Reti geodetiche.nb 1 CORSO DI TOPOGRAFIA A - A.A LEZIONE RETI GEODETICHE
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- Carla Cavallaro
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1 Ret geodetche.nb 1 CORSO I TOPOGRAFIA A - A.A LEZIONE RETI GEOETICHE COMPENSAZIONE I UNA RETE GEOETICA CON IL METOO ELLE OSSERVAZIONI INIRETTE Abbamo vsto che l METOO EI MINIMI QUARATI fornsce, nel caso dell'potes che gl error d msura sano dstrbut normalmente, una stma lneare d mnma varanza. Vene per questo mpegato usualmente per stmare la soluzone ottmale del problema d calcolo delle poszon de punt d una rete geodetca: sstema d equazon non rsolvble algebrcamente a causa degl error d msura che rendono le equazon esuberant non dpendent da quelle necessare e suffcent. Modello funzonale E' possble rcavare un nseme d equazon d osservazone applcabl n qualsas compensazone, ognuna rferta ad un tpo d osservazone. Il sstema da rsolvere conterrà sa equazon d osservazone, sa equazon d vncolo per alcun parametr agguntv. Tal vncol possono essere present n numero par al
2 Ret geodetche.nb 2 mnmo necessaro e suffcente per toglere la defcenza d rango dovuta all'ndetermnazone a pror del sstema d rfermento (ö compensazone a mnmo vncolo: 2 traslazon + 1 rotazone per una rete planmetrca; una quota per una rete d lvellazone; 3 traslazon + 1 rotazone per una rete planoaltmetrca classca), oppure possono essere n numero sovrabbondante (ö compensazone vncolata). Le equazon d osservazone (una per ogn osservazone) dovranno essere esattamente soddsfatte dalle stme (per mnm quadrat); s ha pertanto: FHXL 0 + J X HXL 0 ÿ IX` - X 0 M =a dove l prmo membro rappresenta lo svluppo n sere d Taylor, arrestato al prmo ordne, della funzone d osservazone (lnearzzazone), mentre al secondo membro s pongono le stme à delle osservazon. In partcolare: FHXL 0 = vettore delle funzon calcolate usando parametr approssmat JHXL 0 = matrce delle dervate delle funzon calcolate ne valor approssmat X` = vettore delle stme de parametr agguntv X 0 = vettore de parametr agguntv approssmat a =vettore delle stme delle osservazon S può anche porre: a=a 0 + v
3 Ret geodetche.nb 3 essendo a 0 l vettore delle osservazon e v l vettore degl scart delle osservazon. Pertanto: Inoltre, chamando: FHXL 0 + J X HXL 0 ÿ IX` - X 0 M =a 0 + v FHXL 0 + J X HXL 0 ÿ IX` - X 0 M -a 0 = v s ottene: A = J X HXL 0 IX` - X 0 M = x FHXL 0 -a 0 = l A ÿ x + l = v Le equazon d vncolo possono essere consderate come equazon d pseudo-osservazone, mponendo anche per esse che le stme le soddsfno esattamente. In questo modo: E ÿ x + f = w Modello stocastco Il modello stocastco delle equazon d osservazone nterpreta la varabltà casuale delle msure; lo trattamo con la matrce C aa (matrce d covaranza
4 Ret geodetche.nb 4 delle osservazon). Per le equazon d pseudo-osservazone ntroducamo la matrce d covaranza de vncol C ww. Consderando sa le osservazon, sa le pseudo-osservazon come ndpendent, le matrc d covaranza sono entrambe dagonal; le loro nverse sono pertanto le matrc de pes delle osservazon P e de vncol Q (ovvamente pù elevat d quell delle osservazon). Il crtero de mnm quadrat mpone la condzone: v t Pv+ w t Qw= mn Complessvamente, le stme devono soddsfare le seguent relazon: A ÿ x + l = v E ÿ x + f = w v t Pv+ w t Qw= mn ovvero: m equazon d osservazone, b equazon d vncolo, n ncognte. efnendo la matrce normale ed l vettore normale come: matrce normale C = A t PA+ E t QE vettore normale d = A t Pl+ E t Qf
