Corso AFFIDABILITÀ DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE. Prof. Dario Amodio Ing. Gianluca Chiappini

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1 Corso AFFIDABILITÀ DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE Prof. Daro Amodo Ing. Ganluca Chappn (Ddattca/Dspense) Testo d rfermento: Stefano Beretta Affdabltà delle Costruzon Meccanche Sprnger, 9 Programma del corso Probabltà / Funzone denstà d probabltà / Probabltà cumulata / Affdabltà Tasso d Guasto / MTTF, MTBF Prncpal Funzon d Dstrbuzone Dstrbuzone Esponenzale / Dstrbuzone normale / Dstrbuzone Lognormale / Dstrbuzone d Webull Algebra delle varabl casual Varabl Multple / Regressone Lneare Carte d Probabltà Ret d affdabltà per sstem meccanc compless Calcolo dell affdabltà d un sstema multcomponente / Scelta del coeffcente d scurezza Metod per aumentare l affdabltà Selezone de component / Collaudo / Deratng / Rdondanza Albero de guast, FMEA e FMECA Esemp d stesura delle tabelle per organ meccanc d semplce funzonamento Esemp ed esercz 1

2 Camponamento e varabl aleatore campon Data una popolazone p d dat, s chama camponamento l estrazone d uno d quest dat (campone). popolazone La popolazone rappresenta qund una varable aleatora o casuale Y, mentre con ndchamo l generco valore osservato come rsultato d un espermento o camponamento. s troverà all nterno d un certo domno d esstenza Ỹ valor osservat Y Ỹ Camponamento e varabl aleatore La casualtà o aleatoretà delle varabl, salvo dversamente specfcato, non s rfersce a eventual ncertezze o error d msura, ma semplcemente al fatto che l valore delle varabl n esame non può essere noto con esattezza a pror permotv var Esemp d varabl aleatore: Resstenza d una barra n accao verfcata tramte prova d trazone Pressone atmosferca Pogga annua d una localtà Numero d persone n un locale o su un autobus Numero d crcche > mm n un pannello Contnue Dscrete Il confne tra le due categore è pù teorco che pratco n quanto, ad es.: la pogga annua d una localtà è sempre dscretzzata n mm Le elaborazone dgtal moderne effettuano sempre una dscretzzazone de valor, per cu anche le varabl contnue sono trattate come dscrete, però la potenza d calcolo e le memore attual consentono d utlzzare una gran mole d dat che fa assomglare anche un problema dscreto ad uno contnuo

3 Probabltà Supponamo d poter rpetere un espermento relatvo ad una grandezza Y per un numero d volte n grande a pacere, allora s otterranno n rsultat: 1,,.., n Se A è un sottonseme d Ỹ, la probabltà che l rsultato d un evento o espermento cada all nterno d A vale: # : A Prob( A) lm, n n con 1,,..., n Se un evento è certo la sua probabltà è 1 Ad esempo s consder l lanco d un dado a 6 facce con A = 1,,3,4,5,6 Se un evento è mpossble la sua probabltà è Ad esempo s consder l lanco d un dado a 6 facce con A = 7 Probabltà Dat due event A e B mutuamente esclusv, la loro probabltà combnata, vale a dre la probabltà che s verfch l uno o l altro caso vale: Prob(A+B) = Prob(A) + Prob(B) Ad esempo s consder l lanco d un dado a 6 facce con A =, e B = 5. La probabltà d avere o 5 è la somma de due event pres separatamente Se due event A e B sono ndpendent, la loro probabltà combnata, vale a dre la probabltà che s verfch contemporaneamente vale: Prob(A+B) = Prob(A) Prob(B) Ad esempo s consder due lanc d un dado a 6 facce con A = eb= 5 La probabltà d azzeccare al Ad esempo s consder due lanc d un dado a 6 facce con A, e B 5. La probabltà d azzeccare al prmo lanco e 5 al secondo è data dal prodotto delle due probabltà prese separatamente 3

4 Probabltà Dat due event A e B non mutuamente esclusv, la loro probabltà combnata, vale a dre la probabltà che s verfch l uno oppure l altro caso vale: Prob(A+B) = Prob(A) + Prob(B) Prob(AB) Ad esempo s consder l lanco d due dad a 6 facce con A =, e B =. La probabltà d avere almeno un dado uguale ad è dato dalla somma della probabltà d avere sul prmo dado pù la probabltà d avere sul secondo dado meno la probabltà d avere su entrambe dad. Prob(A) = 1/6 =.1667 Prob(B) = 1/6 =.1667 Prob(AB) = 1/36 =.78 Prob(A+B) = Prob(A) + Prob(B) Prob(AB) = 11/36 =.356 Funzone denstà d probabltà (pdf) Assegnata una varable contnua Y le cu osservazon rcadono all nterno del domno Ỹ, la pdf è defnta come: Prob( Y [, ]) f ( ) lm f() rappresenta la probabltà che un valore casualmente estratto dalla popolazone cada all nterno dell ntervallo d dmenson nfntesme d, dvso d stesso (coè l ampezza dell ntervallo consderato). In altr termn: f ( ) d Prob( Y d) N.B.: f() è qund una funzone a valor fnt, mentre la probabltà f()d è un numero nfntesmo perché s rfersce alla probabltà d un ntervallo nfntesmo 4

