Rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso

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1 INGEGNERIA GESTIONALE corso d Fsca Generale Prof. E. Puddu LEZIONE DEL OTTOBRE 2008 Rotazone d un corpo rgdo ntorno ad un asse fsso 1

2 Cnematca rotazonale y Supponamo d osservare un corpo rgdo sul pano XY, qund patto, che ruot ntorno al punto O. Defnamo asse d rotazone la retta perpendcolare r P al pano XY e passante per O. Per studare l moto d tutto l corpo, c occuperemo s del moto del punto P, rappresentante d tutt punt O x del corpo n questone. Il punto P, a dstanza r dall'orgne degl ass O, s muove su una crconferenza d raggo r centrata n O. Studamo l problema n coordnate polar (ovvero P=P(r, )). Notamo che la dstanza r d P dall'orgne non vara nel tempo a dfferenza dell'angolo. Qund dobbamo studare l problema dal solo punto d vsta angolare. Notamo nnanztutto che lo spazo percorso da P è l'arco d crconferenza s, per cu vale la relazone s=r Purché l'angolo sa msurato n radant. Notamo allora che s e sono drettamente proporzonal (secondo la costante d proporzonaltà r), l che sgnfca che possamo studare l moto del corpo P al varare del solo angolo! y P, t f Quando un punto P s muove dalla poszone a f, allora dremo che ha percorso un angolo = f. f P, t 2 O x

3 Cnematca rotazonale Defnamo allora veloctà angolare meda la quanttà: = f = t f t t E la veloctà angolare o veloctà angolare stantanea l lmte per t 0: = lm t 0 t = d L'untà d msura della veloctà angolare è rad s 1. Allo stesso dentco modo (che tra l'altro avevamo gà utlzzato per la cnematca traslazonale) defnamo l'accelerazone angolare come: = d 2 = d 2,, L'untà d msura d è l rad s 1. Nel caso che un corpo rgdo ruot attorno ad un asse fsso qund, tutt suo punt avranno la stessa veloctà ed accelerazone angolare n quanto queste sono ndpendent dalla poszone del punto stesso. I vettor e hanno modulo e e verso dato dalla regola della mano destra: s avvolgono tutte le a ntorno al pollce nel verso d rotazone d e, e s prende l pollce come verso per vettor! 3

4 Cnematca rotazonale Allo stesso modo con cu abbamo defnto le legg orare per la cnematca traslazonale, defnamo ora le legg orare della cnematca rotazonale, saltando tutte le dmostrazon n quanto analoghe a quelle gà vste! Per costante qund, consderamo l moto rotazonale unformemente accelerato: f = t f = t 1 2 t2 f 2 = 2 2 f 4

5 y O r v P, m Varabl angolar e lnear x Cerchamo ora una relazone tra le varabl angolar appena vste e quelle lnear studate nel moto crcolare. Il punto P s muove lungo la crconferenza. Qund la sua veloctà v è una veloctà tangenzale. Il modulo della veloctà tangenzale è v= ds = d r =r d =r Tuttava v, al contraro d, non è la stessa per tutt punt! Infatt, essendo dpendente da r, aumenterà lnearmente con la dstanza dal punto O. I punt alla perfera del nostro corpo rgdo s muoveranno qund pù velocemente rspetto a quell pù ntern. In corrspondenza del punto O punt del corpo rgdo resteranno ferm. Defnamo l'accelerazone tangenzale a t come dervata del modulo della veloctà tangenzale: a t = dv = d r =r d =r L'accelerazone centrpeta nvece, espressa n varabl angolar dvene a c = v2 r = r 2 2 =r 2 r 5

