Forme funzionali in microeconomia

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1 Forme funzonal n mcroeconoma Gulo Palomba Lezon per l Dottorato d Rcerca n Economa Poltca Unverstà Poltecnca delle Marche Dpartmento d Scenze Economche e Socal (DISES) Febbrao 2014

2 Indce Introduzone 2 1 La tecnologa Defnzon d base Input ed output Inseme delle possbltà d produzone Funzone d produzone Inseme degl nput necessar Isoquanto d produzone Assom Elastctà d sosttuzone Elastctà d sosttuzone ordnara Elastctà parzale d sosttuzone Rendment d scala Omogenetà Omotetctà Scelte ottme dell mpresa Funzone d costo Mnmzzazone de cost Cost margnal e cost med Lemma d Shephard Equlbro dell mpresa rspetto alla produzone Equlbro dell mpresa rspetto a fattor produttv Funzone d proftto Dualtà Forme funzonal Forme funzonal rgde Cobb-Douglas Elastctà d sosttuzone costante (CES) Forme funzonal flessbl CES a pù stad (cenn) Translogartmca Dewert Appendce: alcun rsultat utl 41 1

3 Introduzone In mcroeconoma le forme funzonal vengono spesso utlzzate per descrvere dal punto d vsta analtco l attvtà d produzone effettuata da una generca mpresa; l loro largo mpego n letteratura, sa dal punto d vsta teorco, sa dal punto d vsta applcato, è dovuto al fatto che esse costtuscono un adeguato strumento analtco per analzzare la relazone esstente tra le combnazon d fattor produttv (ad esempo, lavoro, captale, matere prme) mpegat ne process d produzone ed lvell d produzone realzzat. In termn pù specfc, esse vengono utlzzate per descrvere sa le funzon d produzone, sa le funzon d costo. Questo lavoro s pone percò l obettvo d defnre le prncpal funzon e d mostrare le loro caratterstche pù mportant rguardo agl aspett matematc ed economc. Le pagne che seguono sono composte d tre sezon. La sezone 1 ntroduce l concetto d tecnologa utlzzato n mcroeconoma con partcolare enfas su concett matematc che sono alla base della sua defnzone. In quast ambto percò vengono ntrodott gl mportant concett d funzone d produzone, Saggo Margnale d Sosttuzone Tecnca (SMST) e d elastctà d sosttuzone. La sezone 2 s occupa nvece de meccansm d ottmzzazone necessar per raggungere l obettvo d massmo proftto; n questo contesto vengono percò ntrodotte le funzon d costo per l mpresa. Le forme funzonal costtuscono l oggetto della sezone 3 all nterno della quale s effettua la dstnzone tra forme rgde e flessbl. Un appendce contenente alcun rsultat utlzzat nelle dmostrazon contenute nelle dverse sezon chude l lavoro. La comprensone del testo non prescnde dalla conoscenza de concett base della mcroeconoma, della matematca a pù dmenson, nonché d algebra delle matrc; per quanto rguarda quest ultm, alcune nozon utl sono contenute all nterno d un Appendce tecnca che chude questo lavoro. Infne, dal punto d vsta della notazone, tutte le matrc (qund anche vettor) saranno evdenzat attraverso la scrttura n grassetto per dstnguerle da numer scalar per l quale è utlzzato l normale standard matematco (corsvo). 1 La tecnologa Nella teora economca la quanttà d bene e/o servzo offerta da un mpresa (Q s ) è generalmente rappresentata attraverso la funzone Q s Q s (p, w, T, N), (1) dove, oltre alla varable endogena data prezzo d vendta del prodotto (p), entrano n goco le seguent varabl esogene: - l costo de fattor produttv, defnto dal vettore w, n quanto un aumento del prezzo de fattor dovrebbe avere un mpatto negatvo sulla produzone; - lo stato della tecnologa, ndcata con T poché un mgloramento tecnologco dovrebbe produrre effett postv sull offerta; - l numero d mprese che producono l bene scambato nel mercato, ndcato con N nfatt, all aumentare del numero d mprese present sul mercato, la quanttà offerta aumenta. In questo contesto l mpresa è vsta sostanzalmente come un contentore (o scatola nera ) nel quale sono mmess fattor produttv e da cu escono prodott fnt. La tecnologa s confgura percò come un mero processo d trasformazone degl nput n output ed è percò assunta come data/esogena; dal punto d vsta analtco la tecnologa è rappresentata attraverso opportune forme funzonal che saranno ntrodotte nelle pagne successve. 2

4 1.1 Defnzon d base Input ed output In un dato perodo d tempo l mpresa produce una quanttà d output, o prodotto fnto, ndcata dallo scalare y; per potes s consderano solo mprese monoprodotto. L mpresa mpega all nterno del processo d produzone un nseme d nput, o fattor produttv, che vengono ndcat attraverso le n component del vettore x. Gl nput costtuscono fluss n ngresso nel processo d produzone, n quanto vengono msurat n ore d utlzzo all nterno d n un certo perodo d tempo. Per defnzone, y e tutte le component d x devono avere valor postv, qund rsulta: y R + x R n +. (2) Tutte le coppe (x, y) teorcamente possbl costtuscono l nseme de pan d produzone, qund dalla (2) segue mmedatamente che (x, y) R n Inseme delle possbltà d produzone L nseme de pan d produzone può essere vncolato dalla natura della tecnologa, dalle caratterstche e dalla dsponbltà de fattor, da restrzon sttuzonal fno a comprendere tutte quelle combnazon nput-output effettvamente realzzabl: s defnsce pertanto come nseme delle possbltà d produzone l sottonseme n R n+1 +, ovvero a lsta d output ed nput dove f(x) rappresenta la funzone d produzone Funzone d produzone La funzone d produzone f(x) è trasformazone del tpo Y {(x, y) R n+1 + y f(x)}, (3) f(x) : R n + R +. (4) Il vncolo nella (3) stablsce l appartenenza all nseme Y d tutte quelle combnazon per le qual la quanttà d output prodotto non può superare quella stablta dalla funzone d produzone per una data quanttà d fattor produttv. In questo senso la funzone d produzone costtusce l nseme de punt d frontera oppure, n altr termn f(x) {y è l massmo output ottenble assocato a (x, y) Y }. (5) Ovvamente, la trasformazone degl nput n output deve essere tecncamente possble. 1 Dewert (1982) ntroduce le propretà della funzone d produzone: 1. la funzone f(x) deve essere contnua nello spazo R + qund, per l teorema d Weerstrass, ammette almeno un punto d massmo o d mnmo relatvo; 2. La funzone d produzone è monotòna crescente; pres due generc vettor x 1 e x 2 deve rsultare che se x 1 > x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ); 3. produttvtà margnale rspetto all nput -esmo è per ; f f(x) x 0 (6) 1 Se s pongono delle restrzon sull nseme delle possbltà produttve, n partcolare se s suppone che alcun nput sano dsponbl n quanttà fssa, s ottene l nseme delle possbltà produttve d breve perodo. 3

