Propagazione delle incertezze

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1 Propagazone delle ncertezze In questa Sezone vene trattato l problema della propagazone delle ncertezze quando s msurano pù grandezze dfferent,,,z soggette a error d tpo casuale e po s utlzzano tal grandezze per calcolare altre grandezze espresse come funzon delle grandezze msurate q(,,, z ) Occorre dotars d metod per stablre l ncertezza da attrbure al rsultato fnale Se le grandezze,,,z sono soggette solo ad error d tpo casuale, esse sono dstrbute normalmente con parametr d larghezza,,, z Sulla base d quanto vsto n precedenza, queste possono essere assunte come le ncertezze su base statstca da assocare alle msure delle sngole grandezze Per stablre come le dstrbuzon delle grandezze msurate nfluenzno la dstrbuzone della grandezza q è utle procedere per pass () Somma d una costante numerca con una grandezza msurata Sa q = + A, dove A è dato da un valore numerco noto d una grandezza, prvo d ncertezza, e è la grandezza msurata Se è soggetta a una dstrbuzone normale per suo possbl rsultat, allora sano quest dstrbut attorno al valore con parametro d larghezza dato da La probabltà d ottenere l generco valore (n un ntervallo d) è dato da f ( ) d ello specfco s ha ( ) P( ) e Per trovare la probabltà d ottenere l valore q s consder che s può porre = q A, per cu ( q A) q ( + A) P( q) e = e S ha coè che valor d q sono normalmente dstrbut attorno a + A, con larghezza par a f() f() +A Prendendo come l ncertezza sulla msura d, l ncertezza su q è dunque par all ncertezza che s ha su Indcando genercamente tal ncertezze come dq e d s ha

2 dq = ; d = ; dq = d q () Grandezza msurata moltplcata per una costante numerca Sa B un coeffcente numerco noto senza ncertezza e s consder la grandezza q = B dove è una grandezza msurata soggetta a dstrbuzone normale In completa analoga con l caso precedente, la probabltà d ottenere un determnato valore d q è data da [ q / B ] [ qb ] B P( q) P( = q / B) e = e S è ottenuto che valor d q sono dstrbut normalmente, con centro n B e con larghezza data da B Prendendo come l ncertezza sulla msura d s ha che dq = B d (3) Somma d due grandezze msurate S supponga d effettuare la msura d due grandezze ndpendent e soggette solo ad error d tpo casuale S vogla calcolare la loro somma S ha q = + Sano e dstrbute normalmente attorno a valor e con parametr d larghezza e S troverà che la dstrbuzone de valor calcolat per la somma è d tpo normale, con centro dato da + e larghezza data da = + Una somma del tpo q a + b vene soltamente detta somma n quadratura o somma quadratca Per semplctà s assuma che sa = = (le due dstrbuzon sono centrate sull orgne) Le probabltà d ottenere un generco valore ed un generco valore sono date da P( ) e P( ) e Poché e sono msurat ndpendentemente, la probabltà d ottenere qualunque e qualunque è dato dal prodotto delle sngole probabltà + P(, ) e Data la probabltà d ottenere e ndpendentemente, è possble da questa dervare la probabltà d ottenere un dato valore per + Tenendo conto che ( ) ( ) ( ) ( ) + B A + + = + = + z A B A + B AB A + B A + B

3 s ha ( + ) z + P(, ) e La probabltà d ottenere qualunque valore d e ndpendentemente scrtta n questo modo può anche essere vsta come la probabltà d ottenere qualunque valore della somma + e qualunque valore d z, P( +, z) Per ottenere la probabltà d avere qualunque + ndpendentemente dal valore assunto da z, occorre sommare (o meglo ntegrare) su tutt suo possbl valor P( + ) = P( +, z) dz Integrando l termne Per cu z e tra e s ottene π, come vsto n precedenza ( + ) + P( + ) e Cò mostra che la probabltà d ottenere un valore d q = + è ancora una volta legata ad una dstrbuzone d tpo normale, la cu larghezza è data da = +, da cu = + el caso n cu e non sano entramb null, s può porre ( ) ( ) + = + + ( + ) q q In questo modo q è stato scrtto come la somma d tre contrbut I prm due termn sono centrat sullo zero con larghezze date da e, per quanto vsto n precedenza S ottene dunque che la somma de prm due termn è normalmente dstrbuta, con larghezza data dal parametro + Il terzo termne corrsponde ad un valore fssato, per cu, per quanto vsto al punto, esso trasla semplcemente l centro della dstrbuzone n corrspondenza del valore +, senza nfluenzare la larghezza Rassumendo, se q = +, con centrato su e centrato su, s ha che q è normalmente dstrbuta con centro n + e larghezza data da = + q Assumendo e come ncertezze su base statstca delle msure delle grandezze e s ha che = d; = d; dq = d + d S not che allo stesso rsultato s gunge anche per la dfferenza tra due grandezze (4) Caso generale 3