6 Energa cnetca rotazonale y v Consderamo l corpo rgdo n rotazone ntorno all'asse fsso degl esemp precedent. Ogn elemento nfntesmo del punto possede energa cnetca K data dalla relazone O r P, m x K R = K = 1 2 m v 2 Poché l'energa d un corpo è la somma dell'energa posseduta da ogn suo punto, l'energa totale del sstema è data dalla sommatora delle sngole energe K = 1 2 m v 2 = 1 2 m r 2 2 = m r 2 2 I passagg contenut nell'espressone precedente s gustfcano nel modo seguente: come vsto n Varabl angolar e lnear la veloctà tangenzale del generco punto P è l prodotto della veloctà angolare, comune a tutt punt del corpo rgdo, per la dstanza da P dal punto O. Abbamo ndcato l'energa cnetca con K R n quanto R sta per rotazonale. 6

7 Defnzone: Il momento d nerza d un corpo esteso è Energa cnetca rotazonale I= m r 2 L'untà d msura del momento d nerza è [I]=kg m 2. L'espressone per l'energa cnetca rotazonale, con questa defnzone, dventa K R = 1 2 I 2 Che, come formula, rcorda quella dell'energa cnetca traslazonale. Il momento d nerza qund, analogamente alla massa, rappresenta l'nerza, ovvero la resstenza, del corpo rspetto al moto rotatoro. Tuttava, mentre la massa è una propretà ntrnseca d un corpo, l momento d nerza dpende anche dalla forma del corpo stesso, n quanto n esso compaono le poszon r d tutt suo punt! 7

8 Come vsto qund l momento d nerza è molto mportante, n quanto goca l ruolo che la massa aveva ne mot traslazonal. Tuttava esso dpende dalla forma d un corpo, ed l suo calcolo può rsultare complcato. Inoltre l momento d nerza, dpendendo dalle coordnate de sngol punt che compongono l nostro corpo rgdo, dpende dall'asse d rotazone Z passante per l punto O. Questo sgnfca che l momento d nerza rferto allo stesso corpo rgdo, ma calcolato rspetto ad un punto O' dverso da O, sarà dfferente da quello calcolato rspetto ad O. Dato un corpo rgdo, composto dagl element m alle poszon r, l momento d nerza è defnto come Calcolo de moment d nerza I= r 2 m Passando al contnuo, che va bene per corp dens, la sommatora dventa un ntegrale I= lm m r 2 m = M r 2 dm Quest'ultmo ntegrale è spesso dffcle da calcolare. Per questa ragone c s attene a tabelle n cu moment d nerza sono gà calcolat! 8

9 Moment d nerza Qu sotto c sono moment d nerza gà calcolat d alcun corp rgd a smmetra clndrca o sferca Descrzone Fgura Momento d nerza Descrzone Fgura Momento d nerza Gusco clndrco con bas aperte d massa M e raggo R che ruota attorno al suo asse I=MR 2 Rettangolo sottle d larghezza a, profonà b e massa M che ruota attorno al suo centro d massa I= M a2 b 2 12 Sfera pena d raggo R e massa M che ruota attorno ad un suo dametro I= 2 5 MR2 Rettangolo sottle d larghezza a, profonà b e massa M che ruota attorno al punto medo della sua profonà I= Mb2 3 Ma2 12 Gusco sferco d raggo R e massa M che ruota attorno ad un suo dametro I= 2 3 MR2 9

10 Moment d nerza Qu sotto c sono moment d nerza gà calcolat d alcun corp rgd a smmetra clndrca o sferca Descrzone Fgura Momento d nerza Barra sottle d lunghezza l e massa M che ruota attorno ad un estremo I= Ml2 3 Barra sottle d lunghezza l e massa M che ruota attorno al suo centro d massa I= Ml2 12 Clndro d massa M e raggo R che ruota attorno al suo asse I= MR2 2 10

11 Il calcolo del momento d nerza è complcato anche perché camba n base alla scelta del polo O rspetto a cu è calcolato. Il teorema degl ass parallel può accorrere n auto n quanto esso dce che, se abbamo un corpo d massa M che ruota ntorno ad un asse r, l suo momento d nerza è uguale alla somma del momento d nerza calcolato rspetto ad un asse z r passante dal centro d massa I CM sommato alla sua massa moltplcata per l quadrato della dstanza d tra ass Teorema d Huygens Stener o degl ass parallel d M CM I r =I CM Md 2 r z 11

