METODI DI MISURA LEZIONI DEL CORSO DI FISICA I E METODI DI MISURA. Enrico Ferrero

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1 METODI DI MISURA LEZIOI DEL CORSO DI FISICA I E METODI DI MISURA Enrco Ferrero

2 ITRODUZIOE Error come ncertezze: non sono sbagl, sono nevtabl e devono essere rdott l pù possble. Inevtabltà degl error nella msura d grandezze fsche: cause evtabl e ntrnseche, error trascurabl e mportanza dell errore. Importanza del conoscere gl error: verfca d teore tramte esperment Esempo: Stma della denstà dell oro a 8 carat Supponamo la denstà dell oro ρ oro 5.5 g cm -3 e la denstà d una lega ρ lega 3.8 g cm -3 Vengono effettuate le seguent stme: Esperto A: valore 5 g cm -3 compreso tra 3.5 g cm -3 e 6.5 g cm -3 Esperto B: valore 3.9 g cm -3 compreso tra 3.7 g cm -3 e 4. g cm -3 S osserva che:. B è pù precso ma anche la msura d A è corretta.. Gl ntervall s sovrappongono dunue le msure sono compatbl e corrette. 3. La stma d A è nutlzzable perché nell ntervallo cadono entramb valor d denstà della lega e dell oro. 4. La conclusone d B è che l campone sa costtuto da una lega.

3 LA STIMA DEGLI ERRORI ELLA LETTURA DELLE SCALE Interpolazone tra le ncson Esemp : rghello e voltmetro el caso del rghello s ha: mglor stma 36 mm ntervallo probable tra 35.5 mm e 36.5 mm (mezza dvsone) el caso del voltmetro s ha: mglor stma 5.3 volt (valore nterpolato) Intervallo probable da 5. volt a 5.4 volt Convenzone: 3

4 se non è specfcato nulla s assume come errore metà dell ntervallo tra le ncson. Esempo:.7 sgnfca che gace tra.65 e.75. La sensbltà d uno strumento (o per meglo dre l'errore d sensbltà) può venr defnta come la mnma varazone della grandezza n esame che s resce ad apprezzare n modo obettvo. el caso d strument tarat la sensbltà corrsponde und al mnmo ntervallo d valor apprezzable medante lo strumento. Per strument dgtal (coè dotat d un dspla numerco) uesto valore è una untà sull'ultma cfra esbta dallo strumento. Per strument con scala graduata d norma e l pù pccolo ntervallo n cu e dvsa la scala. In alcun cas però (per esempo un regolo con dvson n mm) può essere lecto valutare a occho la mezza dvsone. 3 LA STIMA DEGLI ERRORI ELLE MISURE RIPETIBILI Esempo: Msura del perodo d un pendolo, msure rpetute:.3,.4,.5,.4 (s) La mglor stma è.4 (valor medo) Mnmo:.3 e massmo.5 costtuscono l ntervallo probable L mportanza delle msure statstche: metod statstc. on sempre è possble rpetere le msure Alcun error non sono elmnabl con metod statstc, e vengono rpetut n cascuna msura: error sstematc. 4

5 4 RAPPRESETAZIOE ED UTILIZZO DEGLI ERRORI Il rsultato d una msura deve essere scrtto nella forma: Esempo: Mglor stma:.4 s Intervallo probable.3-.5 s Qund n forma compatta s ha: Mglor stma ± errore.4 ± 0. s Regola: Valore msurato d ± La mglor stma è Ed è compresa tra: - e è l errore, l ncertezza della msura e una uanttà postva. on sempre possamo essere cert (00%) che l valore msurato sa compreso nell ntervallo - e, possamo però stmare, n senso statstco, un lvello d confdenza (p.e. 70%, 90% etc.) 5

6 5 CIFRE SIGIFICATIVE Degl error L errore, n uanto tale, non può essere stmato con troppa precsone, per esempo scrvere: g9.8 ± m/s è assurdo. Regola: S deve arrotondare l errore ad una sola cfra sgnfcatva. Esempo: g9.8 ± 0.0 m/s Eccezone: Se la a cfra sgnfcatva è allora s aggunge una a cfra Esempo: 0.4 Infatt, se s ponesse 0. s sottovaluterebbe l errore del 40 % 6

