PhD Course Cassino Prof. Mannina - Università di Palermo 1

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1 Laboratoro d Modellstca Santaro-Ambentale Anals d senstvtà, calbrazone e valutazone dell ncertezza degl nput d un modello matematco: fondament e metodologe Gorgo Mannna gorgo.mannna@unpa.t Sommaro Defnzon Generaltà sull anals d senstvtà Anals d senstvtà d tpo locale Anals d senstvtà d tpo globale Classfcazone dell ncertezza d un modello matematco Il metodo Monte Carlo Tecnche d camponamento casuale: Latn Hypercube samplng, Smple random Sample (SRS) Calbrazone d un modello matematco Mannna - Unverstà d Palermo

2 Defnzon Anals d senstvtà L anals d senstvtà (AS) d un modello matematco è quel processo attraverso l quale è possble studare la varazone della rsposta del modello (output del modello) al varare d uno o pù fattor d nput (parametr e/o varabl) e dscrmnare tra fattor nfluent e non nfluent. Incertezza L ncertezza è un ndcatore del lvello d gnoranza/conoscenza d un sstema o processo Anals d ncertezza L anals dell ncertezza (AI) d un modello matematco è quel processo attraverso l quale è possble ndvduare, n funzone della sorgente d ncertezza, l grado d ncertezza degl output del modello Calbrazone Defnzon La calbrazone d un modello è l processo d aggustamento del valore de parametr fnalzzato al mgloramento del fttng tra valor delle varabl smulate ed dat msurat per le stesse varabl. Mannna - Unverstà d Palermo 2

3 Calbrazone y outlers!! E E 2 E 3 E 4 E n outlers!! F.O. = MIN [f(somma(e En)] x Generaltà sull anals d senstvtà L anals d senstvtà I valor de fattor d nput del modello vengono perturbat (sngolarmente, a grupp o contemporaneamente) all nterno d un fssato campo d varazone (per fssata dstrbuzone) al fne d dentfcare la senstvtà per ogn fattore del modello. Il processo d AS permette d determnare, all nterno d lmt ragonevol, qual parametr o varabl d nput hanno sull output del modello un effetto che può essere consderato trascurable, sgnfcatvo, lneare o non lneare Mannna - Unverstà d Palermo 3

4 Nomenclatura Alta Fattor nteractng Interazone Fattor non nfluent Fattor mportant Bassa Bassa Senstvtà Alta Sogla per la msura d senstvtà Sogla per la msura d nterazone Fattor nteractng Fattor nfluent Prof. G. Mannna - Laboratoro d Modellstca Santaro-Ambentale Generaltà sull anals d senstvtà I parametr d un modello non sono sensbl e/o nsensbl Un modello (ntendendo l output) rsulta sensble e/o nsensble a parametr del modello stesso!! Prof. G. Mannna - Laboratoro d Modellstca Santaro-Ambentale Mannna - Unverstà d Palermo 4

5 Generaltà sull anals d senstvtà Perché effettuare una AS? Le motvazon per le qual s esegue una AS sono molteplc e dpendono dall obettvo prefssato dal modellatore. Il modellatore può condurre l AS per determnare: se l modello descrve n modo approprato l sstema o l processo modellato. Un modello non descrve n modo approprato process convolt se esso è fortemente dpendente da fattor suppost non nfluent o se l range d predzone del modello è fscamente mprobable. In tal caso, l AS evdenza la necesstà d rvedere la struttura del modello stesso; se esste una regone nello spazo de fattor d nput per cu la varazone del modello rsulta massma; le regon ottmal all nterno dello spazo de fattor da utlzzare n un successvo studo d calbrazone; Generaltà sull anals d senstvtà Perché effettuare una AS? Perché effettuare una AS? S rende possble valutare se e qual fattor o grupp d ess nteragscono tra d loro. Infatt, nella maggor parte de modell ambental gl effett combnat de fattor non possono essere espress dalla somma de sngol effett. Cò mplca una nterazone tra fattor che può avere mplcazon mportant n uno studo modellstco; È possble valutare qual sano fattor d nput che contrbuscono maggormente alla varazone dell output e qual, nvece, rchedono ulteror stud al fne d mglorarne la conoscenza d base. L ndvduazone d tal fattor agevola la fase prelmnare d panfcazone del processo spermentale consentendo d panfcare un pano spermentale ad hoc fnalzzato a trarre pù nformazon da dat che s ntende rlevare. In tal modo è possble mnmzzare l ncertezza de rsultat del modello legata agl error d msura; Mannna - Unverstà d Palermo 5