5 4. concavtà per ; f 2 f(x) x 2 0 (7) 5. legge della produttvtà margnale decrescente 6. analogamente rsulta dove ε y,x è l elastctà dell output rspetto all -esmo nput ε y,x lm f 0; (8) x 0 lm x ε y,x 1, (9) y x x x x y ln y ln x. (10) L elastctà dell output rspetto all nput -esmo può essere scrtta come segue ε y,x f f, dove f è la produttvtà meda rspetto all nput -esmo. È percò ovvo che, per un utlzzo del fattore x, rsult f f, qund 0 lm x ε y,x 1. Questo rsultato sfrutta la relazone neoclassca n base alla quale la curva della produttvtà margnale nterseca quella della produttvtà meda n corrspondenza del punto d massmo Inseme degl nput necessar Analogamente è possble defnre l nseme degl nput necessar, coè una lsta d fattor produttv necessar per produrre una almeno certa quanttà d output (tutte le possbl combnazon degl nput che sono n grado d generare y). Per essere tecnologcamente fattble, occorre che (x, y) Y. Esso è pertanto defnto da V (y) {x R n + (x, y) Y }. (11) All nterno d questa equazone sono consderate tutte le combnazon d nput che devono essere possbl, ma possono essere effcent oppure neffcent Isoquanto d produzone L nseme d tutte le combnazon effcent prende l nome d soquanto d produzone ed è dato dalla seguente espressone: Q(y) {x R n + x V (y), x / V (y ) per y > y}. (12) In pratca, l soquanto è una lsta d varabl che permette d produrre precsamente la quanttà y. Gl nsem Y e V (y) rassumono da due dvers punt d vsta tra loro strettamente conness la struttura della tecnologa. 2 Una combnazone d nput è detta tecnologcamente effcente se l output prodotto corrsponde a quello massmo ottenble attraverso l suo utlzzo. In smbol s ha una tecnologa effcente se: y Y y > y 4

6 1.2 Assom Per poter rendere compatbl gl nsem fnora defnt alle esgenze della teora economca sono stat ntrodott seguent assom d comportamento: 1. l nseme delle possbltà d produzone non può essere vuoto (Y ) n quanto deve sempre esstere una tecnologa che permette la produzone d qualsas lvello d output; 2. L nseme Y è chuso, nfatt punt per qual y f(x) fanno parte dell nseme stesso; 3. Quanttà postve d output scaturscono solo dall mpego d quanttà postve d nput, n smbol y > 0 [1, n] x > 0 Anche per l nseme degl nput necessar V (y) esstono alcun assom che vanno ad ntegrars con quell d cu sopra. In partcolare rsulta che 1. L nseme V (y) è regolare 3 coè rsulta essere non vuoto, chuso e contene x 0 per y 0; 2. L nseme V (y) è monotòno coè se da un vettore x è possble rcavare la quanttà d output y, la stessa quanttà è ottenble anche per qualsas vettore x x. In formule s ha: se x V (y) x V (y) per x x Grafcamente tale concetto è evdenzato n Fgura 1 per l caso n cu nel processo d produzone entrano due sol nput; consderando un generco punto P ncluso n V (y) deve rsultare che tutt punt appartenent allo stesso nseme devono trovars nel sempano a destra dell soquanto. Cò mplca un nclnazone non postva dell soquanto. x 2 Fgura 1: Monotònctà d V (y) P x 1 3. L nseme V (y) è convesso, qund sagg margnal d sosttuzone 4 sono non crescent. 5 Consderando due vettor x 1, x 2 V (y) contenent gl nput, la convesstà dell nseme è garantta dal fatto che qualsas loro combnazone lneare fa parte dell nseme degl nput necessar. Analtcamente rsulta percò se x 1, x 2 V (y) x θx 1 + (1 θ)x 2 V (y) per θ [0, 1]. 3 Varan (1992) dentfca tale assoma col nome d tecnologa regolare. 4 Il saggo margnale d sosttuzone, o SMST, è defnto nella sezone Questa propretà derva dalla monotònctà d V (y). Nel caso n cu tale nseme sa strettamente convesso, sagg margnal d sosttuzone sono sempre negatv. 5

7 La convesstà dell nseme degl nput necessar è mplcata dal fatto che anche l nseme delle possbltà d produzone è convesso, nfatt, pres due vettor x 2 > x 1 n grado d poter produrre la quanttà d output y, rsulta se (x 1, y), (x 2, y) Y ( x, y) Y, dove x è una qualsas combnazone lneare de vettor degl nput consderat; 4. la convesstà dell nseme V (y) mplca che la funzone d produzone sa quas concava (Cardan, 1988). La rappresentazone d cu alla (5) mplca che V (y) {x y f(x)} che concde con la defnzone formale d quas concavtà della funzone d produzone. Esempo 1 La Fgura 2 llustra tutt concett espost fnora rappresentando 3 tecnche d produzone alternatve che utlzzano n 2 nput per produrre la quanttà d output y 1: la tecnca 1, la tecnca 2 e la tecnca 3 per le qual l nseme delle possbltà produttve è dato da Y {(1, x 1,1, x 2,1 ), (1, x 1,2, x 2,2 ), (1, x 1,3, x 2,3 )}, mentre l nseme degl nput necessar è {[ ] [ ] [ ]} x1,1 x1,2 x1,3 V (1) {x 1, x 2, x 3 },, x 2,1 Generalzzando per un lvello d produzone y y 0 s ottene x 2,2 x 2,3 V (y 0 ) {φy 0 x 1, (1 φ)ψy 0 x 2, (1 ψ)y 0 x 3 } dove φ 0, 1 y 0, 2 y 0..., 1 e ψ 0, 1 y 0, 2 y 0..., 1 sono parametr che combnano lnearmente le tecnche ne punt che costtuscono segment AB e BC. La spezzata n grassetto ndca percò l soquanto d produzone per un lvello d produzone y y 0. Fgura 2: Tecnologa, soquanto d produzone x 2 tecnca 1 tecnca 2 A D B tecnca 3 C x 1 Il punto D non è raggungble con nessuna tecnca e neppure attraverso una combnazone d tecnche, qund x D / V (y 0 ). 6

8 1.3 Elastctà d sosttuzone L elastctà d sosttuzone è un ndcatore sntetco utlzzato n Economa per msurare l grado d sosttubltà dvers nput all nterno d un processo produttvo. In letteratura esstono due tp dvers d elastctà d sosttuzone a seconda del numero d nput che entrano nella sua determnazone. All nterno d questo paragrafo sono enuncat ed analzzat entramb Elastctà d sosttuzone ordnara L elastctà d sosttuzone ordnara è calcolata tra due nput del processo produttvo ndpendentemente dalla presenza d altr nput. Dat due generc fattor produttv x e x j con j contenut all nterno del vettore x, l elastctà d sosttuzone ordnara 6 è defnta come l rapporto tra la varazone percentuale del rapporto tra le loro quanttà e la varazone percentuale del saggo margnale d sosttuzone tecnca (SMST), coè σ (x j /x ) x j /x SMST(x, x j ) SMST(x, x j ) (x j /x ) SMST(x, x j ) SMST(x, x j ) x j /x log(x j /x ) log SMST(x, x j ) (13) dove l SMST relatvo agl nput consderat defnsce la pendenza dell soquanto. Nell ultma versone della (13) l SMST è n valore assoluto perché costtusce l argomento della funzone logartmo (condzone d esstenza). S tenga presente che, quando x L (nput lavoro) ed x j (nput captale), l rapporto x j /x K/L è detto ntenstà d captale. L equazone che defnsce l SMST è SMST(x, x j ) dx j dx, (14) qund esso s confgura noltre come l rapporto tra la produttvtà margnale de due nput consderat, nfatt rsulta SMST(x, x j ) f(x) / f(x). (15) x x j Data una generca funzone d produzone y f(x), supponendo che fattor produttv subscano una varazone nfntesma nelle loro quanttà, s ottene: dy f(x) x dx + f(x) dx j x j Poché tale varazone non modfca la quanttà prodotta, deve valere dy 0, qund dalla (14) rsulta percò f(x) dx + f(x) dx j 0, x x j SMST(x, x j) f(x) x / f(x) x j f(x) f j(x). Mentre l SMST s confgura come la pendenza dell soquanto, l elastctà d sosttuzone rappresenta la curvatura dello stesso (Varan, 1992), qund l equazone (13) mostra come l rapporto nelle quanttà d nput utlzzate all nterno del processo d produzone subsca varazon quando l SMST vara. L elastcta d sosttuzone assume valor postv, coè σ [0, + ): quanto maggore è l elastctà d sosttuzone, tanto maggore è la possbltà d sostture l uno con l altro gl nput. Nel dettaglo: 6 D ora n avant questo concetto sarà denomnato semplcemente elastctà d sosttuzone. 7