7 De rsultat Valutato l errore d una msura s devono consderare le cfre sgnfcatve ne rsultat. Esempo: Scrvere v ± 30 m/s, è assurdo! L espressone corretta è: v6050 ± 30 m/s Regola: L ultma cfra sgnfcatva n ualunue rsultato deve essere dello stesso ordne d grandezza (nella stessa poszone decmale) dell errore. Esemp: S msura 9.8, se 0.3 allora 9.8 ± 0.3 se 3 allora 93 ± 3 se 30 allora 90 ± 30 ota : e calcol è utle tenere cfra n pù d uella rchesta nel rsultato fnale. ota : 7

8 Le dmenson fsche dell errore sono le stesse della grandezza stmata el caso d numer molto grand o pccol per cu sa convenente usare la notazone scentfca s scrve per esempo: (.6 ± 0.05) 0-9 C che e pù charo che: ± C Eccezone: Se s può trattenere una cfra sgnfcatva n pù, per esempo: l 7.6 ± con l arrotondamento (8 ± ) s perderebbe nformazone 6 DISCREPAZA Dscrepanza: dfferenza tra due valor msurat della stessa grandezza La dscrepanza può essere o non essere sgnfcatva: esempo: Ω 40 ± 5 ohm Ω 4 ± 8 ohm la dscrepanza e, molto mnore dell errore su Ω, und non sgnfcatva, gl ntervall d errore delle due msure s sovrappongono. Se nvece è: 8

9 Ω 35 ± ohm Ω 45 ± ohm la dscrepanza è sgnfcatva, gl ntervall d errore delle due msure non s sovrappongono. Se l errore del valore stmato (d confronto) e molto pù pccolo d uello che può essere fatto n una msura d laboratoro, allora l valore stmato vene assunto come esatto. Per esempo l valore della veloctà della luce stmato è: c ± m/s Altre volte può succedere che l valore stmato sa solo una vaga ndcazone, come per esempo l ndce d rfrazone. 7 COFROTO VALORI MISURATI-DATI Se l valore accettato cade nell ntervallo d ncertezza della msura allora va bene, se leggermente fuor va ancora bene, se completamente fuor dall ntervallo:. c è un errore nella stma del valore. c è un errore nella stma dell errore 3. l confronto non è corretto perché le condzon non sono le stesse Confronto d due msure Esempo (conservazone della uanttà d moto) p.49 ± 0.04 kg m/s p.56 ± 0.06 kg m/s 9

10 gl ntervall s sovrappongono und possamo concludere che pp altrment, o le msure sono sbaglate (errore spermentale) o gl error sono sottostmat Consderamo la dfferenza p-p : pp ± p p p ± p Stmamo l errore sulla dfferenza p-p : Il valore pù grande per p-p s ha per pp p e p p - p da cu p-p p p' p p l valore pù basso s ha per pp - p e p p p da cu p-p p p' - (p p ) n conclusone l errore nella dfferenza p-p è (p p ): p-p p p' ± (p p ) Regola: Se le grandezze e sono msurate con error e e - allora ota: s è utlzzato l smbolo perché:. non abbamo ancora una defnzone precsa degl error n goco. sarà defnta come regola pù precsa. 0

11 Questo costtusce l prmo esempo d propagazone dell errore. 8 PROPORZIOALITA DI U GRAFICO Molte legg fsche mplcano la proporzonaltà fra due grandezze. Consderamo p.e. la legge d Hook per l allungamento d una molla: dove k è una costante. el caso n cu F sa la forza peso del carco (massa m), s ha una relazone lneare tra allungamento e massa che può essere verfcato grafcamente: F k g k m

12 Tenendo conto delle barre d errore la relazone lneare può essere verfcata (b) o non verfcata (c). L ncertezza può essere su entrambe le varabl:

13 9 ERRORI RELATIVI S defnsce errore relatvo l rapporto tra l errore e la mglor stma: n genere s ha << e und l errore relatvo s puo esprmere come percentuale. Esempo: f50± cm allora n termn d errore relatvo s ha: f 0.0 coè % 50 f In termn d errore percentuale s può stablre schematcamente che: un errore del 0% corrsponde a msure rozze un errore del - % corrsponde a msure buone un errore mnore del % è dffcle da ottenere n laboratoro. 0 MOLTIPLICAZIOE DI DUE VALORI DI MISURA Utlzzando l errore relatvo s può scrvere: 3

