Correlazione lineare

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1 Correlazone lneare Varable dpendente Mortaltà per crros Consumo d alcool Varable ndpendente Metodologa per l anals de dat spermental L anals d stud con varabl d rsposta multple La correlazone studa l rapporto d dpendenza tra due varabl, una della qual (Y) è defnta come varable dpendente ed una (X) come varable ndpendente. Pagna 1

2 Correlazone lneare Vene utlzzata quando s vogla valutare la relazone lneare tra due o pù varabl Vene d solto rappresentata come dagramma d dspersone sul pano cartesano La correlazone sgnfcatva tra due varabl NON IMPLICA NECESSARIAMENTE un nesso d casualtà Pagna

3 Coeffcente d correlazone lneare r1 r0.60 r0 Il coeffcente d correlazone lneare r è una msura d assocazone tra due varabl che varano n modo congunto. Il valore d r vara tra -1 (correlazone negatva perfetta) a 0 (assenza totale d correlazone ad 1 (correlazone postva perfetta). Pagna 3

4 Pagna 4 Coeffcente d correlazone lneare ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 n n y x xy 1 n y y x x x,y COV ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) n y y² n x x² n y x xy y y x x y y x x r

5 Coeffcente d correlazone lneare La statstca: t r n 1 r è dstrbuta come t d Student con (n-) grad d lbertà Pagna 5

6 Y X Il metodo matematco per ndvduare la retta d regressone è l metodo de mnm quadrat, che mnmzza la somma degl scart quadratc tra y osservata ed y attesa. Pagna 6

7 Funzone lneare Y X ŷ b + b x b0 b1 x Pagna 7

8 Correlazone lneare x xy n ( x) ( x ) x ( ) COD x,y DEV y b + 0 b1x b1 b0 1 y -b x n y Pagna 8

9 Scomposzone della devanza DEV ( y) ( y ) y ( y y) y ŷ + ŷ y ( y ŷ ) ( ŷ y) ( y y) ( ŷ y) + ( y ŷ) + ( ŷ y)( y ŷ ) ( y y) ( ŷ y) + ( y ŷ) SS(b1) devanza DOVUTA alla regressone SS(e) devanza RESIDUA Ma la regressone può essere analzzata come un modello d anals della varanza. L anals è concettualmente smle a quella dell ANOVA ad un crtero d classfcazone. Pagna 9

10 Devanza dovuta alla regressone x y ( xy) [ ( )( )] [ ( )] x COD x,y n x y y SS(b1) ( x x) DEV( x) ( x) x n Pagna 10

11 ANOVA applcata alla regressone Fonte d varazone SS g.l. MS Regressone SS(b 1 ) 1 MS(b 1 ) Resduo Per dfferenza n- MS(e) TOTALE SS(y) n-1 Pagna 11

12 A dfferenza degl stud che rportano meda e devazone standard delle varabl d rsposta, quell che descrvono dat come regressone sono dffclmente rcostrubl a partre da rsultat. Utlzzamo qund rsultat d un esempo d Armtage, che descrvono un gruppo d lavorator dell ndustra del cadmo, espost da pù d 10 ann. Pagna 1

13 La rappresentazone grafca c lasca nture la possbltà d una relazone nversa tra le varabl. Analzzare grafcamente rsultat è una pratca utle, prma d procedere all anals, perché consente d ndvduare outlers (punt molto scostat da rmanent) ed nfluence ponts (punt che da sol nfluenzano la drezone della retta. E corretto verfcare l esattezza d quest dat, ma non elmnarl per le loro caratterstche. Pagna 13

14 Pagna 14

15 Agl element d calcolo per le formula semplfcate che abbamo utlzzato per una sngola varrable, SOMMA(x) e SOMMA.Q(x) dvene necessara la somma de prodott. E convenente generare la colonna de prodott xy e calcolarne la sommatora. Pagna 15

16 x xy n ( x) ( x ) x ( ) COD x,y DEV b n y b0 1 y -b x Pagna 16

17 La retta stmata è effettvamente ndcatva d una relazone nversa. La rappresentazone della retta è effettuata correttamente solo entro lmt d valor d x present nella regressone. Pagna 17

18 SS(b ) 1 [ ] 91.5 [ COD( x,y) ] DEV( x) ( xy) x ( x y n x) n La devanza dovuta alla regressone s calcola a partre dagl stess termn. Pagna 18

19 ANOVA applcata alla regressone Fonte d varazone SS g.l. MS Regressone MS(b 1 ) Resduo Per dfferenza n- MS(e) TOTALE n-1 Pagna 19

20 ANOVA applcata alla regressone Fonte d varazone SS g.l. MS Regressone Resduo TOTALE Pagna 0

21 ANOVA applcata alla regressone Il rapporto: ( ) ( ) MS b MS e F 1 segue la dstrbuzone F con 1 ed (n-) grad d lbertà Pagna 1

22 ANOVA applcata alla regressone Fonte d varazone SS g.l. MS Regressone Resduo TOTALE F1.87 Il valore d F consente d rfutare l potes nulla ad un lvello d sgnfcatvtà d Pagna

23 Pagna 3

24 Intervallo d confdenza del coeffcente angolare L'errore standard del coeffcente angolare è: s b1 MS(e) SS(x) Per cu l suo ntervallo d confdenza è: b 1 ± t α s b1 Pagna 4