5 Ret geodetche.nb 5 s ha: x =-C -1 d = -H ÿ d v = A ÿ x + l a=a 0 + v Le matrc d varanza e covaranza della soluzone, degl scart e delle osservazon teorche saranno rspettvamente: C xx =s 2 0 ÿ H dove s 2 0 = vt Pv+ w t Qw ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m - n + b C vv =s 0 2 ÿ IP -1 - AC -1 A t M =s 0 2 ÿ IP -1 - AIA t PAM -1 A t M C aa =s 0 2 ÿ IP -1 - C vv M Le precedent espresson s ottengono con la legge d propagazone della varanza. ella prma d esse è stata data dmostrazone al termne della lezone ntroduttva su mnm quadrat; vedamo la dmostrazone della seconda: v = Ax + l v = A A-IA t PAM -1 A t PlE + l v = A-AIA t PAM -1 A t P + I E l = U ÿ l
6 Ret geodetche.nb 6 C vv = U C LL U t = U s 2 0 P -1 U t C vv = A-AIA t PAM -1 A t P + I E s 2 0 P -1 A-AIA t PAM -1 A t P + I E t = s 2 0 A-AIA t PAM -1 A t P + IE P -1 A-P AIA t PAM -1 A t + I E = s 2 0 9AAIA t PAM -1 A t P E P -1 APAIA t PAM -1 A t E + IP -1 A-P AIA t PAM -1 A t E + A -AIA t PAM -1 A t P E P -1 I + IP -1 I= = s 2 0 AAIA t PAM -1 A t PAIA t PAM -1 A t - AIA t PAM -1 A t - AIA t PAM -1 A t + P -1 E =s 2 0 AA IA t PAM -1 A t - AIA t PAM -1 A t - A IA t PAM -1 A t + P -1 E =s 2 0 A-AIA t PAM -1 A t + P -1 E Valutazone de rsultat d una compensazone Alla fne della compensazone, è necessara la verfca della plausbltà de modell funzonale e stocastco. In generale: - Per le applcazon topografche, l modello funzonale rappresentato dalle equazon d osservazone classche (azmut, dstanze, dslvell...) è ben consoldato e non necessta n genere d partcolar aggustament. - Possono essere present nel set d msure degl error grossolan. Quest devono sempre essere ndvduat ed elmnat, perché provocano deformazon delle stme e degradano la precsone. La loro presenza è n genere
7 Ret geodetche.nb 7 accompagnata da naspettatamente elevat valor d s 0, rspetto allo schema d rete e agl strument mpegat. 1) Test su sgma zero. E' un test d tpo prelmnare che mette n evdenza la presenza d error grossolan o d fort component sstematche non modellzzate. S verfca se l valore s 0 2 stmato dffersce eccessvamente dal suo valore teorco usando una dstrbuzone d tpo c 2 : c sp 2 = vt Pv ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ s 0 t 2
8 Ret geodetche.nb 8 se l'potes H o : {s 0 2 = t} è respnta, bsogna rcercare la causa tra quelle ctate. 2) Test per gl error grossolan. I mnm quadrat sono soggett al cosddetto mascheramento degl error, nel senso che un valore elevato dello scarto d una equazone non necessaramente sta ad ndcare che l'errore sa propro nella corrspondente osservazone (s pens ad uno sbracco d lvellazone: n assenza d alcun controllo da parte d altre osservazon, un eventuale errore n quella osservazone non vene n alcun modo evdenzato dallo scarto dell'equazone, che rsulta nullo). Il test ndaga un ndce detto Resduo Standardzzato (resduo dvso per l suo scarto quadratco medo s v, che è l'elemento dagonale corrspondente nella matrce d covaranza degl scart), z = ÅÅÅÅÅÅÅÅ v s v. La procedura operatva è d tpo sequenzale: compensazon successve al termne delle qual s ndvdua l resduo standardzzato massmo e s elmna la corrspondente osservazone fnché l test rsulta superato, verfcando ogn volta l mgloramento n sgma zero alla successva compensazone.