12 Momento della forza L'effcaca d una forza nel generare una rotazone è un problema che dpende dalla drezone della forza, oltre che dalla dstanza d essa dall'asse d rotazone. Immagnamo nfatt d volere aprre una porta: Se applchamo una forza nella drezone che va dalla mangla a cardn, ovvamente non metteremo ma n moto la porta stessa, n quanto la sua reazone vncolare s opporrebbe alla forza applcata appunto. È facle capre qund che per aprre una porta, la forza maggormente effcace ha drezone perpendcolare al pano della porta stessa. Allo stesso modo ragonamo sulla dstanza a cu applchamo questa forza: se tentamo d aprre una porta per mezzo d una forza perpendcolare che agsce molto vcno a cardn, dovremo utlzzare una forza molto ntensa (ovvero faremo molta fatca!). Questa è la ragone per cu le mangle sono lontane dall'asse d rotazone. Tutto questo dscorso n fsca è rassunto n un'unca grandezza vettorale che s chama momento meccanco della forza o momento torcente (torque) che s ndca con la lettera M (n Itala) o (ne paes anglosasson). Fsn( Supponamo d applcare una forza F come n r fgura ad una sbarra rgda mpernata ntorno al F O punto O (o all'asse fsso passante per O). Come s può capre dalla fgura, la componente Fcos( della forza parallela ad r (Fcos ) non ha nessun effetto n quanto essa tende ad allungare la sbarra, che è per potes rgda e non deformable! La componente perpendcolare (Fsn ) nvece è una forza tangenzale rspetto alla crconferenza centrata n O e d raggo r, per cu darà alla sbarra rgda un'accelerazone tangenzale e la metterà n rotazone ntorno al centro d rotazone O. 12

13 Momento della forza O r Fsn( F d=rsn Defnzone: Facendo rfermento alla fgura d sopra, l momento meccanco M della forza F è l vettore d modulo M=rFsn =Fd Fcos( L'untà d msura del momento meccanco è [M]=N m. La dstanza d è defnta come la dstanza tra l punto O e la retta d azone della forza, ovvero la retta su cu l vettore F gace. Da notare che l momento della forza ha senso solo se rferto ad un punto O e ad un asse d rotazone Z passante per O. Se cambo asse, camba anche l momento meccanco. Ne consegue che se due forze agscono sullo stesso corpo allora ognuna d esse avrà l suo momento meccanco! La somma de moment c drà da quale parte la forza tenderà a fare ruotare l corpo rgdo! Per convenzone s assumono postv moment delle forze che 13 tendono a dare una rotazone n senso antoraro e negatv moment delle forze che danno una rotazone n senso oraro. retta d'azone d F

14 r Momento della forza e accelerazone angolare Z O F r F t m momento meccanco nullo n quanto l'angolo tra essa ed l raggo r è =0 e d conseguenza anche sn =0. Per quanto rguarda la forza tangenzale, l'equazone d Newton ed l momento meccanco sono F T =ma t M=F T r=ma t r Poché l'accelerazone tangenzale è a t =r avremo che M=ma t r=mr r=mr 2 Studamo l caso d un punto materale d massa m che s muova su una traettora crcolare a causa d una forza tangenzale F t e d una forza (centrpeta) radale F r. La forza radale serve a mantenere l corpo sulla traettora crcolare mentre la forza tangenzale fa varare, stante per stante, l modulo della veloctà tangenzale v t fornendo un'accelerazone tangenzale a t. La forza radale possede Consderato che l momento d nerza I per un corpo puntforme d massa m che s trov a dstanza r dall'asse d rotazone è I=mr 2, ottenamo che l momento meccanco M d una forza tangenzale che agsce sulla massa m puntforme è M=mr 2 =I Nel caso che pù forze agscano sul nostro corpo avremo M =I 14