14 ± ± dove s è utlzzato l valore assoluto perché l errore deve essere una uanttà postva. Esempo: se s ha un errore del 3% allora: 3 ± 00 und: Consderamo per esempo la uanttà d moto: pmv m v m m ± v v m ± v l valore pù elevato per p s ha prendendo massm valor per m e v: p m v mv m v m m v v m m v v m m v v e trascurando l termne del secondo ordne s ha: m v p mv m v analogamente s ottene l valore mnore per p: 4

15 p m v mv m v m n conclusone s ha: p m v p v m m v v m v ± m v p p ± p dove s è posto: e p p p m v m m v v Esempo: Sa m0.53 ± 0.0 kg e v 9. ± 0.3 m/s s ha: p m v kg m/s da cu m m v v % % 9. 5

16 p p % 3% 5% e und p 5 m p p kg p 00 s p4.8 ± 0. kg m/s Regola: Se e sono msurate con pccol error relatv e se, allora l errore relatvo su è uguale alla somma degl error relatv su e : 6

17 PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI Quando s effettuano msure ndrette è necessaro propagare gl error. Somma e dfferenza Abbamo gà vsto che nel caso della dfferenza: - s ha S può mostrare analogamente che nel caso della somma: s ha: Infatt l valore pù grande s ha per: e uello pù pccolo per e und - - e S può generalzzare uesta regola al caso d n somme dfferenze: 7

18 s ha:..-u-v-w...uvw. S not che anche n uesto caso s è utlzzato l smbolo perché:. non abbamo ancora una defnzone precsa degl error n goco. sarà defnta come regola pù precsa. Prodott e uozent Abbamo vsto che nel caso del prodotto: s ha: Consderamo ora l uozente e und dove ± ± ± ± l valore pù grande d s avrà per 8

19 9 ed essendo b b se b<< s ha: essendo generalmente << e und: analogamente s ottene l valore pù pccolo per: n conclusone s può scrvere:

20 ± dove s è posto e Regola: Se e sono msurate con pccol error relatv e se, allora l errore relatvo su è uguale alla somma degl error relatv su e : Generalzzando se s ha una espressone costtuta da prodott e uozent del tpo:... z uv... w l errore relatvo su sarà la somma degl error relatv sulle dverse varabl:... z z u u v v... w w s not che s è utlzzato l smbolo perché: 0

21 . non abbamo ancora una defnzone precsa degl error n goco. sarà defnta come regola pù precsa. Esemp: Prodotto d un numero esatto (dato senza errore) per una grandezza msurata: essendo B 0 s ha B B B e und B Errore n una potenza: supponamo sa n allora s ha: n generalzzando, per n s ha: n ota: vale anche nel caso d n non ntero.

22 Funzon arbtrare: b b b- b- b b s ha e svluppando ntorno a ( ) d d ( ) ( ) Se la pendenza della curva è negatva s ha analogamente, und n generale d d

23 d d Questa relazone s generalzza al caso d pù varabl. el caso d due varabl: s ha ( ), ( ), ed essendo (, ) (, ) (, ) (, ) ± s ottene con ERRORI IDIPEDETI S osserv: 3

24 Le dervazon delle regole per la propagazone degl error fatt fno a u non tengono conto che sommando e sottraendo le uanttà msurate gl error s potrebbero elmnare a vcenda. La stessa cosa vale analogamente per gl error relatv nelle moltplcazon e nelle dvson. La formula è stata rcavata per l espressone nell potes che le due uanttà sano state sovrastmate e sottostmate contemporaneamente delle ntere uanttà e ; la probabltà che uesto accada è molto bassa se gl error sono casual e ndpendent, coè calcolat per msure ndpendent. In conclusone le formule rcavate danno una sovrastma per error casual e ndpendent. S sosttusce allora la somma con la somma uadratca: < ( ) Se gl error non sono ndpendent e casual s deve usare la formula precedente che comunue costtusce un lmte superore: La regola s generalzza nel caso..-u-v-w. se gl error sono casual e ndpendent s ha: altrment..u v w...uvw. 4

25 5 La regola s estende a prodott e uozent: w uv z per error casual e ndpendent s ha:..... w w v v u u z z altrment: w w v v u u z z el caso d un generca funzone, per error casual e ndpendent: nel caso d n varabl: ( ),...,, z... z z

