Regressioni con variabili strumentali

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1 Regresson con varabl strumental 3 mportant mnacce alla valdtà nterna del modello: Bas dovuta alle varabl omesse, varabl correlate con X ma non osservate e che per questo non possono essere ncluse nella regressone; Bas dovuta alla smultanetà (X causa Y, Y causa X); error-nelle-varabl (X è msurata con error) Le varabl strumental possono elmnare questa bas. Quando E(u X) 0 s usa uno strumento, Z 1

2 Regressone IV con un regressore ed uno strumento Y = β 0 + β 1 X + u IV dvde X n due part: una parte correlata con u, e una parte non correlata con u. Isolando la parte che non è correlata con u, è possble stmare β 1. S procede usando una varable strumentale, Z, che non è correlata con u. Le varabl strumental catturano la varanza d X che non è correlata con u, e sfruttano questa caratterstca per stmare β 1. 2

3 Termnologa: endogenetà e esogenetà Una varable endogena è correlata con u Una varable esogena non è correlata con u 3

4 2 condzon per uno strumento valdo Y = β 0 + β 1 X + u 1. Rlevanza dello strumento: corr(z,x ) 0 2. Esogenetà dello strumento: corr(z,u ) = 0 Supponamo d avere uno strumento Z come lo usamo per ottenere β 1? 4

5 Lo stmatore IV, una X e una Z Stmatore a 2 pass: Two Stage Least Squares (TSLS) (1) solamo le part d X che non sono correltate con u: regredamo X su Z usando OLS X = π 0 + π 1 Z + v (1) Pochè Z è non correlato con u, π 0 + π 1 Z non è correlato con u. Calcolamo valor prevst d X, X ˆ, dove X ˆ = ˆ π 0 + ˆ π1z, = 1,,n. 5

6 (2) Sosttuamo X con X ˆ nella regressone d nteresse: regredamo Y su X ˆ usando OLS: Y = β 0 + β 1 X ˆ + u (2) Pochè X ˆ non è correlato con u, la Ass 1 de mnm quadrat è verfcata (se n è grande) β 1 può essere stmato usando OLS nella (2) C basamo sulla teora asntotca d grand campon Two Stage Least Squares (TSLS), ˆ β TSLS 1. 6

7 Supponamo d avere uno strumento valdo, Z. Stage 1: Regredamo X su Z, ottenamo X ˆ Stage 2: Regredamo Y su X ˆ ; l coeffcente d X ˆ sarà lo stmatore TSLS, ˆ β TSLS 1. ˆ β TSLS 1 è uno stmatore consstente d β 1. 7

8 Y = β 0 + β 1 X + u Dunque cov(y,z ) = cov(β 0 + β 1 X + u,z ) = cov(β 0,Z ) + cov(β 1 X,Z ) + cov(u,z ) = 0 + cov(β 1 X,Z ) + 0 = β 1 cov(x,z ) dove cov(u,z ) = 0 (esognentà degl strument); dunque β 1 = cov( Y, ) Z cov( X, Z ) 8

9 Il termn camponar β 1 = cov( Y, ) Z cov( X, Z ) ˆ s β TSLS YZ 1 = s XZ, s YZ s XZ sono covaranze camponare 9

10 Consstenza dello stmatore TSLS ˆ s β TSLS YZ 1 = s XZ Le covaranze camponare : s YZ p cov(y,z) ; s XZ p cov(x,z). dunque, ˆ s β TSLS YZ 1 = s XZ p cov( Y, Z ) cov( X, Z ) = β 1 La condzone cov(x,z) 0 asscura che l numeratore non è zero. 10

11 Es1: Domanda e offerta d burro : ln( Q butter ) = β 0 + β 1 ln( P β 1 = elastctà del prezzo butter La stma OLS d ln( Q ) su ln( P smultanetà casuale (perchè?) butter butter ) + u ) => problem d 11

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13 L terazone fra domanda e offerta rsulta come Quale effetto coglerebbe una regressone lneare? 13

14 Nel caso n cu s sposta solo l offerta avremmo Z è una varable che fa spostare l offerta ma non la domanda. 14

15 ln( Q butter ) = β 0 + β 1 ln( P butter ) + u Z = pogga nelle regon che producono prodott latter Z è uno strumento valdo? (1) Esogeno? corr(ran,u ) = 0? Il fatto che pove non dovrebbe nfluenzare la domanda butter (2) Rlevante? corr(ran,ln( P )) 0? Pogga scarsa sgnfca poch pascol e meno burro 15

16 ln( Q butter ) = β 0 + β 1 ln( P butter ) + u Z = pogga Stage 1: ln( P ) su ran, ottenere ln ( P ˆ butter) ln( butter P ˆ butter) sola le varazon nel log del prezzo dovute all offerta (nfluenza l prezzo offerto e non la quanttà domandata) Stage 2: ln( Q ) su ln ( P butter) butter ˆ È una regressone che sfrutta movment della curva d offerta per traccare la curva d domanda. 16

17 Note d nferenza ˆ β TSLS 1 è approssmatvamente dstrbuto 2 N(β 1, σ ), βˆtsls 1 Per grand campon l nferenza procede come al solto 17

