I Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 2014/15 Nome: 29 gennaio

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1 I Appello d Calcolo delle Probabltà Cognome: Laurea Trennale n Matematca 24/5 Nome: 29 gennao 25 Emal: Se non è espressamente ndcato l contraro, per la soluzone degl esercz è possble usare tutt rsultat vst a lezone (compres quell d cu non è stata fornta la dmostrazone. PARTE I (Esercz, 2, 3 Eserczo. Una scatola contene 2 carte, d cu 9 hanno entrambe le facce rosse, 7 le hanno entrambe nere mentre 5 carte hanno una facca rossa e l altra nera. (a Dsponendo casualmente tutte le carte sul tavolo, qual è la probabltà che o veda pù facce nere che rosse? Pesco ora una sola carta dalla scatola e la depongo casualmente sul tavolo. (b Se la facca che vedo è rossa, qual è la probabltà che la facca nascosta sa nera? Soluzone. (a Sa X l numero d carte bcolor che mostrano la facca nera. Dato che c sono 5 carte bcolor, e cascuna può essere deposta sulla facca nera o sulla facca rossa con la stessa probabltà, s ha che X Bn(5, 2. Il numero totale d facce nere vale allora 7 + X mentre l numero d facce rosse vale 9 + (5 X. Dato che 7 + X 9 + (5 X equvale a X 3.5, e X può assumere solo valor nter, segue che l evento vedo pù facce nere che rosse concde con {X 4}. Pertanto la probabltà rchesta vale ( ( 5 5 P(X 4 P(X 4 + P(X (b Introducamo gl event R : pesco una carta con entrambe le facce rosse, D : pesco una carta con le facce d due color dvers e N : pesco una carta con entrambe le facce nere, che costtuscono una partzone dello spazo d probabltà, e s ha P(R , P(D 5 2, P(N Introducendo l evento A : la facca che vedo è rossa, s ha noltre P(A R, P(A D 2, P(A N, da cu, per la formula delle probabltà total, P(A P(A RP(R + P(A DP(D + P(A NP(N Infne, ntroducendo l evento B : la facca nascosta è nera, dato che P(B A P(D A, per la formula d Bayes s ottene P(D A P(A DP(D P(A %.

2 2 Eserczo 2. Consderamo un gruppo d n 365 coppe d spos. Assumamo che cascuna persona, ndpendentemente da cascun altra, sa nata n un gorno casuale d un anno non bsestle. (a Consderamo una coppa fssata: qual è la probabltà p che conug sano nat lo stesso gorno? Qual è la probabltà q che conug sano nat lo stesso mese? [Sugg. Non è necessaro semplfcare le frazon rsultant.] È possble esprmere le rsposte alle prossme domande n termn d n, p, q. Indchamo con X (rsp. Y l numero d coppe n cu conug sono nat lo stesso gorno (rsp. lo stesso mese. (b S determnno valore medo e varanza delle varabl aleatore X e Y. (c Le varabl aleatore X e Y sono ndpendent? (d S calcol la varanza d Z : Y X. Soluzone 2. (a Dett Z e W rspettvamente gorn d nascta de due conug, le varabl aleatore Z e W sono..d. con dstrbuzone unforme (dscreta nell nseme de gorn dell anno, che ndchamo con numer da a 365. P(Z a P(W a 365, da cu p P(Z W P(Z W a P(Z ap(w a a {,...,365} a {,...,365} Sa ora M l evento conug sono nat lo stesso mese. Sano A, B, C gl event defnt rspettvamente da l prmo conuge è nato n un mese d 3, 3, 28 gorn. In un anno non bsestle c sono 7 mes d 3 gorn, 4 mes d 3 gorn e mese d 28 gorn, per cu P(A , P(B , P(C , Fssato un mese d 3 gorn, la probabltà che l secondo conuge sa nato n quel mese vale ; consderazon analoghe valgono per mes d 3 e 28 gorn, per cu P(M A , P(M B, P(M C Infne, applcando la formula delle probabltà total, trovamo l valore rchesto d q: q P(M P(M AP(A + P(M BP(B + P(M CP(C (b Per cascuna coppa, la probabltà che entramb conug sano nat lo stesso gorno (rsp. lo stesso mese vale p (rsp. q, ndpendentemente da cascun altra coppa. Applcando lo schema delle prove rpetute e ndpendent, s ha X Bn(n, p mentre Y Bn(n, q, da cu E[X] np, Var[X] np( p, E[Y ] nq, Var[Y ] nq( q. (c Le varabl aleatore X e Y non sono ndpendent. Infatt se se Y (non c sono coppe cu conug sono nat lo stesso mese allora necessaramente anche X (non c sono coppe cu conug sono nat lo stesso gorno, da cu P(X, Y ; d altro canto P(X > e P(Y >, dunque P(X, Y P(X P(Y e questo basta per concludere che X e Y non sono ndpendent. (d La probabltà che n una coppa fssata due conug sano nat lo stesso mese ma non lo stesso gorno vale r : q p. Dato che la varable aleatora Z Y X conta l numero d coppe n cu conug sono nat lo stesso mese ma non lo stesso gorno, sempre per lo schema delle prove rpetute e ndpendent s ha Z Bn(n, r e dunque Var[Z] nr( r n(q p( q +p.

