METODI DI MISURA LEZIONI DEL CORSO DI FISICA I E METODI DI MISURA. Enrico Ferrero

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "METODI DI MISURA LEZIONI DEL CORSO DI FISICA I E METODI DI MISURA. Enrico Ferrero"

Transcript

1 METODI DI MISURA LEZIOI DEL CORSO DI FISICA I E METODI DI MISURA Enrco Ferrero

2 ITRODUZIOE Error come ncertezze: non sono sbagl, sono nevtabl e devono essere rdott l pù possble. Inevtabltà degl error nella msura d grandezze fsche: cause evtabl e ntrnseche, error trascurabl e mportanza dell errore. Importanza del conoscere gl error: verfca d teore tramte esperment Esempo: Stma della denstà dell oro a 8 carat Supponamo la denstà dell oro ρ oro 5.5 g cm -3 e la denstà d una lega ρ lega 3.8 g cm -3 Vengono effettuate le seguent stme: Esperto A: valore 5 g cm -3 compreso tra 3.5 g cm -3 e 6.5 g cm -3 Esperto B: valore 3.9 g cm -3 compreso tra 3.7 g cm -3 e 4. g cm -3 S osserva che:. B è pù precso ma anche la msura d A è corretta.. Gl ntervall s sovrappongono dunue le msure sono compatbl e corrette. 3. La stma d A è nutlzzable perché nell ntervallo cadono entramb valor d denstà della lega e dell oro. 4. La conclusone d B è che l campone sa costtuto da una lega.

3 LA STIMA DEGLI ERRORI ELLA LETTURA DELLE SCALE Interpolazone tra le ncson Esemp : rghello e voltmetro el caso del rghello s ha: mglor stma 36 mm ntervallo probable tra 35.5 mm e 36.5 mm (mezza dvsone) el caso del voltmetro s ha: mglor stma 5.3 volt (valore nterpolato) Intervallo probable da 5. volt a 5.4 volt Convenzone: 3

4 se non è specfcato nulla s assume come errore metà dell ntervallo tra le ncson. Esempo:.7 sgnfca che gace tra.65 e.75. La sensbltà d uno strumento (o per meglo dre l'errore d sensbltà) può venr defnta come la mnma varazone della grandezza n esame che s resce ad apprezzare n modo obettvo. el caso d strument tarat la sensbltà corrsponde und al mnmo ntervallo d valor apprezzable medante lo strumento. Per strument dgtal (coè dotat d un dspla numerco) uesto valore è una untà sull'ultma cfra esbta dallo strumento. Per strument con scala graduata d norma e l pù pccolo ntervallo n cu e dvsa la scala. In alcun cas però (per esempo un regolo con dvson n mm) può essere lecto valutare a occho la mezza dvsone. 3 LA STIMA DEGLI ERRORI ELLE MISURE RIPETIBILI Esempo: Msura del perodo d un pendolo, msure rpetute:.3,.4,.5,.4 (s) La mglor stma è.4 (valor medo) Mnmo:.3 e massmo.5 costtuscono l ntervallo probable L mportanza delle msure statstche: metod statstc. on sempre è possble rpetere le msure Alcun error non sono elmnabl con metod statstc, e vengono rpetut n cascuna msura: error sstematc. 4

5 4 RAPPRESETAZIOE ED UTILIZZO DEGLI ERRORI Il rsultato d una msura deve essere scrtto nella forma: Esempo: Mglor stma:.4 s Intervallo probable.3-.5 s Qund n forma compatta s ha: Mglor stma ± errore.4 ± 0. s Regola: Valore msurato d ± La mglor stma è Ed è compresa tra: - e è l errore, l ncertezza della msura e una uanttà postva. on sempre possamo essere cert (00%) che l valore msurato sa compreso nell ntervallo - e, possamo però stmare, n senso statstco, un lvello d confdenza (p.e. 70%, 90% etc.) 5

6 5 CIFRE SIGIFICATIVE Degl error L errore, n uanto tale, non può essere stmato con troppa precsone, per esempo scrvere: g9.8 ± m/s è assurdo. Regola: S deve arrotondare l errore ad una sola cfra sgnfcatva. Esempo: g9.8 ± 0.0 m/s Eccezone: Se la a cfra sgnfcatva è allora s aggunge una a cfra Esempo: 0.4 Infatt, se s ponesse 0. s sottovaluterebbe l errore del 40 % 6

7 De rsultat Valutato l errore d una msura s devono consderare le cfre sgnfcatve ne rsultat. Esempo: Scrvere v ± 30 m/s, è assurdo! L espressone corretta è: v6050 ± 30 m/s Regola: L ultma cfra sgnfcatva n ualunue rsultato deve essere dello stesso ordne d grandezza (nella stessa poszone decmale) dell errore. Esemp: S msura 9.8, se 0.3 allora 9.8 ± 0.3 se 3 allora 93 ± 3 se 30 allora 90 ± 30 ota : e calcol è utle tenere cfra n pù d uella rchesta nel rsultato fnale. ota : 7

8 Le dmenson fsche dell errore sono le stesse della grandezza stmata el caso d numer molto grand o pccol per cu sa convenente usare la notazone scentfca s scrve per esempo: (.6 ± 0.05) 0-9 C che e pù charo che: ± C Eccezone: Se s può trattenere una cfra sgnfcatva n pù, per esempo: l 7.6 ± con l arrotondamento (8 ± ) s perderebbe nformazone 6 DISCREPAZA Dscrepanza: dfferenza tra due valor msurat della stessa grandezza La dscrepanza può essere o non essere sgnfcatva: esempo: Ω 40 ± 5 ohm Ω 4 ± 8 ohm la dscrepanza e, molto mnore dell errore su Ω, und non sgnfcatva, gl ntervall d errore delle due msure s sovrappongono. Se nvece è: 8

9 Ω 35 ± ohm Ω 45 ± ohm la dscrepanza è sgnfcatva, gl ntervall d errore delle due msure non s sovrappongono. Se l errore del valore stmato (d confronto) e molto pù pccolo d uello che può essere fatto n una msura d laboratoro, allora l valore stmato vene assunto come esatto. Per esempo l valore della veloctà della luce stmato è: c ± m/s Altre volte può succedere che l valore stmato sa solo una vaga ndcazone, come per esempo l ndce d rfrazone. 7 COFROTO VALORI MISURATI-DATI Se l valore accettato cade nell ntervallo d ncertezza della msura allora va bene, se leggermente fuor va ancora bene, se completamente fuor dall ntervallo:. c è un errore nella stma del valore. c è un errore nella stma dell errore 3. l confronto non è corretto perché le condzon non sono le stesse Confronto d due msure Esempo (conservazone della uanttà d moto) p.49 ± 0.04 kg m/s p.56 ± 0.06 kg m/s 9

10 gl ntervall s sovrappongono und possamo concludere che pp altrment, o le msure sono sbaglate (errore spermentale) o gl error sono sottostmat Consderamo la dfferenza p-p : pp ± p p p ± p Stmamo l errore sulla dfferenza p-p : Il valore pù grande per p-p s ha per pp p e p p - p da cu p-p p p' p p l valore pù basso s ha per pp - p e p p p da cu p-p p p' - (p p ) n conclusone l errore nella dfferenza p-p è (p p ): p-p p p' ± (p p ) Regola: Se le grandezze e sono msurate con error e e - allora ota: s è utlzzato l smbolo perché:. non abbamo ancora una defnzone precsa degl error n goco. sarà defnta come regola pù precsa. 0

11 Questo costtusce l prmo esempo d propagazone dell errore. 8 PROPORZIOALITA DI U GRAFICO Molte legg fsche mplcano la proporzonaltà fra due grandezze. Consderamo p.e. la legge d Hook per l allungamento d una molla: dove k è una costante. el caso n cu F sa la forza peso del carco (massa m), s ha una relazone lneare tra allungamento e massa che può essere verfcato grafcamente: F k g k m

12 Tenendo conto delle barre d errore la relazone lneare può essere verfcata (b) o non verfcata (c). L ncertezza può essere su entrambe le varabl:

13 9 ERRORI RELATIVI S defnsce errore relatvo l rapporto tra l errore e la mglor stma: n genere s ha << e und l errore relatvo s puo esprmere come percentuale. Esempo: f50± cm allora n termn d errore relatvo s ha: f 0.0 coè % 50 f In termn d errore percentuale s può stablre schematcamente che: un errore del 0% corrsponde a msure rozze un errore del - % corrsponde a msure buone un errore mnore del % è dffcle da ottenere n laboratoro. 0 MOLTIPLICAZIOE DI DUE VALORI DI MISURA Utlzzando l errore relatvo s può scrvere: 3

14 ± ± dove s è utlzzato l valore assoluto perché l errore deve essere una uanttà postva. Esempo: se s ha un errore del 3% allora: 3 ± 00 und: Consderamo per esempo la uanttà d moto: pmv m v m m ± v v m ± v l valore pù elevato per p s ha prendendo massm valor per m e v: p m v mv m v m m v v m m v v m m v v e trascurando l termne del secondo ordne s ha: m v p mv m v analogamente s ottene l valore mnore per p: 4

15 p m v mv m v m n conclusone s ha: p m v p v m m v v m v ± m v p p ± p dove s è posto: e p p p m v m m v v Esempo: Sa m0.53 ± 0.0 kg e v 9. ± 0.3 m/s s ha: p m v kg m/s da cu m m v v % % 9. 5