6 Generaltà sull anals d senstvtà Perché effettuare una AS? s rende possble valutare ndvduare parametr poco sgnfcatv del modello. Sono poco sgnfcatv que parametr la cu varazone non produce cambament rlevant nell output del modello. Nel caso n cu l modello rsultasse pù complesso rspetto alle necesstà del modellatore tutt que fattor, process e qund parametr che rsultano poco sgnfcatv per l oggetto dello studo possono essere trascurat. La conoscenza d tutt parametr che nfluenzano nvece n modo sgnfcatvo la rsposta del modello favorsce/mglora la fase d calbrazone d un modello. Generaltà sull anals d senstvtà Le tpologe d AS I metod d AS possono essere suddvs, sulla base dello spazo fattorale d nteresse, n due grand class: metod d anals d senstvtà locale (ASL) e metod d anals d senstvtà globale (ASG). Tpo locale Anals d senstvtà Tpo globale Mannna - Unverstà d Palermo 6

7 Generaltà sull anals d senstvtà Le tpologe d AS I metod d ASL focalzzano l attenzone sull mpatto locale che fattor d nput hanno sull output d un modello. In tale contesto, nteressa valutare l effetto sull output del modello d pccole varazon de fattor d nput rspetto a predefnt valor nomnal, generalmente consderate sngolarmente. I metod d ASG valutano l effetto che la varazone contemporanea, n amp range d varazone, de fattor d nput ha sull output del modello. Introduzone Anals d senstvtà locale La ASL vene condotta medante l calcolo d dervate parzal delle funzon d output rspetto alle varabl d nput; metod d ASL vengono nfatt anche chamat metod basat sulle dervate. Al fne d valutare tal dervate numercamente, ogn parametro x d nput vene fatto varare nell ntorno d un valore nomnale (x nom ) e valutata la rsposta del modello per ogn output y. x 2 y nom ( ) = y y 2 y nom x 2 MODELLO MODELLO nom x perturbazon parametrche x smulazon nom x 2 nom x valutazone della varazone d uscta Mannna - Unverstà d Palermo 7

8 Peculartà dell ASL Anals d senstvtà locale L ASL può essere vsta come un partcolare caso d approcco one factor at a tme (OAT), poché durante la varazone del sngolo fattore tutt gl altr vengono mantenut costant. L approcco locale è applcable quando la varazone attorno al valore nomnale, d ognuno de fattor d nput, rsulta essere talmente pccola da potere assumere verosmlmente lneare la relazone che ntercorre tra nput e output. I metod d ASL rsultano poco utl laddove l obettvo dell anals è quello d confrontare l effetto della varazone de dvers fattor d nput sugl output del modello, poché n tal caso l ncertezza relatva d ogn fattore d nput dovrebbe essere pesata. Peculartà dell ASL Anals d senstvtà locale I metod d ASL present n letteratura hanno la caratterstca d essere molto effcent n termn computazonal, n quanto rchedono un numero d perturbazon suffcentemente basso per sngolo fattore da analzzare. Tuttava, metod ASL sono neffcent n termn d tempo d programmazone. Ess rchedono, ad esempo, al fne d esegure le operazon d anals OAT, l ntervento da parte del modellatore sul codce aumentando così l ncertezza legata agl error d programmazone. Mannna - Unverstà d Palermo 8

9 Le funzon d senstvtà Anals d senstvtà locale La varazone del fattore x determna una varazone dell output y. La senstvtà del generco parametro x sull output y vene quantfcata medante una funzone d senstvtà. Partcolare attenzone, nell applcazone dell ASL rcopre la scelta della funzone d senstvtà adottata per quantfcare l nfluenza che l fattore x ha sull output y. L esto dell ASL, ad esempo, d un modello per la smulazone d un mpanto d depurazone, può essere fortemente nfluenzato dalle condzon operatve, dalla caratterzzazone del refluo nfluente e dalla natura dell ndce e/o coeffcente d senstvtà utlzzato. Le funzon d senstvtà Anals d senstvtà locale La msura della senstvtà locale, s,j, del parametro x rspetto alla varable y j è n genere rappresentata dalla pendenza della funzone che descrve l valore d y j al varare d x come segue: s, j = y x j Tale msura d senstvtà descrve la varazone assoluta d una varable d output del modello per varazone untara (assoluta) del valore del parametro, essa dpende tanto dall ordne d grandezza della varable d output quanto da quello del parametro. Tale crcostanza ha l nconvenente d rendere mpossble l confronto tra le msure d senstvtà d dverse varabl d output o d una stessa varable ma calcolate rspetto a dvers parametr Mannna - Unverstà d Palermo 9