5 a Funzone d probabltà cumulata (cdf) Assegnata una varable contnua Y le cu osservazon rcadono all nterno.35 del domno Ỹ, la pdf è defnta come: Prob( Y [, ]) f ( ) lm.3.5. f() La funzone d probabltà cumulata è nvece defnta come: PDF.15.1 F().5 F ( ) Prob( Y ) f ( ) d 1 oppure l lmte nferore d Ỹ essa rappresenta la probabltà che una osservazone casuale d Y sa nferore ad, ed equvale all area sottesa dalla curva pdf CDF F() Funzone d probabltà cumulata (cdf) Se s consdera =+ o sup Ỹ, cdf vale:.35 F (sup Υ ~ ) f ( ) d 1 Υ.3.5 f(). PDF Coè la probabltà d trovare Y all nterno dell ntero domno Ỹ vale 1 (1%) Invece la probabltà d trovare Y all nterno d un generco ntervallo ]a, b] vale: b Prob(a<Y b) = Prob(Y b) - Prob(Y<a) = = F(b)-F(a) CDF F() F(b)-F(a) 5

6 Percentle Il percentle p% della popolazone Y è defnto come l valore argomentale (ossa l valore della varable) p la cu probabltà cumulata vale propro p/1. p/1 CDF F() Il percentle rappresenta n defntva la lettura n modo nverso della funzone d F(a) probabltà cumulata F a p.35 Affdabltà.3 La funzone affdabltà R() è l complemento a1dellaf e rappresenta la probabltà che Y assuma valor > R() = Prob(Y> ) = 1 F() PDF F() f() R().5 Varabl dscrete Se s tratta una varable dscreta Y con domno Ỹ ={ 1,, } (tutt possbl valor d ), s defnsce la funzone massa d probabltà n p ( ) Prob( Y ) lm N N dove n è l numero d osservazon con rsultat e N è l numero d osservazon total. Coè per un generco valore possble nel domno d esstenza s può defnre la probabltà (fnta) che l evento o l espermento abba come esto propro. La probabltà cumulata (che un osservazone sa k ) è data da: F ( ) Prob( Y k k ) : k p( ) Nel caso d varabl dscrete, la funzone denstà d probabltà f() s trasforma n massa d probabltà p( ), e non è pù rappresentata da una curva contnua ma da un stogramma. 6

7 Istogramma Nel caso d varabl dscrete, la funzone denstà d probabltà f() s trasforma n massa d probabltà p( ), e non è pù rappresentata da una curva contnua ma da un stogramma. L stogramma può essere usato convenentemente anche per dscretzzare varabl contnue: se s hanno a dsposzone N camponament o valor osservat d una varable contnua, convene suddvdere l domno n k ntervall o class k log1 ( N ) e verfcare quante rcorrenze s hanno n cascuna classe. Frequenza n = numero d rsultat che cadono all nterno dell -esma classe Frequenza relatva Denstà dell -esma classe n f N f n N rcorrenze o frequenze rcorrenze o frequenze x x 14 1 Al dmnure dell ampezza delle class Δ, l stogramma assomgla sempre pù ad una pdf contnua Istogramma Una volta noto o calcolato l stogramma, s calcola faclmente con la defnzone d F la probabltà cumulata per varabl dscrete x rcorrenze o frequenze probabltà cumulata x rcorrenze o frequenze probabltà cumulata

8 Indcator d tendenza S supponga d studare una varable aleatora Y d cu è nota una dstrbuzone, s defnscono la moda, come quel valore argomentale che massmzza la funzone massa d probabltà (per varabl dscrete) o denstà d probabltà (per varabl contnue) la medana, come quel valore argomentale al percentle 5% Var Valore atteso E( Y ) p( ) E( Y ) f ( ) d ~ e dspersone ( ) p( ) E( Y ) ( Y ) ~ Varanza Var Devazone standard Var(Y ) ~ ( Y ) ( ) f ( ) d E( Y ) ~ Coeffc. d varazone CV CV Statstche camponare S supponga d studare una varable aleatora Y d cu, tramte un camponamento o realzzazone camponara, sono note n osservazon: 1,, 3,, n n S defnsce meda camponara: n La meda camponara rappresenta una stma del valore atteso della dstrbuzone (non nota) da cu sono stat estratt campon. S defnsce varanza camponara: S n ( ) n 1 La varanza camponara rappresenta una stma della varanza della dstrbuzone (non nota) da cu sono stat estratt campon. 8

