamo che: - tanto maggore è l numero d rport, tanto maggor saranno le dscordanze fra le rpetzon della msura; - se la trae fosse lunga meno d un metro, non occorrendo rport, le msure dfferrebbero al pù per mm. Tal consderazon c mpongono d abbandonare l concetto d alore che una grandezza come enttà a se stante: s dorà sempre esprmere l rsultato d ogn operazone che msura assocando al alore numerco la alutazone dell ncertezza con cu esso è stato rcaato. A fanco al concetto d precsone s troa l concetto d accuratezza nteso come la concentrazone d msure rpetute. La msura ottmale dorà oamente essere precsa ed accurata Esstono, accanto alle fluttuazon accdental, anche le cosddette cause sstematche d errore, la cu natura emerge charamente consderando l modello usato per descrere l fenomeno. IL MODELLO Ogn descrzone matematca d un fenomeno fsco, utlzzata per esprmere l alore che un a data grandezza n funzone d altre grandezze o parametr, dee rcorrere a semplfcazon. Il modello dee essere percò: a) l pù semplce possble, perché sa utlzzable faclmente (non rcheda la conoscenza o la msura d tropp parametr); b) complcato quanto necessaro, n relazone alla approssmazone (ncertezza) che s rchede a alor predett dal modello stesso. Nel modello s dstnguono una componente funzonale ed una stocastca, che sono strettamente connesse: ) la componente funzonale descre analtcamente la relazone fra la grandezza osserable ed parametr (fsc, geometrc) che sono ad essa collegat. La rleanza, l numero ed l ruolo d quest parametr entro l modello dee essere alutato n relazone alla ncertezza da ottenere nella stma della osserazone: n funzone d

5 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 5 tale alore, potranno assumere mportanza o meno effett d tpo sstematco che possono essere modellzzat. ) la componente stocastca del modello é nece legata al complesso delle cause d arabltà del alore osserato che non s ncludono esplctamente nel modello funzonale: essa tene conto coè della dspersone delle msure douta a cause, dette accdental, che sfuggono ad una modellzzazone analtca o che s decde d non modellzzare analtcamente perché troppo complesse. Esempo: consderamo la msura d una dstanza pana L con una bndella centmetrata, lunga 50 m. Il coeffcente d dlatazone termca della bndella è b0-5 C - e la temperatura nell ambente d msura è d 0 C superore a quella rspetto a cu la bndella è stata graduata. S consder che l coeffcente d allungamento del materale 5 costtuente la bndella è a 5 0 kg e che la tensone applcata n fase d msura è d 5 kg. Le corrspondent arazon d lunghezza della bndella sono qund par a 5 L b T 50m 0 C 0 C cm 5 L a F 50m 5kg 5 0 kg, 5cm E edente che se oglo msurare con ncertezza cna al cm deo tenere conto della deformabltà della bndella, coè n sostanza deo correggere alor msurat L oss delle quanttà L e L. Il modello funzonale denta percò L b T a F L oss ( ) doe L oss rappresenta la stma d L, coè la alutazone della lunghezza ottenuta n base alle msure fatte. Il modello funzonale nclude qund due effett sstematc (la dlatazone termca e l allungamento douto alla forza applcata), consderat lnear, che rchedono d conoscere alor d b ed a, oltre alla msura d T ed F. Osserazon:. In condzon ambental stabl e con forza applcata costante, se non correggo ottengo una lunghezza L oss maggore d L (lunghezza effetta): commetto coè un errore d stma della grandezza a cu sono nteressato. La caratterstca d questo errore, che dpende da F e T, è l fatto che posso preederne l enttà, perché sono n grado d descrerlo analtcamente: errore sstematco. Supponamo d oler msurare una lunghezza per cu sa necessaro l rporto. Eseguamo derse sere d msure, arando n modo casuale da una sere all altra le condzon ambental e le forze applcate, senza correggere le osserazon. Ottengo allora una dspersone d rsultat assa maggore rspetto al caso precedente, n cu