10 Anals d senstvtà locale Le funzon d senstvtà Per ovvare all nconvenente sopra ctato la funzone d senstvtà vene normalzzata. Tale normalzzazone può essere seguta rspetto al valore della varable corrspondente al valore nomnale del parametro e rspetto al valore del parametro nomnale stesso : s, j = x y nom nom j y x j Peculartà dell ASG Anals d senstvtà globale La ASG consente d quantfcare l mpatto che l ntero spazo parametrco ha sull output del modello comportando la varazone contemporanea d tutt fattor d nput. Nella ASG l ncertezza dell output del modello vene assocata all ncertezza de fattor d nput e descrtta, tpcamente, da funzon d dstrbuzone d probabltà che coprono range d varazone de fattor. Mannna - Unverstà d Palermo 0

11 Peculartà dell ASG Anals d senstvtà globale Le propretà fondamental dell anals d senstvtà d tpo globale sono: L nfluenza del fattore d scala e della forma della dstrbuzone: n partcolare s tene conto dell effetto che l range d varazone del sngolo fattore e la rspettva forma della funzone d denstà d probabltà hanno sulla stma della senstvtà dello stesso. Meda multdmensonale: la stma della senstvtà d ogn fattore vene effettuata varando contemporaneamente tutt fattor d nput e facendo rfermento dunque al contemporaneo effetto su tutte le varabl del modello Peculartà dell ASG Anals d senstvtà globale L adozone d un metodo ASG ha l nconvenente d rchedere temp computazonal >> rspetto a quell necessar per la ASL n quanto la varazone contemporanea d tutt parametr determna un ncremento del numero d smulazon necessare. Mannna - Unverstà d Palermo

12 Anals d senstvtà globale Classfcazone de metod d ASG I metod d anals ASG vengono generalmente suddvs n tre grand categore: Metod basat sulla decomposzone della varanza: Sobol, Fourer Ampltude Senstvty Test (FAST), Extended-FAST, etc Metod d screenng: Morrs screenng, Latn Hypercube-OAT, etc Metod basat sulla regressone lneare: anals della regressone lneare standardzzata (SRC), anals d regressone a step, etc D seguto vengono presentate le caratterstche pecular d ognuna delle categore elencate entrando nel dettaglo de metod SRC, Morrs screenng e Extended-FAST Anals d senstvtà globale Metod basat sulla decomposzone della varanza: l metodo Extended-FAST Il metodo Extended-FAST è basato sul teorema d decomposzone della varanza. A tal proposto s rportano d seguto alcune utl defnzon: Valore atteso: l valore atteso (chamato anche meda, speranza o speranza matematca) d una varable casuale X, ndcato con E[X], è un parametro d sntes del valore medo d un fenomeno aleatoro. Nel caso n cu la varable casuale sa dscreta (la varable casuale assume un numero fnto o una nfntà numerable d valor) l valore atteso della varable X è dato dalla somma de possbl valor d tale varable, cascuno moltplcato per la probabltà d essere assunto (ossa d verfcars), coè è la meda ponderata de possbl rsultat. Mannna - Unverstà d Palermo 2