9 - se σ 0 nput perfett complement, qund non è possble sostture l mnore mpego d uno con l maggore mpego dell altro e vceversa. Questo è l caso de process produttv a proporzon fsse; - se 0 < σ < 1 nput complementar; - se σ > 1 nput sosttut; - se σ nput perfett sosttut, s può ottenere lo stesso lvello d produzone dmnuendo la quanttà utlzzata d uno e ncrementando n manera proporzonale la quanttà l altro: l soquanto d produzone è percò una retta Elastctà parzale d sosttuzone Quando la dmensone del vettore x è n > 2 l elastctà d sosttuzone tra due generc nput non è la stessa che s ottene attraverso l equazone (13), n quanto la presenza d altr fattor produttv nflusce nel suo valore. In questo caso s parla d elastctà parzale d sosttuzone, ntrodotta da Allen (1938) e nota percò anche come elastctà d sosttuzone d Allen-Uzawa. Dat due generc nput x e x j ( j) l elastctà parzale d sosttuzone è defnta dalla seguente espressone: σ j γ j x x j f x, (16) dove f 1 f 2 f. f n f(x) x 1 f(x) x 2. f(x) x n è l vettore gradente contenente le produttvtà margnal; la quanttà γ j è data dall elemento posto all ncroco dell -esma rga e la j-esma colonna della matrce nversa dell Hessana bordata 7 della funzone d produzone data da [ ] 0 f G, (17) f H dove 2 f(x) x f(x) H x 1 x 2. 2 f(x) x 1 x n 2 f(x) x 1 x f(x) x f(x) x 2 x n... 2 f(x) x 1 x n 2 f(x) x 2 x n. 2 f(x) x 2 n è la matrce Hessana contenente le dervate seconde. Per la regola d nversone d una generca matrce quadrata 8 l coeffcente γ j è defnto come γ j G j G, (18) 7 Per la defnzone della matrce Hessana bordata d f(x) s veda la Proposzone 3 n Appendce. 8 S veda n proposto la Proposzone 2 n Appendce. 8

10 dove G è l determnante dell Hessana bordata, mentre G j è un mnore d G, coè l determnante della matrce Hessana bordata alla quale sono state tolte la -esma rga e la j-esma colonna. 9 Per la propretà 3 della Proposzone 1 untamente alla defnzone d cu alla (16) s evnce che l elastctà parzale d sosttuzone è sempre smmetrca, qund vale la relazone σ j σ j. Naturalmente, quando la tecnologa comprende solo due nput (n 2), l elastctà parzale d sosttuzone concde col valore dell elastctà d sosttuzone ordnara σ d cu alla (13). Partendo dalla seconda espressone d cu alla (13), occorre dmostrare che essa è uguale all elastctà parzale d sosttuzone tra gl (unc) nput x 1 e x 2. Analtcamente deve percò rsultare n quanto vale la relazone (x 2/x 1) SMST(x 1, x 2) γ12 x f SMST(x 1, x 2) x 2/x 1 x 1x 2 Gj x 1f 1 + x 2f 2 G x 1x 2 f1f2 x 1f 1 + x 2f 2, G x 1x 2 [ ] G 12 0 f1 f f 2 f 1f 2, 12 dove f 12 2 f(x) x 2 x 1. Calcolando l dfferenzale del rapporto x 2/x 1 s ha Dato che SMST(x 1, x 2) dx2 dx 1 f1 f 2, rsulta Analogamente per l dfferenzale d SMST è d(x 2/x 1) (x2/x1) dx 1 + (x2/x1) dx 2 x 1 x 2 x2 dx x dx 2 1 x 1 x1dx2 x2dx1 x 2 1 dx 2 x 1 x 2 dx 1 dx x f 1 x 1 + x 2 f d(x 2/x 1) 2 dx x x1f1 + x2f2 dx x f2 SMST(x1, x2) SMST(x1, x2) d SMST(x 1, x 2) dx 1 + dx 2 x 1 x [ ] 2 f1/f 2 dx 1 + f1/f2 dx 2 x 1 x 2 1 {[ ] [ ] } f1 f f2 2 2 f2 f1 f 1 dx 1 f 2 f2 f 1 dx 2 x 1 x 1 x 2 x 2 [f11f2 f21f1]dx1 + [f12f2 f22f1]dx2. f2 2 9 S tenga presente che la matrce G ha dmensone (n + 1) (n + 1) che ovvamente è superore alla dmensone d x; nel computo del coeffcente γ j c sono qund una rga ed una colonna che non possono ma essere escluse. In questo caso la prma rga e la prma colonna, che contengono lo zero, non vengono ma escluse. Così, ad esempo, volendo calcolare σ 23 ( 2, j 3), la matrce G 23 sarà ottenuta toglendo la terza rga e la quarta colonna d G. 9

11 Dato che per la defnzone d SMST(x 1, x 2) rsulta dx 2 f1 f 2 dx 1, sosttuendo s ottene d SMST(x, x j) [f11f 2 2 f 1f 21f 2]dx 1 [f 1f 12f 2 f 22f 2 1 ]dx 1 f 3 2 f11f 2 2 2f 1f 21f 2 + f 22f1 2 f2 3 G dx 1, f2 3 n quanto, per la regola d Sarrus, l determnante della matrce Hessana bordata è 0 f 1 f 2 G f 1 f 11 f 12 f 2 f 21 f 22 f11f 2 2 2f 1f 21f 2dx 1 + f 22f1 2. L elastctà d sosttuzone ordnara d cu alla (13) vale percò σ f1 f 2 x 2 x 1 x1f1 + x2f2 x 2 2 f2 dx 1 G f 3 2 dx 1 x1f1 + x2f2 f 1f 2 γj f x. x 1x 2 G x x j S tenga presente che, per n > 2, l elastctà parzale d sosttuzone può assumere sa valor postv, sa valor negatv: nel prmo caso s parla d nput concorrent, coè la sosttuzone dell uno determna l aumento della domanda dell altro, mentre nel secondo caso gl nput sono dett complementar, qund la sosttuzone d uno non comporta necessaramente l aumento della domanda dell altro. Cò è dovuto al fatto che esstono altr fattor da poter utlzzare all nterno del processo d produzone. Allen (1938) mostra che valor postv d σ j devono essere pù numeros e/o pù mportant d quell negatv. Innanz tutto s defnsce con h j la quota del costo totale spesa per l nput j-esmo. Essa è per defnzone postva o al lmte nulla. h j xjfj x f. Moltplcando gl element dell -esma rga della matrce G per complement algebrc relatva ad una rga k con, per la Proposzone 5 rsulta g j( 1) +j G kj 0. Analogamente rsulta Esplctando la somma s ha j1 h jσ kj j1 j1 f j G kj x G 0. h 1σ k1 + h 2σ k h k 1 σ kk 1 + h k σ kk + h k+1 σ kk h nσ kn 0 h 1σ k1 + h 2σ k h k 1 σ kk 1 + h k+1 σ kk h nσ kn h k σ kk. Poché per l Proposzone 4 rsulta h k σ kk < 0 per k, s ottene h 1σ k1 + h 2σ k h k 1 σ kk 1 + h k+1 σ kk h nσ kn > Rendment d scala Per quanto rguarda l elastctà d sosttuzone l nteresse era concentrato sulla varazone d un solo nput all nterno del processo produttvo. Per vedere cosa accade quando tutt gl nput varano nello stesso momento occorre utlzzare l concetto d rendmento d scala. Dato l vettore x V (y) degl nput, lo scalare y relatvo alla produzone ed una costante moltplcatva t > 0 s afferma che una tecnologa esbsce rendment d scala 10