18 Sommaro Due condzon sono necessare: (1) rlevanza: corr(z,x ) 0 (2) esogentà: corr(z,u ) = 0 TSLS. 1) regredre X su Z per ottenere ˆX, 2) regredre Y su ˆX. La regressone 1) sola la parte della varazone n X che non è correlato con u Se lo strumento è valdo, allora la dstrbuzone per grand campon d TSLS è normale, dunque l nferenza procede come al solto 18

19 Modello d regressone generale IV Estendamo l modello regressor multpl endogen (X 1,,X k ) regressor multpl esogen (W 1,,W r ) abbamo dunque bsogno d varabl strumental multple (Z 1,,Z m ) Pù strument (rlevant) danno orgne ad uan varanza TSLS pù bassa: l R 2 della regressone al prmo passo cresce, coè c è pù varazone n ˆX. Termnologa: dentfcazone & sovra-dentfcazone 19

20 Identfcazone la dentfcazone de coeffcent dpende numero degl strument (m) e dal numero de regressor endogen (k) Se m < k l modello non può essere stmato β 1,, β k sono: esattamente dentfcat se m = k. sovra-dentfcat se m > k. gl strument sono pù che suffcent => test sotto-dentfcato se m < k. gl strument sono troppo poch 20

21 Y = β 0 + β 1 X β k X k + β k+1 W β k+r W r + u Y varable dependente X 1,, X k regressor endogen (potenzalmente correlate con u ) W 1,,W r regressor esogen (potenzalmente non correlate con u ) β 0, β 1,, β k+r coeffcent gnot Z 1,,Z m m strument I coeffcent are sovra-dentfcat se m > k; esattamente dentfcat se m = k; e sotto-dentfcat se m < k. 21

22 Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 W β 1+r W r + u m strument: Z 1,, Z m Prmo passo Regredamo X 1,, X k su tutt regressor esogen: regredamo X k (uno alla volta) su W 1,,W r, Z 1,, Z m utlzzando OLS calcolamo valor prevst X ˆ 1, = 1,,n Secondo passo Regredamo Y su ˆX 1, W 1,, W r utlzzando OLS I coeffcent stmat al secondo passo sono stmat con TSLS 22

23 Valdtà degl strument nel modello generale Y = β 0 + β 1 X β k X k + β k+1 W β k+r W r + u (1) strument esogen: corr(z 1,u ) = 0,, corr(z m,u ) = 0 (2) strument rlevant: corr(z 1,X ) 0,, corr(z m,x ) 0 ln( Q cgarettes ) = β 0 + β 1 ln( P cgarettes ) + β 2 ln(income ) + u Z 1 = general sales tax Z 2 = cgarette-specfc tax 23

24 Assunzon Y = β 0 + β 1 X β k X k + β k+1 W β k+r W r + u 1. E(u W 1,,W r ) = 0 #1 regressor/strument esogen 2. (Y,X 1,,X k,w 1,,W r,z 1,,Z m ) sono..d. #2 non nuova 3. X, W, Z, Y hanno 4 momento fnto #3 non nuova 4. (Z 1,,Z m ) sono vald Sotto le assunzon 1-4, TSLS e le t-statstche sono normalmente dstrbute 24

25 Controllamo se gl strument sono rlevant Caso d un solo regressore endogeno: Y = β 0 + β 1 X + β 2 W β 1+r W r + u prmo passo: X = π 0 + π 1 Z π m Z m + π m+1 W π m+k W k + u gl strunent sono rlevant se π 1,,π m sono dvers da zero. gl strument s dcono debol se π 1,,π m sono zero o sono prossm allo zero strument debol spegano molto poco della varazone d X 25

26 Conseguenze d strument debol? se gl strument sono debol, la dstrbuzone d TSLS e la t- statstca non sono normal, anche con grand n ˆ s β TSLS YZ 1 = sxz se cov(x,z) = 0 o pccolo, allora s XZ sarà pccolo n questo caso la dstrbuzone d ˆ β TSLS 1 (e la t-statstca) non s approssmano bene ad una normale gl ntervall d confdenza non sono vald 26

27 Msurare la valdtà degl strument Prmo passo: X su Z 1,..,Z m,w 1,,W k. strument completamente rrlevant tutt coeffcent d Z 1,,Z m sono zero. la F-statstca del prmo passo testa l potes che Z 1,,Z m non sono sgnfcatv. strument debol mplcano che la F-statstca del prmo passo è bassa. Il valore sogla è 10 rule of thumb o F>10, strument fort possamo usare TSLS o F<10, strument debol cercare alternatva 27

28 Se gl strument sono debol trovare mglor strument se c sono molt strument s possono sceglere de sottogrupp 28

29 Controllamo l Ass#2: Strument esogen Strument esogen: Tutt gl strument non sono correlat con gl error: corr(z 1,u ) = 0,, corr(z m,u ) = 0 Se gl strument sono correlat con gl error, l prmo passo non solano con successo component d X non correlat con gl error, se ˆX è correlato con u, TSLS è nconsstente. se c sono pù strument che regressor endogen, è possble testare per l esogenetà d sottogrupp d strument 29

30 Quando s usano gl strument? ogn volta che X è correlato con u e c sono delle varabl strumental. La correlazone fra X e u può essere dovuta a: varabl omesse error d msura selezone smultanetà 30

31 2. Qual sono le mnacce nterne del modello IV? Le mnacce sussstono se le assunzon del modello IV non sono soddsfatte: 1. E(u W 1,, W r ) = 0 (W sono esogene) 2. strument vald (rlevant ed esogen) 31