13 Anals d senstvtà globale Metod basat sulla decomposzone della varanza: l metodo Extended-FAST Varanza: la varanza d una varable casuale x fornsce la msura d quanto sano dspers valor assunt dalla varable, ovvero d quanto s dscostno dal valore atteso. La varanza della varable casuale x vene ndcata con σ 2 (x) o Var(x) ed è espressa come l valore atteso del quadrato della varable x- E[x]: 2 σ ( x ) = Var( x ) = E[( x E[ x ]) La formula per la varanza d un'ntera popolazone è: ( ) 2 x x 2 N σ ( x) = Var( x) = N = dove N rappresenta la dmensone della popolazone e x la meda artmetca della popolazone. 2 ] Anals d senstvtà globale Metod basat sulla decomposzone della varanza: l metodo Extended-FAST In sntes, l teorema della decomposzone della varanza afferma che la varanza dell output Y d un modello, ndcata con Var(Y), può essere partzonata nel seguente modo: n = j n Var(Y ) = D + D D n j n...n...n () dove D rappresenta l effetto del prmo ordne del fattore -esmo: D = Varx [ E ( Y x )] x Il pedce x ndca che vene assunta la varazone del solo fattore - esmo mentre x - ndca che vene assunta la varazone per tutt fattor tranne l -esmo (tutt fattor sono not tranne l -esmo) Mannna - Unverstà d Palermo 3

14 Anals d senstvtà globale Metod basat sulla decomposzone della varanza: l metodo Extended-FAST Mentre n n D j D...n j n...n rappresenta l nterazone tra gl n fattor convolt o somma degl effett d ordne superore al prmo. Nello specfco l nterazone tra parametr e j vene calcolata come segue: D j = Var [ x j ] [ E( Y x,x )] Var [ E ( Y x )] Var E ( Y x ) j x x x j j varanza del valore atteso d Y not tutt fattor tranne x e x j varanza del valore atteso d Y not tutt fattor tranne x varanza del valore atteso d Y not tutt fattor tranne x j Anals d senstvtà globale Metod basat sulla decomposzone della varanza: l metodo Extended-FAST Dvdendo tutt membr della () per Var(Y) s ottene n D D j j n = Var(Y ) Var(Y ) n = +...n n D...n Var(Y ) somma degl ndc del prmo ordne d tutt gl n fattor somma degl ndc d ordne superore al prmo. Mannna - Unverstà d Palermo 4

15 Anals d senstvtà globale Metod basat sulla decomposzone della varanza: l metodo Extended-FAST Pertanto la somma tra gl effett d ordne totale relatvamente a tutt fattor convolt è par ad. Dunque nel caso n cu s vogla calcolare l effetto dell ordne totale d un fattore bsogna sottrarre ad l valore della varanza del modello assocata alla nterazone tra l fattore n esame e gl altr convolt. Anals d senstvtà globale Metod basat sulla decomposzone della varanza: l metodo Extended-FAST L applcazone del metodo Extended-FAST non rchede alcuna assunzone sulla struttura del modello (lneare, monotono, etc.). Per ogn fattore l metodo Extended-FAST fornsce due msure d senstvtà: S ( E ( Y x ) Varx x = Indce dell effetto effetto del prmo ordne Var ( Y ) S rappresenta l contrbuto alla varanza del modello,var(y), dovuto al solo fattore, senza consderare l nterazone dell - smo fattore. In partcolare S rappresenta la percentuale d rduzone della varanza (n meda) che s avrebbe se l fattore - smo fosse noto. Mannna - Unverstà d Palermo 5

16 Anals d senstvtà globale Metod basat sulla decomposzone della varanza: l metodo Extended-FAST S T ( E ( Y x )) Varx x = Indce dell Var ( Y ) Indce dell effetto effetto totale S T rappresenta l contrbuto alla varanza del modello,var(y), dovuto al solo fattore, consderando pure le nterazone tra fattor. In partcolare, rappresenta la percentuale d rduzone della varanza (n meda) che s avrebbe se tutt fattor tranne fossero not. D Anals d senstvtà globale Metod d screenng: l metodo Morrs screenng Il metodo Morrs screenng s basa sulla quantfcazone degl effett elementar (EE) che la varazone de fattor d nput producono sugl output del modello. In partcolare l effetto elementare dell -esmo fattore (EE ) conseguente ad una perturbazone del fattore rappresenta la dfferenza relatva tra l output del modello ottenuto con e senza perturbazone: EE ( x,..., x, ) n = y ( x,..., x, x +, x,..., x ) y( x,..., x ) + n n Mannna - Unverstà d Palermo 6