16 p p % 3% 5% e und p 5 m p p kg p 00 s p4.8 ± 0. kg m/s Regola: Se e sono msurate con pccol error relatv e se, allora l errore relatvo su è uguale alla somma degl error relatv su e : 6

17 PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI Quando s effettuano msure ndrette è necessaro propagare gl error. Somma e dfferenza Abbamo gà vsto che nel caso della dfferenza: - s ha S può mostrare analogamente che nel caso della somma: s ha: Infatt l valore pù grande s ha per: e uello pù pccolo per e und - - e S può generalzzare uesta regola al caso d n somme dfferenze: 7

18 s ha:..-u-v-w...uvw. S not che anche n uesto caso s è utlzzato l smbolo perché:. non abbamo ancora una defnzone precsa degl error n goco. sarà defnta come regola pù precsa. Prodott e uozent Abbamo vsto che nel caso del prodotto: s ha: Consderamo ora l uozente e und dove ± ± ± ± l valore pù grande d s avrà per 8

19 9 ed essendo b b se b<< s ha: essendo generalmente << e und: analogamente s ottene l valore pù pccolo per: n conclusone s può scrvere:

20 ± dove s è posto e Regola: Se e sono msurate con pccol error relatv e se, allora l errore relatvo su è uguale alla somma degl error relatv su e : Generalzzando se s ha una espressone costtuta da prodott e uozent del tpo:... z uv... w l errore relatvo su sarà la somma degl error relatv sulle dverse varabl:... z z u u v v... w w s not che s è utlzzato l smbolo perché: 0

21 . non abbamo ancora una defnzone precsa degl error n goco. sarà defnta come regola pù precsa. Esemp: Prodotto d un numero esatto (dato senza errore) per una grandezza msurata: essendo B 0 s ha B B B e und B Errore n una potenza: supponamo sa n allora s ha: n generalzzando, per n s ha: n ota: vale anche nel caso d n non ntero.

22 Funzon arbtrare: b b b- b- b b s ha e svluppando ntorno a ( ) d d ( ) ( ) Se la pendenza della curva è negatva s ha analogamente, und n generale d d

23 d d Questa relazone s generalzza al caso d pù varabl. el caso d due varabl: s ha ( ), ( ), ed essendo (, ) (, ) (, ) (, ) ± s ottene con ERRORI IDIPEDETI S osserv: 3

24 Le dervazon delle regole per la propagazone degl error fatt fno a u non tengono conto che sommando e sottraendo le uanttà msurate gl error s potrebbero elmnare a vcenda. La stessa cosa vale analogamente per gl error relatv nelle moltplcazon e nelle dvson. La formula è stata rcavata per l espressone nell potes che le due uanttà sano state sovrastmate e sottostmate contemporaneamente delle ntere uanttà e ; la probabltà che uesto accada è molto bassa se gl error sono casual e ndpendent, coè calcolat per msure ndpendent. In conclusone le formule rcavate danno una sovrastma per error casual e ndpendent. S sosttusce allora la somma con la somma uadratca: < ( ) Se gl error non sono ndpendent e casual s deve usare la formula precedente che comunue costtusce un lmte superore: La regola s generalzza nel caso..-u-v-w. se gl error sono casual e ndpendent s ha: altrment..u v w...uvw. 4

25 5 La regola s estende a prodott e uozent: w uv z per error casual e ndpendent s ha:..... w w v v u u z z altrment: w w v v u u z z el caso d un generca funzone, per error casual e ndpendent: nel caso d n varabl: ( ),...,, z... z z

26 se gl error non sono casual e ndpendent s ha: z z... ote Le formule per l calcolo nel caso d una generca funzone s possono sempre utlzzare anche uando l calcolo potrebbe essere fatto passo a passo. In partcolare e preferble l calcolo dretto anzché uello passo a passo uando una varable compare pù volte perché altrment l errore potrebbe essere sovrastmato. Per esempo, se s ha: z nel calcolo passo a passo s perde la possbltà d semplfcare gl error del numeratore e uell del denomnatore relatv alla stessa varable. 6

27 3 AALISI STATISTICA DEGLI ERRORI CASUALI Dstnzone tra error casual ed error sstematc. Esemp:. Msure con cronometro: tempo d reazone errore casuale orologo n rtardo errore sstematco. Msure con rghello: error d nterpolazone tra le tacche errore casuale rghello deformato errore sstematco 3. Error d parallasse: sa sstematc sa casual Trattamento degl error Casual trattamento statstco Sstematc accuratezza dell espermento. Meda e devazone standard Esempo: S sano effettuate le seguent msure per la grandezza : s ha 7, 7, 7, 73, 7 7

28 dove è l valore medo d. In generale, se s hanno valor: Calcolamo la devazon Prova d d d 0 8

29 S not che: d d s consderano und gl scart uadratc d : ( ) ( ) 0 d ( ) chamata devazone standard o scarto uadratco medo. Indca uanto n meda le msure s dscostano dal valor medo. Prova ( ) d d. d.8 5 l ncertezza meda delle (sngole) msure è

30 Devazone standard corretta: ( ) (del campone) corregge la tendenza a sottostmare nel caso d pccol campon. el caso d, per esempo, l ncertezza è gnota perché l valor medo concde con l unca msura e non s ha nessuna nformazone sull ncertezza. Usando la devazone standard della popolazone s avrebbe 0, mentre la devazone standard del 0 campone fornsce pù correttamente. 0 La dfferenza è rlevante solo per pccolo. ell esempo precedente, 5 s ha: In ogn caso è meglo utlzzare la d.s. del campone perché dà una pù grande. 30

31 4 DEVIAZIOE STADARD COME ICERTEZZA ELLA SIGOLA MISURA S può dmostrare che se le msure sono dstrbute normalmente e vengono rpetute pù volte, allora l 68% delle msure gace nell ntervallo ± è l ncertezza da assocare alla sngola msura, nfatt se l numero s msure è grande, è una stma affdable del valore vero. Al 68 % la sngola msura è entro dal rsultato corretto. Esempo Msura della costante k d una molla L ncertezza k calcolata per una molla attraverso molte msure dovrebbe essere valda per tutte le molle (se non sono troppo dfferent). s ha: k 86, 85, 84, 89, 86, 88, 88,85, 83, 85 k m e.9 m k m 3

32 se per la a molla abbamo 70% k gace nell ntervallo k 7 m 7± m, con una confdenza del 5 DEVIAZIOE STADARD DELLA MEDIA Se è suffcentemente grande s ha: dove e ell esempo precedente s ha: è la devazone standard della meda k k m k 85.9 ± 0. 6 m è l ncertezza da assocare alla sngola msura, aumentando l numero d msure sostanzalmente non vara. 3

33 è l ncertezza da assocare al valor medo, dmnusce al crescere d : al crescere d la stma del valor medo mglora e und s rduce l ncertezza. S not che, essendo lentamente la precsone cresce Anche se gl error casual possono essere rdott effettuando un numero grande d msure, gl error sstematc pongono un lmte alla precsone: ( ) ( ) casual sstematc 33

34 6 OZIOI FODAMETALI DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA Spazo degl event e campo d probabltà Spazo degl event: l nseme F assocato ad un dato espermento, reale o concettuale, tale che ogn suo sottonseme sa n corrspondenza bunvoca con rsultat dell espermento stesso. Possamo dstnguere tra event semplc e event compost Event semplc (o elementar) non sono scomponbl n altr event. Event compost: scomponbl n un certo numero d event semplc. Lo spazo degl event F comprende tutt possbl sottonsem che s possono formare con rsultat dell espermento. Il partcolare sottonseme d F che comprende tutt e solo gl event semplc vene detto U, esso comprende und tutt possbl rsultat drett dell espermento e solo ess. Ogn evento composto s può consderare come un sottonseme dell nseme U e la famgla F de sottonsem d U è lo spazo degl event dell espermento n uestone. Se paragonamo l evento semplce ad un punto geometrco ogn rsultato elementare dell espermento è rappresentato da uno ed un solo punto. L nseme d tutt punt U è detto campo d probabltà. Tutt gl event conness con l dato espermento sono rappresentat da un nseme d punt n numero maggore o uguale a. 34

35 Relazon tra event Ad ogn evento A corrsponde un evento A, detto complemento d A n U, che contene tutt punt d U non compres n A. Se A U allora A 0. Defnamo AB l evento del campo U somma (o unone) degl event A e B Dcamo che A è contenuto n B uando A è un sottonseme d B Defnamo congunto l evento AB del campo U, ntersezone degl event A e B Se A e B sono event del campo d probabltà, anche AB, AB, A e B sono event del campo. Qund l campo delle probabltà e un nseme chuso rspetto alle operazon d unone, ntersezone e complemento. Gl assom del calcolo delle probabltà I assoma: Dato un campo d probabltà costtuto da punt E, E,.., assumamo che a cascun punto E sa assocata una grandezza msurable non negatva p P[E ], detta probabltà d E. 35

36 II assoma La probabltà P[A] assocata ad un evento composto A, costtuto da punt E, E,.., è data dalla somma delle probabltà de sngol punt che la costtuscono: P[A] P[E ] P[E ] III assoma La probabltà dell evento certo vale S ha come conseguenza: P[U] evento certo 0<P[A]< evento casuale P[U ]0 evento mpossble Inoltre: P[A]-P[ A] Se l evento A è contenuto nell evento B: P[A] P[B] P[AB]P[A] 36

