La teoria del consumo

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1 La teora del consumo L equazone d Slutsky. Problema dell ntegrabltà. Maro Sortell Dartmento d Matematca Unverstà degl Stud d Bar Va E. Orabona, 4 I Bar (Italy) (Tel.: +39 (0) ; fax: +39 (0) ) E-mal: msortell@dm.unba.t URL: htt:// 1

2 L equazone d Slutsky. Prooszone 1: Il tasso d varazone della domanda marshallana del bene x al varare del rezzo è uguale alla somma algebrca tra l tasso d varazone della domanda hcksana d x al varare d e l tasso d varazone della domanda marshallana d x al varare d m moltlcata er la domanda marshallana d x. Formalmente: x (, ) (, (, )) m h v m x(, m) = x (, m ) m 2

3 L equazone d Slutsky: Dmostrazone. Se u = u, vale la seguente uguaglanza h (, u) x (, m) [1, k] dove m uò essere sosttuto con e(, u). Pertanto, h (, u) x, e(, u) ( ) Dervando rsetto a ambo lat dell uguaglanza, segue l asserto. 3

4 L equazone d Slutsky. Osservazone 1: Quando s consdera una varazone smultanea d tutt rezz, le dervate sono nterretate come dervate generalzzate n-dmensonal,ossa come dervate d matrc. Formalmente s one: Dx (, m) = Dh (, u) D x (, m) x m Defnzone 1: La matrce h (, u) Dh (, u) = è nota come matrce de termn d sosttuzone. 4

5 Proretà della matrce. 1) è semdefnta negatva. 2) è smmetrca. 3) L effetto sosttuzone su un bene x dervante da una varazone del suo rezzo è scuramente non-ostvo: 5 (, ) h u h h 2 2 (, ) (, ) 0 h u e u =

6 L equazone d Slutsky. Defnzone 2: La matrce x(, m) x(, m) + x (, m ) m è nota come matrce d sosttuzone d Slutsky. Prooszone 2: La matrce d sosttuzone d Slutsky è smmetrca e semdefnta negatva. 6

7 L equazone d Slutsky n R 2 +. Tenuto conto che, qualunque sa l segno della varazone d, rsulta, ossamo dstnguere seguent cas: h < 0 x m x x > 0 bene normale x < 0 m : l effetto reddto rafforza l effetto d sosttuzone e x < 0 (vale la Legge d domanda). x h x se x < bene nferore ordnaro: < 0 x x m x < 0 bene nferore x > 0 m m x h x se x > bene nferore d Gffen: >0 m 7

8 Gl effett sosttuzone e reddto n R 2 +. Caso dell utltà quas lneare. Suonamo che la scelta nzale sa x *. In un momento successvo, < 1 1 Per msurare l effetto sosttuzone, comensamo m e faccamo scorrere la retta d blanco lungo la curva d ndfferenza su cu è collocata la scelta nzale Determnamo così x s. Resttuendo o al consumatore m, determnamo la scelta fnale x **. Osservamo che, essendo x 1 dendente solo da rezz, la varazone m non avrà alcun effetto sulla domanda. Pertanto, l ntera varazone della domanda del bene 1 derva solo dall effetto sosttuzone. Rcordamo che, con una funzone d utltà quas lneare, la domanda d x 2 dende da rezz e dalla dsonbltà monetara e, qund er x 2, le eventual varazon del suo rezzo determneranno entramb gl effett. 1 2 x = x s 1 1 8

9 Il roblema dell ntegrabltà. S suonga d aver stmato l nseme delle funzon marshallane d domanda e d aver accertato che la matrce d Slutsky assocata a tale nseme x(, m) x(, m) + x (, m ) m sa smmetrca e semdefnta negatva. Problema: Esste necessaramente una funzone d utltà n grado d generare le funzon d domanda stmate? Gl economst defnscono questo roblema Problema dell ntegrabltà. 9

10 Il roblema dell ntegrabltà. Una va semlce er rsolvere questo roblema consste nel rformularlo n termn d funzone d sesa. Il rocedmento s artcola nelle seguent due fas: x (, m) a) Stma del vettore tale che le sue comonent soddsfno le roretà della domanda marshallana. b) Fssando un vettore d rezz nzal 0, s determna un anere x 0 ( 0, m) a cu s assegna arbtraramente un ndce u 0. 10

11 Il roblema dell ntegrabltà. Cò consente d defnre l seguente sstema d equazon dfferenzal alle dervate arzal (PDEs): e(, u ) 0 ( ) [ ] = h(, u ) = x, e(, u ) 1, k 0 0 la cu condzone nzale è e(, u ) = x, m ( )

12 Il roblema dell ntegrabltà. Teorema: Condzone necessara affnché un sstema PDEs abba una soluzone locale è la smmetra delle dervate arzal ncrocate. Formalmente, se f ( x) x = g ( f( x), x) è un generco sstema PDEs tale che f ( x0) = 0 (condzone nzale), allora una soluzone esste localmente se 2 2 g f g f( x) f( x) g f g + = = = + f x x xx x x f x x Tale uguaglanza è nota come condzone d ntegrabltà.. 12

13 Il roblema dell ntegrabltà. Se alchamo l Teorema enuncato al sstema e(, u0) = h(, u0) = x, e(, u0) 1, k verfchamo che: ( ) [ ] 2 (, 0) (, ) (, ) m e u h x m x m = = + x (, m ), 1, k Essendo la matrce d Slutsky smmetrca, come la matrce d sosttuzone, ossamo essere cert che una soluzone locale esste. [ ] 13