3 3 Eserczo 3. Sano X e Y varabl aleatore ndpendent, entrambe con dstrbuzone N(,. Defnamo qund le varabl aleatore S : X + Y e D : X Y. S rcord la defnzone Φ(x : x e 2 t2 dt. (a S esprmano le probabltà P(S > c e P(D > c, con c R, n termn della funzone Φ. (b S determn la denstà congunta delle varabl aleatore S e D. Esse sono ndpendent? (c Posto M : max{x, Y }, s mostr che la varable aleatora M è assolutamente contnua e s determn un espressone per la sua denstà. Per qual valor d p (, s ha M L p? Soluzone 3. (a Per un rsultato vsto a lezone, la somma d varabl aleatore normal ndpendent è normale, con meda e varanza ugual alla somma delle rspettve mede e varanze. In partcolare, S X + Y N(, 2. Dato che Y N(, (trasformazone lneare-affne d una normale, anche D X Y N(, 2. (b La trasformazone (x, y (s, d ϕ(x, y (x + y, x y è un dffeomorfsmo (lneare! d R 2, con nversa (s, d (x, y ϕ (s, d ( s+d 2, s d 2. Dato che det Jϕ (s, d 2 per ogn (s, d R 2, dalla formula d trasformazone della denstà s ottene f (S,D (s, d det Jϕ (s, d f (X,Y (ϕ (s, d 2 f (X,Y ( s+d 2, s d 2 2 f X( s+d 2 f Y ( s d 2 2 e 2 ( s+d 2 2 e 2 ( s d 2 2 s 2 2 e 2 e 2 f S (s f D (d, 4π 4π dove l ultma uguaglanza segue dalla formula della denstà d una varable aleatora N(µ, σ 2. Questo mostra che le varabl aleatore S e D sono ndpendent. (c Per t R s ha F M (t P(M t P(X t, Y t P(X tp(y t Φ(t 2. Dato che la funzone Φ è d classe C a tratt (anz C, segue che M è una varable aleatora assolutamente contnua con denstà f M (t F M(t 2Φ(tΦ (t 2Φ(t e 2 t2. Infne, essendo Φ(t, E[ M p ] t p f M (t dt 2 t p e 2 t2 dt. R R Resta da capre quando l ntegrale è fnto. Essendo la funzone ntegranda contnua, l ntegrale è fnto su ogn ntervallo compatto [ M, M], pertanto basta lmtars a controllare la coda dell ntegrale per t > M, con M > arbtraro. Dato che lm z z p /e 4 z2, esste M (, tale che per z > M s ha z p e 4 z2 e dunque t >M t p e 2 t2 dt Dunque M L p per ogn p (,. t >M e 4 t2 dt <. d 2 2