37 P[B-A]P[B]-P[A] Dagl assom segue anche la defnzone classca d probabltà. Se c sono cas possbl e und event semplc s ha: c P[U] P[ E ] Inoltre essendo euprobabl P[E ]/c per ogn. Se a sono cas favorevol, allora: P[A] a P[ E ] ap[ E ] a c Teorema dell addzone el caso d event ncompatbl A e B: P[AB]P[A]P[B] Se gl event non sono ncompatbl è necessaro sottrarre la probabltà dell ntersezone degl event per non contare due volte punt comun ad A e B P[AB]P[A]P[B]-P[AB] el caso generale d n event s ha: P[A A. A n ] P[A ]P[A ] P[A n ] nota come dsuguaglanza d Boole. 37

38 Il segno d uguaglanza s ha nel caso partcolare d event mutuamente esclusv. Probabltà subordnata (o condzonata) el caso n cu l verfcars dell evento A sa condzonato dal verfcars dell evento B s defnsce la probabltà subordnata: P[A B] S può rcavare la seguente relazone: P[AB] P[A B] P[B] P[A B] rappresenta la probabltà dell evento P[AB] nel sottonseme B d U. Infatt nel caso d B U s ha: P[A] P[A] P[U]. Teorema della moltplcazone Dalla defnzone d probabltà condzonata s ha la regola delle probabltà composte: P[AB] P[A B]P[B] che nel caso d n event dventa: P[B A]P[A] P[A A A3... An ] P[A]P[A A]P[A3 AA ]...P[A n AA...An-] 38

39 Se due event sono stocastcamente ndpendent, sgnfca che deve essere: P[A B] P[A] e P[B A] P[B] e und l teorema della moltplcazone dventa: P[AB] P[A]P[B] S not che se A è ndpendente da B anche B deve essere ndpendente da A (relazone d smmetra degl event ndpendent). In generale, per n event s ha: P n A n P [ A ] la probabltà del prodotto d event ndpendent è uguale al prodotto delle probabltà de sngol event. Esempo 0 pallne: 0 banche, 6 rosse e 4 blu. Qual è la probabltà che ne vengano estratte una per colore? Se s rmettono le pallne estratte gl event sono ndpendent altrment no. Se ndpendent s ha: 39

40 0 6 4 P se dpendent e s suppone la seguente seuenza, banca, rossa, blu, s ha: P S not che s otterrebbe lo stesso rsultato anche con una seuenza dversa. 7 DISTRIBUZIOI E ISTOGRAMMI Supponamo d effettuare 0 msure della varable : 6, 4, 6, 8, 3, 4, 5, 4, 6, 5 ordnando valor ottenut: 3 4,4,4 5, 5 6, 6, 6 8 possamo costrure la seguente tabella: k Valor k n k 3 n 4 n n n n n 6 40

41 Calcolamo l valore medo: ( 3 4) ( 5)... 8 In generale s ha: con k ma k k n k k ma k n k Introducamo la frazone d volte n cu compare la msura k : F k nk valor d F k specfcano la dstrbuzone de dat. S ha und: 4

42 con kma F k k k ma k k F k Rappresentamo le msure su un stogramma: condzone d normalzzazone Fk Xk In generale, se s hanno msure contnue, non è detto che s rpetano gl stess valor (dscret): 6.4, 3.9, 5., 4.6,.7, 3.8, 5., 3.9, 5.3, 5.4 s consderano allora degl ntervall: Intervall Event

43 Chamamo Δ k la larghezza del k-esmo ntervallo (n generale uguale per tutt k); f k l altezza corrspondente al k-esmo ntervallo è scelta n modo che l prodotto f k Δ k sa la frazone d msure che cadono n uell ntervallo. fk Xk per esempo: f Δ 0.3 (4-3) 0.3 3/0 d tutte le msure sono cadute nell ntervallo (f k Δ k corrsponde a F k del caso precedente) 8 DISTRIBUZIOE LIMITE Aumentando l numero d msure s ottene un solo pcco approssmatvamente smmetrco: 43

44 fk Xk 00 msure Aumentando ancora l numero d msure s possono restrngere gl ntervall: fk Xk 000 Per, contnuando a rdurre le dmenson degl ntervall ed aumentando l loro numero, la dstrbuzone tende a dventare una curva contnua. 44

45 fk Xk Dstrbuzone lmte. f()d frazone d msure che cadono nell ntervallo compreso tra e d b a f ( ) d frazone d msure che cadono nell ntervallo compreso tra a e b Se s sono effettuate un numero grande d msure. 45

46 f()d rappresenta la probabltà d trovare un msura nell ntervallo compreso tra e d b a f ( ) d rappresenta la probabltà d trovare un msura nell ntervallo compreso tra a e b f ( ) d Condzone d normalzzazone. La forma della dstrbuzone è legata alla precsone della msura 46

47 Abbamo vsto che per una dstrbuzone dscreta s ha: k ma k F k k con F k f k Δ k f( k )d k e und se d k 0 ( ) s ha: f ( ) d essendo l valor medo della uanttà ( ) X ( ) f ( ) d s ha: 9 LA DISTRIBUZIOE ORMALE Se l errore è casuale s dstrburà smmetrcamente ntorno al valore vero, la dstrbuzone sarà centrata sul valore vero e smmetrca: 47

48 Consderamo la funzone d Gauss o dstrbuzone normale: e dove è l parametro d larghezza Se X è l valore vero s ha: centrata su X. e ( X ) La condzone d normalzzazone è: f ( ) d 48

49 ponendo: f ( X ) ( ) e dove è l fattore d normalzzazone, mponendo la condzone d normalzzazone s ha: e e ponendo -X s ottene: ( X ) d e d e ponendo /z e und ddz: L ntegrale z e dz 49

50 è un ntegrale noto e vale: e z dz e und: e z dz π da cu: e ( X ) d π π La dstrbuzone normale o d Gauss è und: G X π ( X ), ( ) e 50

51 Il valor medo s ottene dall ntegrale GX ( ) d, e ( X ) π ponendo -X s ottene: e d X e π d d ed essendo l prmo ntegrale nullo perché l ntegrando è una funzone dspar e l secondo uguale al fattore d normalzzazone con valore π s ha nfne: X Questo rsultato sarebbe esattamente vero solo se potessmo fare nfnte msure. Se faccamo un grande numero ma fnto d msure allora la nostra meda rsulta vcna a X. 5

52 Calcolamo la devazone standard per una gran numero d prove: ( ) GX, ( ) ponendo d X ( ) X e ( X ) π Questo ntegrale puo' essere rsolto e s trova: d se l numero d msure è grande. 5

53 0 DEVIAZIOE STADARD COME LIMITE DI COFIDEZA Calcolamo la probabltà che una msura sa entro dal valore vero X: X P entro ) G ( ) d ( X, X ponendo z X s ha: X P ( entro ) GX, ( ) d e π X z dz In generale possamo calcolare la probabltà che l valore cada entro t dal valore vero (dove t e' un numero postvo): 53

54 X t P ( entro t ) GX, ( ) d π X t t t z e dz L'ntegrale ottenuto e' l cosddetto ntegrale degl error e s ndca con (erf(t)) non può essere calcolato analtcamente ma s può valutarlo con un computer: La probabltà che una msura cada entro una devazone standard dal valore vero è l 68%. Se è l ncertezza n tale msura, coè scrvamo: 54

55 ± e assumamo allora abbamo una confdenza del 68% che uesto valore sa entro dal rsultato corretto. COFROTO DI UA MISURA Sgnfcato delle parole ragonevolmente confdent che le msure sano comprese n ± Possamo dare un valore uanttatvo effettuando msure: ± c attendamo che l 68% delle msure cada n tale ntervallo. Se sceglamo ± allora l 95% delle msure c aspettamo cadano n uesto ntervallo. Qund l lvello d confdenza dpende dall ntervallo scelto. Confronto con un valore noto Supponamo d aver fatto msure da cu s ottene ± 55

56 è la devazone standard della meda se è stato rcavato facendo la meda delle msure. Abbamo vsto che l valore è accettable se ep < dove ep è l valore noto con cu confrontamo le nostre msure, ma non abbamo una msura della bontà dell accordo. Faccamo potes a) la dstrbuzone delle msure è normale e centrata su esp b) è l parametro d larghezza della dstrbuzone defnamo t ep Possamo calcolare (per esempo da una tabella), da una dstrbuzone normale, la probabltà d trovare un valore che dffersce d t o pù : P(al d fuor d t)p(entro t) Se uesta probabltà è grande allora la dscrepanza ep è ragonevole e accettable. 56

57 Per esempo se t allora una dscrepanza d è altamente probable ed è und non sgnfcatva. Vceversa una dscrepanza d 3 o maggore è poco probable. Il lmte tra accettabltà e naccettabltà d una dscrepanza dpende dal lvello al dsotto del uale gudchamo che sa ragonevolmente mprobable, per esempo 5%: Allora è naccettable. P(al d fuor d ) 4.6% MEDIE PESATE Come combnare msure separate? Esempo, msure Msura d A: A ± A Msura d B: B ± B Se s effettua la meda artmetca: A B s da eguale peso alle msure senza tener conto dell ncertezza, che n generale possono essere dverse. Calcolamo la msura pù probable. 57