15 Lavoro, potenza ed energa nel moto rotatoro Consderamo l corpo rgdo n fgura lbero d F ruotare ntorno al punto O e la forza F che agsce su d esso. Voglamo calcolare l lavoro nfntesmo computo dalla forza F che muove O d ds l corpo facendolo ruotare d un angolo d. A P r questo spostamento angolare corrsponde una traslazone, del generco punto P, d una quanttà ds=r sn(d =r d per angol molto pccol. Il lavoro nfntesmo svolto sul generco punto P qund è dw = F d s=f sn ds=f sn r d Dove abbamo sfruttato l fatto che l prodotto scalare tra l vettore F ed l vettore ds è F ds sn (samo abtuat a vedere l prodotto scalare come funzone del coseno, ma n questo caso s scegle l seno perché n questo sstema d rfermento la componente d F parallela allo spostamento è Fsn ). Poché l momento della forza F è M=Fsn r, l lavoro della forza è dw = F sn r d =Md Dvdendo entramb membr per e rcordando che la dervata del lavoro rspetto al tempo è la potenza ottenamo P= dw =M d = M Quest'equazone fornsce la potenza erogata da una forza che mette n rotazone un corpo rgdo (CFR. W= Fv)! 15

16 Il teorema lavoro energa cnetca nel moto rotatoro Partamo dall'uguaglanza M =I =I d =I d d Moltplcando a destra e snstra per d ottenamo M d =dw =I d Integrando quest'espressone tra le poszon e f rcavamo f W = f M d = I d = 1 d d t =I d d 2 I f I 2 Ovvero l lavoro computo su d un corpo rgdo che ruota attorno ad un asse fsso dalle forze esterne è uguale alla varazone d energa cnetca rotazonale del corpo stesso. 16

17 Confronto tra moto rotatoro e moto traslazonale In questa tabella compaono le grandezze relatve al moto rotatoro e d fanco le corrspondent grandezze del moto rotatoro Veloctà lneare Accelerazone lneare Moto d traslazone Moto d rotazone attorno ad un asse fsso v= dx Veloctà angolare =d a= dv accelerazone angolare =d Forza F=ma Momento meccanco M=I Accelerazone costante v f =v at x f =x v t 1 2 at 2 Accelerazone angolare costante f = t f = t 1 2 t 2 Lavoro W= F x dx Lavoro W= M d Energa cnetca traslazonale K= 1 2 m v2 Energa cnetca rotazonale K R = 1 2 I 2 Potenza P=Fv Potenza P=M Quanttà d moto p=mv Momento della Quanttà d moto L=I Forza rsultante F = dp Momento meccanco rsultante M = dl 17

18 Moto d rotolamento d un corpo rgdo S consder un corpo rgdo d massa M a smmetra radale che rotol sul pano. Il moto d rotolamento d tale corpo rgdo è la composzone d un moto crcolare unforme con un moto traslatoro. Il moto è senza strscamento. Tal condzon sono verfcate se e solo se la veloctà d traslazone è v CM = R, dove è la veloctà angolare del moto crcolare unforme ed R è l raggo del corpo. P v P = R P v + P = R v CM = R = CM CM v CM =0 P v =2 R P v CM = R CM v Q = R Q Q v Q = R Q v Q =0 Il moto d traslazone avvene a veloctà v CM = R, l che sgnfca che ogn punto del corpo rgdo trasla esattamente a quella veloctà. Il moto rotatoro, a veloctà angolare, fa sì che la veloctà de punt P e Q sa opposta. Quando combno gl effett sovrapponendo due mot l punto Q assume veloctà nulla, l centro d massa mantene la sua veloctà v CM = R ed l punto P possede veloctà v CM =2 R. L'energa cnetca rotazonale d questo corpo s calcola per mezzo dell'espressone trovata n precedenza, prendendo come asse d rotazone quello passante per l punto Q, che è l punto ntorno al quale l corpo rotola (punto a veloctà nulla). 18