26 se gl error non sono casual e ndpendent s ha: z z... ote Le formule per l calcolo nel caso d una generca funzone s possono sempre utlzzare anche uando l calcolo potrebbe essere fatto passo a passo. In partcolare e preferble l calcolo dretto anzché uello passo a passo uando una varable compare pù volte perché altrment l errore potrebbe essere sovrastmato. Per esempo, se s ha: z nel calcolo passo a passo s perde la possbltà d semplfcare gl error del numeratore e uell del denomnatore relatv alla stessa varable. 6

27 3 AALISI STATISTICA DEGLI ERRORI CASUALI Dstnzone tra error casual ed error sstematc. Esemp:. Msure con cronometro: tempo d reazone errore casuale orologo n rtardo errore sstematco. Msure con rghello: error d nterpolazone tra le tacche errore casuale rghello deformato errore sstematco 3. Error d parallasse: sa sstematc sa casual Trattamento degl error Casual trattamento statstco Sstematc accuratezza dell espermento. Meda e devazone standard Esempo: S sano effettuate le seguent msure per la grandezza : s ha 7, 7, 7, 73, 7 7

28 dove è l valore medo d. In generale, se s hanno valor: Calcolamo la devazon Prova d d d 0 8

29 S not che: d d s consderano und gl scart uadratc d : ( ) ( ) 0 d ( ) chamata devazone standard o scarto uadratco medo. Indca uanto n meda le msure s dscostano dal valor medo. Prova ( ) d d. d.8 5 l ncertezza meda delle (sngole) msure è

30 Devazone standard corretta: ( ) (del campone) corregge la tendenza a sottostmare nel caso d pccol campon. el caso d, per esempo, l ncertezza è gnota perché l valor medo concde con l unca msura e non s ha nessuna nformazone sull ncertezza. Usando la devazone standard della popolazone s avrebbe 0, mentre la devazone standard del 0 campone fornsce pù correttamente. 0 La dfferenza è rlevante solo per pccolo. ell esempo precedente, 5 s ha: In ogn caso è meglo utlzzare la d.s. del campone perché dà una pù grande. 30

31 4 DEVIAZIOE STADARD COME ICERTEZZA ELLA SIGOLA MISURA S può dmostrare che se le msure sono dstrbute normalmente e vengono rpetute pù volte, allora l 68% delle msure gace nell ntervallo ± è l ncertezza da assocare alla sngola msura, nfatt se l numero s msure è grande, è una stma affdable del valore vero. Al 68 % la sngola msura è entro dal rsultato corretto. Esempo Msura della costante k d una molla L ncertezza k calcolata per una molla attraverso molte msure dovrebbe essere valda per tutte le molle (se non sono troppo dfferent). s ha: k 86, 85, 84, 89, 86, 88, 88,85, 83, 85 k m e.9 m k m 3

32 se per la a molla abbamo 70% k gace nell ntervallo k 7 m 7± m, con una confdenza del 5 DEVIAZIOE STADARD DELLA MEDIA Se è suffcentemente grande s ha: dove e ell esempo precedente s ha: è la devazone standard della meda k k m k 85.9 ± 0. 6 m è l ncertezza da assocare alla sngola msura, aumentando l numero d msure sostanzalmente non vara. 3

33 è l ncertezza da assocare al valor medo, dmnusce al crescere d : al crescere d la stma del valor medo mglora e und s rduce l ncertezza. S not che, essendo lentamente la precsone cresce Anche se gl error casual possono essere rdott effettuando un numero grande d msure, gl error sstematc pongono un lmte alla precsone: ( ) ( ) casual sstematc 33

34 6 OZIOI FODAMETALI DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA Spazo degl event e campo d probabltà Spazo degl event: l nseme F assocato ad un dato espermento, reale o concettuale, tale che ogn suo sottonseme sa n corrspondenza bunvoca con rsultat dell espermento stesso. Possamo dstnguere tra event semplc e event compost Event semplc (o elementar) non sono scomponbl n altr event. Event compost: scomponbl n un certo numero d event semplc. Lo spazo degl event F comprende tutt possbl sottonsem che s possono formare con rsultat dell espermento. Il partcolare sottonseme d F che comprende tutt e solo gl event semplc vene detto U, esso comprende und tutt possbl rsultat drett dell espermento e solo ess. Ogn evento composto s può consderare come un sottonseme dell nseme U e la famgla F de sottonsem d U è lo spazo degl event dell espermento n uestone. Se paragonamo l evento semplce ad un punto geometrco ogn rsultato elementare dell espermento è rappresentato da uno ed un solo punto. L nseme d tutt punt U è detto campo d probabltà. Tutt gl event conness con l dato espermento sono rappresentat da un nseme d punt n numero maggore o uguale a. 34