6 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 6 alor osserat sono ds n tant gruppett, cascuno corrspondente ad una sere d msura: se aro n modo accdentale le condzon ambental e la forza, queste cause assumono, se non corrette, un comportamento d tpo accdentale, poché aumentano la dspersone delle osserazon. Pertanto la dstnzone fra comportamento sstematco ed accdentale, pur chara concettualmente, all atto pratco dpende dalle condzon specfche. Spesso, quando è presente un comportamento sstematco che tuttaa non s resce a correggere (ad esempo perché non é noto l alore d un parametro da cu esso dpende), l unca alternata è propro quella d rendere artfcalmente accdentale l sstematsmo, rpetendo pù olte la msura. Nelle operazon topografche gl strument mpegat, le condzon operate e ambental, le modaltà d msura sono tal per cu l ncertezza d msura dee quas sempre essere consderata. S pone pertanto l problema d un corretto trattamento de dat rleat. FENOMENI ALEATORI C sono fenomen l cu esto non è preedble a pror. Ad esempo: - l rsultato del lanco d un dado; - la msura d una lunghezza; - l peso d uno studente scelto a caso. Per quanto ncapac d preedere con esattezza l rsultato del sngolo eento, samo però n grado edenzare delle regolartà, d descrere un comportamento n meda. Nel caso che pù nteressa l rleo, oero la msura d grandezze, l affermazone appena fatta mplca l assunzone che la arabltà (oero l ncertezza) d msura d tpo accdentale possa essere descrtta a pror da un meccansmo d tpo probablstco, coè che le oscllazon de alor osserat sano rappresentabl come estrazon da una arable casuale. Le dscplne che studano come descrere e nterpretare fenomen aleator sono:. la teora della probabltà: essenzalmente dedutta, nsegna a costrure le probabltà d eent compless a partre da un modello stocastco noto.. la statstca: d tpo ndutto, cerca d rcostrure un modello stocastco a partre da eent gà realzzat; essa s artcola n: - teora della stma (la rcerca della mglor stratega d nterrogazone della realtà per estrarre nformazon sul fenomeno); - nferenza, coè nella erfca d potes sul modello nterpretato del fenomeno, erfca che, necessaramente, s effettua sulla base d dat estratt dal fenomeno.

7 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 7 Defnzon: arable aleatora o stocastca: una enttà, numerca o non, che può assumere uno solo tra tutt alor d un nseme, ed a cascuno de qual è assocata una probabltà. arable statstca: una enttà che, nelle osserazon effettuate sulle untà che costtuscono la popolazone, ha assunto pù alor, frequentemente ders tra loro. S defnsce noltre: a) popolazone l'nseme d N untà statstche o nddu che possedono tutt una stessa caratterstca che s presenta n quanttà dfferent; b) attrbuto la caratterstca suddetta (oggetto della rleazone); c) alor argomental dfferent alor dell'attrbuto che possono presentars negl nddu della popolazone; d) frequenza assoluta l numero degl nddu che hanno lo stesso alore argomentale; e) frequenza relata l rapporto tra la frequenza assoluta ed l numero totale degl nddu della popolazone. Una arable statstca può essere rappresentata grafcamente medante l stogramma. La rpetzone delle msure o rdondanza E necessaro sottolneare che condzone necessara per applcare un trattamento statstco alle msure è la rpetzone delle osserazon (rdondanza). Analtcamente la rdondanza è data da: r n m con n numero delle osserazon e m numero delle ncognte CLASSIFICAZIONE DEGLI ERRORI Come abbamo sto se msuramo una grandezza pù olte, otterremo una sere d msure, che, causa gl error sempre present nell atto del msurare, dfferranno fra loro. - error grossolan: quando n una sere d msure s ha un alore che s dscosta nettamente. Sono dout essenzalmente alla dsattenzone o alla poca perza dell osseratore. S mettono n edenza e s elmnano eseguendo un numero esuberante d msure per poter n seguto esegure delle erfche ( esempo; trascrzone errata d una msura, ); - error sstematc o bases: s manfestano regolarmente al rpeters delle msurazon e sono da mputare a are cause, qual dfett strumental. Per correggerl

