La t di Student. Per piccoli campioni si definisce la variabile casuale. = s N. detta t di Student.

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1 Pccol campon I parametr della dstrbuzone d una popolazone sono n generale ncognt devono essere stmat dal campone de dat spermental per pccol campon (N N < 30) z = (x µ)/ )/σ non ha pù una dstrbuzone gaussana s ntroduce un errore non trascurable che aumenta al dmnure d N.

2 La t d Student Per pccol campon s defnsce la varable casuale t = ( x µ) s N detta t d Student.

3 La dstrbuzone della t d Student La dstrbuzone della t d Student, rspetto alla dstrbuzone normale, presenta una maggore dpersone ntorno alla meda e non è unca, ma dpende dal numero d grad d lbertà ν (= numero d osservazon ndpendent del campone N dmnuto del numero d parametr stmat dal campone; ν = N 1).

4 La dstrbuzone della t d Student Se N è grande la dstrbuzone t d Student è ben approssmata dalla dstrbuzone normale.

5 La dstrbuzone della t d Student I lmt d confdenza per µ sono allora e qund x ± t p s N = µ x ± t p s N Essendo p l lvello d confdenza rchesto

6 t d Student - Esempo Sono state esegute 10 msure della resstenza alla rottura R d un certo tpo d fl d nalon. I rsultat ottenut sono seguent: 7.1 N, 7.00 N, 7.56 N, 7.37 N, 7. 4 N, 7.06 N, 7.40 N, 7.31 N, 7.5 N, 7.8 N. Calcolate lmt d confdenza al 95% ed al 99% per la reale resstenza alla rottura. Quale sarebbe l rsultato se s potessero applcare metod della teora de grand campon?

7 t d Student - Esempo R = 7.6 N s = 0.18 N Numero d grad d lbertà ν = 10 1 = 9 t =.6; t = 3.5 I lmt d confdenza sono qund: 95% ± N= ( 7.6 ± 0.13)N 10 99% ± N= ( 7.6 ± 0.18)N 10

8 t d Student - Esempo Se applcassmo metod della teora de grand campon lmt d confdenza sarebbero: 95% ± N= ( 7.6 ± 0.11)N 10 99% ± N= ( 7.6 ± 0.15)N 10 Ossa sarebbero meno amp rspetto a quell ottenut con metod della teora de pccol campon, come c s poteva aspettare poché con pccol campon s raggunge una precsone mnore.

9 Test d potes medante la t d Student Medante la t d Student è possble: stablre se la msura d una grandezza fsca, determnata tramte un pccolo campone, è compatble, ad un certo lvello d sgnfcatvtà, con un valore noto a pror; confrontare due msure dfferent della stessa grandezza, ottenute da due pccol campon, e stablre se la dverstà è dovuta a fluttuazon statstche (campon appartenent a popolazon avent lo stesso valore atteso) o meno.

10 Test d potes con la t d Student - Esempo Una dtta produttrce d fertlzzant coltva due campon d 10 pantcelle cascuno adottando due dvers prodott. Alla fne del trattamento n un campone s msura un altezza meda h 1 = 0.0 cm e uno scarto quadratco medo s 1 =.0 cm, nell altro un altezza meda h =.7 cm e uno scarto quadratco medo s = 3.0 cm. Al lvello d sgnfcatvtà dell 5% s può affermare che esste una dfferenza sgnfcatva tra due campon? E al lvello dell 1% Rspondere alle domande precedent nell potes che campon sano rspettvamente d -N 1 = 5 ed N = 7 element; -N 1 = N = 10 element - N 1 = N = 50 element.

11 Test d potes con la t d Student - Esempo Ipotes H 0 : le dfferenze non sono sgnfcatve perché sono dovute a fluttuazon statstche campon appartengono a popolazon avent lo stesso valore atteso (µ 1 = µ ). Il valore atteso per la dfferenza delle mede camponare è qund 0. Assumamo che campon casual sano estratt da popolazon normal con uguale devazone standard (σ 1 = σ ). La varanza della dfferenza tra le mede camponare può essere stmata medante l espressone: σ x x ( ) N 1 s + ( N 1) 1 1 N + N 1 1 s che può essere vsta come una meda pesata delle stme delle varanze de due campon.