35 Relazon tra event Ad ogn evento A corrsponde un evento A, detto complemento d A n U, che contene tutt punt d U non compres n A. Se A U allora A 0. Defnamo AB l evento del campo U somma (o unone) degl event A e B Dcamo che A è contenuto n B uando A è un sottonseme d B Defnamo congunto l evento AB del campo U, ntersezone degl event A e B Se A e B sono event del campo d probabltà, anche AB, AB, A e B sono event del campo. Qund l campo delle probabltà e un nseme chuso rspetto alle operazon d unone, ntersezone e complemento. Gl assom del calcolo delle probabltà I assoma: Dato un campo d probabltà costtuto da punt E, E,.., assumamo che a cascun punto E sa assocata una grandezza msurable non negatva p P[E ], detta probabltà d E. 35

36 II assoma La probabltà P[A] assocata ad un evento composto A, costtuto da punt E, E,.., è data dalla somma delle probabltà de sngol punt che la costtuscono: P[A] P[E ] P[E ] III assoma La probabltà dell evento certo vale S ha come conseguenza: P[U] evento certo 0<P[A]< evento casuale P[U ]0 evento mpossble Inoltre: P[A]-P[ A] Se l evento A è contenuto nell evento B: P[A] P[B] P[AB]P[A] 36

37 P[B-A]P[B]-P[A] Dagl assom segue anche la defnzone classca d probabltà. Se c sono cas possbl e und event semplc s ha: c P[U] P[ E ] Inoltre essendo euprobabl P[E ]/c per ogn. Se a sono cas favorevol, allora: P[A] a P[ E ] ap[ E ] a c Teorema dell addzone el caso d event ncompatbl A e B: P[AB]P[A]P[B] Se gl event non sono ncompatbl è necessaro sottrarre la probabltà dell ntersezone degl event per non contare due volte punt comun ad A e B P[AB]P[A]P[B]-P[AB] el caso generale d n event s ha: P[A A. A n ] P[A ]P[A ] P[A n ] nota come dsuguaglanza d Boole. 37

38 Il segno d uguaglanza s ha nel caso partcolare d event mutuamente esclusv. Probabltà subordnata (o condzonata) el caso n cu l verfcars dell evento A sa condzonato dal verfcars dell evento B s defnsce la probabltà subordnata: P[A B] S può rcavare la seguente relazone: P[AB] P[A B] P[B] P[A B] rappresenta la probabltà dell evento P[AB] nel sottonseme B d U. Infatt nel caso d B U s ha: P[A] P[A] P[U]. Teorema della moltplcazone Dalla defnzone d probabltà condzonata s ha la regola delle probabltà composte: P[AB] P[A B]P[B] che nel caso d n event dventa: P[B A]P[A] P[A A A3... An ] P[A]P[A A]P[A3 AA ]...P[A n AA...An-] 38

39 Se due event sono stocastcamente ndpendent, sgnfca che deve essere: P[A B] P[A] e P[B A] P[B] e und l teorema della moltplcazone dventa: P[AB] P[A]P[B] S not che se A è ndpendente da B anche B deve essere ndpendente da A (relazone d smmetra degl event ndpendent). In generale, per n event s ha: P n A n P [ A ] la probabltà del prodotto d event ndpendent è uguale al prodotto delle probabltà de sngol event. Esempo 0 pallne: 0 banche, 6 rosse e 4 blu. Qual è la probabltà che ne vengano estratte una per colore? Se s rmettono le pallne estratte gl event sono ndpendent altrment no. Se ndpendent s ha: 39

40 0 6 4 P se dpendent e s suppone la seguente seuenza, banca, rossa, blu, s ha: P S not che s otterrebbe lo stesso rsultato anche con una seuenza dversa. 7 DISTRIBUZIOI E ISTOGRAMMI Supponamo d effettuare 0 msure della varable : 6, 4, 6, 8, 3, 4, 5, 4, 6, 5 ordnando valor ottenut: 3 4,4,4 5, 5 6, 6, 6 8 possamo costrure la seguente tabella: k Valor k n k 3 n 4 n n n n n 6 40