8 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 8 s rcorre a legg determnstche (error d ertcaltà, error nel consderare lo zero della cordella metrca, ) 3- error accdental o random errors: s presentano con ammontare derso ad ogn msura, spesso non preedbl. Non sono elmnabl ma rducbl aumentando la precsone dello strumento, oppure rpetendo l operazone. Per correggerl s rcorre a legg statstche e costtuscono l campo d applcazone della teora degl error, la quale ha come duplce scopo quello d: a) trarre una sere d osserazon d una grandezza un alore da assumere che, tra tutt quell deducbl, da l massmo affdamento, ossa abba la massma probabltà d concdere con un alore ero; b) stablre un crtero globale per gudcare la precsone delle osserazon esegute e l alore assunto dalla grandezza osserata, aendo constatato che gl error accdental non s elmnano, ma s compensano. PARAMETRI STATISTICI Consdereremo le nostre sere d msure affette da sol error d tpo accdentale. Aere una sere d dat nzal comporta la necesstà d troare certe caratterstche numerche che rassumono fedelmente le nformazon contenute ne dat e che s prestno bene a calcol. Quest alor, destnat a rappresentare dat nzal d una sere d msure, deono permettere calcol ulteror e rappresentare dat nzal; ess engono appunto dett parametr statstc della sere n oggetto. Un parametro statstco è tanto pù effcace quanto meglo rassume l contenuto nformato de dat nzal con la mnor perdta d nformazon e quanto meglo s presta a calcol ulteror e test. I parametr statstc pù effcac sono: la meda artmetca de dat; la aranza o la deazone standard. Quest due parametr sono quell che contengono la maggor quanttà d nformazon utl. La MEDIA è l alore centrale attorno a cu oscllano alor troat. µ X f N Essa racchude solo una parte dell nformazone su dat perché le manca una caratterstca essenzale, quella coè d non drc come alor oscllano ntorno a le. Vene defnta un ndce d poszone perché ndca la poszone del alore centrale sulla scala de alor. Esstono altr ndc d poszone come:

9 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 9 la MODA, che rappresenta l alore pù frequente della dstrbuzone la MEDIANA che rappresenta l alore centrale della dstrbuzone, come rsulta dopo l rordno della popolazone. La VARIANZA msura la dspersone de alor attorno alla meda, e dera da consderazon matematche. La aranza, che s ndca generalmente con la, la defnamo matematcamente come la somma de quadrat degl scart ds per l numero de grad d lbertà. ( µ ) x f N A dfferenza della meda, la aranza ene defnta un ndce d dspersone, perché ndca come le osserazon sono concentrate attorno ad un alore. Un altro parametro ntuto è lo SCARTO (o deazone standard), oero la dfferenza fra un generco alore della sere e l alore medo. La DEVIAZIONE STANDARD o SQM altr non è che la radce della aranza. Rassumendo: Meda µ X f N Varanza x f N Deazone standard o sqm Errore standard della meda o eqm della meda m N doe f frequenza relata N popolazone X osserazone x scarto

10 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 0 Esempo: calcolo del alore dell altezza d un ano. Nel nostro caso è: Popolazone: 7 msure Attrbuto: altezza del ano Valor argomental:.75; ;.7;.685;.70 Osserazon X [m] Scarto x (X - µ) [m] Scarto al quadrato x,75 0,0 0,00049,705 0,00 0,00000,690-0,03 0,0007,75 0,0 0,0005,700 0,003 0,0000,685-0,08 0,0003,700-0,003 0,0000 sommatora Σ: 8,90 sommatora Σ x : 0,000 sommatora Σ x : 0,004 meda µ [m],703 aranza [m²] 0,0009 moda [m],700 sqm [m] ± 0,006 medana [m],700 I grad d lbertà S defnsce Sere d msure ndpendent: una sere n cu nessun alore può essere dedotto dalla conoscenza degl altr alor. Sono coè ndpendent fra loro. Se le msure sono n e ndpendent, grad d lbertà sono parment n. S consderno gl scart x : n una sere l ultmo è determnato e può essere calcolato a partre da prm alor perché la somma algebrca degl scart dee essere uguale a zero. Percò, nella sere d n scart n- alor sono ndpendent fra loro, oero grad d lbertà della sere scart sono n-. Passando dalla sere msure alla sere scart s perde sempre un grado d lbertà. I grad d lbertà esprmono l numero d dat effettamente dsponbl per alutare la quanttà d nformazon contenuta n ess. Non è l numero totale de dat che conta, ma l numero de dat ndpendent. quando un dato non è ndpendente le sue nformazon potenzal sono gà present negl altr dat.