12 Test d potes con la t d Student - Esempo Per valutare la consstenza delle mede consderamo la varable t = ( x x ) ( µ µ ) 1 σ 1 1 x1 x + N1 1 N Che è dstrbuta come la t lbertà. d Student con ν = N 1 + N grad d

13 Test d potes con la t d Student - Esempo Nella 1 a potes (N 1 = 5; N = 7) s ha: (*) σ.88 x = 1 x t = ±1.60 (*) valor d t da consderare sono due n corrspondenza alle due possbl dfferenze ( x ) 1 x ( ) x x 1 Numero d grad d lbertà: ν = = 10 cu corrsponde: t 0.995, 10 = 3.17 t 0.975, 10 =.3

14 Test d potes con la t d Student - Esempo Poché rsulta: 1% ± % -.3 ±1.6.3 possamo concludere che ad entramb lvell d sgnfcatvtà la dfferenza tra valor delle due mede camponare è dovuta uncamente a fluttuazon statstche, qund l potes H 0 è accettable a entramb lvell.

15 Test d potes con la t d Student - Esempo Nella a potes (N 1 = N = 10) s ha: σ x =.69 t = ±. 5 1 x Numero d grad d lbertà: ν = 18 cu corrsponde: t 0.995,18 =.88 t 0.975,18 =.3 Poché rsulta: 1% -.88 ± % ;.3.5 possamo concludere che l potes H 0 è accettable al lvello d sgnfcatvtà dell 1% ma non al lvello del 5%.

16 Test d potes con la t d Student - Esempo Nella 3 a potes (N 1 = N = 50), poché campon sono grand, s usa la z. S ha qund: z = ( x x ) ( µ µ ) 1 1 = ± σ1 N 1 σ + N 5.9 Essendo µ 1 = µ e σ 1 ; σ stmate medante gl scart quadratc med.

17 Test d potes con la t d Student - Esempo Poché s ha z =.58 z =.4 rsulta: 1% ; % ; S conclude che le dfferenze sono sgnfcatve ad entramb lvell d sgnfcatvtà, qund dobbamo rfutare H 0 ad entramb lvell.

18 Test d potes con la t d Student - Esempo Concluson: N1 = 5 N = 7 N1 = 10 N = 10 N1 = 50 N = 50 t =±1.60 t = ±.5 z = ±5.9 t 0.975,10 =.3 t 0.975,18 =.10 z = 1.96 t 0.995,10 = 3.17 t 0.995,18 =.88 z =.58 maggore è l ampezza del campone, pù sgnfcatve sono le dfferenze.

19 La dstrbuzone ch-quadro Lo scarto quadratco medo d un campone d msure dà una stma della devazone standard σ della popolazone. Per poter stmare un ntervallo d confdenza per σ occorre conoscere come s s dstrbusce ntorno a σ. S defnsce allora la varable casuale ch-quadro χ N ( x x) = 1 ( N 1) = = σ σ s

20 La dstrbuzone ch-quadro La dstrbuzone χ : è defnta nell ntervallo (0;+ ); è asmmetrca; non è unca ma dpende dal numero d grad d lbertà ν; per ν 30 è ben approssmata da una dstrbuzone gaussana

21 La dstrbuzone ch-quadro

22 La dstrbuzone ch-quadro ( n 1) s Anche per la varable χ = è possble σ defnre un ntervallo d confdenza, ndvduando, χ mn due estrem, e, entro cu cadrà con la probabltà desderata: χ max χ mn ( N 1) s σ χ max

23 La dstrbuzone ch-quadro Esplctando rspetto a σ è possble stmare qund, entro cert lmt d confdenza, lo scarto quadratco medo della popolazone σ n termn dello scarto quadratco medo camponaro s: s χ N 1 max σ s χ N 1 mn

24 Il test ch-quadro Non sempre la legge d dstrbuzone d probabltà d una sere d dat spermental è nota a pror la legge d dstrbuzone deve essere determnata n base a delle potes. Come s può stablre n termn d probabltà se la dstrbuzone potzzata è accettable o meno?

