Le quote e q sono incognite. Il sistema è ridondante: 3 equazioni (osservazioni) e 2 incognite.

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1 Compensazone con l metodo de mnm quadrat Introduzone Le msure geodetche e topografche, che n molt cas non rguardano solo dstanze e angol, ma anche quanttà non puramente geometrche, come ad esempo l'ntenstà del campo della gravtà, sono legate alle quanttà da stmare, che n generale sono coordnate o quote d punt, da sstem d equazon, che costtuscono l modello della rete Il modello è spesso puramente geometrco, ma può anche contenere aspett dnamc, come nel caso della determnazone d dfferenze d quote ortometrche o d geopotenzale, che rchedono msure del modulo della gravtà Tutte le msure sono affette da error casual, descrtt dalla matrce d covaranza delle osservazon, che costtusce l modello stocastco In molt cas le osservazon sono stocastcamente ndpendent, nel senso che gl error casual d cascuna msura non sono nfluenzat dagl error casual delle altre, e sono qund ncorrelat La matrce d covaranza è qund dagonale, e suo element sono le varanze delle sngole osservazon, che ndcano l lvello d precsone con cu vengono esegute In generale nelle ret geodetche e topografche vene eseguto un numero rdondante d msure, e qund sstem d equazon d osservazone, che esprmono le quanttà msurate n funzone delle grandezze da stmare, contengono pù equazon che ncognte, e n generale non possono essere rsolt esattamente propro a causa degl error d msura, per effetto de qual msure rdondant possono non essere compatbl con l modello ESEMPIO: dslvell msurat a partre da una quota Q fssata (fgura): q () ovvero, n forma matrcale, q q Q + Q () Le quote e q sono ncognte Il sstema è rdondante: equazon (osservazon) e ncognte q NOTA: s potrebbe pensare che, avendo a dsposzone equazon, sa possble determnare anche Q Questo però non è possble, dato che l sstema

2 q q Q () è sngolare (la seconda rga è somma della prma e della terza), n accordo con l fatto che l'aggunta d una stessa quanttà a tutte le quote non camba dslvell, e qund la soluzone non è unca Per qualsas scelta d e q n () è verfcata l'equazone q + (4) D conseguenza, se le osservazon,, non verfcano l'equazone - cosa che n generale accade, poché le msure sono affette da errore - non esste nessuna soluzone n senso propro q, q La va d uscta n questo caso consste nella rcerca d una soluzone approssmata adottando l crtero d rendere mnma la funzone qˆ, q ˆ, ad esempo ( ˆ ) + ( ˆ ) + ( ˆ ) ( ( qˆ ˆ ˆ )) + ( ˆ ( q )) + ( ( q q)) (5) (metodo de mnm quadrat) Da un punto d vsta geometrco, l'equazone () rappresenta, al varare d q, q, un pano nello spazo -dm Il punto osservato, (,, ), a causa degl error d msura, non appartene a tale pano, e l punto del pano determnato n corrspondenza d qˆ, qˆ è l punto d mnma dstanza da (,, ) Per evdenzare la presenza d error d msura, spesso le equazon d osservazone vengono scrtte nella forma q + ε + ε + ε (6) In alternatva, è anche possble, senza ntrodurre parametr q, q, procedere drettamente alla mnmzzazone della funzone (5) rspetto a ˆ, ˆ ˆ, sotto la condzone ˆ ˆ ˆ + (ved eq (4)), utlzzando l metodo de moltplcator d Lagrange In questo caso tuttava è possble soltanto ottenere valor compensat de dslvell msurat, compatbl con l modello; le quote, non essendo state ntrodotte nelle equazon, non possono evdentemente essere determnate n questo stado della elaborazone Il crtero adottato è smmetrco nelle tre varabl ˆ, ˆ, ˆ D conseguenza, eseguendo calcol rsulta che, se a causa degl error d msura la (4) non è verfcata esattamente e s ottene nvece + ε (n questo caso ε è detto errore d chusura), gl scart ˆ, ˆ, ˆ sono tutt ugual a ε / Questo rsultato non è accettable se è noto a