4 S supponga d msurare due grandezze e ndpendent ed cu valor sano dstrbut normalmente con parametr d larghezza dat da e S vogla calcolare una qualunque grandezza q (, ) espressa ne termn d e Sano noltre d vcn a e valor d vcn a ) Per l espressone d q (, ) s può allora usare l approssmazone q (, ) q (, ) + ( ) + ( ),, e pccole (sano coè valor Le dervate parzal sono calcolate per e fssat a e rspettvamente Espressa n questo modo q (, ) è data dalla somma d tre termn Il prmo (, ) q è un numero fssato Esso sposta semplcemente la dstrbuzone de rsultat Il secondo termne è dato dal prodotto d un numero fssato moltplcato per ( ) la cu dstrbuzone ha larghezza Per quanto vsto ne precedent punt, valor del secondo termne sono centrat sullo zero con larghezza data da Dscorso analogo vale per l terzo termne Esso fornsce valor dstrbut normalmente, centrat sullo zero e con larghezza data da Combnando tre termn e rcordando quanto stablto ne punt precedent s ha che q (, ) fornsce una dstrbuzone centrata attorno a q (, ) e con larghezza data da q = + Identfcando le ncertezze d e d d e con e rspettvamente s ha dq = d + d Questa relazone rappresenta l espressone generale per la propagazone degl error n grandezze che dpendono n modo qualunque da una sere d grandezze msurate tra loro ndpendent e affette q,,, z dpenda da molte varabl, la trattazone da ncertezze d tpo casuale Qualora ( ) precedente può essere estesa per ottenere dq = d + d + + dz z 4

5 I rsultat appena espost rassumono tutt gl effett d propagazone delle ncertezze su una qualsas grandezza espressa come funzone d grandezze msurate affette da dstrbuzone normale de possbl valor In alcun test vengono fornte alcune regole d propagazone delle ncertezze che sono rcavate su base non statstca Esse fornscono n ogn caso una stma per eccesso sulle ncertezze delle grandezze dervate Quest rsultat possono essere così rassunt: Somma o dfferenza tra due grandezze: q = ± dq d + d d d Prodotto o quozente tra due grandezze: q = oppure q = dq + q Prodotto d una grandezza per numero esatto: q = B dq = B d Potenza d una grandezza: = = n n q dq n d Queste regole rappresentano comunque de lmt superor alla valutazone delle ncertezze delle grandezze dervate Se v è qualche ragone d sospetto che gl error sulle grandezze msurate non sano ndpendent e casual, allora le regole dervate su base statstca, e che conducono alle somme quadratche per le ncertezze come ottenuto ne punt ()-(4) precedent, non possono essere applcate D altra parte le regole approssmate ora fornte rappresentano sempre un lmte per eccesso sulle ncertezze Può essere una buona norma, solo n questo caso, utlzzare le regole approssmate Spesso, d fatto, v è poca dfferenza se s sommano le ncertezze n quadratura o drettamente Incertezze relatve S è snora parlato d ncertezza d su una grandezza come margne d confdenza per l rsultato della msura d cadere n prossmtà del valore vero assunto dalla grandezza È spesso utle ndcare la percentuale d tale errore rspetto al valore della grandezza msurata S defnsce errore relatvo la quanttà data da Errore relatvo d = L errore relatvo fornsce un dea della bontà della msura, dando un ndcazone approssmatva della sua qualtà L errore d è nvece spesso ndcato come errore assoluto Al contraro dell errore assoluto che ha le stesse dmenson della grandezza, l errore relatvo è admensonale, n quanto rapporto tra grandezze omogenee Poché l errore relatvo è spesso un numero pccolo, è spesso convenente moltplcarlo per e rappresentarlo come ncertezza percentuale d Errore percentuale = A ttolo d esempo, error percentual d % sono ndce d msure puttosto rozze, mentre error percentual d % o % ndcano msure abbastanza accurate Propagazone degl error e statstca n un espermento 5