58 58 Le msure sano dstrbute normalmente, se X è l valore vero, le probabltà d ottenere A e B sono rspettvamente: ( ) ) ( A A X A A e P ( ) ) ( B B X B B e P se le msure sono ndpendent s ha ) ( ) ( ), ( χ e P P P B A B A B A dove ( ) ( ) B B A A X X χ è la somma de uadrat: Per l prncpo della massma verosmglanza la mglor stma d X s ha uando la probabltà è massma e und χ è mnmo:

59 59 0 B B A A X X X χ da cu, rcavando X, s ottene: B A B B A A be st defnendo pes: A w A B w B s ha: B A B B A A be st w w w w Il valore stmato s avvcna alla msura che pesa maggormente, coè uella che ha una ncertezza mnore: B A A w B w < >

60 Se s hanno msure: ±, ±, 3 ± 3,.., ± w w con w ote: w A B proporzonale all nverso del uadrato w A se w propagando gl error s ottene: B A B w 60

61 6 3 COVARIAZA E CORRELAZIOE Supponamo che per msurare la uanttà (,) s msurno coppe d valor, da cu s possono rcavare valor d: ( ), Assumamo d avere pccole ncertezze e che tutt numer, sano vcn rspettvamente a e allora s può approssmare: ( ) ( ) ( ) ( ),, dove le dervate sono calcolate nel punto, e sono und tutte ugual. S ha: ( ) ( ) ( ),

62 6 Essendo l secondo e l terzo termne null s ha: ( ), L devazone standard degl valor è ( ) e sosttuendo le relazon precedent ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Defnendo covaranza d e la uanttà :

63 ( )( ) (s not che ha dmenson d una varanza ( )) s ottene: Questa espressone fornsce la devazone standard d sa che le msure sano o non sano ndpendent e dstrbute normalmente. Se le grandezze sono ndpendent, dopo molte msure, la covaranza tende a zero. ( ) La covaranza dpende dal segno de termn ( ). Ess possono essere entramb sempre postv (sovrastma), entramb sempre negatv (sottostma) o sempre dscord, solo se non sono ndpendent. Se nvece sono ndpendent l prodotto d uest termn potrà essere postvo o negatvo e und la somma per un gran numero d valor sarà nulla. e 63

64 64 Qund per msure e ndpendent s ha: Se le msure e non sono ndpendent s ha 0 le msure e sono correlate. S può dmostrare che vale la dsuguaglanza d Schwarz: da cu s ha:

65 65 coè und costtusce un lmte superore per l ncertezza d sa che gl error su e sano o non sano ndpendent e normalmente dstrbut.

66 Coeffcente d correlazone Consderamo due varabl msurate e Voglamo verfcare se esste una relazone lneare tra esse: AB Possamo per esempo applcare l metodo de mnm uadrat e po conoscendo l errore verfcare se punt gaccono suffcentemente vcn alla retta d regressone. Se non conoscamo l errore dobbamo agre dversamente. 66

67 otamo che una relazone lneare mplca che le varabl sano correlate (anche se n generale possono essere legate da una relazone non necessaramente lneare). Defnamo l coeffcente d correlazone: r ( )( ) ( ) ( ) dalla dsuguaglanza d Schwarz s ha: r nfatt se vale la relazone lneare: A per ogn (, ) allora s ha anche: A B B e und, sottraendo membro a membro: B ( ) 67

68 per ualunue, e sosttuendo n r: r B ( ) ( ( ) ) B B B ± Se B>0 allora r, se B<0 allora r-, nel caso d correlazone lneare. ella pratca, se le varabl sono correlate lnearmente r per grande se le varabl non sono correlate r 0 per grande se r la correlazone è negatva. SIGIFICATO QUATITATIVO DI r Sa P ( r ro) la probabltà che msure d varabl non correlate dano un coeffcente d correlazone r pù grande d un partcolare r o. Questa probabltà può essere rcavata, per esempo da tabelle: 68

69 ota: per r 0 s ha 0 perché r è una varable contnua e und la probabltà d ottenere esattamente un valore è nulla se P è grande le varabl non sono correlate se P è pccolo le varabl sono correlate Al crescere d la probabltà che le msure non correlate dano r dmnusce, nfatt per s ha 0 r o mnore d ualunue r o ). r ( und P ( r r o ) 5% correlazone sgnfcatva P ( r r o ) % correlazone altamente sgnfcatva 69

70 Esempo: 3 r o 0.7 s ha P ( r r o ) 5% non possamo dre che le varabl sano correlate 3 r o 0.9 s ha P ( r r o ) 9% non possamo dre che le varabl sano correlate 6 r o 0.7 s ha P ( r r o ) % non è suffcente per dre che le varabl sano correlate. 0 r o 0.7 s ha P ( r r o ) 0.% la correlazone è altamente sgnfcatva. 70

71 ALCUE PRECISAZIOI SUI COCETTI DI COVARIAZA E CORRELAZIOE Per varabl aleatore ndpendent la covaranza e und anche l coeffcente d correlazone, sono null. Tuttava non è vero l contraro: la covaranza e la correlazone possono essere nulle ma le varabl dpendent: Indpendenza delle varabl mplca correlazone nulla Correlazone nulla non mplca necessaramente ndpendenza delle varabl S può formulare l seguente Teorema: Condzone necessara ma non suffcente affnché due varabl sano ndpendent è che esse non sano correlate Il coeffcente d correlazone non può essere preso und come ndcatore assoluto d dpendenza tra due varabl, esso può ndcare se tra le varabl c è dpendenza lneare: se r ± esste dpendenza lneare (postva o negatva) Consderamo l seguente esempo. 7

72 Sano U e V due varabl con la stessa dstrbuzone d probabltà, sano XUV e YU-V, per esempo U sa l lanco d un dado e V l lanco d un secondo dado, allora: und: u v e u v u v 0 0 ( )( ) 0 La covaranza (e und anche l coeffcente d correlazone) è nulla ma le varabl (X e Y) non sono ndpendent. Infne s not che se la correlazone tra due varabl non è lneare l coeffcente d correlazone r perde d sgnfcato, und non può essere utlzzato per determnare l grado d legame tra le varabl stesse. In uest cas s deve far uso del rapporto d correlazone emprca d Pearson. 7

Precisione e Cifre Significative

Precisione e Cifre Significative Precsone e Cfre Sgnfcatve Un numero (una msura) è una nformazone! E necessaro conoscere la precsone e l accuratezza dell nformazone. La precsone d una msura è contenuta nel numero d cfre sgnfcatve fornte

Dettagli

Laboratorio 2B A.A. 2012/2013. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica

Laboratorio 2B A.A. 2012/2013. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica Laboratoro B A.A. 01/013 Elaborazone Dat Lab B CdL Fsca Lab B CdL Fsca Elaborazone dat spermental Prncpo della massma verosmglanza Quando eseguamo una sere d msure relatve ad una data grandezza fsca, quanto

Dettagli

Teoria degli errori. La misura implica un giudizio sull uguaglianza tra la grandezza incognita e la grandezza campione. Misure indirette: velocita

Teoria degli errori. La misura implica un giudizio sull uguaglianza tra la grandezza incognita e la grandezza campione. Misure indirette: velocita Teora degl error Processo d msura defnsce una grandezza fsca. Sstema oggetto. Apparato d msura 3. Sstema d confronto La msura mplca un gudzo sull uguaglanza tra la grandezza ncognta e la grandezza campone

Dettagli

La t di Student. Per piccoli campioni si definisce la variabile casuale. = s N. detta t di Student.

La t di Student. Per piccoli campioni si definisce la variabile casuale. = s N. detta t di Student. Pccol campon I parametr della dstrbuzone d una popolazone sono n generale ncognt devono essere stmat dal campone de dat spermental per pccol campon (N N < 30) z = (x µ)/ )/σ non ha pù una dstrbuzone gaussana

Dettagli

* PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE *

* PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE * * PROBABILITÀ - SCHEDA N. LE VARIABILI ALEATORIE *. Le varabl aleatore Nella scheda precedente abbamo defnto lo spazo camponaro come la totaltà degl est possbl d un espermento casuale; abbamo vsto che

Dettagli

Elementi di statistica

Elementi di statistica Element d statstca Popolazone statstca e campone casuale S chama popolazone statstca l nseme d tutt gl element che s voglono studare (ndvdu, anmal, vegetal, cellule, caratterstche delle collettvtà..) e

Dettagli

Algebra 2. 6 4. Sia A un anello commutativo. Si ricorda che in un anello commutativo vale il teorema binomiale, cioè. (a + b) n = a i b n i i.