19 Moto d rotolamento d un corpo rgdo L'energa cnetca per l moto d rotolamento è qund: K R = 1 2 I Q 2 dove I Q è l momento d nerza calcolato rspetto al punto Q della fgura. Se ora applchamo l teorema degl ass parallel, rcalcolamo l momento d nerza I Q rspetto al centro d massa I Q =I CM mr 2 Da cu possamo rcalcolare l'energa cnetca rotazonale K R = 1 2 I CM mr2 2 = 1 2 I CM mr2 2 Da cu, sapendo che v CM = R, rcavamo K R = 1 2 I CM mv 2 CM Nel moto d rotolamento qund l'energa cnetca è uguale all'energa cnetca rotazonale ntorno al centro d massa sommata dell'energa cnetca traslazonale del centro d massa. 19

20 Prodotto vettorale e momento della forza x z O R M P F y Consderamo una forza F applcata ad un corpo a smmetra rotazonale come n fgura alla poszone R. Come abbamo gà vsto, solo la componente della forza perpendcolare al raggo agsce sulla rotazone, che avvene attorno all'asse z. Il momento ha modulo M=RFsn. Defnamo drezone d M come la drezone dell'asse z, e damo ad M l verso tramte la regola, gà vsta, della mano destra. Qund l vettore M s ottene per mezzo del prodotto vettorale tra R ed F Dove è l smbolo del prodotto vettore. M= R F 20

21 Momento della quanttà d moto, o angolare, d un punto materale S defnsce momento della quanttà d moto (o momento angolare) L del punto materale, calcolato rspetto al polo O, l prodotto vettorale tra l vettore poszone R e la quanttà d moto p del punto. L= R p L'untà d msura d L è [L]=kg m 2 /s. L è l'analogo, nel moto traslazonale, della quanttà d moto. Supponamo che pù forze agscano sul punto materale d z massa m. Allora, poché ogn forza ha l suo momento, avremo che x O R L m Dalla defnzone L=Rp rcavamo, dervando p y M =R F =R d p Dove nello scrvere l'ultmo membro abbamo sfruttato la seconda legge d Newton. Qund se su un corpo puntforme agscono vare forze, la somma de moment d queste forze è uguale al prodotto vettore tra la poszone del corpo e la dervata della sua quanttà d moto. d L = d r d p p r = r d p Dove l prmo termne a secondo membro s è annullato n quanto veloctà e quanttà d moto sono parallele. 21

22 Momento della quanttà d moto, o angolare, d un punto materale Possamo qund scrvere la relazone M = d L Qund la somma de moment meccanc agent su un punto materale è uguale alla varazone d momento angolare. Se su un corpo non agscono forze esterne, allora l suo momento angolare s conserva ed l corpo permane nel suo stato d quete o d moto crcolare unforme! Questa formula è l'analogo, per l moto rotazonale, della formula che abbamo vsto nella dnamca. F = d p 22

23 Momento angolare d un sstema d partcelle Supponamo d avere un sstema d N punt materal. Defnamo momento angolare totale la somma de moment angolar (calcolat tutt rspetto allo stesso asse z) d ogn punto Il momento angolare totale d un sstema può varare. Infatt se c sono forze esterne che agscono su corp puntform, per le espresson vste nelle sldes precedent l momento varerà. M = L TOT = d L Al contraro, se sul mo sstema d partcelle agscono solo forze nterne, per la terza legge d Newton l momento meccanco totale sarà nullo ed l momento angolare del sstema d partcelle s conserverà! L = d L = d L TOT 23

24 x ovvero Momento angolare d un corpo rgdo n rotazone z O L, r m v L z = y L = Sa dato un corpo a smmetra rotazonale che ruota ntorno all'asse z. Tutt punt del corpo rgdo ruotano a veloctà angolare. Poché raggo e veloctà sono sempre perpendcolar (la veloctà è tangenzale), l momento angolare dell' esmo elemento d massa che compone l mo corpo rgdo è: L =m v r =m r 2 Il momento angolare qund s ottene come la somma d tutt gl element d massa m : m r 2 = L z =I z m r 2 Dove I z è l momento d nerza del corpo calcolato rspetto all'asse z. Dervando quest'espressone rspetto al tempo e rcordando che I è costante ottenamo d L z = M =I z d =I z Qund l momento meccanco rsultante delle forze esterne d agent su un corpo rgdo è l prodotto del momento d nerza e dell'accelerazone angolare. 24