9 Ret geodetche.nb 9 EQUAZIONI I OSSERVAZIONE ELLE RETI TOPOGRAFICHE Equazon d osservazone all'azmut e alla drezone azmutale ato un azmut (P P a ): HP P a L = arctg x a - x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y a - y la lnearzzazone s ottene n questo modo, ntroducendo valor approssmat x êê a, y êê a, x êê, y êê : x a = êê xa +dx a y a = y êê a +dy a x = êê x +dx y = y êê +dy
10 Ret geodetche.nb 10 Svluppando con Taylor al prmo ordne (rcordando la dervata della funzone arctg[x]): := z 2 arctg Hf Hx, yll 1 f Hx, yl Hf Hx, yll 0 + A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅ E ÿ 1 + Hf Hx, yll2 x 0 1 f Hx, yl dx + A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÿ ÅÅÅ E ÿdy 1 + Hf Hx, yll2 y 0 Nel nostro caso: arctg x a - x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = arctga xêê a +dx a - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +dx ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L y a - y y êê a +dy a - Hy êê +dy L E = arctg xêê a - êê x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y êê a - y êê + 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + J xêê a -x êê ÿ 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N 2 y êê a - y êê ÿdx a + y êê a-y êê 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + J xêê a -x êê ÿ -1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N 2 y êê a - y êê ÿdx + y êê a-y êê - a - êê x ÅÅÅÅÅ Hy êê a - y êê ÿdy 2 a + 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + J xêê a -x êê ÿ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N 2 y êê a-y êê 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + J xêê a -x êê ÿ Hx êêa - êê x ÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N 2 Hy êê a - y êê ÿdy 2 y êê a-y êê = arctg xêê a - êê x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y êê a - y êê + Hy êê a - y êê 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hy êê a - y êê 2 + a - êê x ÿ 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 y êê a - y êê ÿdx a -
11 Ret geodetche.nb 11 Hy êê a - y êê 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hy êê a - y êê 2 + a - êê x ÿ 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 y êê a - y êê ÿdx - Hy êê a - y êê 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hy êê a - y êê 2 + a - êê x ÿ Hx êêa - êê x ÅÅÅ 2 Hy êê a - y êê ÿdy 2 a + Hy êê a - y êê 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hy êê a - y êê 2 + a - êê x ÿ Hx êêa - êê x ÅÅÅ 2 Hy êê a - y êê ÿdy 2 Posto Hy êê a - y êê 2 + a - x êê 2 = êêê a 2, s ottene: arctg x a - x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ êêa = arctg x - êê x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y a - y y êê a - y êê + Hyêê a - y êê ÿdx êêêa 2 a - Hy êê a - y êê êêê ÿdx - a - êê x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ êêê ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÿdy a + a - êê x ÿdy êêêa 2 a 2 a 2 Se voglamo, possamo scrvere: êêêêêêê HP P a L = HP P al +d HP P a L = arctg xêê a - êê x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y êê a - y êê +d HP P a L dove: d HP P a L = Hyêê a - y êê ÿdx êêêa 2 a - Hy êê a - y êê êêê ÿdx - a - êê x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ êêê ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÿdy a + a - êê x ÿdy êêêa 2 a 2 a 2
12 Ret geodetche.nb 12 Pertanto: Hy êê a - y êê êêê ÿdx a 2 a - Hy êê a - y êê ÿdx êêêa 2 - a - êê x êêê ÿdy a + a - êê x ÿdy êêêa 2 -d HP P a L = 0 a 2 Il rsultato della compensazone fornsce (c=compensato; m=msurato): êêêêêêê HP P a L c = HP P al +d HP P a L HP P a L c = HP P a L m + v a êêêêêêê v a =d HP P a L + HP P al - HP P a L m
13 Ret geodetche.nb 13 In defntva sarebbe: Hy êê a - y êê êêê ÿdx a 2 a - Hy êê a - y êê ÿdx êêêa 2 - a - êê x êêê ÿdy a + a - êê x ÿdy êêêa 2 -d HP P a L = 0 a 2 Hy êê a - y êê êêê ÿdx a 2 a - Hy êê a - y êê êêê ÿdx a 2 - a - êê x ÿdy êêêa 2 a + a - êê x êêêêêêê ÿdy êêêa 2 + HP P al - HP P a L m = v a Hy êê a - y êê êêê ÿdx a 2 a - Hy êê a - y êê êêê ÿdx a 2 - a - êê x ÿdy êêêa 2 a + a - êê x êêa êêê ÿdy + arctg x - êê x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y êê a - y êê - HP P a L m = v a a 2