25 Il test ch-quadro Consderamo un campone d N osservazon suddvso n k ntervall. Defnamo la varable casuale admensonale ch-quadro : o e χ k ( o ) = = 1 e e = frequenze osservate per l -esmo ntervallo = frequenze attese per l -esmo ntervallo [e = NP(x ); P(x ) = probabltà potzzata che la varable acqust l valore x ncluso nella classe ]

26 Il test ch-quadro Vale la relazone k k = o e = = 1 = 1 N La varable χ così defnta msura la dscrepanza esstente tra le frequenze osservate e quelle attese. χ = 0 accordo perfetto tra dat spermental e valor attes χ > 0 dsaccordo tra dat spermental e valor attes tanto maggore quanto maggore è l valore d χ.

27 Il test ch-quadro Se N la dstrbuzone della varable k = 1 (o e e ) tende asntotcamente alla dstrbuzone della varable (N 1)s con un numero d grad d lbertà ν dato da: σ

28 Il test ch-quadro ν = k 1 se le frequenze attese possono essere calcolate senza dover stmare parametr della popolazone dalle dstrbuzon osservate; ν = k 1 - λ se le frequenze attese possono essere calcolate solo stmando λ parametr della popolazone dalle dstrbuzon camponare.

29 Il test ch-quadro La condzone d asntotctà s consdera raggunta se N 50 e l numero d event per classe è almeno uguale a 5. Il valore atteso d χ è uguale al numero d grad d lbertà ν. La funzone d dstrbuzone f(χ ) consente d calcolare, al varare d ν, la probabltà che, rpetendo le N msure, s ottenga, solo per effetto delle fluttuazon casual, un valore d χ maggore o uguale d quello osservato χ 0 : P( χ χ ) 0 = χ f ( χ ) dχ

30 Il test ch-quadro χ 0 Area a destra d χ 0 = probabltà P d ottenere, solo per effetto del caso, un valore maggore o uguale d χ 0. Area maggore maggore probabltà che le frequenze teorche dfferscano da quelle spermental per effetto del caso

31 Il test ch-quadro χ 0 Fssato un lvello d sgnfcatvtà α, l valore osservato ndca un dsaccordo sgnfcatvo se P( χ χ ) < α E l potes va rgettata al lvello d sgnfcatvtà α. 0

32 Il ch-quadro rdotto Poché l valore atteso d χ deve essere ν spesso s normalzza a ν l χ e s consdera l ch-quadro rdotto ~ = χ che è prossmo a 1 se esste un buon accordo tra la dstrbuzone osservata e quella potzzata. χ ν

33 Lvell d sgnfcatvtà E convenzone stablre due lvell sgnfcatv per l valore della probabltà : 5% oppure 1%. Se P( χ χ0 ) < 5% l dsaccordo con la dstrbuzone attesa è sgnfcatvo e s rgetta l potes al lvello d sgnfcatvtà del 5%; P( χ χ ) Se P( χ χ ) < 1% l dsaccordo con la dstrbuzone 0 attesa è altamente sgnfcatvo e s rgetta l potes al lvello d sgnfcatvtà dell 1% 1%. 0

34 Applcazon del ch-quadro Test della sgnfcatvt Test della sgnfcatvtà per verfcare se le frequenze osservate per un nseme d possbl event dfferscono sgnfcatvamente dalle frequenze attese sulla base d certe potes.

35 Test della sgnfcatvtà - Esempo Lancando un dado 10 volte s sono osservate per cascuna facca le seguent frequenze. Facca Frequenze osservate Provate l potes che l dado è buono al lvello d sgnfcatvtà del 5%. Se l dado non è truccato le frequenze attese e per cascuna facca sono ugual e sono par a 0.

36 Applcazon del ch-quadro - Esempo k = (o e e ( ) 5 0 ( 17 0) ( ) ( ) ( 4 0) 0 ( 16 0) 0 ) + = = Poché l numero d class (le facce n questo caso) è k = 6 e non c sono parametr della dstrbuzone attesa calcolat da dat spermental l numero d grad d lbertà è ν = k 1 =

37 Applcazon del ch-quadro - Esempo Dalle tavole del χ s rcava: χ 0,95,5 = 11.1 Poché 5.00 < 11.1 possamo accettare l potes che l dado sa buono.