17 D Anals d senstvtà globale Metod d screenng: l metodo Morrs screenng Per ogn fattore la msura della senstvtà è espressa dalla meda (µ) e dalla devazone standard (σ) della funzone degl effett elementar; µ quantfca l mportanza del fattore e σ l nterazone Il metodo Morrs screenng rchede un numero d smulazon che è par a r(n+), dove N è l numero d fattor ed r l numero d rpetzon nel camponamento OAT del fattore (vara da 5-70) Anals d senstvtà globale Metod basat sulla regressone lneare: l metodo Standardzed Regresson Coeffcents - SRC Il metodo SRC è basato sulla esemplfcazone medante regressone lneare multpla degl output del modello: y j = bo n + b x = + ε dove y j reppresenta l output j-esmo del modello, x l -esmo fattore, n l numero d fattor, b le pendenze della regressone e ε l errore random del modello d regressone. Mannna - Unverstà d Palermo 7

18 Anals d senstvtà globale Metod basat sulla regressone lneare: l metodo Standardzed Regresson Coeffcents - SRC Le pendenze della regressone standardzzata rappresentano la msura d senstvtà espressa dal coeffcente d regressone (SRC). Tale pendenza è esplctable come segue: SRC ( x ) = β = b σ x σ y Dove σ x e σ y rappresentano rspettvamente la devazone standard del fattore e dell output Anals d senstvtà globale Metod basat sulla regressone lneare: l metodo Standardzed Regresson Coeffcents - SRC Il metodo SRC è applcable qualora l coeffcente d determnazone R 2, che è la porzone della varanza totale rappresentata dal modello d regressone, sa maggore d 0.7. Il segno d β ndca se l effetto della varazone del fattore sulla varazone dell output è postvo o negatvo (effetto postvo: aumentando x aumenta y; effetto negatvo aumentando x dmnusce y) Il valore assoluto d β da l grado d nfluenza del fattore. Mannna - Unverstà d Palermo 8

19 Anals d senstvtà globale:src Quanttà Senstvty [β ] (a) Threshold Parameter No. (b) Qualtà Anals d senstvtà globale: Morrs Quanttà σ (a) 5 4 Treshold µ * =+2SEM Parameter µ* (b) 3 2 Qualtà µ* Mannna - Unverstà d Palermo 9

20 Anals d senstvtà globale: E-Fast Quanttà Senstvty [S, S T ] (a) S Interacton Parameter No. (b) Qualtà Parameter No. Font d ncertezza Classfcazone dell ncertezza Qualunque sa l modello n anals le font d ncertezza delle predzon del modello possono essere classfcate n 4 grand categore: Input del modello. A questa categora appartengono tutt dat necessar per esegure le smulazon (nel caso d un modello d un mpanto d depurazone: portate n ngresso, caratterstche del refluo da trattare ) Struttura del modello Parametr del modello Metodo d mplementazone e/o rsoluzone adottato (software, lnguaggo d programmazone) Mannna - Unverstà d Palermo 20

21 Classfcazone dell ncertezza Font d ncertezza Schematzzazone delle font d ncertezza nel caso d un modello ASM: Valutazone dell ncertezza La valutazone dell ncertezza d un modello matematco consdera n prmo luogo la defnzone dello scopo del modello che nclude la dentfcazone delle sorgent rlevant d ncertezza. Identfcata ogn sngola fonte d ncertezza e selezonate le font sgnfcatve, è possble valutare l ncertezza. Esstono dvers metod per quantfcare l ncertezza, tra qual: Metod usat per caratterzzare e classfcare (n funzone della sgnfcatvtà) le ncertezze: Valutazone della qualtà de dat Stma de parametr Anals d senstvtà Mannna - Unverstà d Palermo 2

22 Valutazone dell ncertezza Metod fnalzzat ad ncrementare la qualtà dell nformazone: Controllo d qualtà Convolgmento de portator d nteresse Metod usat per quantfcare e propagare l ncertezza d modell d calcolo fnalzzat a quantfcare l ncertezza dell output del modello: Propagazone Gaussana dell errore Smulazon d Monte Carlo Anals d scenar Generaltà I metod Monte Carlo Il metodo Monte Carlo è un procedmento matematco basato sull'utlzzazone d numer casual. La defnzone pù utlzzata è la seguente: Il metodo d Monte Carlo consste nel cercare la soluzone d un problema, rappresentandola quale parametro d una potetca popolazone e nello stmare tale parametro tramte l'esame d un campone della popolazone ottenuto medante sequenze d numer casual. Mannna - Unverstà d Palermo 22