14 Ret geodetche.nb 14 ata una drezone azmutale q a, c'e' un'ncognta agguntva: l'orentamento angolare della stazone z (d valore approssmato z êê e correzone d'orentamento d ). z = z êê +d HP P a L m =q a + Hz êê +d L êêêêêêê v a =d HP P a L + HP P al - HP P a L m v a =d HP P a L + arctg xêê a - êê x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y êê a - y êê -q a - êê z -d d HP P a L = v a - arctg xêê a - êê x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y êê a - y êê +q a + z êê +d
15 Ret geodetche.nb 15 L'equazone defntva: Hy êê a - y êê êêê ÿdx a 2 a - Hy êê a - y êê ÿdx êêêa 2 - a - êê x êêê ÿdy a + a - êê x ÿdy êêêa 2 -d HP P a L = 0 a 2 Hy êê a - y êê êêê ÿdx a 2 a - Hy êê a - y êê êêê ÿdx a 2 - a - êê x ÿdy êêêa 2 a + a - êê x êêê ÿdy -d + j arctg xêê a - x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k y êê a - y êê -q a - êê y zz = v a { a 2
16 Ret geodetche.nb 16 Equazone d osservazone alla dstanza Se s opera con l'espressone quadratca della dstanza (vantaggo d non trattare radc quadrate; svantaggo: s dovrà opportunamente modfcare l peso delle osservazon): Posto: Hx a - x L 2 + Hy a - y L 2 + Hz a - z L 2 - d a 2 = 0 x a = êê xa +dx a y a = y êê a +dy a z a = êê za +dz a x = êê x +dx y = y êê +dy z = êê z +dz
17 Ret geodetche.nb 17 s ha: a - êê x +dx a -dx L 2 + Hy êê a - y êê +dy a -dy L 2 + Hz êê a - êê z +dz a -dz L 2 - d 2 a = 0 Svluppando: f Hx, y, zl f Hx, y, zl Hx, y, zl 0 + A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÿdx a +... x a dove, chamando êêê a la dstanza orzzontale approssmata tra e a, valgono le Hx, y, zl 0 = a - êê x 2 + Hy êê a - y êê 2 + Hz êê a - êê z 2 = êêê a 2 + Hz êê a - êê z 2 f Hx, y, zl A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x a = 2 a - x êê f Hx, y, zl AÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x =-2 a - x êê f Hx, y, zl A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 2 Hy êê a - y êê f Hx, y, zl AÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =-2 Hy êê a - y êê y a y f Hx, y, zl A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 2 Hz êê a - êê f Hx, y, zl z AÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =-2 Hz êê a - êê z z a z L'equazone defntva dventa: 2 a - êê x Hdx a -dx L + 2 Hy êê a - y êê Hdy a -dy L + 2 Hz êê a - êê z Hdz a -dz L + A êêê a 2 + Hz êê a - êê z 2 - d 2 m E = v a
18 Ret geodetche.nb 18 Trattando la dstanza con l'espressone come valore effettvo, non quadratco, l'equazone dventa: "############################################################### Hx a - x L 2 + Hy a - y L 2 + Hz a - z L 2 - d a = 0 e, con le stesse poszon d prma, s ha:, IHx êêa - êê x +dx a -dx L 2 + Hy êê a - y êê +dy a -dy L 2 + Hz êê a - êê z +dz a -dz L 2 M - d a = 0
19 Ret geodetche.nb 19 Rcordando lo svluppo n sere della radce d una Hx, y, zl 0 = "################################ ################################## a - êê x 2 + Hy êê a - y êê 2 + Hz êê a - êê z 2 = d êê a f Hx, y, zl A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = x a a - êê x ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ "################################ ################################## a - êê x 2 + Hy êê a - y êê 2 + Hz êê a - êê = z 2 f Hx, y, zl A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = Hyêê a - y êê y a d êê a f Hx, y, zl A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = Hzêê a - êê z ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ z a d êê a f Hx, y, zl f Hx, y, zl A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =-AÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x x a f Hx, y, zl f Hx, y, zl A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =-AÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y y a f Hx, y, zl f Hx, y, zl A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =-AÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ z z a a - êê x d êê a L'equazone Hx, y, zl 0 = "################################ ################################## a - êê x 2 + Hy êê a - y êê 2 + Hz êê a - êê z 2 = d êê a a - êê x Hdx a -dx L + Hy êê a - y êê Hdy a -dy L + Hz êê a - êê z Hdz a -dz L ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ d êê a êê a - d m = v a
20 Ret geodetche.nb 20 Equazone d osservazone al dslvello geometrco Rcordando la defnzone d dslvello geometrco tra due punt d quote z e z a, e n funzone delle letture alla stada ndetro l e avant l a : Posto: z + l - Hz a + l a L = 0 z - z a + l - l a = 0 Ø z - z a + q a = 0 z = z êê +dz z a = z êê a +dz a Sosttuendo, s ottene l'equazone defntva del dslvello geometrco: dz -dz a êê - z êê a + q a = v a
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