9 Affdabltà condzonata La probabltà condzonata d un evento A rspetto a B è data dalla probabltà che s verfch A, dopo che s è verfcato B. L affdabltà condzonata R(T, Δ) ) rsponde nvece alla domanda: qual è la probabltà d poter compere una mssone d durata Δ dopo aver gà consumato una vta T? o n altr termn: dato un componente che ha gà funzonato per un perodo T, quanto vale la sua affdabltà per funzonare un ulterore perodo Δ? La probabltà d sopravvvere all stante T + Δ vale: (la probabltà d sopravvvere fno a T ) (la probabltà d sopravvvere durante Δ).35 R( T ) R( T ) R( T, ) qund R( T ) R( T, ) R( T ) PDF f() N.B.: R(T, Δ) non va confusa con (F(T +Δ)-F(T )), R(T, Δ) è l rapporto tra le aree a T e T +Δ msurate da destra.5 T T + Δ Eserczo Tratto da es. 1.1 del lbro (con modfche) Assegnato un gruppo fren la cu vta è dstrbuta secondo la tabella sotto rportata, s chede d calcolare: 1) La durata corrspondente al percentle 1% ) Quant grupp fren vanno sosttut a 5 km 3) Moda e medana 4) Meda (o valore atteso) e varanza 5) Probabltà d portare a termne mssone d 1 km per un freno che ha gà fatto 7 km dstanza n mglaa d km numero d cedment

10 Eserczo testo 1) Occorre aggungere alla tabellna le colonne relatve al calcolo della massa d probabltà e della probabltà cumulata d guasto numero d dstanza n Mm cedment p F tot 11 1 p n ( ) con n 11 n tot tot S può verfcare che p( ) 1 po s esegue la somma progressva de p( ) ottenendo la colonna della probabltà cumulata F( ), l cu valore fnale vale gustamente 1 Il percentle p1% s trova per nterpolazone, tra la 3 e 4 rga: 6 55 p1% mglaa d km Eserczo testo ) Per calcolare F(5) occorre fare l nterpolazone tra la e 3 rga dstanza n Mm numero d cedment p F tot F( 5) Poco meno del 6% de pezz s rompe prma d 5 km % 1

11 Eserczo testo 3) La moda è l valore della varable che massmzza la pdf o l stogramma, coè 75 km dstanza n Mm numero d cedment p F tot 11 1 numero d guast mglaa d km La medana equvale al percentle 5%, e s ottene nterpolando tra la 6 e 7 rga 75 7 p5% mglaa d km Eserczo testo 4) Per calcolare meda e varanza occorre aggungere le colonne per l calcolo d: dstanza n Mm numero d cedment p F p* p*( mu)^ tot Effettuando le somme s ottene E( Y ) p( ) ~ Var( Y ) ( ) p( ) 147. ~ mglaa d km CV. 163 p() e p() (-μ) mglaa d km mglaa d km 11

12 Eserczo testo 5) Occorre calcolare R(7,1) dstanza n Mm numero d cedment p F p* p p*( mu)^ p( tot 11 1 R(8) 1 F(8) R( 7,1) % R(7) 1 F(7) Tasso d guasto (Falure Rate) Il Tasso d Guasto, esprmble con una funzone h(, esprme la probabltà d un componente d arrvare a rottura dopo aver raggunto un tempo t. La probabltà d cedmento nell ntervallo nfntesmo [t, t+] è data dal prodotto della probabltà del componente d arrvare sano al tempo t per la probabltà del componente d cedere dopo aver superato t: Probabltà d cedmento nell ntervallo [t, t+] ] f ( R( h( Probabltà d superare l stante d tempo t Probabltà d cedere dopo aver superato t f ( h( R( 1

13 Tasso d guasto (Falure Rate) Il Tasso d Guasto è la msura stantanea della varazone della curva cumulatva rspetto alla probabltà che l componente sa ancora sopravvssuto. Coè valuta con che percentuale s hanno guast fra gl element rmanent. F( f ( h( t 1 F( R( La probabltà h( è ex-post, n quanto rferta a un manufatto sano al tempo t, mentre la probabltà f( è ex-ante, n quanto rferta a un manufatto certamente sano al tempo t= Il tasso d guasto ha dmenson nverse al tempo, qund può essere nterpretato come ndce del numero d guast nell untà d tempo, coè come veloctà d guasto I data-sheet de manufatt dcharano spesso l tasso d guasto Tasso d guasto (Falure Rate) S consderno N component d un test: N s ( è l numero de component sopravvssut al tempo t, N f ( è l numero de component rott al tempo t. dervando: t N N f t N f t Ns R ( t ) 1 N N dr ( t ) dn f 1 N t Il Tasso d guasto, n base alla sua defnzone, può essere scrtto come: h t 1 N Dvdendo e moltplcando per N s ottene: h t N N s t s t dr t dn f t N 1 dr t R t 13