Algebra 2. 6 4. Sia A un anello commutativo. Si ricorda che in un anello commutativo vale il teorema binomiale, cioè. (a + b) n = a i b n i i. Testo Fac-smle 2 Durata prova: 2 ore 8 1. Un gruppo G s dce semplce se suo unc sottogrupp normal sono 1 e G stesso. Sa G un gruppo d ordne pq con p e q numer prm tal che p < q. (a) Il gruppo G può essere

Dettagli

CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE

CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE CORRETT RPPREETZIOE DI U RIULTTO: LE CIFRE IGIFICTIVE Defnamo cfre sgnfcatve quelle cfre che esprmono realmente l rsultato d una msura, o del suo errore, coè che non sono completamente ncluse nell ntervallo

Dettagli

LA COMPATIBILITA tra due misure:

LA COMPATIBILITA tra due misure: LA COMPATIBILITA tra due msure: 0.4 Due msure, supposte affette da error casual, s dcono tra loro compatbl quando la loro dfferenza può essere rcondotta ad una pura fluttuazone statstca attorno al valore

Dettagli

Corso di. Dott.ssa Donatella Cocca

Corso di. Dott.ssa Donatella Cocca Corso d Statstca medca e applcata 3 a Lezone Dott.ssa Donatella Cocca Concett prncpale della lezone I concett prncpal che sono stat presentat sono: Mede forme o analtche (Meda artmetca semplce, Meda artmetca

Dettagli

SOLUZIONE ESERCIZI: STRUTTURA DI MERCATO. ECONOMIA INDUSTRIALE Università degli Studi di Milano-Bicocca. Christian Garavaglia

SOLUZIONE ESERCIZI: STRUTTURA DI MERCATO. ECONOMIA INDUSTRIALE Università degli Studi di Milano-Bicocca. Christian Garavaglia SOLUZIONE ESERCIZI: STRUTTURA DI MERCATO ECONOMIA INDUSTRIALE Unverstà degl Stud d Mlano-Bcocca Chrstan Garavagla Soluzone 7 a) L ndce d concentrazone C (o CR k ) è la somma delle uote d mercato (o share)

Dettagli

Capitolo 3. Cap. 3-1

Capitolo 3. Cap. 3-1 Statstca Captolo 3 Descrzone Numerca de Dat Cap. 3-1 Obettv del Captolo Dopo aver completato l captolo, sarete n grado d: Calcolare ed nterpretare la meda, la medana e la moda d un set tdd dat Trovare

Dettagli

una variabile casuale è continuase può assumere un qualunque valore in un intervallo

una variabile casuale è continuase può assumere un qualunque valore in un intervallo Varabl casual contnue Se samo nteressat alla temperatura massma gornaleraquesta è una varable casuale msurata n un ntervallo contnuoe qund è una v.c. contnua una varable casuale è contnuase può assumere

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE DI MISURE. carta millimetrata

RAPPRESENTAZIONE DI MISURE. carta millimetrata carta mllmetrata carta mllmetrata non è necessaro rportare sul foglo la tabella (ma auta; l mportante è che sta da qualche parte) carta mllmetrata 8 7 6 5 4 3 smbolo della grandezza con untà d msura!!!

Dettagli

I Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 2014/15 Nome: 29 gennaio

I Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 2014/15 Nome: 29 gennaio I Appello d Calcolo delle Probabltà Cognome: Laurea Trennale n Matematca 24/5 Nome: 29 gennao 25 Emal: Se non è espressamente ndcato l contraro, per la soluzone degl esercz è possble usare tutt rsultat

Dettagli

Laboratorio 2B A.A. 2013/2014. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica

Laboratorio 2B A.A. 2013/2014. Elaborazione Dati. Lab 2B CdL Fisica Laboratoro B A.A. 013/014 Elaborazone Dat Lab B CdL Fsca Elaborazone dat spermental Come rassumere un nseme d dat spermental? Una statstca è propro un numero calcolato a partre da dat stess. La Statstca

Dettagli

Scienze Geologiche. Corso di Probabilità e Statistica. Prove di esame con soluzioni

Scienze Geologiche. Corso di Probabilità e Statistica. Prove di esame con soluzioni Scenze Geologche Corso d Probabltà e Statstca Prove d esame con soluzon 004-005 1 Corso d laurea n Scenze Geologche - Probabltà e Statstca Appello del 1 gugno 005 - Soluzon 1. (Punt 3) In una certa zona,

Dettagli

S O L U Z I O N I. 1. Effettua uno studio qualitativo della funzione. con particolare riferimento ai seguenti aspetti:

S O L U Z I O N I. 1. Effettua uno studio qualitativo della funzione. con particolare riferimento ai seguenti aspetti: S O L U Z I O N I 1 Effettua uno studo qualtatvo della funzone con partcolare rfermento a seguent aspett: f ( ) ln( ) a) trova l domno della funzone b) ndca qual sono gl ntervall n cu f() rsulta postva

Dettagli

Rappresentazione dei numeri PH. 3.1, 3.2, 3.3

Rappresentazione dei numeri PH. 3.1, 3.2, 3.3 Rappresentazone de numer PH. 3.1, 3.2, 3.3 1 Tp d numer Numer nter, senza segno calcolo degl ndrzz numer che possono essere solo non negatv Numer con segno postv negatv Numer n vrgola moble calcol numerc

Dettagli

Strada B. Classe Velocità valore frequenza Frequ. ass Frequ. % hi Freq. Cum

Strada B. Classe Velocità valore frequenza Frequ. ass Frequ. % hi Freq. Cum Eserczo SINTESI S supponga d avere eseguto 70 msure della veloctà stantanea de vecol che transtano nelle sezon d due strade A e B. S supponga che tal msure sano state eseguta n corrspondenza d valor modest

Dettagli

Rappresentazione dei numeri

Rappresentazione dei numeri Rappresentazone de numer PH. 3.1, 3.2, 3.3 1 Tp d numer Numer nter, senza segno calcolo degl ndrzz numer che possono essere solo non negatv Numer con segno postv negatv Numer n vrgola moble calcol numerc

Dettagli

GLI ERRORI SPERIMENTALI NELLE MISURE DI LABORATORIO

GLI ERRORI SPERIMENTALI NELLE MISURE DI LABORATORIO GLI ERRORI SPERIMETALI ELLE MISURE DI LABORATORIO MISURA DI UA GRADEZZA FISICA S defnsce grandezza fsca una propretà de corp sulla quale possa essere eseguta un operazone d msura. Msurare una grandezza

Dettagli

Esame di Statistica tema A Corso di Laurea in Economia Prof.ssa Giordano Appello del 15/07/2011

Esame di Statistica tema A Corso di Laurea in Economia Prof.ssa Giordano Appello del 15/07/2011 Esame d Statstca tema A Corso d Laurea n Economa Prof.ssa Gordano Appello del /07/0 Cognome Nome atr. Teora Dmostrare che la somma degl scart dalla meda artmetca è zero. Eserczo L accesso al credto è sempre

Dettagli

METODI DI MISURA E ANALISI DATI. Enrico Ferrero. Lezioni del corso

METODI DI MISURA E ANALISI DATI. Enrico Ferrero. Lezioni del corso METODI DI MISURA E AALISI DATI Enrico Ferrero Lezioni del corso ITRODUZIOE Errori come incertezze: non sono sbagli, sono inevitabili e devono essere ridotti il più possibile. Inevitabilità degli errori

Dettagli

Capitolo 3 Covarianza, correlazione, bestfit lineari e non lineari

Capitolo 3 Covarianza, correlazione, bestfit lineari e non lineari Captolo 3 Covaranza, correlazone, bestft lnear e non lnear ) Covaranza e correlazone Ad un problema s assoca spesso pù d una varable quanttatva (es.: d una persona possamo determnare peso e altezza, oppure

Dettagli

FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA CdL in SCIENZE DELL ORGANIZZAZIONE ESAME di STATISTICA 17/09/2012

FACOLTÀ DI SOCIOLOGIA CdL in SCIENZE DELL ORGANIZZAZIONE ESAME di STATISTICA 17/09/2012 CdL n SCIENZE DELL ORGANIZZAZIONE ESAME d STATISTICA ESERCIZIO 1 (+.5+.5+3) La tabella seguente rporta la dstrbuzone d frequenza del peso X n gramm d una partta d mele provenent da un certo frutteto. X=peso

Dettagli

RICHIAMI SULLA RAPPRESENTAZIONE IN COMPLEMENTO A 2

RICHIAMI SULLA RAPPRESENTAZIONE IN COMPLEMENTO A 2 RICHIAMI SULLA RAPPRESENTAZIONE IN COMPLEMENTO A La rappresentazone n Complemento a Due d un numero ntero relatvo (.-3,-,-1,0,+1,+,.) una volta stablta la precsone che s vuole ottenere (coè l numero d

Dettagli

LE FREQUENZE CUMULATE

LE FREQUENZE CUMULATE LE FREQUENZE CUMULATE Dott.ssa P. Vcard Introducamo questo argomento con l seguente Esempo: consderamo la seguente dstrbuzone d un campone d 70 sttut d credto numero flal present nel terrtoro del comune

Dettagli

Esame di Statistica tema B Corso di Laurea in Economia Prof.ssa Giordano Appello del 15/07/2011

Esame di Statistica tema B Corso di Laurea in Economia Prof.ssa Giordano Appello del 15/07/2011 Esame d Statstca tema B Corso d Laurea n Economa Prof.ssa Gordano Appello del 15/07/011 Cognome Nome Matr. Teora Dmostrare la propretà assocatva della meda artmetca. Eserczo 1 L accesso al credto è sempre

Dettagli

Modelli descrittivi, statistica e simulazione

Modelli descrittivi, statistica e simulazione Modell descrttv, statstca e smulazone Master per Smart Logstcs specalst Roberto Cordone (roberto.cordone@unm.t) Statstca descrttva Cernusco S.N., govedì 28 gennao 2016 (9.00/13.00) 1 / 15 Indc d poszone