11 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat Una sere d msure come campone d una propagazone Una sere d msure altr non è che un campone preso dalla popolazone delle msure possbl d una grandezza, che sono nfnte. Fno a che punto l campone esprme le caratterstche della popolazone orgnara? L esperenza ha dmostrato che la maggor parte delle msurazon possono consderars estratte da popolazon d orgne dstrbute normalmente. In una dstrbuzone normale: uno de alor apparrà con frequenza massma, alor pù bass o pù alt d questo comparranno con una frequenza tanto mnore quanto s allontanano dal alore pù frequente. Rsulta lecto pors l questo d troare un tpo d funzone f(x) che nterpol bene gl stogramm (andamento arable causale normale) e che possa essere consderata come la funzone della dstrbuzone delle probabltà della arable causale d meda µ e aranza assocable ad una qualsas popolazone d msure possbl. La funzone f(x) che rsulta pù donea a questo scopo, è la cura d Gauss, che ha la seguente espressone: f ( x) e π x µ doe µ e sono rspettamente meda e aranza della arable causale. Possamo pertanto concludere che: - dat una certa quanttà d grandezza da msurare, lo strumento d msura e l'ambente n cu s opera, s genera una popolazone d msure possbl; - questa popolazone d msure è rappresentable con una arable casuale contnua, defnta tra - e +, che ha una meda µ, uno scarto quadratco medo ed una dstrbuzone d probabltà defnta dalla espressone della cura d Gauss.

12 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat frequenze relate x n-k µ xn+k alor Fg : cura gaussana e dstrbuzone degl error La cura normale, detta cura o dstrbuzone d GAUSS ha una forma a campana ed è smmetrca rspetto al alore d massma frequenza. E computamente nota quando s conoscono l ascssa della sommtà della cura, che è l alore medo, e la dstanza da questo de punt d flesso della cura, smmetrc a destra e a snstra della meda, che altr non sono che la deazone standard. La fgura mostra la dstrbuzone normale d una popolazone con meda µ e deazone standard ±. I alor che s allontanano dalla meda sono pù rar d quell ad essa cn. L espressone matematca della cura, che è asntotca, c dce che tutt gl nddu della popolazone stanno sotto la cura tra - e + + la probabltà che un ndduo preso a caso fra la popolazone present un alore compreso entro un nterallo assegnato è data dal calcolo dell area sottesa dalla cura n quel nterallo. Quest alor sono contenut n apposte taole. Per esempo l 68,6% della popolazone s troa nell nterallo µ ±, l 94,44% fra µ ±, l 99,73% fra µ ± 3, l 00% fra µ ±.

13 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 3 La stma d µ e d S può dedurre che è possble stmare alor pù probabl d µ e. La mglor stma della meda µ della popolazone è la meda artmetca X La mglor stma della deazone standard della popolazone è la deazone standard S del campone. L errore standard della meda Negl esercz precedent s sono rappresentat parametr statstc X e S del campone estratto dalla popolazone delle msure possbl. Supponamo ora d estrarre dalla popolazone un altro campone d se msure e calcolamo la meda X (pure essa una stma d µ): l suo alore sarà leggermente derso da X. Procedamo analogamente ottenendo un altro campone d se nddu e qund una meda X e così a. Se rpetessmo nfnte olte questa operazone otterremmo una popolazone d campon cascuno con l suo alore della meda. Esste un teorema fondamentale che dce che : Se una popolazone è dstrbuta normalmente con meda µ e deazone standard, le mede d un numero nfnto d campon, cascuno composto da n nddu estratt a caso dalla popolazone, s dstrbuscono secondo la cura normale la cu meda è µ e la cu deazone standard è n. m frequenze relate Dstrbuzone d mede d campon d alor Dstrbuzone d mede d campon d 6 alor Dstrbuzone de dat nddual µ - alor Fg : Cura d Gauss: nddu e mede de campon Le mede calcolate a partre da un campone oscllno molto meno attorno alla meda