12 - costant se f(t x) t f(x): l lvello d produzone è aumentato esattamente nella stessa msura n cu sono aumentat fattor produttv; - crescent se f(t x) > t f(x): l lvello d produzone è aumentato pù d quanto è aumentato l mpego de fattor produttv; - decrescent se f(t x) < t f(x): l lvello d produzone è aumentato meno d quanto è aumentato l mpego de fattor produttv. Un ndcatore d quanto camba la produzone quando vara la scala de fattor è l elastctà d scala, calcolata rspetto la stuazone d t 1. La sua defnzone analtca è f(t x) ε(x) f(t x) t f(t x) t t f(t x) ln f(t x) t1 ln t. (19) t1 t t1 Il valore crtco è ε(x) 1 che corrsponde a rendment d scala costant; valor maggor/mnor d 1 ndcano rendment d scala crescent/decrescent. 1.5 Omogenetà Strettamente connesso al concetto d rendmento d scala è quello relatvo all omogenetà delle funzone d produzone f(x); n partcolare, una funzone è detta omogenea d grado k se è verfcata la relazone per t > 0. I due cas pù mportant sono seguent: f(t x) t k f(x) (20) - Se k 0 sgnfca che l ncremento d quanttà negl nput non produce varazon nel lvello d output prodotto. Analtcamente rsulta percò f(t x) f(x); - Se k 1 l ncremento dell output è par all ncremento effettuato sulla quanttà de fattor produttv mpegat, coè f(t x) t f(x). In questo caso la tecnologa esbsce rendment d scala costant. Inoltre, se k > 1 rendment d scala sono crescent e per k < 1 rendment d scala sono decrescent. Le prncpal propretà delle funzon omogenee sono 1. l elastctà d scala calcolata su funzon omogenee è costante, nfatt ε(x) ln tk f(x) ln t k ln t + ln f(x) ln t k. (21) 2. se f(x) è omogenea d grado k, allora tutte le funzon del vettore gradente (produttvtà margnal) f(x)/ x sono omogenee d grado k 1. 11

13 Dfferenzando entramb membr della funzone (20) rspetto al generco nput x, s ottene f(t x) t t k f(x) x x f(t x) x t k 1 f(x) x. Inoltre, data questa defnzone, è evdente che, per j, deve valere f(t x) (x ) f(t x) (x j) f(x) x f(x) x j SMST(x, x j), dato che t k 1 s semplfca. S not che l equazone precedente c dce che, se la funzone d produzone è omogenea, l SMST(x, x j) è costante lungo ragg uscent dall orgne, coè non dpende dalla scala d produzone. 3. Teorema d Eulero: se la funzone d produzone è omogenea, la sommatora del prodotto tra le produttvtà margnal e le quanttà d fattor è uguale all elastctà d scala (costante) moltplcata per l output, coè f x kf(x) (22) Dervando entramb membr della (20) rspetto t, s ottene f(t x) kt k 1 f(x) t f(t x) (t x) kt k 1 f(x) (t x) t f(t x) (t x) x ktk 1 f(x) che vale per t; l equazone d Eulero è ottenuta n corrspondenza d t 1, nfatt f(x) (x) x kf(x) f x kf(x) 1.6 Omotetctà Date le funzon g(x) : R n R omogenea e h(z) : R n R monotòna e contnua, una funzone è detta omotetca se può essere specfcata come l prodotto d composzone le prncpal propretà delle funzon omotetche sono: φ(x) h[g(x)]. (23) 1. tutte le funzon omogenee sono omotetche, mentre non tutte le funzon omotetche sono omogenee (cfr. Vaglo, 2004). 12

14 Se g(x) è omogenea d grado k e h(z) è omogenea d grado r, φ(x) è omogenea d grado kr. Questa propretà dmostra la prma parte dell enuncato. In generale, se g(t x) t k g(x) e h(t z) t r h(z), deve valere φ(t x) h[g(t x)] h[t k g(x)] (t k ) r h[g(x)] t kr φ(x) Per la seconda parte dell enuncato basta rpercorrere la formula a rtroso per scoprre che esstono funzon tal per cu può rsultare t kr φ(x) t kr h[g(x)]. Esempo 2 S consder la funzone φ(x) x α 1 xβ 2. In questo caso s hanno g(x) xα 1 xβ 2 e h(z) z. Queste funzon sono entrambe omogenee, nfatt { g(t x) (t x1 ) α (t x 1 ) β t α+β x α 1 xβ 2 tα+β g(x) h(t z) t z t 1/2 z t 0.5 h(z), dove k (α + β) e r 0.5. La funzone φ(x) è percò omogenea, nfatt φ(t x) h[g(t x)] h[t α+β g(x)] t α+β g(x) t 0.5(α+β) g(x) t 0.5(α+β) h[g(x)], dove l ordne d omogenetà è dato dal prodotto kr 0.5(α + β). Se s consdera nvece la funzone g(x) 10 x α 1 xβ 2, questa non è omogenea n quanto rsulta g(t x) 10 (t x 1 ) α (t x 1 ) β 10 t α+β x α 1 x β 2 tα+β g(x). In base a questa propretà la funzone omotetca φ(x) 10 x α 1 xβ 2 non può essere omogenea. 2. se le funzon g(x) e h(z) sono omogenee e dfferenzabl almeno una volta, l SMST(x, x j ), coè l rapporto tra due dervate parzal d una funzone omotetca, è una funzone omogenea d grado zero. SMST(x, x j ) φ(x) x φ(x) x j h [g(x)] g(x) x h [g(x)] g(x) x j g g j. (24) Se g(x) è omogenea d grado k, per l Teorema d Eulero g e g j sono omogenee d grado k 1, qund l loro rapporto è R(t x) φ(t x) x t k 1 g g φ(t x) t k 1 g j g j R(x). x j 13