3 pror che le tre msure sono state esegute con dfferente precsone, per cu c s aspetta scart pù pccol n corrspondenza delle msure pù precse Una possble strada per tenere conto d questo fatto consste nel modfcare l crtero d mnmzzazone ntroducendo nella (5) de pes, coè de coeffcent moltplcatv postv alle dverse component, tanto pù grand quanto pù s assume che le msure delle corrspondent component sano precse: c ˆ ˆ ˆ (7) ( ) + c ( ) + c( ) dove, ad esempo, s può sceglere c / σ Generalzzando l'esempo sopra llustrato, s assume d avere a dsposzone msure d dverse quanttà legate fra d loro da un modello Un altro esempo tpco n topografa sono le msure d angol e dstanze n una rete, legat fra d loro da relazon geometrche (ad esempo un trangolo è completamente determnato dalle lunghezze de suo lat, e qund gl angol sono esprmbl n funzone de lat) NOTA: Il metodo de mnm quadrat può essere applcato anche n problem d altra natura: un caso tpco è quello d msure esegute n stant dvers d una quanttà che evolve nel tempo secondo una ben determnata legge (ad esempo polnomale), con coeffcent da determnare: f t ; a L, a ) (ad esempo a t ) ( k k j j j dove sono le quanttà msurate (le cu msure verfcano solo approssmatvamente le equazon perché affette da error), t sono stant d tempo esattamente not, ak sono parametr da stmare, n numero nferore alle quanttà msurate A causa degl error d msura c s aspetta che le quanttà msurate non soddsfno esattamente l modello Ad esempo, se s msurano angol d un trangolo, la somma delle msure non è esattamente 8 C s aspetta però che gl error sano a meda nulla, e qund che le msure sano varabl aleatore cu valor attes verfcano l modello Il rsultato che s vuole ottenere è una stma d queste mede, che vengono assunte come valor corrett delle quanttà msurate (compensazone - nglese adjustment) Per la formalzzazone del problema, l'nseme delle n grandezze msurate (, L, n ) è descrtto come un vettore n R n A causa delle relazon present, valor ammssbl appartengono ad un sottonseme (varetà) d R n Le relazon possono essere espresse da equazon della forma f (, L, ) (equazon d condzone), n numero nferore a quello delle grandezze nteressate j n Ad esempo, per gl angol α d un trangolo, α 8 ; qund l'nseme delle terne d angol ammssbl è rappresentato da un pano n uno spazo -dm Se l numero delle equazon è n-k, n realtà solo k grandezze sono ndpendent; s dce allora che la varetà è k-dm

4 E però anche possble rappresentare le relazon fra le grandezze msurate esprmendo tal grandezze n funzone d un certo numero d parametr numerc, φ ( t, L, t k ) (nel caso delle ret topografche sono n generale le coordnate de vertc della rete, eventualmente anche rotazon, traslazon e varazon d scala de sstem d rfermento; nel caso d una grandezza che evolve sono coeffcent del polnomo o d altra forma funzonale); se parametr sono k, s dce allora che la varetà de valor ammssbl è k-dm Per una varetà descrtta da un nseme d parametr, l prmo problema è propro quello d stmare valor numerc d quest parametr, o correzon a valor approssmat, utlzzando le msure a dsposzone; la stma delle osservabl compensate vene po fatta ntroducendo valor ottenut de parametr nelle equazon d osservazone Nel caso delle ret topografche, quando parametr sono le coordnate de vertc della rete, la stma d quest parametr è l nteresse prmaro della procedura d compensazone, mentre la stma delle osservabl compensate ha lo scopo d ottenere un nseme d valor compatbl con la struttura geometrca della rete Esemp tpc d varetà sono le curve n un pano o n uno spazo -dm e le superfc n uno spazo - dm, che, come è noto, possono essere rappresentate sa n forma parametrca, sa medante equazon d condzone In partcolare, rette e pan sono varetà lnear Stma de parametr e delle osservabl compensate Il problema d stma llustrato nell esempo vene ora espresso n una forma che, pur non essendo quella pù generale, è adatta per la trattazone della maggor parte delle ret topografche S assume che le osservabl (ossa le quanttà che esprmono le msure topografche esegute) sano esprmbl n modo esplcto n funzone d un certo numero d parametr, che n generale rappresentano le coordnate de vertc della rete S assume nzalmente che la dpendenza sa lneare, ossa che l vettore delle osservabl (d dmensone n ) sa legato al vettore t de parametr (d dmensone k ) da una relazone del tpo At + b (8) Per avere rdondanza delle msure esegute rspetto a parametr da stmare, occorre che assume che l rango d A sa massmo, ossa uguale a k k < n S A causa degl error d msura le osservazon essere espresse nella forma non verfcano esattamente la (8), ma possono At + b + r ε (9) S assume nvece che l vettore sa estrazone d una varable aleatora Y l cu valore atteso verfca la (8) per un partcolare valore t del parametro t S tratta d determnare n funzone delle osservazon una stma d tale valore atteso, ovvero un punto ŷ, appartenente alla varetà e qund tale da verfcare la (8) per un opportuno tˆ, che approssm l meglo possble secondo un opportuno crtero