14 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 4 d quanto non faccano gl nddu che costtuscono l campone. Quanto è maggore la dmensone del campone oero l numero n d nddu che lo compongono, tanto mnore è la dspersone delle mede attorno al alore ero. Al lmte, quando µ ±, la deazone standard tende a zero e qund la meda stmata tende alla meda era oero alla msura era. SCARTO QUADRATICO MEDIO E TOLLERANZA Data qund una sere d osserazon, l calcolo dello scarto quadratco medo s.q.m., oltre a fornre l grado d precsone, tramte l equazone ± x con cu s sono n effettuate le msure, stablsce anche lmt, dat dall nterallo µ 3 < X < µ + 3, oltre qual gl error non potranno pù essere consderat come accdental e pertanto trattat come tal. Per questo moto l alore: t3 è chamato tolleranza e tutte le osserazon, cu scart superano tale alore, doranno essere scartate dalle msurazon n quanto probablmente affette da error materal (grossolan). Pertanto fssare la tolleranza n un rleo sgnfca fssare la massma quanttà n cu una msura può dscostars dal alore della meda (alore pù probable) n pratca sgnfca fssare l'ampezza dell'nterallo d dspersone delle msure. Se, ad esempo, ene rchesto d determnare la quota d un punto con la tolleranza d ± cm, questo sgnfca che s dorà operare con una metodologa tale per cu la popolazone d msure possbl sa tutta contenuta entro un nterallo che a da - cm a + cm nell'ntorno del alore µ, che possamo chamare quota gusto del punto n questone. Ma, per ottenere questo rsultato, le operazon doranno essere ottmzzate per ottenere un s.q.m. par a ± cm. 3 Generalmente d un metodo d msura o d uno strumento s dà l s.q.m. a pror. S dce ad esempo: con questo teodolte s possono msurare gl angol con s.q.m ± " d errore, ntendendo con questo che s può sbaglare nella determnazone dell'angolo anche d 6". Imporre l's.q.m. sgnfca mporre anche le condzon d accdentaltà degl error e della loro dstrbuzone gaussana. Vceersa se s mpone la tolleranza s dee accettare un laoro anche se s constata che gl error n esso present, pure essendo tutt nferor alle tolleranze, sono tutt dello stesso segno e, come alore assoluto, tutt poco al d sotto della tolleranza.

15 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 5 PROPAGAZIONE DELL ERRORE Abbamo sto come la meda e la aranza d una arable casuale monodmensonale sano n grado d rappresentarne l barcentro e la dspersone. In topografa però raramente s msura drettamente la quanttà che s uole determnare: ad esempo s msurano angol azmutal, zental, dstanze e dslell per determnare coordnate ecc.(osserazon ndrette). Occorre allora poter rcaare la meda e la aranza della arable casuale funzone d altre arabl casual, oero derare le caratterstche d aleatoretà della grandezza msurata ndrettamente, una olta not parametr caratterstc delle quanttà msurate drettamente. Nel caso d osserazon lnear ndpendent l una dall altra, la legge che regola la propagazone dell errore può essere scrtta n questo modo: a + b +... f x y n cu x e y sono le aranze delle derse msure, mentre a e b sono coeffcent. Esempo: calcolo dell ncertezza d una msura Sommando l segmento AB d lunghezza 5 con ncertezza par a 3 cm e l segmento BC d lunghezza 54 e ncertezza par a 4 cm, quale sarà la lunghezza e l ncertezza del segmento totale AC? La lunghezza sarà data da: cm Mentre l ncertezza sarà: 3^ + 4^ 5 +/-5 cm per cu l segmento AC 79 cm +/- 5 cm

16 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 6 IL PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATI Supponamo d aere una grandezza η della quale s faccano n osserazon l ndpendent; sano,,... gl error d osserazone. Il problema è quello d determnare l alore pù probable d η sulla base delle n osserazon l, l che equale a troare pù probabl alor per. Quest ultm, nelle potes fatte, sono n arabl casual, cascuna delle qual segue la dstrbuzone normale, con denstà d probabltà data dalla ( ) e f π Sccome le arabl sono fra loro ndpendent per l teorema delle probabltà composte, la probabltà che aengano n eent contemporaneamente è data dal prodotto delle probabltà de sngol eent, s ha che la funzone denstà d probabltà congunta è data dal prodotto delle are funzon component. ( ) n n n n n n n e e e e f......,...,, π π π π La funzone ( ) n,...,, f denstà d probabltà raggunge l massmo del suo alore quando l esponente raggunge l mnmo. Per cu s può screre: mn n Se ntroducamo una costante arbtrara o non ene modfcato l rsultato della condzone d mnmo, n quanto o rappresenta numercamente un fattore d scala. mn n o Detto P o, peso dell osserazone, la condzone d mnmo denta: mn P P t n η η η n l n l l...