41 Calcolamo l valore medo: ( 3 4) ( 5)... 8 In generale s ha: con k ma k k n k k ma k n k Introducamo la frazone d volte n cu compare la msura k : F k nk valor d F k specfcano la dstrbuzone de dat. S ha und: 4

42 con kma F k k k ma k k F k Rappresentamo le msure su un stogramma: condzone d normalzzazone Fk Xk In generale, se s hanno msure contnue, non è detto che s rpetano gl stess valor (dscret): 6.4, 3.9, 5., 4.6,.7, 3.8, 5., 3.9, 5.3, 5.4 s consderano allora degl ntervall: Intervall Event

43 Chamamo Δ k la larghezza del k-esmo ntervallo (n generale uguale per tutt k); f k l altezza corrspondente al k-esmo ntervallo è scelta n modo che l prodotto f k Δ k sa la frazone d msure che cadono n uell ntervallo. fk Xk per esempo: f Δ 0.3 (4-3) 0.3 3/0 d tutte le msure sono cadute nell ntervallo (f k Δ k corrsponde a F k del caso precedente) 8 DISTRIBUZIOE LIMITE Aumentando l numero d msure s ottene un solo pcco approssmatvamente smmetrco: 43

44 fk Xk 00 msure Aumentando ancora l numero d msure s possono restrngere gl ntervall: fk Xk 000 Per, contnuando a rdurre le dmenson degl ntervall ed aumentando l loro numero, la dstrbuzone tende a dventare una curva contnua. 44

45 fk Xk Dstrbuzone lmte. f()d frazone d msure che cadono nell ntervallo compreso tra e d b a f ( ) d frazone d msure che cadono nell ntervallo compreso tra a e b Se s sono effettuate un numero grande d msure. 45

46 f()d rappresenta la probabltà d trovare un msura nell ntervallo compreso tra e d b a f ( ) d rappresenta la probabltà d trovare un msura nell ntervallo compreso tra a e b f ( ) d Condzone d normalzzazone. La forma della dstrbuzone è legata alla precsone della msura 46

47 Abbamo vsto che per una dstrbuzone dscreta s ha: k ma k F k k con F k f k Δ k f( k )d k e und se d k 0 ( ) s ha: f ( ) d essendo l valor medo della uanttà ( ) X ( ) f ( ) d s ha: 9 LA DISTRIBUZIOE ORMALE Se l errore è casuale s dstrburà smmetrcamente ntorno al valore vero, la dstrbuzone sarà centrata sul valore vero e smmetrca: 47

48 Consderamo la funzone d Gauss o dstrbuzone normale: e dove è l parametro d larghezza Se X è l valore vero s ha: centrata su X. e ( X ) La condzone d normalzzazone è: f ( ) d 48

49 ponendo: f ( X ) ( ) e dove è l fattore d normalzzazone, mponendo la condzone d normalzzazone s ha: e e ponendo -X s ottene: ( X ) d e d e ponendo /z e und ddz: L ntegrale z e dz 49

50 è un ntegrale noto e vale: e z dz e und: e z dz π da cu: e ( X ) d π π La dstrbuzone normale o d Gauss è und: G X π ( X ), ( ) e 50

51 Il valor medo s ottene dall ntegrale GX ( ) d, e ( X ) π ponendo -X s ottene: e d X e π d d ed essendo l prmo ntegrale nullo perché l ntegrando è una funzone dspar e l secondo uguale al fattore d normalzzazone con valore π s ha nfne: X Questo rsultato sarebbe esattamente vero solo se potessmo fare nfnte msure. Se faccamo un grande numero ma fnto d msure allora la nostra meda rsulta vcna a X. 5

52 Calcolamo la devazone standard per una gran numero d prove: ( ) GX, ( ) ponendo d X ( ) X e ( X ) π Questo ntegrale puo' essere rsolto e s trova: d se l numero d msure è grande. 5

53 0 DEVIAZIOE STADARD COME LIMITE DI COFIDEZA Calcolamo la probabltà che una msura sa entro dal valore vero X: X P entro ) G ( ) d ( X, X ponendo z X s ha: X P ( entro ) GX, ( ) d e π X z dz In generale possamo calcolare la probabltà che l valore cada entro t dal valore vero (dove t e' un numero postvo): 53