5 Generalzzando crter d mnmzzazone vst nell'esempo (cf (5) e (7)), come funzone da mnmzzare vene scelta T ( ˆ) CY ( ˆ) () dove C Y è la matrce d covaranza d Y, supposta nota a pror Il mnmo della () esste certamente, mentre non esste l massmo, dato che la () è contnua, postva e non lmtata superormente S osserv noltre che, se la matrce C Y è moltplcata per una costante d proporzonaltà, l punto d mnmo della () resta nvarato; s può qund assumere che sa nota a meno d una costante moltplcatva: C Y σ Q, con σ ncognto Questa stuazone corrsponde al caso realstco n cu sono note le precson relatve, ma non quelle assolute, delle dverse quanttà msurate (ad esempo, s sa che l'accuratezza d un proflo d lvellazone è proporzonale alla radce quadrata della sua lunghezza, ma s può non sapere la precsone d una sngola battuta) Soltamente s assume che gl error d msura sulle dverse quanttà osservate sano stocastcamente ndpendent: n effett, n generale non c è ragone d pensare che gl error casual commess su una certa partcolare msura nfluenzno o sano nfluenzat da error casual commess nell esegure le altre msure, dato che non c è alcuna relazone fra le dverse operazon compute D conseguenza, la matrce C Y è dagonale; se po le quanttà msurate sono tutte della stessa natura (ad esempo, tutt angol o tutte dstanze) e s assume che sano tutte le msure sano esegute con la stessa precsone, C Y è multplo della matrce denttà I Il rsultato della mnmzzazone è dato dalla formula C Y tˆ T N A Q ( b) ˆ Atˆ + b () dove N A T Q A S osserv che le stme ottenute sono funzon lnear delle osservazon Questa è una conseguenza del fatto che la funzone obettvo da mnmzzare è quadratca e che la varetà modello è lneare Essendo funzone delle osservazon, t ˆ è anch esso una varable aleatora Il suo valore atteso è {} t ˆ T T T N A Q ( E{} b) ( A Q A) A Q ( At + b b) t E () Questo rsultato s esprme dcendo che S verfca anche che E ˆ E {} {} tˆ è una stma lneare corretta d t