15 2 Scelte ottme dell mpresa Come è noto, n mcroeconoma l mpresa persegue l obettvo della massmzzazone del proftto, ovvero la dfferenza tra rcav total (RT) ed cost total (CT), n formule Π(y) RT(y) CT(y) p(y) y C(w, y) p[f(x)] f(x) w x, (25) dove tutte le funzon ndcate dpendono dal lvello d produzone dell mpresa. In partcolare: - p(y) defnsce l prezzo d vendta del prodotto come funzone della quanttà prodotta fornta dalla funzone d produzone (curva nversa d domanda dell mpresa); - C(w, y) w x defnsce la funzone d costo dell mpresa che dpende della varable endogena y e da parametr fornt all nterno del vettore w. Naturalmente l valore massmo per la funzone d proftto (25) sarà dato dal lvello d produzone y f(x ) che garantsce (a) o l mnmo costo sotto l vncolo della funzone d produzone, (b) o l massmo per la produzone sotto l vncolo d costo. 2.1 Funzone d costo Dato l vettore w > 0 contenente l prezzo degl n nput, s defnsce la funzone d costo come soluzone del seguente problema d mnmo: C(w, y) mn{w x y f(x)}. (26) Dalla (26) s evnce che la funzone obettvo del problema d mnmo è data dalla somma degl nput ponderat per rspettv prezz, mentre l vncolo fssa l lvello d output ad una quanttà che sa par almeno ad y. Dewert (1982) e Shephard (1953) llustrano le seguent propretà delle funzon d costo: 1. C(w, y) 0 per w > 0 e y > 0; Supponendo che l vettore x 0 sa quello che mnmzza la funzone d costo, s avrà che C(w, y) w x. Poché per defnzone w > 0, allora anche la funzone d costo rtorna valor postv. 2. Per l teorema d Weerstrass la funzone C(w, y) deve essere contnua nello spazo R n + n corrspondenza d w > La funzone d costo è lnearmente omogenea ne prezz per qualsas lvello d output, qund per w > 0, y > 0. C(t w, y) t C(w, y) 14

16 C(t w, y) mn{t w x y f(x)} t mn{w x y f(x)} t C(w, y) 4. La funzone d costo è monotòna non decrescente ne prezz de fattor, nfatt, per qualsas valore prefssato d y, rsulta se w 1 > w 2 C(w 1, y) C(w 2, y). (27) Dalla (27) s evnce che, se l vettore de prezz degl nput aumenta n almeno una sua componente, l costo mnmo per produrre la stessa quanttà d output scuramente non dmnusce; tuttava tale costo potrebbe addrttura restare nvarato nell potes n cu nel processo d produzone l nput l cu costo è aumentato vensse escluso da tale processo o sosttuto da altr fattor scarsamente utlzzat n precedenza. 5. A partà d w, la funzone d costo è non decrescente nel lvello d output, coè se y 1 > y 2 C(w, y 1 ) > C(w, y 2 ). (28) S pens allo schema soquanto-socosto: non è ma possble raggungere un soquanto pù alto rmanendo lungo la stessa retta d socosto poché l ntersezone (punto d tangenza) è, per defnzone, l punto n cu l costo è mnmo per l mpresa; aumentare la quanttà prodotta porta percò nevtablmente ad un aumento de cost. Cambando l punto d vsta s potrebbe dre che la quanttà d nput per produrre y 1 è scuramente suffcente per produrre y 2, ma non rappresenta la quanttà ottma; dall altro lato, la quanttà necessara per produrre y 2 non può essere ma suffcente per produrre y La funzone d costo è concava n w, coè C(θw 1 + (1 θ)w 2, y) θc(w 1, y) + (1 θ)c(w 2, y) (29) per y R + e θ [0, 1]. Questa propretà garantsce noltre che 2 C(w, y) w 2 < 0 per [1, n]. Sano C(w 1, y) w 1x 1 e C(w 2, y) w 2x 2 due funzon d costo, s costrusce la combnazone lneare C(w, y) w x C(θw 1 + (1 θ)w 2, y) θw 1x + (1 θ)w 2x. Poché per w 1 w w 2 deve valere - w 1x 1 w 1x w 1x C(w 1, y), - w 2x 2 w 2x w 2x C(w 2, y), 15

17 allora rsulta C(θw 1 + (1 θ)w 2, y) θw 1x + (1 θ)w 2x θw 1x 1 + (1 θ)w 2x 2 θc(w 1, y) + (1 θ)c(w 2, y). 7. Teorema d Dewert (1982)-Shephard (1953): se la funzone d produzone è omotetca ed omogenea d grado 1, qund f(x) h[g(x)], allora rsulta C(w, y) h 1 (y)c(w, 1) dove C(w, 1) è la funzone d costo untaro dell mpresa. C(w, y) mn{w x f(x) y} mn{w x h[g(x)] y} mn{w x g(x) h 1 (y)}. Moltplcando e dvdendo per h 1 (y) s ha { C(w, y) mn h 1 (y)w 1 x h 1 (y) g(x) } h 1 (y) 1. Ponendo z x h 1 y s ottene C(w, y) mn{h 1 (y)w z g(z) 1} h 1 (y) mn{w z g(z) 1} h 1 (y)c(w, 1) 8. Teorema d Samuelson-Shephard: se la funzone d produzone è omogenea d grado k rsulta C(w, y) y 1/k C(w, 1), (30) dove k > 0 è l elastctà d scala. Questo teorema rappresenta un caso partcolare del Teorema d Dewert-Shephard. Imponendo t y, dalla (20) rsulta Sosttuendo nella funzone d costo s ottene Ponendo z y 1/k x s ha f(y x) y k f(x) f(y 1/k x) y 1 f(x). C(w, y) mn{w x f(x) y} mn{w x y 1 f(x) 1} mn{y 1/k y 1/k w x f(y 1/k x) 1}. C(w, y) mn{y 1/k w z f(z) 1} y 1/k mn{w z f(z) 1} y 1/k C(w, 1). 16

18 2.2 Mnmzzazone de cost Sotto l potes che l mercato sa concorrenzale, coè composto da mprese prce taker e nel quale quanttà prodotte e prezz sano dat, l rcavo totale s confgura come una quanttà esogena. In questo contesto l mpresa massmzza l proftto rsolvendo l seguente problema d mnmo vncolato: { mn C(w, y) w x (31) sub f(x) y 0, dove C(w, y) è la funzone d costo dell mpresa, f(x) è la funzone d produzone dell mpresa e y 0 è un dato lvello d output che l mpresa è tenuta a produrre. La soluzone del sstema è ottenuta attraverso l Lagrangano L(x, λ) w x λ[f(x) y 0 ] (32) che, dervato rspetto a λ e al vettore x, rtorna l seguente sstema d n + 1 equazon con n + 1 ncognte (λ, x) { y0 f(x) 0 (1 equazone) (33) w λf 0 (n equazon) Cost margnal e cost med Le soluzon del sstema (31) sono (a) la domanda condzonale d fattor produttv (o domanda hcksana) x 0 x 0 (w, y 0 ) (34) che corrsponde ad un vettore n cu cascuna componente costtusce una funzone dpendente da tutt gl nput e dal lvello prefssato d produzone (cascuna domanda è percò condzonata dal fatto che che y y 0 ); (b) l moltplcatore d Lagrange è par a λ λ (w, y 0 ) 1 k C(w, y 0 ) C (w, y 0 ), (35) dove le espresson C(w, y 0 ) e C (w, y 0 ) ndcano rspettvamente l costo medo ed l costo margnale condzonal al fatto che la produzone è stata fssata sul lvello y y 0. Questa relazone fssa noltre la relazone che ntercorre tra quest due tp d funzone d costo. 1. λ C (w, y): S consder la funzone d costo calcolata n corrspondenza della soluzone x x 0 e la s derv rspetto alla produzone. Tale dervata equvale a C (w, y) C(w, y) w x 0 w x 0 λ(w, y)[f(x 0) y], dove f(x 0) y 0 per defnzone, qund s può scrvere { [ ]} C(w, y) w x 0 λ(w, y) f(x0) [f(x 0) y] + λ(w, y) 1 { w x 0 λ(w, y) [f(x 0) y] + λ(w, y) f(x0) } x 0 λ(w, y) x 0 { } w x 0 λ(w, y) [f(x 0) y] + λ(w, y)f x 0 λ(w, y) [w λ(w, y)f ] { } x0 λ(w, y) [f(x 0) y] λ(w, y). 17