38 Applcazon del ch-quadro Test sulla verosmglanza d un modello per verfcare la verosmglanza d un certo modello matematco nel rappresentare dat relatv ad un certo fenomeno. In questo caso l χ è defnto come N ( y = yc ) χ σ y = valor spermental; = valor calcolat; σ = devazone standard = 1 y c

39 Test χ per rcercare la forma d una dpendenza funzonale Se la relazone funzonale non è nota a pror e s dspone d poch punt spermental può accadere che s possano potzzare dverse relazon funzonal. Quale deve rteners la pù soddsfacente? La quanttà y c = stma, tramte la relazone funzonale potzzata, della varable y, avente devazone standard σ, segue la dstrbuzone f(χ ) N ( y = yc ) χ σ = 1

40 Test χ per rcercare la forma d una dpendenza funzonale Possamo qund calcolare la probabltà d ottenere un valore d χ maggore o uguale a quello osservato χ 0 [P(χ χ 0 )] solo per effetto delle fluttuazon casual e stablre, ad un certo lvello d sgnfcatvtà α, se la relazone funzonale proposta può essere accettata.

41 Test χ per rcercare la forma d una dpendenza funzonale Se le relazon potzzabl sono pù d una per cascuna s calcolano rspettv χ consderando grad d lbertà ν dat dal numero N d varabl ndpendent dmnuto del numero c d parametr calcolat e s decde sulla base del lvello d sgnfcatvtà prescelto. Se ambedue soddsfano l lvello d sgnfcatvtà prescelto s scegle quello l cu χ 0 presenta la maggor probabltà d essere superato dal valore del χ teorco.

42 Test χ per rcercare la forma d una dpendenza funzonale Anche n questo caso s può usare l ch-quadro rdotto: ~ = χ In tal caso, se entrambe le relazon funzonal soddsfano l lvello d sgnfcatvtà prescelto, s ~χ χ ν scegle quella con l mnore.

43 Test χ per rcercare la forma d una dpendenza funzonale 5,0 4,0 3,0,0 1,0 0,

44 Test χ per rcercare la forma d una dpendenza funzonale 5,0 4,0 3,0,0 1,0 0, L equazone della retta è y = 0.98x x Poché due parametr sono calcolat da dat spermental s ha ν = 5 = 3. S ha noltre: χ = 5.1

45 Test χ per rcercare la forma d una dpendenza funzonale Dalle tavole s rcava che per ν = 3 l χ trovato è compreso tra 4.11 [cu corrsponde P(χ 4.11) = 75%] e 6.5 [cu corrsponde P(χ 6.5) = 90%]. Interpolando lnearmente tra quest due valor s rcava: P(χ 5.1) = 8% P(χ 5.1) = 18%

46 Test χ per rcercare la forma d una dpendenza funzonale 5,0 4,0 3,0,0 1,0 0, S ha noltre: χ = 0.49 L equazone della curva è y = x 0.86 x Poché tre parametr sono calcolat da dat spermental s ha ν = 5 3 =.

47 Test χ per rcercare la forma d una dpendenza funzonale Dalle tavole s rcava che per ν = l χ trovato è compreso tra 0.11 [cu corrsponde P(χ 0.11) = 10%] e [cu corrsponde P(χ 0.575) = 5%]. Interpolando lnearmente tra quest due valor s rcava: P(χ 0.49) = 1.5% P(χ 5.1) = 78.5% Qund, poché 78.5% 18% l equazone della parabola s accorda meglo a dat spermental.

48 Test χ per rcercare la forma d una dpendenza funzonale Alle stesse concluson s arrva pù rapdamente utlzzando l ch-quadro rdotto: 5,0 5,0 4,0 4,0 3,0 3,0,0,0 1,0 1,0 0, , ~ χ =1.7 ~ χ = 0. 5

49 Correlazone Due grandezze, x e y, sono correlate se a varazon d una corrspondono varazon dell altra; se, nvece, al varare d una grandezza l altra non vara oppure vara n manera casuale s dce che le grandezze sono ncorrelate o ndpendent. Non sempre è possble stablre una possble correlazone tra le varabl x ed y poché dat spermental possono rsultare molto dspers. Medante l coeffcente d correlazone è possble quantfcare n termn d probabltà l grado d correlazone tra due varabl.