6 Formule per le matrc d covaranza Applcando la regola della propagazone della covaranza, e tenendo conto che Q e N sono matrc smmetrche, s ottene T ( σ Q) Q AN σ N A Q AN σ T C t ˆ N A Q N In modo analogo, posto r ε ˆ (vettore degl scart), s ottene () C σ T C ˆ AN A T ( r ε σ Q AN A ) (4) 4 Stma d σ S è vsto che nelle formule per la stma de parametr e delle osservabl compensate non compare esplctamente, che nvece compare nelle espresson delle matrc d covaranza Fermo restando σ che la matrce Q deve essere fssata a pror, poché l valore numerco d è legato all enttà complessva degl error d msura, è possble darne una stma a posteror sulla base degl scart ottenut sulle osservabl L espressone usata è σ ˆ σ r ε T n k Q r ε (5) che, come s vede, è quadratca rspetto agl scart S può verfcare che { } corretta E ˆ σ σ, ossa, la stma è Problem non lnear In generale, problem d compensazone che s presentano n topografa, che contengono equazon d osservazone d angol e dstanze n funzone delle coordnate de vertc, sono non lnear, e non rentrano qund nello schema sopra llustrato Il sstema d equazon d osservazon è espresso nella forma f ( t, L, t ),, L, n, n k () k > che descrve una varetà non lneare k-dm n n) n R (ad esempo, una superfce nello spazo se k, Da un punto d vsta concettuale s può pensare d applcare drettamente a questo sstema la procedura d mnmzzazone degl scart descrtta nel paragrafo precedente; s gungerebbe però ad un sstema d equazon non lnear che n generale hanno soluzone non unca e non facle da determnare D solto,

7 tuttava, è noto un valore approssmato t del vettore ncognto t ( t, Lt k ), e n un ntorno d t la varetà () è bene approssmata dalla varetà lnearzzata f ( t ) + f ( t )( t t ) () dove f è la matrce cu element sono f / t In pratca s fssa anche un valore approssmato j del vettore, non necessaramente concdente con ( t ) (ad esempo, s possono sceglere le component d ugual a valor numerc delle f msure esegute) e, posto t t t,, s ottene f ( t () ) t + f ( t ) La formula () è del tpo (8), con A f ( t ), b f ( t ), e s può esegure l calcolo applcando le formule (), per ottenere una stma tˆ a partre dal dato S not che valor da nserre per le component del vettore sono quell delle msure esegute; d conseguenza, se anche per s sono scelt gl stess valor, rsulta Una volta determnato tˆ tˆ t, valor delle osservazon compensate ŷ s possono ottenere per sosttuzone nella (), o anche, con dfferenze generalmente trascurabl, nella () ESEMPIO: S vuole determnare la coordnata d un punto sul semasse postvo, e s msurano le dstanze da punt d coordnate (,) e (,-), ottenendo rspettvamente d 48m, d 58m S assume che le msure sano ncorrelate, con scart quadratc med σ mm, σ mm (fgura) S deve qund determnare l solo parametro utlzzando msure, e pertanto s hanno equazon d osservazone con una sola ncognta: d d (4) Fssat valor approssmat equazon lnearzzate d, d,, e posto d d d,, s ottene l sstema d d d d + d A + b A + b (5) S tratta ora d applcare la () Q è una matrce dagonale, con element dagonal proporzonal a 4 A σ, s può qund prendere Q, e d conseguenza N ( A A ) Q A + A A 4

8 4 A ( d b ) + A ( d b Qund la () dà ˆ ) A + A 4 Per valor approssmat s può sceglere d d, d d, da cu d d Per la scelta d, c s può basare sulla msura d : d 4 m I rsultat numerc sono: A 59 ; A 7759 ; b 4; 49m, da cu ˆ 5m Sosttuendo questo valore n (4) s ottengono dˆ, dˆ e s possono calcolare gl scart d dˆ ε Utlzzando la (5) s ottene ˆ σ ε + ε 4m 4 NOTA: Può accadere, ad esempo per una scelta nadeguata de valor approssmat, che l modello lnearzzato non fornsca una approssmazone abbastanza buona del modello non lneare orgnaro In questo caso le stme de parametr possono essere affette da error d modello, che s manfestano con un valore d σˆ anormalmente elevato Allora è possble attvare una procedura d terazone, n cu, per cascun passo, l calcolo delle stme per l modello lneare vene rpetuto ntroducendo come valor approssmat de parametr e delle osservabl le stme ottenute nel passo precedente Se l procedmento converge (cosa non garantta a pror), l valore d σˆ s rduce fno a stablzzars, e a questo punto l terazone può essere fermata