17 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 7 Una osserazone che abba aranza aranza dell untà d peso. ha peso e percò è chamata o Usando altr termn, s può affermare che data una sere d osserazon ndpendent, alor pù probabl sono quell per cu la sommatora de loro scart al quadrato sa mnma. Questo tpo d compensazone rguarda sstem d equazon lnear o lnearzzate che hanno un numero d equazon maggore del numero d arabl. I sstem soradetermnat ( pù equazon che ncognte) non hanno una soluzone unca e qund s cerca la soluzone mglore (d mnma aranza). A causa degl error d msura present, error che rterremo d tpo accdentale oero escludendo error sstematc o grossolan, l legame tra osserazon e ncognte arà un resduo ν. In poche parole, se rsolessmo nel sstema soradetermnato un numero d equazon uguale al numero delle ncognte x aremmo un sstema esattamente determnato. Sosttuendo però le ncognte x nelle rmanent equazon del sstema soradetermnato queste non sono dentcamente nulle, ma ammettono de resdu dout agl error d msura. Conene pertanto determnare le ncognte x n modo tale che resdu sano rpartt n ragone proporzonale all ncertezza delle osserazon, così che sa mnma la sommatora de loro scart quadrat. f x, α, doe ogn equazone alle msure è Il sstema soradetermnato è del tpo ( ) f x,. del tpo ( α ) V sono due problem da rsolere. Il prmo è che non tutte le equazon del sstema contano allo stesso modo, occorre coè pesarle. Il secondo è che molto spesso le equazon s presentano n forma non lneare e percò occorre lnearzzarle. La soluzone al secondo problema è semplce n quanto se supponamo che le quanttà msurate α non sano eccessamente dsperse, oero sano affette da error solo accdental e pccol, anche le x k non dfferranno eccessamente tra d loro. Sarà percò possble troare de alor approssmat delle ncognte x e operare un cambamento d arabl del tpo x xo + δx sluppable n sere d Taylor arrestata al prmo ordne. f x, α generca del sstema s ha: Esplctando una equazone ( ) f f f f ( xo, α ) + δx + δx δxm x x x o o m o doe l prmo termne è una quanttà nota l e coeffcent

18 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 8 f xk o delle nuoe ncognte δx k costtuscono una matrce A. Il nuoo sstema lneare (o lnearzzato) assume la forma A δ x + l n m ncognte δx e n ncognte. Il prmo problema, quello de pes delle equazon, può essere rcondotto alla determnazone della aranza dell osserazone. Anche senza doerla stmare emprcamente attraerso l anals della dstrbuzone d ogn sngola osserazone, s può fare rfermento, nell ambto delle msure, alla aranza dello strumento d msura. Il peso da assegnare a cascuna equazone è percò nersamente proporzonale alla aranza dell osserazone. La matrce de pes P è una matrce dagonale del tpo: P P.. 0 P P n Il sstema sottodetermnato A δ x + l, assocato alla condzone d mnmo pesato della somma degl scart al quadrato, dà luogo ad un sstema esattamente determnato detto sstema normale Aδx + l sstema normale P mnmo la cu soluzone è data da: δx δx t t δ x ( A PA) A Pl.. δx m La stma delle aranze delle ncognte δx è data da termn dagonal h della matrce quadrata ( ) A t PA moltplcat per un termne detto aranza dell untà d peso. o Questo è formato dalla sommatora degl scart pesat al quadrato ds per la rdondanza del sstema, oero P t P o n m n m

