Analisi degli errori. Introduzione J. R. Taylor, Introduzione all analisi degli errori, Zanichelli, Bo 1986

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1 Anals degl error Introduzone J. R. Taylor, Introduzone all anals degl error, Zanchell, Bo 1986 Sstem d untà d msura, rappresentazone numerca delle quanttà fsche e cfre sgnfcatve Resnck, Hallday e Krane - Fsca 1 - V ed., Ambrosana 003 : Captolo 1, pagg Stma dell errore: s ndca (o meno) la varabltà dell ultma cfra sgnfcatva, s deduce l errore percentuale. Apparecch d msura Costtut da : elemento rvelatore, trasduttore (- nf. ad utente), vsualzzatore (ndce, scala graduata, dsplay) Caratterstche : Sensbltà (nverso del fattore d taratura, o amplfcazone d scala); es. blanca con 4 dv/mg Sogla d sensbltà (mnma quanttà rlevable), parametro puttosto soggettvo ma che dovrebbe essere non nferore all errore strumentale; es. su blanca rlevas max 0, dv, - sensbltà 0,05 mg Errore strumentale : massmo errore connaturato all appareccho, rlevable medante msurazone pù precsa. Dcharato negl strument elettrc (classe; es. classe 0,5 su portata 10 A errore max 0,5/100x10 0,05 A) Intervallo d funzonamento (sogla, portata) Fedeltà (dà sempre la stessa rsposta a partà d sollectazone); errore d fedeltà (cause ntrnseche e ambental) determna dspersone casuale delle msure Gustezza : la meda delle msure concde con l valore reale della quanttà; l errore d gustezza è un errore sstematco, d taratura o d rlevazone Precsone gustezza fedeltà (errore massmo/valore msurato, dpende dall nfluenza d fattor che determnano l rreproducbltà d ogn valore msurato) Prontezza Quanttà msurata : M V. Se la quanttà msurata è sempre la stessa, allora V semdspersone (M max M mn / è l errore massmo dovuto alla sogla d sensbltà dello strumento. Se la quanttà msurata presenta una dspersone, allora una certa meda (devazone standard) delle msure rappresenta l errore statstco. Questo deve rsultare maggore dell errore massmo d sensbltà, spesso l appareccho è progettato per questo scopo. Cenn : su error sstematc, dfett d funzonamento, errate condzon d mpego, nterazone fra strumento e sstema d msura, dsturb Incertezze nelle msure drette J. R. Taylor: (.5) : gl error spermental dovrebbero d regola essere approssmat ad una (massmo due, se la prma è 1) cfre sgnfcatve.

2 Propagazone degl error L errore assoluto sulla somma o dfferenza d varabl è n generale la somma concorde degl error assolut sulle varabl (lmte superore); ma per error ndpendent e casual s può dre che la varanza rsultante è la somma delle varanze. L errore relatvo su un prodotto o quozente è n generale la somma concorde degl error relatv su fattor (lmte superore); ma per error ndpendent e casual s può dre che l errore relatvo rsultante al quadrato è uguale alla somma de quadrat degl error relatv sulle varabl component. L errore sul valore d una funzone d varable è par al modulo della dervata della funzone rspetto alla varable per l errore sulla varable. Il quadrato dell errore su una funzone d dverse varabl è la somma de quadrat degl error sulle varabl. Dstrbuzone delle msure Date msure s ha Meda artmetca o espettazone : M M Meda degl scart (o scostament dalla meda) : M M 0 # Teorema: Il valor medo della somma d pù varabl è uguale alla somma de valor med delle sngole varabl Teorema: Il valor medo del prodotto d pù varabl ndpendent è uguale al prodotto de valor med delle sngole varabl Varanza (o meda quadratca degl scart, o momento d nerza) : o meglo : s M M M M s M M 1 Teorema: La meda de quadrat degl scart pres non rspetto alla meda ma rspetto ad un altro qualsas valore è uguale alla varanza (rspetto alla meda) l quadrato della dfferenza fra quel valore e la meda. Consegue : Propretà : la meda è quel valore rspetto a cu la varanza è mnma (prncpo de mnm quadrat) Teorema: La varanza della somma d varabl ndpendent è uguale alla somma delle varanze delle sngole varabl Teorema: La varanza d una funzone d pù varabl ndpendent è uguale alla