54 X t P ( entro t ) GX, ( ) d π X t t t z e dz L'ntegrale ottenuto e' l cosddetto ntegrale degl error e s ndca con (erf(t)) non può essere calcolato analtcamente ma s può valutarlo con un computer: La probabltà che una msura cada entro una devazone standard dal valore vero è l 68%. Se è l ncertezza n tale msura, coè scrvamo: 54

55 ± e assumamo allora abbamo una confdenza del 68% che uesto valore sa entro dal rsultato corretto. COFROTO DI UA MISURA Sgnfcato delle parole ragonevolmente confdent che le msure sano comprese n ± Possamo dare un valore uanttatvo effettuando msure: ± c attendamo che l 68% delle msure cada n tale ntervallo. Se sceglamo ± allora l 95% delle msure c aspettamo cadano n uesto ntervallo. Qund l lvello d confdenza dpende dall ntervallo scelto. Confronto con un valore noto Supponamo d aver fatto msure da cu s ottene ± 55

56 è la devazone standard della meda se è stato rcavato facendo la meda delle msure. Abbamo vsto che l valore è accettable se ep < dove ep è l valore noto con cu confrontamo le nostre msure, ma non abbamo una msura della bontà dell accordo. Faccamo potes a) la dstrbuzone delle msure è normale e centrata su esp b) è l parametro d larghezza della dstrbuzone defnamo t ep Possamo calcolare (per esempo da una tabella), da una dstrbuzone normale, la probabltà d trovare un valore che dffersce d t o pù : P(al d fuor d t)p(entro t) Se uesta probabltà è grande allora la dscrepanza ep è ragonevole e accettable. 56

57 Per esempo se t allora una dscrepanza d è altamente probable ed è und non sgnfcatva. Vceversa una dscrepanza d 3 o maggore è poco probable. Il lmte tra accettabltà e naccettabltà d una dscrepanza dpende dal lvello al dsotto del uale gudchamo che sa ragonevolmente mprobable, per esempo 5%: Allora è naccettable. P(al d fuor d ) 4.6% MEDIE PESATE Come combnare msure separate? Esempo, msure Msura d A: A ± A Msura d B: B ± B Se s effettua la meda artmetca: A B s da eguale peso alle msure senza tener conto dell ncertezza, che n generale possono essere dverse. Calcolamo la msura pù probable. 57

58 58 Le msure sano dstrbute normalmente, se X è l valore vero, le probabltà d ottenere A e B sono rspettvamente: ( ) ) ( A A X A A e P ( ) ) ( B B X B B e P se le msure sono ndpendent s ha ) ( ) ( ), ( χ e P P P B A B A B A dove ( ) ( ) B B A A X X χ è la somma de uadrat: Per l prncpo della massma verosmglanza la mglor stma d X s ha uando la probabltà è massma e und χ è mnmo:

59 59 0 B B A A X X X χ da cu, rcavando X, s ottene: B A B B A A be st defnendo pes: A w A B w B s ha: B A B B A A be st w w w w Il valore stmato s avvcna alla msura che pesa maggormente, coè uella che ha una ncertezza mnore: B A A w B w < >

60 Se s hanno msure: ±, ±, 3 ± 3,.., ± w w con w ote: w A B proporzonale all nverso del uadrato w A se w propagando gl error s ottene: B A B w 60

61 6 3 COVARIAZA E CORRELAZIOE Supponamo che per msurare la uanttà (,) s msurno coppe d valor, da cu s possono rcavare valor d: ( ), Assumamo d avere pccole ncertezze e che tutt numer, sano vcn rspettvamente a e allora s può approssmare: ( ) ( ) ( ) ( ),, dove le dervate sono calcolate nel punto, e sono und tutte ugual. S ha: ( ) ( ) ( ),

62 6 Essendo l secondo e l terzo termne null s ha: ( ), L devazone standard degl valor è ( ) e sosttuendo le relazon precedent ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Defnendo covaranza d e la uanttà :

63 ( )( ) (s not che ha dmenson d una varanza ( )) s ottene: Questa espressone fornsce la devazone standard d sa che le msure sano o non sano ndpendent e dstrbute normalmente. Se le grandezze sono ndpendent, dopo molte msure, la covaranza tende a zero. ( ) La covaranza dpende dal segno de termn ( ). Ess possono essere entramb sempre postv (sovrastma), entramb sempre negatv (sottostma) o sempre dscord, solo se non sono ndpendent. Se nvece sono ndpendent l prodotto d uest termn potrà essere postvo o negatvo e und la somma per un gran numero d valor sarà nulla. e 63

64 64 Qund per msure e ndpendent s ha: Se le msure e non sono ndpendent s ha 0 le msure e sono correlate. S può dmostrare che vale la dsuguaglanza d Schwarz: da cu s ha:

65 65 coè und costtusce un lmte superore per l ncertezza d sa che gl error su e sano o non sano ndpendent e normalmente dstrbut.