25 b1 ± t α sb ± Pagna 5

26 Intervallo d confdenza della stma d y ŷ L'errore standard d è: s y SS(e) (n - ) 1+ 1 n + ( x x) SS(x) Per cu l suo ntervallo d confdenza è: yˆ ± t α s y Pagna 6

27 Pagna 7

28 Coeffcente d determnazone La quota d varazone della Y attrbuble alla assocazone lneare con la x è valutata come: r ( b ) ( ) SS 1 SS y Questo rapporto, rferto come coeffcente d determnazone, vara da 0 ad 1: - è 0 quando tra le varabl non c'è assocazone lneare - è 1 quando tutta la varazone della y è determnata dalla relazone lneare con la x. Pagna 8

29 Anals della covaranza L anals della covaranza (ANCOVA) è adatta all anals d dat n cu la varable oggetto d studo è nfluenzata da cause sstematche, ed assocata ad una covarata per la quale sa dffcle formare grupp omogene Pagna 9

30 Anals della covaranza y y y x x x Pagna 30

31 L esempo rporta dat d lavorator dell ndustra del candmo, rspettvamente espost da pù d 10 ann, espost da 10 ann, e non espost. Pagna 31

32 Abbamo gà vsto come le msure d sntes, somme, somme de quadrat e somme de prodott, contengano tutta l nformazone che c sarà necessara. Pagna 3

33 x xy n ( x) ( x ) x ( ) COD x,y DEV bcom n y Il beta comune (coè l coeffcente d regressone che tene conto d tutt dat, trascurando la loro dvsone n grupp) s calcola a partre dalle somme delle devanze e delle codevanze de tre grupp. Pagna 33

34 F MS MS parallelsmo resdua entro grupp Consente d rfutare l potes d parallelsmo tra grupp. Se l test non è sgnfcatvo dat non mostrano eterogenetà dovuta a mancato parallelsmo, e s può rappresentare la relazone tra X e Y con l coeffcente d regressone comune Se non s rfuta l potes d parallelsmo, può essere condotta l anals della covaranza Pagna 34

35 Un problema dell anals della covaranza è che alcun software, anche puttosto avanzat, qual STATA o SAS, non hanno un programma specfco per esegurlo, ma rchedono l uso d artfc d calcolo. Nell esempo STATA: l assenza d nterazone è ndcatva d parallelsmo. Pagna 35

36 Il termne può qund venre rmosso dall anals. Non rsulta alcuna dfferenza tra grupp; le dfferenze sono tutte spegate dall età. Pagna 36

37 Varable Espost > 10 ann Espost < 10 ann Non espost Età 49.8± ± ±1 CV 3.94± ± ±0.69 CV aggustata y * y b 1c (x x) L ANCOVA consente l calcolo delle mede aggustate, coè d quelle che sarebbero state le mede delle y se l valore delle x fosse stato uguale n tutt grupp, e par al valore d x medo. Il cacolo è molto semplce, anche quando l software a dsposzone non lo effettu (sono denomnate anche LS means) Pagna 37

38 Un uso mpropro della correlazone 700 Strumento Strumento 1 Vene spesso utlzzata n modo mpropro la correlazone per defnre la concordanza d due metod o due strument d msura. La correlazone sgnfca la presenza d dpendenza tra le msure, ma è dffcle mmagnare che due msure della stessa untà spermentale sano ndpendent! Pagna 38

39 Una presentazone alternatva Dfferenza tra le due msure PEFR medo Il metodo pù utlzzato è l grafco d Brandt e Altman: se una delle due msure rappresenta uno standard consoldato, va n ascssa, altrment c s mette la meda delle due msure. In ordnata la corrspondente dfferenza tra le due msure. Non è assocato un test nferenzale. Pagna 39

40 Msure d concordanza per dat qualtatv OSSERVATORE B OSSERVATORE A Effcenza conservata Medamente rdotta Severamente rdotta Totale Effcenza conservata Medamente rdotta Severamente rdotta Totale Il problema della concordanza s pone anche per valutazon d tpo qualtatvo. Vedamo questo esempo mmagnaro. I numer sono frequenze assolute. Pagna 40

41 Msure d concordanza per dat qualtatv OSSERVATORE B OSSERVATORE A Effcenza conservata Medamente rdotta Severamente rdotta Totale Effcenza conservata 5 40 Medamente rdotta 1 30 Severamente rdotta Totale Concordanza osservata: k f0 f Pagna 41

42 Msure d concordanza per dat qualtatv OSSERVATORE B OSSERVATORE A Effcenza conservata Medamente rdotta Severamente rdotta Totale Effcenza conservata 5 (19) 40 Medamente rdotta 1 (1.5) 30 Severamente rdotta 30 (4.5) 30 Totale k Concordanza dovuta al caso: f e f. f La concordanza dovuta al caso è stmata dal valore atteso (come al solto, totale d rga per totale d colonna dvso gran totale) Pagna 4

43 Statstca k d Cohen k f f N- f e o e Concordanza completa: k1 Eccellente concordanza: k>0.75 Scarsa concordanza: k<0.40 Pagna 43

44 Statstca k d Cohen k se(k) E dstrbuta come una devata gaussana standardzzata, quando N>100 Pagna 44

45 Statstca k d Cohen se(k) f N (N f e ) ( ) e 0.08 k se(k) ha dstrbuzone gaussana Pagna 45