23 I metod Monte Carlo Gl step del metodo S effettua un numero elevato d smulazon determnstche varando uno o pù parametr n modo casuale secondo una statstca predefnta S analzzano rsultat delle smulazon su base statstca S cerca un legame fra la statstca del parametro e quella dell uscta del modello Esempo d metodo Monte Carlo I metod Monte Carlo Varazon casual del rateo d crescta d una popolazone 20 Es. Svluppo d una popolazone n funzone del rateo d crescta S consdera meda e varanza delle smulazon 00 S correla la dstrbuzone del rateo d crescta alla dstrbuzone della popolazone Popul t Popolazone r pop Tempo Mannna - Unverstà d Palermo 23

24 I metod Monte Carlo Partcolare nteresse ne metod d tpo Monte Carlo rcopre la forma della dstrbuzone d probabltà della popolazone che può essere d varo tpo a seconda del caso n esame (Posson, normale, unforme esponenzale ) Un altro elemento chave de metod Monte Carlo è rappresentato dal metodo adottato per l camponamento casuale (Latn hypercube sample, smple random sample ) che caratterzza l metodo stesso Tecnche d camponamento casuale Smple random sample Il Smple random sample (SRS) (camponamento casuale semplce) rappresenta l naturale punto d partenza per lo studo d tutt gl altr dsegn camponar. L SRS è un camponamento d tpo equprobablstco S consder una popolazone d N untà dalla quale s debba estrarre un campone d n untà dstnte. L SRS è la tecnca che attrbusce la stessa probabltà d selezone ad ogn nseme d n untà dstnte della popolazone. Consegue dalla precedente defnzone che anche ogn sngola untà della popolazone ha la stessa probabltà d entrare a far parte del campone. Mannna - Unverstà d Palermo 24

25 Tecnche d camponamento casuale Smple random sample Nella selezone d un campone casuale è possble sceglere se ogn untà possa entrare pù d una volta nel campone. Se questa possbltà non è ammessa l camponamento è detto senza rpetzone, altrment con rpetzone. Nella pratca, l'estrazone con rpetzone vene adottata raramente. E' ntutvo che, fssata la dmensone del campone, l'osservazone rpetuta d una o pù untà rappresenta una perdta d nformazone. E' tuttava anche evdente che la dstnzone tra estrazone con e senza rpetzone perde gradualmente d mportanza all'aumentare della dmensone della popolazone d rlevazone. Tecnche d camponamento casuale Smple random sample Seppure l metodo SRS sa tra pù semplc metod d camponamento casuale esso è anche l meno effcente qualora sa necessaro rdurre l camponament e qund le smulazon da effettuare. Cò è dovuto al fatto che al dmnure della dmensone camponara dmnusce la probabltà d coprre l ntero range d varazone della varable aleatora, ottenendo così un campone falsato. Al fne d ovvare a tale problema s preferscono, nel caso s vogla rdurre l numero d smulazon, metod d camponamento stratfcat. Mannna - Unverstà d Palermo 25

26 Tecnche d camponamento casuale Latn Hypercube samplng (LHS) La Latn Hypercube Samplng (LHS) (camponamento ad percubo latno) è un metodo d camponamento casuale d tpo stratfcato. Cò mplca che l metodo LHS è basato sulla suddvsone del campo d esstenza delle varabl aleatore (ad esempo parametr) n N regon a cu competa la stessa probabltà. Il camponamento casuale è lmtato ad un numero par ad N campon: s estrae nfatt per ogn varable un sngolo campone per regone. S generano n seguto N combnazon casual d quest campon n modo che ogn campone venga utlzzato una sola volta e che tutt campon vengano utlzzat Tecnche d camponamento casuale Latn Hypercube samplng (LHS) Esempo d LHS nel caso n cu le varabl aleatore sono due (parametr φ e φ 2 ) l cu campo d esstenza è suddvso n N=0 part. Mannna - Unverstà d Palermo 26