Dettagli

Intorduzione alla teoria delle Catene di Markov

Intorduzione alla teoria delle Catene di Markov Intorduzone alla teora delle Catene d Markov Mchele Ganfelce a.a. 2014/2015 Defnzone 1 Sa ( Ω, F, {F n } n 0, P uno spazo d probabltà fltrato. Una successone d v.a. {ξ n } n 0 defnta su ( Ω, F, {F n }

Dettagli

= = = = = 0.16 NOTA: X P(X) Evento Acquisto PC Intel Acquisto PC Celeron P(X)

= = = = = 0.16 NOTA: X P(X) Evento Acquisto PC Intel Acquisto PC Celeron P(X) ESERCIZIO 3.1 Una dtta vende computer utlzzando on-lne, utlzzando sa processor Celeron che processor Intel. Dat storc mostrano che l 80% de clent preferscono acqustare un PC con processore Intel. a) Sa

Dettagli

CARATTERISTICHE DEI SEGNALI RANDOM

CARATTERISTICHE DEI SEGNALI RANDOM CARATTERISTICHE DEI SEGNALI RANDOM I segnal random o stocastc rvestono una notevole mportanza poché sono present, pù che segnal determnstc, nella maggor parte de process fsc real. Esempo d segnale random:

Dettagli

3) Entropie condizionate, entropie congiunte ed informazione mutua

3) Entropie condizionate, entropie congiunte ed informazione mutua Argoment della Lezone ) Coppe d varabl aleatore 2) Canale dscreto senza memora 3) Entrope condzonate, entrope congunte ed nformazone mutua 4) Esemp d canal Coppe d varabl aleatore Fno ad ora è stata consderata

Dettagli

Correlazione lineare

Correlazione lineare Correlazone lneare Varable dpendente Mortaltà per crros 50 45 40 35 30 5 0 15 10 5 0 0 5 10 15 0 5 30 Consumo d alcool Varable ndpendente Metodologa per l anals de dat spermental L anals d stud con varabl

Dettagli

Propagazione degli errori statistici. Test del χ 2 per la bontà di adattamento. Metodo dei minimi quadrati.

Propagazione degli errori statistici. Test del χ 2 per la bontà di adattamento. Metodo dei minimi quadrati. Propagazone degl error statstc. Test del χ per la bontà d adattamento. Metodo de mnm quadrat. Eserctazone 14 gennao 004 1 Propagazone degl error casual Sano B 1,..., B delle varabl casual con valor attes

Dettagli

Variabili statistiche - Sommario

Variabili statistiche - Sommario Varabl statstche - Sommaro Defnzon prelmnar Statstca descrttva Msure della tendenza centrale e della dspersone d un campone Introduzone La varable statstca rappresenta rsultat d un anals effettuata su

Dettagli

Lezioni di Statistica (25 marzo 2013) Docente: Massimo Cristallo

Lezioni di Statistica (25 marzo 2013) Docente: Massimo Cristallo UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BASILICATA FACOLTA DI ECONOMIA Corso d laurea n Economa Azendale Lezon d Statstca (25 marzo 2013) Docente: Massmo Crstallo QUARTILI Dvdono la dstrbuzone n quattro part d uguale

Dettagli

Relazioni tra variabili: Correlazione e regressione lineare

Relazioni tra variabili: Correlazione e regressione lineare Dott. Raffaele Casa - Dpartmento d Produzone Vegetale Modulo d Metodologa Spermentale Febbrao 003 Relazon tra varabl: Correlazone e regressone lneare Anals d relazon tra varabl 6 Produzone d granella (kg

Dettagli

IL RUMORE NEGLI AMPLIFICATORI

IL RUMORE NEGLI AMPLIFICATORI IL RUMORE EGLI AMPLIICATORI Defnzon S defnsce rumore elettrco (electrcal nose) l'effetto delle fluttuazon d corrente e/o d tensone sempre present a termnal degl element crcutal e de dspostv elettronc.

Dettagli

LA CALIBRAZIONE NELL ANALISI STRUMENTALE

LA CALIBRAZIONE NELL ANALISI STRUMENTALE LA CALIBRAZIONE NELL ANALISI STRUMENTALE La maggor parte delle anals chmche sono ogg condotte medante metod strumental (spettrometra d assorbmento ed emssone a dverse λ, metod elettrochmc, spettrometra

Dettagli

Sommario. Obiettivo. Quando studiarla? La concentrazione. X: carattere quantitativo tra le unità statistiche. Quando studiarla?

Sommario. Obiettivo. Quando studiarla? La concentrazione. X: carattere quantitativo tra le unità statistiche. Quando studiarla? Corso d Statstca a.a. 9- uando studarla? Obettvo Dagramma d Lorenz Rapporto d concentrazone rea d concentrazone Esemp Sommaro La concentrazone uando studarla? Obettvo X: carattere quanttatvo tra le untà

Dettagli

x 0 x 50 x 20 x 100 CASO 1 CASO 2 CASO 3 CASO 4 X n X n X n X n

x 0 x 50 x 20 x 100 CASO 1 CASO 2 CASO 3 CASO 4 X n X n X n X n Corso d Statstca docente: Domenco Vstocco La msura della varabltà per varabl qualtatve ordnal Lo studo della varabltà per varabl qualtatve ordnal può essere condotto servendos degl ndc d omogenetà/eterogenetà

Dettagli

Il logaritmo discreto in Z p Il gruppo moltiplicativo Z p delle classi resto modulo un primo p è un gruppo ciclico.

Il logaritmo discreto in Z p Il gruppo moltiplicativo Z p delle classi resto modulo un primo p è un gruppo ciclico. Il logartmo dscreto n Z p Il gruppo moltplcatvo Z p delle class resto modulo un prmo p è un gruppo cclco. Defnzone (Logartmo dscreto). Sa p un numero prmo e sa ā una radce prmtva n Z p. Sa ȳ Z p. Il logartmo

Dettagli

PREVEDONO: Capitolo 17 del libro di testo. Copyright 2005 The McGraw-Hill Companies srl

PREVEDONO: Capitolo 17 del libro di testo. Copyright 2005 The McGraw-Hill Companies srl Le Inferenze sul modello d regressone PREVEDONO: Assunzone d normaltà degl error e nferenza su parametr Anals della Varanza Inferenza per la rsposta meda e la prevsone Anals de resdu Valor anomal Captolo

Dettagli

NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA

NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI CONFRONTO DI PIU MEDIE IL METODO DI ANALISI DELLA VARIANZA IL PROBLEMA Supponamo d voler studare l effetto d 4 dverse dete su un campone casuale d 4

Dettagli

Integrazione numerica dell equazione del moto per un sistema lineare viscoso a un grado di libertà. Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

Integrazione numerica dell equazione del moto per un sistema lineare viscoso a un grado di libertà. Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1 Integrazone numerca dell equazone del moto per un sstema lneare vscoso a un grado d lbertà Prof. Adolfo Santn - Dnamca delle Strutture 1 Introduzone 1/2 L equazone del moto d un sstema vscoso a un grado

Dettagli

La soluzione delle equazioni differenziali con il metodo di Galerkin

La soluzione delle equazioni differenziali con il metodo di Galerkin Il metodo de resdu pesat per gl element fnt a soluzone delle equazon dfferenzal con l metodo d Galerkn Tra le procedure generalmente adottate per formulare e rsolvere le equazon dfferenzal con un metodo

Dettagli

Definizione di campione

Definizione di campione Defnzone d campone S consder una popolazone fnta U = {1, 2,..., N}. Defnamo campone ordnato d dmensone n qualsas sequenza d n etchette della popolazone anche rpetute. s = ( 1, 2,..., n ), dove j è l etchetta

Dettagli

Campo di applicazione

Campo di applicazione Unverstà del Pemonte Orentale Corso d Laurea n Botecnologa Corso d Statstca Medca Correlazone Regressone Lneare Corso d laurea n botecnologa - Statstca Medca Correlazone e Regressone lneare semplce Campo

Dettagli

Qualità dell adattamento di una funzione y=f(x) ad un insieme di misure (y in funzione di x)

Qualità dell adattamento di una funzione y=f(x) ad un insieme di misure (y in funzione di x) Qualtà ell aattamento una funzone y=f() a un nseme msure (y n funzone ) Date N msure coppe valor elle granezze e y, legate alla relazone y=f(;a,b), nell potes che le ncertezze sulle sano trascurabl e y

Dettagli

SERIE STORICHE, TREND, MEDIE MOBILI, REGRESSIONE Andrea Prevete

SERIE STORICHE, TREND, MEDIE MOBILI, REGRESSIONE Andrea Prevete SERIE STORICHE, TREND, MEDIE MOBILI, REGRESSIONE Andrea Prevete Una sere storca o temporale è un nseme d dat costtut da una sequenza d osservazon su un fenomeno d nteresse X, effettuate n stant (per le

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 5 REGRESSIONE LINEARE

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 5 REGRESSIONE LINEARE Matematca e statstca: da dat a modell alle scelte www.dma.unge/pls_statstca Responsabl scentfc M.P. Rogantn e E. Sasso (Dpartmento d Matematca Unverstà d Genova) STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. REGRESSIONE