25 Momento angolare d un corpo rgdo n rotazone Nota che la relazone appena trovata è l'equvalente della seconda legge d Newton per l sstema rotazonale. I vettor M ed L possono essere nfne scrtt come M=I z L=I z 25

26 Legg d conservazone Come abbamo gà detto, se l momento meccanco rsultante delle forze esterne è nullo, allora l momento angolare d un sstema solato rmane costante. M ext = d L =0 L=cost Per sstem solat qund le legg d conservazone sono Conservazone dell'energa Somma delle forze esterne nulla Quanttà d moto costante Somma de moment meccanc estern nulla Momento angolare costante K U =K f U f F ext =0 p = p f M ext =0 L = L f 26

27 Moto d trottole e groscop La trottola è un corpo rgdo che ruota attorno al propro asse. Oltre al moto semplce d rotazone, s ha anche un moto d precessone dell'asse della trottola attorno all'asse z rspetto al quale sono calcolat moment. Inoltre l centro d massa della trottola è esterno al punto su cu essa appogga al pano, tuttava essa non cade. Cerchamo d caprne l perché: L(t) mg CM r z n O y La reazone vncolare n e uguale al peso mg della trottola. Il momento angolare L è allneato a, dretta lungo l'asse d rotazone della trottola. Il momento meccanco della forza peso è M dretto nel verso delle x postve (regola della mano destra). Il momento meccanco rappresenta la varazone del momento angolare, dfatt L=M t. Qund, rproducendo l grafco de moment sul pano xy possamo rcavare grafcamente l momento angolare all'stante t+ t. L(t) x L=M t L(t+ t) Come s può osservare, l momento angolare ha cambato drezone e verso. Poché la drezone del momento angolare è quella attorno a cu ruota la trottola, essa modfcherà, nel tempo, l suo asse d rotazone, dando così luogo al moto d precessone! Qund la trottola non cadrà poché la forza peso non causa una rotazone verso terra, bensì una varazone d momento angolare. Poché L è perpendcolare ad L, L varerà solo n drezone e verso ma non n modulo! Qund la veloctà angolare della trottola non camberà! 27

28 Moto d trottole e groscop Per calcolare la veloctà angolare d precessone, faccamo uso del groscopo. Un groscopo è uno strumento composto da un bracco fsso vertcale senza massa, a cu è appoggato un bracco orzzontale senza massa lbero d ruotare sul pano, alla cu estremtà v è collegata una ruota che gra a veloctà angolare costante. L mg O h Da cu rcavamo la frequenza d precessone La forza peso è mg, l momento angolare L è dretto lungo l bracco h. Il momento meccanco della forza peso è dretto lungo l raggo orzzontale della ruota R. L=M t L(t) d L(t+ t) Come vsto per la trottola, nell'ntervallo d tempo l momento angolare ruota dell'angolo d. Vale qund la relazone trgonometrca = d = mgh L d = dl L =mgh L 28

29 Condzon d equlbro statco Un corpo puntforme è n equlbro statco se la somma delle forze che agscono su d esso è nulla. Per quanto rguarda un corpo esteso, oltre alla somma delle forze deve annullars anche la somma de moment. Prendamo ad esempo l caso d un corpo esteso su cu agscono due forze ugual ma opposte come n fgura. F 2 d 2 d 1 O F 1 M TOT =Fd Fd =2Fd Da cu rcavamo l'accelerazone angolare 2Fd=I O Da cu rcavamo l'accelerazone angolare Le due forze F 1 ed F 2 hanno lo stesso modulo F e le dstanze d 1 e d 2 sono ugual a d. È ovvo allora che la somma delle forze sa nulla, ma l'esperenza c dce che un corpo su cu agscano tal forze s mette n rotazone attorno al punto O. Calcolamo nfatt la somma de moment rspetto ad O. = 2Fd Se l corpo è accelerato non può essere n equlbro. Le condzon perché un corpo rgdo sa n equlbro qund sono =0 e a=0. I O 29