27 Calbrazone d un modello matematco Introduzone Il processo d calbrazone e/o d stma de parametr d un modello è defnto come: la determnazone de valor ottmal de parametr ottenuta medante l auslo d dat spermental nell potes che la struttura del modello (relazon tra varabl e parametr) sa esplctamente nota. Calbrazone d un modello matematco Le fas Le fas del processo d calbrazone prevedono: Scelta del data set set d dat da adottare n fase d stma; set d dat da adottare n fase d valdazone del modello con valor de parametr stmat Identfcazone de parametr da calbrare Anals d dentfcabltà strutturale: se un parametro è combnazone d altr e tale combnazone è esplctata da una legge, not valor msurat d tutt parametr della legge tranne uno, l valore del parametro ncognto è bene calcolarlo a partre dalla legge ed escluderlo tra parametr da calbrare Mannna - Unverstà d Palermo 27

28 Calbrazone d un modello matematco Le fas Anals d dentfcabltà pratca: consente d ndvduare qual parametr possono essere calbrat a partre da dat dsponbl. Anals d senstvtà Dfferenzazone tra parametr lnear e non Il legame tra parametr del modello e varabl può essere d tpo lneare o meno, poché la non lneartà complca l processo d stma de parametr è mportante dscrmnare tra parametr lnear e non. Calbrazone d un modello matematco Le fas Lnearzzazone del modello E pratca abbastanza frequente quella d rendere lnear modell che nella loro forma orgnale sono non-lnear. Un esempo è l modello della cnetca d Monod lnearzzata come segue: K = µ µ s max + S µ max Mannna - Unverstà d Palermo 28

29 Calbrazone d un modello matematco Le fas Scelta della funzone obettvo per la stma de parametr Questa fase consste nella ndvduazone della funzone obettvo (funzone de valor smulat e msurat) da mnmzzare e/o massmzzare (a seconda della sua espressone) da adottare per la scelta de valor calbrat de parametr Calbrazone d un modello matematco Le fas Valutazone della qualtà de parametr stmat Quando parametr d un modello vengono calbrat sulla base d un set d dat è essenzale, ancor prma della fase d valdazone, valutare la bontà della rsposta del modello calbrato. E necessaro valutare due aspett fondamental: Se dat smulat presentano un buon fttng con quell msurat; Quantfcare l accuratezza della rsposta del modello. Nel caso n cu l accuratezza sa suffcente l processo d calbrazone è concluso vceversa sono rchest ulteror dat msurata per mglorare tale accuratezza. Mannna - Unverstà d Palermo 29

30 Calbrazone d un modello matematco Scelta della funzone obettvo per la stma de parametr La pù nota funzone obettvo per la stma de parametr d un modello è la funzone somma degl scart quadratc J( θ ) = N 2 ( y ŷ ( θ )) = Dove y sono le osservazon (n totale sono dsponbl N osservazon) e ŷ ( θ ) sono le predzon del modello per un dato set d parametr θ La condzone per cu J rsulta mnmo è quella alla quale corrsponde l set d parametr ottmale Calbrazone d un modello matematco Scelta della funzone obettvo per la stma de parametr Nel caso n cu gl error delle msure de dat adottat s consderano ndpendent (non correlat) ed orgnat da una dstrbuzone normale è possble adottare le funzon d massma verosmglanza che esprmono qual è la probabltà che un dato set d dat msurat s adatt a valor smulat dal modello (assumendo che l modello sa corretto). Tra le funzon d verosmglanza s ha la funzone che 2 tene conto dello stmatore χ N N y = ŷ( θ ) L( y θ ) exp = 2π σ 2 = σ 2 Mannna - Unverstà d Palermo 30

31 Calbrazone d un modello matematco Scelta della funzone obettvo per la stma de parametr dove y è l set d n osservazon e σ standard delle msure y. Per ogn set d dat d parametr ottmale è quello per cu è la devazone N N y = ŷ( θ ) L( y θ ) exp = 2π σ 2 = σ y l set 2 è massma. Il che è equvalente a dre che è mnmo l valore della funzone: N 2 2 = σ J( θ ) = χ ( θ ) = ( y ŷ ( θ )) 2 Calbrazone d un modello matematco Scelta della funzone obettvo per la stma de parametr Nel caso n cu la devazone standard delle msure è costante quanto detto sopra rsulta equvalente alla mnmzzazone della seguente funzone: J( θ ) = N 2 ( y ŷ ( θ )) = Mannna - Unverstà d Palermo 3