66 Coeffcente d correlazone Consderamo due varabl msurate e Voglamo verfcare se esste una relazone lneare tra esse: AB Possamo per esempo applcare l metodo de mnm uadrat e po conoscendo l errore verfcare se punt gaccono suffcentemente vcn alla retta d regressone. Se non conoscamo l errore dobbamo agre dversamente. 66

67 otamo che una relazone lneare mplca che le varabl sano correlate (anche se n generale possono essere legate da una relazone non necessaramente lneare). Defnamo l coeffcente d correlazone: r ( )( ) ( ) ( ) dalla dsuguaglanza d Schwarz s ha: r nfatt se vale la relazone lneare: A per ogn (, ) allora s ha anche: A B B e und, sottraendo membro a membro: B ( ) 67

68 per ualunue, e sosttuendo n r: r B ( ) ( ( ) ) B B B ± Se B>0 allora r, se B<0 allora r-, nel caso d correlazone lneare. ella pratca, se le varabl sono correlate lnearmente r per grande se le varabl non sono correlate r 0 per grande se r la correlazone è negatva. SIGIFICATO QUATITATIVO DI r Sa P ( r ro) la probabltà che msure d varabl non correlate dano un coeffcente d correlazone r pù grande d un partcolare r o. Questa probabltà può essere rcavata, per esempo da tabelle: 68

69 ota: per r 0 s ha 0 perché r è una varable contnua e und la probabltà d ottenere esattamente un valore è nulla se P è grande le varabl non sono correlate se P è pccolo le varabl sono correlate Al crescere d la probabltà che le msure non correlate dano r dmnusce, nfatt per s ha 0 r o mnore d ualunue r o ). r ( und P ( r r o ) 5% correlazone sgnfcatva P ( r r o ) % correlazone altamente sgnfcatva 69

70 Esempo: 3 r o 0.7 s ha P ( r r o ) 5% non possamo dre che le varabl sano correlate 3 r o 0.9 s ha P ( r r o ) 9% non possamo dre che le varabl sano correlate 6 r o 0.7 s ha P ( r r o ) % non è suffcente per dre che le varabl sano correlate. 0 r o 0.7 s ha P ( r r o ) 0.% la correlazone è altamente sgnfcatva. 70

71 ALCUE PRECISAZIOI SUI COCETTI DI COVARIAZA E CORRELAZIOE Per varabl aleatore ndpendent la covaranza e und anche l coeffcente d correlazone, sono null. Tuttava non è vero l contraro: la covaranza e la correlazone possono essere nulle ma le varabl dpendent: Indpendenza delle varabl mplca correlazone nulla Correlazone nulla non mplca necessaramente ndpendenza delle varabl S può formulare l seguente Teorema: Condzone necessara ma non suffcente affnché due varabl sano ndpendent è che esse non sano correlate Il coeffcente d correlazone non può essere preso und come ndcatore assoluto d dpendenza tra due varabl, esso può ndcare se tra le varabl c è dpendenza lneare: se r ± esste dpendenza lneare (postva o negatva) Consderamo l seguente esempo. 7

72 Sano U e V due varabl con la stessa dstrbuzone d probabltà, sano XUV e YU-V, per esempo U sa l lanco d un dado e V l lanco d un secondo dado, allora: und: u v e u v u v 0 0 ( )( ) 0 La covaranza (e und anche l coeffcente d correlazone) è nulla ma le varabl (X e Y) non sono ndpendent. Infne s not che se la correlazone tra due varabl non è lneare l coeffcente d correlazone r perde d sgnfcato, und non può essere utlzzato per determnare l grado d legame tra le varabl stesse. In uest cas s deve far uso del rapporto d correlazone emprca d Pearson. 7