4 4 PARTE II (Esercz 4, 5, 6 Eserczo 4. Su uno spazo d probabltà (Ω, A, P sono defnte le varabl aleatore ndpendent ((N N, (X N, con dstrbuzon margnal X Exp( e N Geo( per ogn N. Defnamo una nuova successone (W k k N d varabl aleatore ponendo N k W k : X, ossa W k (ω : (a Per ogn k, n N e w (,, s mostr che P(W k w N k n N k (ω t n e t (n! dt. (b S mostr che la varable aleatora W k ha dstrbuzone Exp( k. X (ω ω Ω. (c La successone d varabl aleatore (W k k N ha lmte n dstrbuzone? Soluzone 4. (a S ha ( n P(W k w N k n P X w N k n ( n P X w, dove abbamo usato l ndpendenza d N k dalle (X N nell ultmo passaggo. Per un rsultato vsto a lezone n X Gamma(n,, pertanto P(W k w N k n P(Gamma(n, w f Gamma(n, (t dt t n (n! e t dt. [In altr termn, la varable aleatora W k rspetto alla probabltà condzonale P( N k n ha legge Gamma(n,.] (b La funzone d rpartzone della varable aleatora W k è data per w > da F Wk (w P(W k w P(W k w N k np(n k n ( n ( m n t n (n! e t dt (t( k m m! ( w k ( k n n k e t dt e t( k k e t dt (t( k n (n! k e k t dt, k e t dt dove lo scambo d sere e ntegrale è gustfcato dal fatto che le funzon sono postve. Dato che F W (w per w, abbamo mostrato che F W è una funzone C a tratt, dunque la varable aleatora W è assolutamente contnua con denstà ossa W Exp( k. f W (w F W (w k e k w (, (w, (c Charamente P(W k w per w, mentre per w >, per l punto precedente, lm P(W k w lm f Wk (t dt lm k k k k e k t ( dt lm e w k. k Da cò segue che la successone (W k k N non ha lmte n dstrbuzone. Supponendo nfatt per assurdo che W k W n dstrbuzone, per un opportuna varable aleatora W, s avrebbe la convergenza puntuale delle funzon d rpartzone lm k F Wk (w F W (w per ogn punto w R n cu F W è contnua, e tal punt formano un sottonseme denso d R. Ma abbamo appena mostrato che lm k F Wk (w per ogn w R, dunque s dovrebbe

5 avere F W (w per ogn w n un sottonseme denso d R. Cò non è possble n quanto lm w + F W (w per propretà general delle funzon d rpartzone. 5

6 6 Eserczo 5. Sa (λ N una successone d numer real strettamente postv tal che Λ : N λ <. Sano qund (X N varabl aleatore ndpendent, con X Pos(λ, defnte su uno spazo d probabltà (Ω, A, P. Per n N ponamo n S n : X. Defnamo nfne la varable aleatora S : Ω N {+ } medante l seguente lmte: S(ω : lm n S n(ω, che è ben defnto per q.o. ω Ω (perché?. (a S mostr che E[S] Λ e s deduca che S < q.c.. (b S mostr che lm n E[ϕ(S n ] E[ϕ(S], per ogn funzone ϕ : R R contnua e lmtata. (c S mostr che per ogn k N fssato lm P(S n k P(S k. n [Sugg. S scelga un opportuna funzone ϕ : R R... ] (d S mostr che S Pos(Λ. (e Per qual p (, s ha E[S p ] <? Per qual p (, s ha lm n S n S n L p? Soluzone 5. (a Dato che X per ogn N, la successone S n è crescente e per tale ragone l lmte che defnsce S è ben defnto. Per l teorema d convergenza monotona s ha dunque [ ] n n E[S] E lm S n lm E[S n] lm E[X ] lm λ λ Λ. n n n n N Essendo Λ < per potes, s ha E[S] < e dunque S < q.c.. (b Per defnzone s ha lm n S n S q.c., ed essendo la funzone ϕ k contnua s ha anche lm n ϕ k (S n ϕ k (S q.c.. Dato che ϕ k, per l teorema d convergenza domnata s ha lm n E[ϕ k (S n ] E[ϕ k (S]. (c Fssamo k N. Supponamo che essta una funzone ϕ : R R contnua e lmtata tale che E[ϕ(S n ] P(S n k, E[ϕ(S] P(S k. Applcando l punto precedente, s ottene lm n P(S n k P(S k. Osservamo che, essendo S n e S varabl aleatore dscrete, a valor n N, E[ϕ(S n ] N ϕ( P(S n, E[ϕ(S] N ϕ( P(S, qund dobbamo trovare una funzone ϕ : R R contnua e lmtata con la propretà che ϕ( δ k, per ogn N, ossa ϕ( se k, mentre ϕ( se k. C sono nfnte funzon con tale propretà, ad esempo s può consderare la funzone che è nulla al d fuor dell ntervallo [k 2, k + 2 ], vale nel punto centrale k d tale ntervallo ed è lneare-affne n cascun sottontervallo [k 2, k] e [k, k + 2 ]. In formule: se x (, k 2 ] 2(x k + se x [k ϕ(x : 2, k] 2(x k + se x [k, k + 2 ]. se x [k + 2,