50 Correlazone lneare Un parametro che quantfca l dverso grado d correlazone tra due varabl è l coeffcente d coeffcente d correlazone lneare r correlazone lneare r defnto dalla relazone = = = = N N N y y x x y y x x r ) ( ) ( ) )( (

51 Correlazone lneare S verfca che rsulta: -1 r 1 r = 0 non esste alcuna correlazone tra le varabl r = ±1 c è una perfetta correlazone tra le varabl. Il segno ± è legato al fatto che l coeffcente angolare della retta può assumere valore postvo o negatvo.

52 Correlazone lneare S può calcolare la probabltà che per N coppe d varabl(x,y ) ncorrelate l valore assoluto d r, per l solo effetto del caso, sa maggore o uguale a quello osservato: P( r r 0 ) Quanto pù è pccola tale probabltà tanto pù soddsfacente s può rtenere la correlazone. Generalmente s assume: P( r r 0 ) 5% correlazone sgnfcatva P( r r 0 ) 1% correlazone altamente sgnfcatva

53 Metodo de mnm quadrat Date due grandezze X ed Y, come stmare da dat spermental parametr d una relazone funzonale y = f(x,a,b,c, ) potzzata tra le due grandezze? Se valor delle grandezze non avessero errore basterebbe un numero d coppe d valor (x,y ) par al numero de parametr da determnare.

54 Metodo de mnm quadrat Nella pratca questo non è possble perché, a causa degl error, ad un certo valore x corrsponderebbero dvers valor y, y, y, e vceversa.

55 Metodo de mnm quadrat Ipotes: - tutte le msure sono tra loro statstcamente ndpendent - una varable (n genere quella ndpendente x) ha error trascurabl - valor delle msure d y sono dstrbut normalmente attorno al valore vero

56 Metodo de mnm quadrat La probabltà d avere l nseme completo d msure y 1, y,, y N calcolato n termn de parametr A, B, C, è data da: σ y ove sono le devazon standard d cascuna grandezza y. N = 1 [ y 1 1 σ y π σ y e f ( x, A, B, C,...)]

57 Metodo de mnm quadrat Questa probabltà è massma quando è mnma mnma la quanttà: Gl error su parametr A, B, C, s determnano con la legge d propagazone degl error. = = N y C B A x f y 1,...)],,, ( [ σ χ

58 Retta de mnm quadrat Se la relazone funzonale tra le grandezze x, y è d tpo lneare (y = Ax + B) parametr A e B sono dat da: 1 1 = = = N N x x N = = = = N 1 N 1 N 1 y x y x N A = = = = = N 1 N 1 N 1 N 1 y x x y x B

59 Retta de mnm quadrat Stma a posteror dell ncertezza su y L errore sulle y, se non è noto a pror, può σ y essere stmato a partre da dat stess, una volta eseguta l nterpolazone lneare, utlzzando la dspersone de punt attorno alla retta. S può dmostrare che una stma corretta d tale errore è data dall espressone: σ y = N = 1 N [y Ax + B]

60 Retta de mnm quadrat Stma a posteror dell ncertezza su y La corretta stma dell errore s ottene dvdendo per (N ) poché gl scart sono calcolat rspetto ad un valore stmato che dpende da due parametr ( due coeffcent dell equazone della retta) che a loro volta sono stmat da dat spermental. I grad d lbertà, qund, sono dmnut d due. Nel caso n cu s dsponesse solo d due punt spermental la retta passerebbe esattamente per ess e l errore assumerebbe correttamente la forma ndetermnata 0/0.

61 Retta de mnm quadrat passante per l orgne Se la relazone funzonale che collega le due grandezze x, y è del tpo y = Ax s ha: A N = 1 = N = 1 x x y

62 Retta de mnm quadrat passante per l orgne - Stma a posteror dell ncertezza su y La stma corretta dell errore su y è dall espressone: data σ y = N = 1 N [y Ax 1 ]