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabltà Che collegamento c è tra gl strument statstc vst fno ad ora per lo studo de fenomen real e l calcolo delle probabltà? Non sempre la conoscenza delle caratterstche d un fenomeno

Dettagli

Cenni di Statistica. AA Corso di Laurea in Biologia Molecolare

Cenni di Statistica. AA Corso di Laurea in Biologia Molecolare AA 009-00 Corso d Laurea n Bologa Molecolare Cenn d Statstca Introduzone Descrvere dat (statstca descrttva) Meda artmetca Varanza Devazone standard Correlazone Dstrbuzon teorche La legge de grand numer

Dettagli

Lezione 2 a - Statistica descrittiva per variabili quantitative

Lezione 2 a - Statistica descrittiva per variabili quantitative Lezone 2 a - Statstca descrttva per varabl quanttatve Esempo 5. Nella tabella seguente sono rportat valor del tasso glcemco rlevat su 10 pazent: Pazente Glcema (mg/100cc) 1 x 1 =103 2 x 2 =97 3 x 3 =90

Dettagli

Allenamenti di matematica: Teoria dei numeri e algebra modulare Soluzioni esercizi

Allenamenti di matematica: Teoria dei numeri e algebra modulare Soluzioni esercizi Allenament d matematca: Teora de numer e algebra modulare Soluzon esercz 29 novembre 2013 1. Canguro salterno. Un canguro salterno s trova a ped d una scala nfnta che ntende salre nel seguente modo: Salta

Dettagli

CAPITOLO 3 Incertezza di misura Pagina 26

CAPITOLO 3 Incertezza di misura Pagina 26 CAPITOLO 3 Incertezza d msura Pagna 6 CAPITOLO 3 INCERTEZZA DI MISURA Le operazon d msurazone sono tutte nevtablmente affette da ncertezza e coè da un grado d ndetermnazone con l quale l processo d msurazone

Dettagli

Esercizi di econometria: serie 1

Esercizi di econometria: serie 1 Esercz d econometra: sere Eserczo E data la popolazone dell Abruzzo classcata n se categore d reddto ed n tre class d età come segue: Reddto: () L... 4.. () L. 4.. 8.. () L. 8.... (4) L..... () L.....

Dettagli

Lezione 2 le misure di sintesi: le medie

Lezione 2 le misure di sintesi: le medie Lezone le msure d sntes: le mede Cattedra d Bostatstca Dpartmento d Scenze spermental e clnche, Unverstà degl Stud G. d Annunzo d Chet-Pescara Prof. Enzo Ballone Lezone a- Statstca descrttva per varabl

Dettagli

6. Catene di Markov a tempo continuo (CMTC)

6. Catene di Markov a tempo continuo (CMTC) 6. Catene d Markov a tempo contnuo (CMTC) Defnzone Una CMTC è un processo stocastco defnto come segue: lo spazo d stato è dscreto: X{x,x 2, }. L nseme X può essere sa fnto sa nfnto numerable. L nseme de

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL

STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL STATISTICA DESCRITTIVA CON EXCEL Corso d CPS - II parte: Statstca Laurea n Informatca Sstem e Ret 2004-2005 1 Obettv della lezone Introduzone all uso d EXCEL Statstca descrttva Utlzzo dello strumento:

Dettagli

LA VARIABILITA. IV lezione di Statistica Medica

LA VARIABILITA. IV lezione di Statistica Medica LA VARIABILITA IV lezone d Statstca Medca Sntes della lezone Il concetto d varabltà Campo d varazone Dfferenza nterquartle La varanza La devazone standard Scostament med Il concetto d varabltà S defnsce

Dettagli

Modelli di variabili casuali

Modelli di variabili casuali Modell d varabl casual Un modello d v.c. è una funzone f() che assoca ad ogn valore d una v.c. X la corrspondente probabltà. Obettvo: calcolo della probabltà per tutt valor che X può assumere Per le v.c.

Dettagli

Regressione lineare con un singolo regressore

Regressione lineare con un singolo regressore Regressone lneare con un sngolo regressore Eduardo Ross 2 2 Unverstà d Pava (Italy) Marzo 2013 Ross Regressone lneare semplce Econometra - 2013 1 / 45 Outlne 1 Introduzone 2 Lo stmatore OLS 3 Esempo 4

Dettagli

C.I. di Metodologia clinica

C.I. di Metodologia clinica C.I. d Metodologa clnca I metod per la sntes e la comuncazone delle nformazon sulla salute Come possamo trarre concluson attendbl su parametr a partre dalle stme camponare? I metod per la produzone delle

Dettagli

Concetti principale della lezione precedente

Concetti principale della lezione precedente Corso d Statstca medca e applcata 6 a Lezone Dott.ssa Donatella Cocca Concett prncpale della lezone precedente I concett prncpal che sono stat presentat sono: I fenomen probablstc RR OR ROC-curve Varabl

Dettagli

urto v 2f v 2i e forza impulsiva F r F dt = i t

urto v 2f v 2i e forza impulsiva F r F dt = i t 7. Urt Sstem a due partcelle Defnzone d urto elastco, urto anelastco e mpulso L urto è un nterazone fra corp che avvene n un ntervallo d tempo normalmente molto breve, al termne del quale le quanttà d

Dettagli

ESERCIZIO 4.1 Si consideri una popolazione consistente delle quattro misurazioni 0, 3, 12 e 20 descritta dalla seguente distribuzione di probabilità:

ESERCIZIO 4.1 Si consideri una popolazione consistente delle quattro misurazioni 0, 3, 12 e 20 descritta dalla seguente distribuzione di probabilità: ESERCIZIO. S consder una popolazone consstente delle quattro msurazon,, e descrtta dalla seguente dstrbuzone d probabltà: X P(X) ¼ ¼ ¼ ¼ S estrae casualmente usando uno schema d camponamento senza rpetzone

Dettagli

Per calcolare le probabilità di Testa e Croce è possibile risolvere il seguente sistema di due equazioni in due incognite:

Per calcolare le probabilità di Testa e Croce è possibile risolvere il seguente sistema di due equazioni in due incognite: ESERCIZIO.1 Sa X la varable casuale che descrve l numero d teste ottenute nella prova lanco d tre monete truccate dove P(Croce)= x P(Testa). 1) Defnrne la dstrbuzone d probabltà ) Rappresentarla grafcamente

Dettagli

Gli errori nelle misure

Gli errori nelle misure Appunt d Msure Elettrche Gl error nelle msure Classfcazone degl error... Error sstematc...4 Accuratezza e precsone...5 Errore stmato...7 Meda, devazone meda, devazone standard e varanza d un campone d

Dettagli

Regressioni con variabili strumentali

Regressioni con variabili strumentali Regresson con varabl strumental 3 mportant mnacce alla valdtà nterna del modello: Bas dovuta alle varabl omesse, varabl correlate con X ma non osservate e che per questo non possono essere ncluse nella

Dettagli

CPM: Calcolo del Cammino Critico

CPM: Calcolo del Cammino Critico Supponamo d conoscere per ogn attvtà A = (,j) la sua durata t j t j j Calcolamo l tempo al pù presto n cu può nzare o fnre una attvtà. Supponamo d dover calcolare l tempo al pù presto n cu s possono nzare

Dettagli

1 La domanda di moneta

1 La domanda di moneta La domanda d moneta Eserczo.4 (a) Keynes elenca tre motv per detenere moneta: Scopo transattvo Scopo precauzonale Scopo speculatvo Il modello d domanda d moneta a scopo speculatvo d Keynes consdera la

Dettagli

Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa lezione 3:

Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa lezione 3: Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca Fnanzara aa 2011-2012 lezone 3: 21022012 professor Danele Rtell www.unbo.t/docdent/danele.rtell 1/31? Captalzzazone msta S usa l regme composto per l

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità alcolo delle Probabltà Quanto è possble un esto? La verosmglanza d un esto è quantfcata da un numero compreso tra 0 e. n partcolare, 0 ndca che l esto non s verfca e ndca che l esto s verfca senza dubbo.