19 Poché [f(x 0) y] 0 (vncolo sulla funzone d produzone) e [w λ(w, y)f ] 0 (condzone del prmo ordne sul Lagrangano), è charo che rsulta λ (w, y) C (w, y). 2. λ 1 k C(w, y): S consder l sstema d n equazon d cu alla seconda espressone n (33) e s moltplchno entramb membr per x. Il rsultato che s ottene è w x λf x λ (f x) 1 w x, dove C(w, y) w x è l costo totale dell mpresa, mentre f x rappresenta la somma de cost de fattor produttv ponderata per l contrbuto che cascun fattore produttvo dà alla produzone. Applcando l equazone d Eulero s ottene f x kf(x) qund, rsulta Poché l costo medo è defnto come C(w, y) λ C(w, y). ky C(w, y), allora rsulta y λ 1 k C(w, y). Il parametro k relatvo all elastctà d scala è decsvo per stablre l rapporto tra costo medo e costo margnale, nfatt - se k 1 (rendment d scala costant) rsulta C(w, y 0 ) C (w, y 0 ), - se k > 1 (rendment d scala crescent) rsulta C(w, y 0 ) > C (w, y 0 ), - se 0 < k < 1 (rendment d scala decrescent) rsulta C(w, y 0 ) < C (w, y 0 ). Questa caratterstca delle funzon d costo è determnable anche utlzzando le defnzon analtche d costo medo e costo margnale, nfatt C(w, y) C(w, y)/y 1 [ C(w, y) y 2 1 [ C(w, y) y ] y C(w, y) ] C(w, y) y 1 y [C (w, y) C(w, y)]. Da questo rsultato emerge che - se C(w, y 0 ) C (w, y 0 ) rendment d scala sono costant quando la curva del costo medo è orzzontale, - se C(w, y 0 ) > C (w, y 0 ) rendment d scala crescent quando la curva del costo medo è decrescente, - se C(w, y 0 ) < C (w, y 0 ) rendment d scala decrescent) quando la la curva del costo medo è crescente. 18

20 S not che gl schem neoclassc con le curve d costo a U oppure quell con le c.d. curve a catno rspettano n peno tutte queste condzon. Il problema d cu alla (31) non è sempre rsolvble con l metodo llustrato poc anz. Possono pertanto verfcars alcune stuazon partcolar come la funzone d produzone non è dfferenzable (presenza d cuspd o punt angolos nella mappa degl soquant); alcun fattor produttv possono essere esclus dal processo produttvo, qund rsulta x 0 per almeno un [1, n]. In questo caso dalla (33) s hanno le c.d. soluzon d angolo e rsulta w λf 0 p(y)f w, coè esste almeno un nput per l quale la produttvtà margnale n valore è nferore al costo dell nput stesso. Questo rsultato derva drettamente dall potes d mercato concorrenzale nel quale vale l uguaglanza λ C (w, y) p(y) Lemma d Shephard Il lemma d Shephard costtusce un mportante rsultato n quanto afferma che la domanda condzonale del fattore produttvo -esmo è data dalla quanttà ottmale dello stesso, coè quella quanttà che rende mnmo l costo per l mpresa. Sa x x (w, y) la domanda condzonale dell -esmo nput, se la funzone d costo è dfferenzable rspetto agl element del vettore w, allora rsulta: x C(w, y) w. (36) In pratca, l Lemma d Shephard afferma che la varazone d prezzo d un fattore produttvo comporta una varazone del costo totale (mnmo) dell mpresa par alla domanda/utlzzo del fattore stesso. Scrvendo la funzone d costo come C(w, y) w x 0, dove x 0 x 0(w, y) è la stessa defnta dall equazone (34), la dervata rspetto all -esmo nput è [ ] C(w, y) w x 0 + w x 0 w w w x 0 + w x 0 w. Dall equazone (33) rsulta w λf 0 qund, sosttuendo, s ottene C(w, y) x 0 + λf x 0 w w [ ] f(x) x 0 x 0 + x 0 w x 0 + λ w Poché la quanttà y è data, la dervata della funzone d produzone rspetto all -esmo nput è nulla per defnzone, qund s ottene l Lemma d Shephard C(w, y) x. w Dal Lemma d Shephard derva la propretà secondo la quale la funzone d domanda condzonale d fattor produttv è omogenea d grado zero. Se la funzone d costo ha la propretà d essere lnearmente omogenea ne fattor produttv, allora la sua dervata rspetto ad ess deve essere omogenea d grado zero. 19

21 2.2.3 Equlbro dell mpresa rspetto alla produzone Rprendendo la seconda equazone d cu alla (25) s ha Π(y) p(y) y C(w, y), coè una funzone nel lvello d output y da massmzzare. L equlbro dell mpresa è percò ottenuto con la classca uguaglanza tra rcavo margnale e costo margnale che scatursce dall applcazone della condzone del prmo ordne, nfatt Π(y) 0 p(y) y C(w, y) R (y) C (w, y). Il rcavo margnale R (y) è una funzone del lvello d produzone y che corrsponde alla dervata del rcavo totale rspetto alla varable y. Essa ha le seguent propretà: 1. Il rcavo margnale non può essere negatvo, altrment l mpresa avrebbe rcav total decrescent all aumentare della quanttà prodotta; l rcavo margnale è nullo n corrspondenza del punto d massmo del rcavo totale. Intutvamente s pens al caso n cu l mpresa abba solo cost fss (che non dpendono percò dalla quanttà prodotta y), qund l costo margnale è nullo: n questo caso l mpresa massmzzerebbe l propro proftto n corrspondenza del lvello d output per l quale l rcavo margnale è anch esso nullo, coè nel punto d massmo della curva del rcavo totale. 2. Il rcavo margnale è n relazone con l elastctà della domanda al prezzo ε(y, p), coè [ R (y) ] p(y). (37) ε(y, p) Poché l rcavo margnale non può essere negatvo, questa relazone vale quando la domanda è elastca, coè ε(y, p) 1. Ad una domanda rgda ε(y, p) ( 1, 0] corrsponde percò un rcavo margnale negatvo, pertanto non ammssble. R (y) p(y) y p(y) y + p(y) [ ] p(y) y p(y) + 1 p(y) [ ] p(y). ε(y, p) Quando l mpresa è n equlbro, l nversa della (37) defnsce l mark up, coè un moltplcatore che ndca d quanto la sngola mpresa resce a rcarcare l prezzo rspetto a cost margnal. Analtcamente s ha percò con ε(y, p) 1. p(y) [ ] 1 C (w, y) ε(y, p) 20 [ ] ε(y, p) C (w, y) ε(y, p) + 1

22 3. Il rcavo margnale è sempre non superore al rcavo medo (prezzo). Poché ε(y, p) (, 1], dalla (37) segue mmedatamente che R (y) p(y), dove l uguaglanza stretta vale nel caso della concorrenza perfetta, coè quando ε(y, p). 4. Se l prezzo p è esogeno (costante), coè non non dpende dal lvello d produzone y, l rcavo margnale è R (y) p y p, (38) qund è sempre uguale al rcavo medo. In questo caso l mpresa opera n un mercato d concorrenza perfetta e non ha potere d mercato (prce taker). Affnché s possa applcare l uguaglanza tra rcav margnal e cost margnal, è necessaro che la funzone d proftto abba seguent requst: (a) deve essere dfferenzable, qund le funzon d produzone e d costo devono essere dfferenzabl rspetto alla varable y; (b) deve avere l propro massmo per y R +, altrment rcav total sarebbero negatv; (c) affnché abba un punto d massmo, la funzone d proftto deve essere concava n y, coè 2 Π(y) 2 < 0. In concorrenza perfetta questa relazone mplca che - la funzone d costo deve essere convessa n y, nfatt 2 Π(y) 2 < 0 2 p y 2 2 C(w, y) 2 < 0 C (w, y) < 0 C (w, y) > 0; - l equlbro dell mpresa è possble solo nel tratto crescente de cost margnal; - poché C (w, y) 1 k C(w, y), allora l equlbro dell mpresa può avvenre solo se rendment d scala sono decrescent; - l proftto massmo deve essere postvo, coè se p C (w, y ) l mpresa produce y y, se p < C (w, y ) l mpresa non produce (y 0); 21