7 7 (d Ponamo Λ n : n λ. Dato che la somma d varabl aleatore ndpendent d Posson è d Posson, s ha S n Pos(Λ n, pertanto P(S n k e (Λ n k Λn. k! Dato che Λ n Λ < per n, per l punto precedente s ha P(S k lm P(S Λ (Λk n k e, n k! per ogn k N fssato. Questo mostra che S Pos(Λ. (e S ha E[ S p ] E[S p ] p P(S p Λ Λ e!. N N Dato che lm p /2, la successone p /2 è lmtata, ossa esste C (, tale che p C2 per ogn N, qund E[ S p ] C N 2 Λ! Ce 2Λ <. Cò mostra che S L p per ogn p (,. Infne, essendo S n S, abbamo mostrato che la successone S n è domnata dalla varable aleatora S L p. Dato che S n S q.c., per un rsultato vsto a lezone segue che S n S n L p per ogn p (,.

8 8 Eserczo 6. N pallne vengono rpartte n due scatole, che chamamo A e B. Inzalmente le pallne sono tutte nella scatola B (la scatola A è vuota. In ogn stante s scegle una pallna a caso, unformemente tra le N, e la s sposta nell altra scatola. Indcando con X n l numero d pallne che s trovano nella scatola A dopo l stante n, l processo X (X n n è una catena d Markov con spazo degl stat E {,,..., N}. (a S scrva la matrce d transzone (p j,j E della Catena d Markov, mostrando che è rrducble e rcorrente postva. (b S mostr che π : c ( N, per un opportuna scelta della costante c cn (,, defnsce l unca probabltà nvarante della catena d Markov. Soluzone 6. (a S rcord che p j P(X n+ j X n. Se n un certo stante c sono pallne nella scatola A (e dunque ce ne sono N nella scatola B, all stante successvo l numero d pallne nella scatola A sarà + (se vene scelta una pallna nella scatola B oppure (se vene scelta una pallna nella scatola A. Qund N se j + p j N se j. se j {, + } S not che p,+ > per ogn,,..., N s ha 2... N; analogamente, essendo p, > per ogn,,..., N s ha N N N Questo mostra che j per ogn, j E, ossa c è un unca classe d comuncazone, vale a dre la catena è rrducble. Essendo E fnto, ed essendo ogn classe d comuncazone chusa e fnta rcorrente postva, segue che la catena è rcorrente postva. (b Affnché sa una probabltà occorre che N π, da cu c (Bnomo d Newton, 2 N ossa π ( N ( 2 N non è altro che la (denstà dscreta della dstrbuzone Bn(N, 2. Mostramo che la probabltà è reversble: π p j π j p j, ossa ( ( N N p j p j,, j E. j Se j s ha p j p j e la relazone è banalmente verfcata. Essendo la relazone smmetrca n, j, possamo dunque lmtarc a consderare l caso n cu j +. Con un calcolo esplcto s ottene: ( N p,+ ( N e analogamente ( ( N N p +, + + ( N + N! N (N!!(N! N!(N! N N! ( +!(N! + N ( N (N!!(N!, ( N.