6 In molt esperment l ruolo della propagazone degl error è complementare a quello dell anals statstca In molt altr cas nvece, l espermento può essere analzzato utlzzando sa la propagazone delle ncertezze, sa metod statstc Sarebbe buona norma segure entrambe le strade, per valutare se esse conducono, almeno approssmatvamente, alle stesse rsposte A ttolo d esempo s consder la msura dell accelerazone d gravtà a partre dalla msura del perodo delle oscllazon d un pendolo Dallo studo del moto del pendolo s ottene che l accelerazone d gravtà può essere ottenuta n funzone della lunghezza del flo del pendolo e del perodo d oscllazone In partcolare g = 4π l, dove T = π e ω = g Per ottenere l ncertezza su g è possble T ω l msurare separatamente l e T e qund usare la propagazone degl error Alternatvamente è possble rpetere la msura d g parecche volte ed analzzare statstcamente la dstrbuzone d valor ottenut I valor delle ncertezze ottenute ne due mod dovrebbero ragonevolmente essere sml Devazone standard della meda S supponga d avere msure della grandezza e che queste sano dstrbute normalmente attorno al valore vero con parametro d larghezza È possble cheders quale sa l ncertezza, e dunque l affdabltà, da assocare alla meda come mglore stma del valore vero La meda = = best = può essere vsta come una funzone semplce degl valor È dunque possble utlzzare le regole d propagazone delle ncertezze vste n precedenza per determnare la dstrbuzone de rsultat In questo caso s ha che tutte le sono msure della stessa grandezza, con lo stesso valore vero e lo stesso parametro d larghezza Da quanto vsto, poché tutte le msure sono dstrbute normalmente, deve essere dstrbuta normalmente anche la loro somma e d conseguenza l valore medo Inoltre, poché tutte le hanno lo stesso valore vero comune, l valore vero della meda deve essere dato da = = = S ottene qund che nell potes d effettuare parecche volte lo stesso nseme delle msure, possbl valor d ottenut sarebbero dstrbut normalmente attorno al valore vero Per quanto rguarda la larghezza della dstrbuzone s ha che = S veda a tal proposto S annarone, L Pasqual, Fsca A, Athena Edtrce, Captolo 4 6

7 e poché tutte le msure hanno la stessa e = = = =, ne consegue che = = = volte, gustfcando quanto è stato antcpato n precedenza In conclusone, se s effettua una sere d msure una sola volta, allora s può essere confdent al 68% che l rsultato della meda gacca entro (per eccesso o per dfetto) dal valore vero può dunque essere presa come ncertezza della meda Essa è anche detta devazone standard della meda Dscrepanza e anals statstca La statstca permette d stablre n termn quanttatv crca l accettabltà o meno della dscrepanza tra due valor, sano ess l rsultato d due dfferent msure della stessa grandezza (ad esempo effettuate con due dvers apparat o da due dvers osservator) oppure sa uno d ess l rsultato d un operazone d msura e l altro l valore atteso, noto per altra strada Cò può essere fatto n base alla dstrbuzone de valor msurat best atteso S consder l ultmo caso Ponendo t =, l parametro t fornsce l numero d devazon standard per cu best dffersce da atteso È possble calcolare la probabltà d ottenere uno specfco valore d t (o maggore d esso) come P(fuor da t ) = P(entro t ) Se P(fuor da t ) è suffcentemente alto (convenzonalmente maggore d 5%) allora v è una ragonevole confdenza che la dscrepanza non sa sgnfcatva Se P(fuor da t ) è basso (mnore d 5%) é molto mprobable ottenere tal valor d t e la dscrepanza è sgnfcatva In altr termn atteso non è ragonevolmente l valore vero attorno a cu le msure sono dstrbute Se po P(fuor da t ) è mnore d % la dscrepanza è altamente sgnfcatva 7