23 - La quanttà prodotta che massmzza l proftto è data da y y la quale garantsce che R (y ) C (w, y ) sa verfcata; naturalmente per un mercato perfettamente concorrenzale vale la relazone p C (w, y ). In partcolare, la quanttà d equlbro s confgura come la quanttà offerta dall mpresa ( cost margnal qund s confgurano come la funzone nversa d offerta) che dpende dal lvello del prezzo e dal costo de fattor produttv, qund y y s (p, w). L analoga con l equazone (1) è percò evdente; - dervando la condzone d equlbro rspetto al prezzo s ottene p C (w, y ) p p 1 C (w, y ) p [ C (w, y ) s (p, w) p ] 1 > 0. La curva d offerta dell mpresa è percò crescente rspetto al prezzo Equlbro dell mpresa rspetto a fattor produttv Concentrando l attenzone sugl nput, la funzone d proftto può essere scrtta come segue Π(x) p f(x) w x, dove la quanttà prodotta dpende dalla quanttà mpegata d fattor produttv, mentre l prezzo è un dato, qund mplctamente s fa rfermento ad un mercato perfettamente concorrenzale. In questo contesto la funzone d produzone f(x) è nota, mentre la funzone d costo non lo è. L equlbro dell mpresa è ottenuto come segue Π(x) x 0 p f(x) x w x x 0 p f w 0 pf w. (39) Esso è fornto dall uguaglanza tra produttvtà margnale n valore e costo de fattor produttv. In partcolare - se f > w /p l mpresa aumenta l utlzzo del fattore produttvo -esmo perché l suo contrbuto alla produzone supera l suo costo reale, - se f < w /p l mpresa dmnusce l utlzzo del fattore produttvo -esmo perché l suo contrbuto alla produzone è nferore al suo costo reale. Legge d esaustone del prodotto: al vettore f l vettore w/p, qund s consder l equazone d Eulero (equazone (22)) sosttuendo f x k y w x k p y; se k 1 tutta la produzone vene utlzzata per remuneare fattor produttv. S tenga presente che. nel mercato d concorrenza perfetta, per k < 1 entrano nuove mprese sul mercato attrate dal fatto 22

24 che rcav sono maggor de cost), mentre lo scenaro k > 1 non può essere applcato. La soluzone per l vettore degl nput che massmzza l proftto è data da x x(w, y ), (40) che corrsponde alla domanda non condzonale d fattor produttv (o domanda marshallana), ottenuta n corrspondenza del lvello d produzone ottmale y y (w, p). Calcolando la dervata della domanda marshallana dell nput -esmo rspetto al prezzo del fattore produttvo j-esmo, applcando l Lemma d Shephard s ottene x (w, y ) x (w, y ) + x (w, y ) w j w j C j + C y C jy, (41) w j C y y dove l rapporto a snstra del segno d uguaglanza msura l effetto totale sulla domanda d una varazone d prezzo d un nput, mentre due addend msurano rspettvamente - l effetto d sosttuzone tra l nput -esmo e l nput j-esmo è dato da - l effetto output è dato da x (w, y ) x (w, y ) w j 2 C(w, y ) w w j C j (42) 2 C(w, y ) 2 C(w, y ) w j w w j 2 C(w, y ) 2 2 C(w, y ) 2 C(w, y ) w w j 2 C(w, y ) C y C jy C y y. (43) Le equazon (41), (42) e (43) evdenzano che, pres due generc nput x ed x j, l effetto d sosttuzone, l effetto output e l effetto totale sono tutt smmetrc. L elastctà della domanda dell nput x rspetto al prezzo dell nput x j è nvece par a C j ε(x, w j ) S j C(w, y) S j σ j, (44) C C j dove, per l Lemma d Shephard C x e C j x j, S j w jx j è la factor share del j-esmo C(w, y) fattore produttvo, mentre σ j è l elastctà d sosttuzone tra gl nput e j. ε(x, w j) x w j w j x 2 C(w, y) w j x j C(w, y) w w j x x j C(w, y) 2 C(w, y) w w j S j C j x x j w x 23 w jx j C(w, y) C(w, y) x x j

25 Dato che per la smmetra dell effetto totale vale x j x 2 C(w, y) x 2 C(w, y) x xj w w j w w j f j w w j 2 y allora rsulta S j γ j x x j w x S jσ j 2 C(w, y) w w j γ j (nversa matrce Hessana), Funzone d proftto Una volta determnate la quanttà ottmale d output (offerta) y y s (w, p) e la quanttà (domanda) ottma d fattor produttv x x d (w, p), è possble sostturle all nterno della (25) ottenendo percò la seguente funzone d proftto Π (w, p) p y w x (45) che dpende dal vettore de prezz w, ma soprattutto dal lvello (esogeno) del prezzo p. Lemma d Hotellng: l valore ottmale per l lvello d output è ottenuto dervando la funzone d massmo proftto rspetto al prezzo, mentre l valore ottmale per la domanda d nput è dato dalla dervata della funzone d massmo proftto rspetto al prezzo de fattor produttv. In formule Π(w, p) y p (46) Π(w, p) x w Dervata della funzone d proftto rspetto al prezzo: Π(w, p) p p f(x) p w x p f(x) + p f(x) x y + pf x p x w p y + [pf w ] x p Applcando la condzone del prmo ordne (39) s ottene percò Π(w, p) p y. Dervata della funzone d proftto rspetto all -esmo fattore produttvo: x p x w p Π(w, p) p f(x) w x w w w p f(x) [( ) ] x w x + w x x w w w [pf w ] x x. w Applcando la condzone del prmo ordne (39) s ottene percò Π(w, p) w x. 24