Dettagli

,29 7. Distribuzioni di frequenza. x 1 n 1 n 1 n 1 /N n 1 /N*100 x 2 n 2 n 1 +n 2 n 2 /N n 2 /N*100

,29 7. Distribuzioni di frequenza. x 1 n 1 n 1 n 1 /N n 1 /N*100 x 2 n 2 n 1 +n 2 n 2 /N n 2 /N*100 Dstrbuzon d frequenza Varable x Frequenze Frequenze Frequenze Frequenze % cumulate relatve x 1 n 1 n 1 n 1 / n 1 /*100 x n n 1 +n n / n /*100 x k n k n 1 +.+n k = n k / n k /*100 totale 1 100 Indc sntetc

Dettagli

La sincronizzazione. (Libro) Trasmissione dell Informazione

La sincronizzazione. (Libro) Trasmissione dell Informazione La sncronzzazone (Lbro) Problem d sncronzzazone La trasmssone e la dverstà tra gl OL del trasmetttore e del rcevtore ntroducono (anche n assenza d fadng) un errore d d frequenza, d fase e d camponamento

Dettagli

Istogrammi e confronto con la distribuzione normale

Istogrammi e confronto con la distribuzione normale Istogramm e cofroto co la dstrbuzoe ormale Suppoamo d effettuare per volte la msurazoe della stessa gradezza elle stesse codzo (es. la massa d u oggetto, la tesoe d ua pla, la lughezza d u oggetto, ecc.):

Dettagli

Esercizi sulle reti elettriche in corrente continua (parte 2)

Esercizi sulle reti elettriche in corrente continua (parte 2) Esercz sulle ret elettrche n corrente contnua (parte ) Eserczo 3: etermnare gl equvalent d Thevenn e d Norton del bpolo complementare al resstore R 5 nel crcuto n fgura e calcolare la corrente che crcola

Dettagli

Relazione funzionale e statistica tra due variabili Modello di regressione lineare semplice Stima puntuale dei coefficienti di regressione

Relazione funzionale e statistica tra due variabili Modello di regressione lineare semplice Stima puntuale dei coefficienti di regressione 1 La Regressone Lneare (Semplce) Relazone funzonale e statstca tra due varabl Modello d regressone lneare semplce Stma puntuale de coeffcent d regressone Decomposzone della varanza Coeffcente d determnazone

Dettagli

1) Dato un carattere X il rapporto tra devianza entro e devianza totale è 0.25 e la devianza totale è 40. La devianza tra vale: a) 10 b) 20 c) 30

1) Dato un carattere X il rapporto tra devianza entro e devianza totale è 0.25 e la devianza totale è 40. La devianza tra vale: a) 10 b) 20 c) 30 1) Dato un carattere X l rapporto tra devanza entro e devanza totale è 0.25 e la devanza totale è 40. La devanza tra vale: a) 10 b) 20 c) 30 2) Data una popolazone normalmente dstrbuta con meda 10 e varanza

Dettagli

Capitolo 11: IL METODO DEI MINIMI QUADRATI. Nel Capitolo precedente ci siamo posti il problema di determinare la miglior retta che passa per

Capitolo 11: IL METODO DEI MINIMI QUADRATI. Nel Capitolo precedente ci siamo posti il problema di determinare la miglior retta che passa per Captolo : IL METODO DEI MINIMI QUADRATI. La mglor retta Nel Captolo precedente c samo post l problema d determnare la mglor retta che passa per cert punt spermental, ed abbamo dscusso un metodo graco.

Dettagli

{ 1, 2,..., n} Elementi di teoria dei giochi. Giovanni Di Bartolomeo Università degli Studi di Teramo

{ 1, 2,..., n} Elementi di teoria dei giochi. Giovanni Di Bartolomeo Università degli Studi di Teramo Element d teora de goch Govann D Bartolomeo Unverstà degl Stud d Teramo 1. Descrzone d un goco Un generco goco, Γ, che s svolge n un unco perodo, può essere descrtto da una Γ= NSP,,. Ess sono: trpla d

Dettagli

3 (solo esame 6 cfu) Elementi di Analisi Numerica, Probabilità e Statistica, modulo 2: Elementi di Probabilità e Statistica (3 cfu)

3 (solo esame 6 cfu) Elementi di Analisi Numerica, Probabilità e Statistica, modulo 2: Elementi di Probabilità e Statistica (3 cfu) lement d Anals Numerca, Probabltà e Statstca, modulo 2: lement d Probabltà e Statstca ( cfu) Probabltà e Statstca (6 cfu) Scrtto del 06 febbrao 205. Secondo Appello Id: A Nome e Cognome: same da 6 cfu

Dettagli

Università degli Studi di Urbino Facoltà di Economia

Università degli Studi di Urbino Facoltà di Economia Unverstà degl Stud d Urbno Facoltà d Economa Lezon d Statstca Descrttva svolte durante la prma parte del corso d corso d Statstca / Statstca I A.A. 004/05 a cura d: F. Bartolucc Lez. 8/0/04 Statstca descrttva

Dettagli

Statistica descrittiva

Statistica descrittiva Statstca descrttva. Indc d poszone. Per ndc d poszone d un nseme d dat, ordnat secondo la loro randezza, s ntendono alcun valor che cadono all nterno dell nseme. Gl ndc pù usat sono: I. eda. II. edana.

Dettagli

Esercitazioni del corso di Relazioni tra variabili. Giancarlo Manzi Facoltà di Sociologia Università degli Studi di Milano-Bicocca

Esercitazioni del corso di Relazioni tra variabili. Giancarlo Manzi Facoltà di Sociologia Università degli Studi di Milano-Bicocca Eserctazon del corso d Relazon tra varabl Gancarlo Manz Facoltà d Socologa Unverstà degl Stud d Mlano-Bcocca e-mal: gancarlo.manz@statstca.unmb.t Terza eserctazone Mlano, 8 febbrao 7 SOMMARIO TERZA ESERCITAZIONE

Dettagli

Quattro passi nella statistica per chimici

Quattro passi nella statistica per chimici Quattro pass nella statstca per chmc Lo scopo dell anals statstca applcata a sere d dat spermental è quella d ottenere nformazon per valutare la valdtà d una procedura o la accettabltà d un dato analtco.

Dettagli

Architetture aritmetiche. Corso di Organizzazione dei Calcolatori Mariagiovanna Sami

Architetture aritmetiche. Corso di Organizzazione dei Calcolatori Mariagiovanna Sami Archtetture artmetche Corso d Organzzazone de Calcolator Maragovanna Sam 27-8 8 Sommator: : Full Adder s = x y c + x y c + x y c + x y c Full Adder x y c s x y c = x y + x c + + y c c + Full Adder c x

Dettagli

Norma UNI CEI ENV 13005: Guida all'espressione dell'incertezza di misura

Norma UNI CEI ENV 13005: Guida all'espressione dell'incertezza di misura orma UI CEI EV 3005: Guda all'espressone dell'ncertezza d msura L obettvo d una msurazone è quello d determnare l valore del msurando, n altre parole della grandezza da msurare. In generale, però, l rsultato

Dettagli

Appunti di Econometria

Appunti di Econometria Appunt d Econometra ARGOMENTO [4]: VARIABILI DIPENDENTI BINARIE Mara Lusa Mancus Unverstà Boccon Novembre 200 Introduzone Ne modell econometrc studat fno ad ora la varable dpendente, y, è sempre stata

Dettagli

NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI

NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI IL LEGAME TRA DUE VARIABILI I METODI DELLA CORRELAZIONE Prof.ssa G. Sero, Prof. P. Trerotol, Cattedra d Statstca Medca, Unverstà d Bar 1/19 IL PROBLEMA

Dettagli

Soluzioni 3.1. n(n 1) (n k + 1) z n k! k + 1 n k. lim k

Soluzioni 3.1. n(n 1) (n k + 1) z n k! k + 1 n k. lim k (1) La sere bnomale è B n (z) = k=0 Con l metodo del rapporto s ottene R = lm k Soluzon 3.1 n(n 1) (n k + 1) z n k! c k c k+1 = lm k k + 1 n k lm k c k z k. k=0 1 + 1 k 1 n k = 1 (2) La multfunzone f(z)

Dettagli

LA VARIABILITA. Nella metodologia statistica si distinguono due aspetti della variabilità:

LA VARIABILITA. Nella metodologia statistica si distinguono due aspetti della variabilità: LA VARIABILITA LA VARIABILITA E L ATTITUDINE DEL FENOMENO QUANTITATIVO AD ASSUMERE DIVERSE MODALITA, O MEGLIO LA TENDENZA DI OGNI SINGOLA OSSERVAZIONE AD ASSUMERE VALORI DIFFERENTI RISPETTO AL VALORE MEDIO.

Dettagli

Adattamento di una relazione funzionale ai dati sperimentali

Adattamento di una relazione funzionale ai dati sperimentali Adattamento d una relazone 1 funzonale a dat spermental Sno ad ora abbamo vsto come può essere stmato, con un certo lvello d confdenza, l valore vero d una grandezza fsca (dretta o dervata) con l suo ntervallo

Dettagli

Interpolazione con una retta per l origine

Interpolazione con una retta per l origine 84 Captolo Stme d parametr.4 Interpolazone de dat con una curva 85 Così come abbamo dmostrato che, al fne d correggere questa sottostma (n meda) per le msure rpetute, occorre dvdere la somma de quadrat

Dettagli

Il campionamento casuale semplice

Il campionamento casuale semplice Il camponamento casuale semplce Metod d estrazone del campone. robabltà d nclusone. π = n N π j = n N n 1 N 1 Stmatore corretto del totale e della meda. Ŷ = Nȳ e ˆȲ = ȳ Varanza degl stmator corrett. V

Dettagli

Potenzialità degli impianti

Potenzialità degli impianti Unverstà degl Stud d Treste a.a. 2009-2010 Impant ndustral Potenzaltà degl mpant Impant ndustral Potenzaltà degl mpant 1 Unverstà degl Stud d Treste a.a. 2009-2010 Impant ndustral Defnzone della potenzaltà

Dettagli

Università di Cassino. Esercitazione di Statistica 1 del 4 dicembre Dott.ssa Simona Balzano

Università di Cassino. Esercitazione di Statistica 1 del 4 dicembre Dott.ssa Simona Balzano Unverstà d Cassno Eserctazone d Statstca del 4 dcembre 6 Dott.ssa Smona Balzano Eserczo Sa la varable casuale che descrve l rsultato del lanco d dad, sulle cu facce v sono numer: 5, 5, 7, 7, 9, 9. a) Defnre

Dettagli