14 Tasso d guasto (Falure Rate) 1 dr t h t R t Integrando e tenendo conto che R()=1 s ottene: t h t Qund l affdabltà R( dventa: t t dr t R t R e t h ln R t t Tasso d guasto (Falure Rate) In genere guast sono raggruppabl n tre tp: Guast durante l rodaggo (qualt falures): d solto sono dovut ad error d progetto o d fabbrcazone (materale dfettoso assemblaggo o aggustaggo scorretto). Guast casual (stress-related falures): sono dovut a cause aleatore che provocano l applcazone all elemento d forze che superano la resstenza d progetto. Guast per nvecchamento organco o tecnco (wearout falures): avvengono quando l prodotto raggunge l termne della sua vta effettva. mortaltà nfantle h( decrescente danneggamento casuale h( costante usura h( crescente 14

15 Tasso d guasto (Falure Rate) Curva a vasca da bagno (bathtub): h( mortaltà nfantle vta utle usura t Tempo medo tra guast MTBF Il tempo medo fra guast (Mean Tme Between Falures, MTBF), è un parametro d affdabltà applcable a dspostv meccanc, elettrc ed elettronc e ad applcazon software. Il MTBF è l l tt dlt t t d l l h Il MTBF è l valore atteso del tempo tra un guasto ed l successvo; la suamsura ha mportanza n moltssm ambt; ad esempo: la valutazone della vta meda d un dspostvo meccanco, o d un componente elettronco, nell'ambto della progettazone, la valutazone del tempo d attesa n coda d un semlavorato, se l guasto è rferto ad una macchna utensle n un processo d produzone ndustrale 15

16 Tempo medo tra guast MTBF MTTF Il tempo medo tra guast MTBF s ntende la somma d due temp: MTTF (Mean Tme To Falure) e MTTR (Mean Tme To Repar). MTBF =MTTF+MTTR Il tempo medo fno al guasto o MTTF rappresenta la vta meda d un componente. Esso è qund calcolable come valore atteso della funzone denstà d probabltà, o come ntegrale su tutto l domno della funzone affdabltà: MTTF tf ( oppure come ntegrale su tutto l domno della funzone affdabltà: d d d f ( F ( t 1 R( R( ) = MTTF t d R( t R( R( R( ntegrando per part Tempo medo tra guast MTBF MTTF Il tempo medo tra guast MTBF s ntende la somma d due temp: MTTF (Mean Tme To Falure) e MTTR (Mean Tme To Repar). MTBF =MTTF+MTTR Il tempo medo fno al guasto o MTTF rappresenta la vta meda d un componente. Esso è qund calcolable come valore atteso della funzone denstà d probabltà, o come ntegrale su tutto l domno della funzone affdabltà: MTTF tf ( R( S defnsce nvece l tasso d guasto medo, come la meda temporale per un certo perodo del tasso d guasto: t h 1 h t t ( ) Concettualmente l tasso d guasto medo ed l MTTF sono l uno l recproco dell altro 16

17 Eserczo Tratto da es. 6.1 del lbro (con modfche) Data una popolazone d 1 component d cu sono not temp d cedmento, calcolare: 1) Il Tasso d Guasto ) Meda (o valore atteso) e Medana t [ore] Numero d component operatv Ns Eserczo 1) Il Tasso d Guasto Numero d t [ore] component operatv Ns

18 Eserczo 1) Il Tasso d Guasto t [ore] Numero d component operatv Ns Affdabltà R( = Ns(/N Dfferenzale dell'affdabltà dr(/ = R/t Tasso d Guasto h( = dr(/ 1/R( h( Tasso d Guasto,45,4,3535,3,5,,15,1,5, t [ore] 1) ) Meda (o valore atteso) e Medana Eserczo t [ore] Numero d component operatv Ns

19 1) ) Meda (o valore atteso) e Medana Eserczo t [ore] Numero d component operatv Ns Numero d cedment Nf Cedment cumulat Massa d probabltà p pdf f( F(T) f** meda = f = 6.6 ore La medana equvale al percentle 5%, e s ottene nterpolando tra la 14 e 15 rga 7 65 p5% ore 1) ) Meda (o valore atteso) e Medana Eserczo t [ore] Numero d component operatv Ns Numero d cedment Nf Cedment cumulat Massa d probabltà p pdf f( F(T) f** Tasso d Guasto h( = f(/r( meda = f = 6.6 ore La medana equvale al percentle 5%, e s ottene nterpolando tra la 14 e 15 rga 7 65 p5% ore 19

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