26 Dal Lemma d Hotellng dervano alcune propretà della funzone d proftto: 1. la funzone d proftto deve essere dfferenzable n p e w per ; 2. l proftto è una funzone non decrescente rspetto al prezzo perché la quanttà prodotta/offerta non dmnusce; 3. l proftto è una funzone non crescente rspetto al prezzo dell -esmo nput perché la quanttà domandata dello stesso non può aumentare se l suo costo aumenta; 4. la funzone d proftto è lnearmente omogenea ne prezz (w, p), nfatt Π(t w, t p) t p y t w x t p y w x p Π(w, p); 5. la funzone d proftto è convessa ne prezz de fattor produttv, nfatt 2 Π(w, p) w 2 x w. Da questo rsultato emerge anche che la matrce delle dervate seconde della funzone d proftto concde con la matrce delle dervate della domanda d nput rspetto a prezz degl nput stess. 2.3 Dualtà Data una tecnologa rappresentata dalla funzone d produzone f(x), l mpresa ha l obettvo d mnmzzare la sua funzone d costo, qund deve rsolvere l problema d programmazone matematca d cu alla (31). Il prncpo d dualtà afferma che è possble che l processo d cu alla (31) può essere nvertto attraverso l problema { max f(x) y0 sub C(w, y) w (47) x, nel quale s effettua la rcerca del massmo d f(x) sotto l vncolo costtuto dalla funzone d costo. Cò sgnfca che l nformazone contenuta nella funzone d costo è la stessa che s trova all nterno della funzone d produzone e vceversa. In termn analtc è percò possble, sotto opportune condzon d regolartà 10 dervare un unca funzone d produzone che genera una funzone d costo. Sotto le stesse condzon è possble anche l operazone nversa. Nel prossmo captolo s mostrerà che alcun tp d funzon d produzone sono auto-dual, coè sottontendono una funzone d costo con la loro stessa forma funzonale. 3 Forme funzonal La scelta d un opportuna forma funzonale per la funzone d produzone o per la funzone d costo costtusce un elemento fondamentale per qualsas modello d mcroeconoma. In estrema sntes, tal forme funzonal dovrebbero avere due caratterstche: da un lato, esse dovrebbero essere defnte n modo tale da possedere le propretà dscusse nelle precedent sezon (omogenetà, omotetctà, convesstà/concavtà ecc.). Dall altro, la loro forma analtca dovrebbe permettere lo svolgmento d anals emprche e/o l utlzzo d tecnche statstco-econometrche. In mcroeconoma, le forme funzonal vengono generalmente suddvse n due macro categore, ovvero le forme funzonal rgde e le forme funzonal flessbl. Il crtero dstntvo è l elastctà d sosttuzone tra le varabl che ne costtuscono l domno: se per qualsas coppa (x, x j ), con j, l elastctà d sosttuzone non vara, allora s parla d rgdtà. Nel caso contraro, ovvero d un elastctà che dpende da e j, s parla d flessbltà. 10 Le condzon d regolartà per f(x) sono quelle enuncate nel paragrafo

27 3.1 Forme funzonal rgde Oggetto de prossm sottoparagraf sono la forma funzonale d tpo Cobb-Douglas e d tpo CES, due espresson caratterzzate dal fatto che l elastctà d sosttuzone tra due generc nput x e x j è costante per j Cobb-Douglas Dato un vettore x R n +, la funzone d tpo Cobb-Douglas è data dall espressone y A n x α, (48) dove A > 0 è una costante moltplcatva, mentre coeffcent α 0 sono dett coeffcent tecnc. La funzone d tpo Cobb-Douglas gode delle seguent propretà: 1. funzone omogenea d grado k α, coè y(t x) t k y(x). (49) y(t x) A n (t x ) α t n α A t k y(x) n In rfermento all equazone (21), l parametro k ndca l elastctà d scala, qund - se k - se k - se k α 1 rendment d scala sono costant, α > 1 rendment d scala sono crescent, x α α < 1 rendment d scala sono decrescent; 2. funzone non decrescente nelle varabl x j ; Dervando la Cobb-Douglas rspetto alla varable x j s ottene x j α jx α j 1 j A n, j x α αj x j A n 3. funzone concava rspetto alle varabl x j se e solo se 0 α j 1; x α αj x j y 0 26

28 Il generco elemento posto lungo la dagonale della matrce Hessana dervata rspetto alla j-esma varable è [ 2 y α x 2 j 1 ] y + αj α j 1 y α j x 2 j x 2 j y. j x 2 j A questo punto è evdente che la concavtà dpende strettamente dalla condzone 0 α j 1 per la quale rsulta (α j 1) 0 per j: n questo caso, la matrce Hessana rsulta (almeno) semdefnta negatva, qund la funzone d costo d tpo Cobb-Douglas è concava. 4. l elastctà d sosttuzone è costante par a σ 1 per qualsas coppa d varabl (x, x j ); Nella Cobb-Douglas l SMST è dato dalla seguente espressone SMST(x, x j) α α j x j x, qund rsulta Passando al logartmo s ha L elastctà d sosttuzone vale percò per ogn, j. ln xj x x j x σ j αj α SMST(x, x j). ln αj α + ln SMST (x, x j). ln(x j/x ) ln SMST (x, x j) 1 5. l sentero (o lnea) d espansone dell mpresa è una retta passante per l orgne; Poché la condzone d equlbro per cascuna coppa d nput x e x j è SMST(x, x j) p p j, dove p e p j sono rspettvamente prezz de fattor produttv stess, allora rsulta α α j x j x p p j x j αj p x α p j x j c x 6. funzone auto-duale: per un mpresa che cerca la combnazone ottmale degl nput n modo da mnmzzare l costo totale sotto l vncolo d una funzone d produzone d tpo Cobb-Douglas, rsulta che anche la sua funzone d costo è una Cobb-Douglas; 27

29 S consder l problema mn C(w, y) w x per l quale l Lagrangano vale sub y A L(x, λ) w x λ Dalle condzon del prmo ordne che scaturscono dervando la funzone L(x, λ) rspetto a cascun nput x s ottene ( ) L(x, λ) α n w λ A x α x x dalla quale è possble calcolare agevolmente l valore del rapporto tra prezz d due generc nput x e x j data da w j αjx w α x j da cu derva ( n A x α n x α w w j α j x j. Sosttuendo all nterno della funzone d produzone s ha n ( ) α α w j y A x j w α j Ax k j ( wj α j ) k n x α ( α w y ) ) α. Esplctando per x j s ottene la domanda condzonale del fattore produttvo j-esmo data da x j y 1/k α j w j A 1/k n ( w α ) α /k. Sosttuendo questa l espressone per x j nella funzone obettvo, s determna una funzone d costo d tpo Cobb- Douglas, nfatt Ponendo B k A 1/k n C(w, y) α α /k, rsulta w x w α w w j α j x j α α j w j y 1/k w j α j A 1/k k y 1/k A 1/k n C(w, y) y 1/k B n α ( ) α /k w n α w α /k.. ( ) α /k w 7. dall auto-dualtà della funzone d tpo Cobb-Douglas dervano seguent scenar n termn d funzon d costo e d rendment d scala: dato che la funzone d costo può essere scomposta nel prodotto C(w, y) Γ(w)y 1/k, 28

30 dove Γ(w) B n w α /k è funzone esclusva del vettore w, allora rsulta che le funzon C(w, y) y1/k Γ(w) y C (w, y) 1/k Γ(w) Γ(w)y 1 k k 1 1 k Γ(w)y k k (50) sono anch esse d tpo Cobb-Douglas. S not che rsultat ottenut sono conform alla relazone (35). Poché l parametro k ndca l tpo d rendment d scala, n caso d rendment costant (k 1) le due curve sono costant e concdono, coè vale C(w, y) C(w, y) Γ(w); gl scenar alternatv sono rappresentat n Fgura 3; Fgura 3: Funzone Cobb-Douglas e rendment d scala (a) Rendment d scala crescent (k > 1) (b) Rendment d scala decrescent ( 0 < k < 1 2 ) C (w, y) C(w, y) C(w, y) C (w, y) (c) Rendment d scala decrescent ( k 1 2 y ) (d) Rendment d scala decrescent ( 1 2 < k < 1) y C (w, y) C(w, y) C (w, y) C(w, y) y y 8. funzone lneare ne logartm, coè vale ln y ln A + α ln x. (51) Questa formulazone rende la Cobb-Douglas adatta ad anals econometrche basate sul modello lneare classco d regressone (OLS) poché è rconducble alla forma ỹ Ã + α x 1 + α 2 x α n x n + ε per la quale è suffcente soltanto assumere la valdtà delle potes classche sul termne d errore ε. In quest ambto, possono essere ottenute stme consstent per coeffcent tecnc α e 29