3 somma delle varanze delle sngole varabl pesate con quadrat delle dervate parzal della funzone (calcolate ne valor med) rspetto alle corrspondent varabl Propretà: La varanza d una sere d valor M è dentca alla varanza d una sere d valor (pù facl da manovrare) M H, H un valore qualsas Devazone Standard (o RMS, o scarto quadratco medo, o scarto tpco): s M M M M 1 # Errore massmo: Quanttà msurata M V Errore statstco: Quanttà msurata M s e corrspondent error relatv Dstrbuzone normale o d Gauss Prncpo d Bernoull (legge emprca del caso, teorem su grand numer): pm lm vm Le frequenze d valor compres n ntervall tpc vengono generalmente presentate n forma d stogramma. Dstrbuzone lmte : Probabltà congunta d event ndpendent prodotto delle probabltà Probabltà totale d event ndpendent somma delle probabltà Teorema: Se nel determnare valor d una varable ntervengono molte cause d dsturbo, tutte egualmente probabl, con effett sa postv che negatv, ma pccol rspetto alla meda della varable, allora la dstrbuzone lmte è d Gauss: PM 1 exp M M 0 M 0 valore centrale, ma anche valor medo dspersone scarto quadratco medo 1 h modulo d precsone 68,3 % de valor sono compres fra 95,4 % de valor sono compres fra 99,7 % de valor sono compres fra 3 La verfca d queste tre condzon c permetterà d accettare l anals della msura secondo l prncpo d Gauss La defnzone ( ref: bbb ) d devazone standard per convergerà al valore d Msure n numero fnto e pccolo Per msure n numero fnto: la meda ( ref: aaa ) è l valore che ha la massma probabltà d rappresentare l valore centrale della dstrbuzone normale

4 per ogn sere d msure, avremo una meda statstca: questa è allora a sua volta una varable aleatora, con un valore medo e una varanza : Devazone Standard della meda (o errore standard, o errore standard della meda, o dspersone della meda) : s M s Per questa propretà, dato un valor medo trovato n una sere d msure, possamo con elevato grado d scurezza affermare che l valore centrale della dstrbuzone lmte non dffersce da questo per pù d 3s M. Inoltre: calcolamo la varanza rspetto al valore centrale: s 0 M 0 M M 0 M M M M 0 M M M M M M M 1 Mglor stma d msure nomogenee La meda d msure nomogenee è una meda pesata con l modulo d precsone d ogn msura al quadrato. La dspersone è la radce dell nverso della somma de modul d precsone al quadrato: M best h M h best 1 h M best best Rgetto d dat e crtero d Chauvenet Se rsultat d alcune msure sono manfestamente dscrepant con gl altr, ma non s ha ragone d rgettarl n base a valutazon razonal sulla affdabltà o gustezza delle procedure segute, le anomale possono essere valutate alla luce del crtero d Chauvenet. S calcola la dstanza della msura anomala dalla meda e s valuta attraverso la funzone erf la probabltà che un valore cada al d fuor dell ntervallo d rfermento pù prossmo (,,3). Se la frequenza rappresentatva della msura anomala (1/) è suffcentemente pù elevata d questa probabltà, allora è rdcolmente mprobable che la msura sa affdable e può essere rmossa dall nseme d msura.

5 Metodo de mnm quadrat (regressone lneare) Supponamo d dagrammare le msure d una varable M n funzone d una varable x, per semplctà assunta n ogn suo valore nota senza ncertezza. Dato l nseme delle msure M x, cerchamo la retta nterpolatrce delle msure che abba la massma probabltà d rappresentare la reale funzone M (x). Ipotzzamo che la meda d (vrtual) msure esegute per un valore d x possa appunto scrvers come funzone lneare d x: e determnamo mglor valor per A e B. Scrvamo la varanza: M M M x 1 M x A Bx M A Bx 1 Rconsderamo ora la (precedentemente enuncata) Propretà : la meda è quel valore rspetto a cu la varanza è mnma (prncpo de mnm quadrat) Per l prncpo d mnmo, potremo scrvere A M A Bx M A Bx 0 B M A Bx x M A Bx 0 ovvero A B x A B x x M x M x A x M x x M x x B x M M x x x M M A Bx Pochè A e B sono dat n termn d M, x M che sono affett da ncertezze (calcolabl con le regole d propagazone), è possble calcolare l ncertezza de loro valor:

6 A M x x x B M x x