19 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 9 LA PRECISIONE NEGLI ELABORATI DI RILIEVO: ERRORE DI GRAFICISMO E SCALA NOMINALE A questo punto s può affermare che l prmo obetto delle operazon d rleo non è la determnazone del alore ero della msura, ma stablre statstcamente l errore che potremmo ncontrare nelle msurazon e qund prefgurare e fssare l nterallo all nterno del quale consderare attendble l rsultato. In ogn operazone d rleo andrà così alutata l ncertezza che s potrà rscontrare nelle msure, ed a laoro effettuato andrà effettamente erfcato che non s sa superato quel alore. Fno ad ora s è osserato come l ncertezza dpenda da molt parametr, tra cu le condzon n cu s opera, le procedure, le tecnche, gl strument, l operatore Spermentalmente è stato comunque erfcato che è possble utlzzare come parametr d ncertezza quell derant dall errore d grafcsmo, n cu le ncertezze sono relazonate alla scala d rappresentazone. Per conenzone l errore d grafcsmo è l errore nsto n una lnea dello spessore d 0.mm (lo spessore pù pccolo comunque rproducble al tratto), per cu ad ogn scala questo fattore assume un alore specfco. S calcola moltplcando 0. mm per l denomnatore della scala e.g. 0. mm x denomnatore Scala Se ad esempo consdero un rleo n scala :00, una lnea d 0, mm rappresenta lo spessore d cm. Se msuro un taolo su quel dsegno, leggo sul decmetro l alore d.8 cm, che rportato n scala corrsponde a,8 metr. Questo alore è msurato consderando le due lnee d bordo, per cu non sapendo cosa succede nello spessore al reale delle lnee, per esattezza dore dre che l mo taolo è lungo.8 ± 0.0 metr. Un ulterore consderazone rguarda la relazone tra l ncertezza e l attuale produzone degl elaborat d rleo. L uso dello strumento nformatco è orma completamente assodato e dffuso, per cu è necessaro anche relazonars a questo strumento. Trattandos d dsegno al CAD, generalmente s rtene che non esstano lmt d scala e che s possa dsegnare e qund rleare a qualsas scala, e solo n fase d stampa decdere l fattore d rproduzone. Non esstono pù neppure lmt dat dallo spessore della matta che una olta mpedano l traccamento d due lnee parallele oppure rendeano ncerto l punto d ncontro d due arch d cercho. Per quest mot sembra orma mpropro parlare d errore d grafcsmo. Questo non è del tutto ero perché anche se sono stat elmnat gl error d traccamento (due arch d cercho d ncontrano n un punto unoco), l dsegno al calcolatore non nterene nella precsone della msurazone che s effettua sul foglo stampato. Graze a quest ultma consderazone s consdera aldo l concetto d errore d grafcsmo e gl s affanca anche l concetto d SCALA NOMINALE, ntesa come la scala d rduzone (o d

20 Captolo - Dalla teora degl error al trattamento de dat 0 ngrandmento) per cu è corretto stampare un dsegno. Quando s dce che un rleo resttuto al CAD ha scala nomnale :N s ntende che ha contenuto metrco e semantco d un corrspondente dsegno su carta d par scala; per cu l ncertezza delle msure e l numero de segn rsulta approprato. Vene utlzzato l termne nomnale per contraddstnguerla dalle normal scala d rappresentazone. Infatt aendo un rleo realzzato al CAD, è sempre possble stamparlo con ders fattor d scala: n alcun cas l dsegno stampato sarà troppo rcco d segn (e qund le lnee s mpasteranno tra loro), mentre n altr cas dsegno sarà troppo poero. La scala nomnale non fornsce solamente l alore dell ncertezza del dsegno, ma da anche delle ndcazon all operatore ancor prma d nzare la fase d msurazone. Infatt è nutle rleare dettagl che sono contenut nell ncertezza del dsegno, perché rsulteranno ntern allo spessore della lnea. Così ad esempo doendo rleare un dettaglo, o un ordne archtettonco, alla scala :00, non s doranno rleare gl element d dmensone mnore al centmetro. Se s realzza un rleo a scala nomnale :00 (e qund s rleano tutt gl element maggor o ugual a cm) e lo s stampa ad una scala mnore :00 o :500, le lnee saranno mpastate e non sarà possble rconoscerle con esattezza. Se nece s stampa lo stesso dsegno n scala :50 o :0, l dsegno sarà poero d lnee. Scala NOMINALE INCERTEZZA :000 0 cm :500 0 cm :00 4 cm :00 cm :50 cm :0 0,4 cm (4 mm) :0 0, cm ( mm) :5 0, cm ( mm) Tab. : rapporto tra scala nomnale e ncertezza

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