ENERGIA CINETICA. T := 1 2 mv2. (1) T := N 1 2 m ivi 2. (2) i=1

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1 ENERGIA CINETICA Teorema de energa cnetca Defnzone Per un punto P dotato d massa m e veoctà v, s defnsce energa cnetca a seguente quanttà scaare non negatva T := mv. () Defnzone Per un sstema dscreto d punt P,dotatdmassam cascuno con veoctà v,sdefnsce energa cnetca a seguente quanttà scaare non negatva P T := N m v. () Defnzone 3 Dato un sstema contnuo, per ogn punto P de sstema, sa ρ (P ) a funzone denstà d massa, aora a quanttà scaare energa cnetca s defnsce come T := R C ρ (P ) v (P ) dc. (3) Defnzone 4 Per un punto P dotato d massa m e veoctà v, sdefnsce potenza dea forza F a seguente quanttà scaare π := F v. (4) Consderamo un sstema materae costtuto da N punt matera P n movmento rspetto ad un osservatore nerzae. Per ogn punto P vae equazone fondamentae dea dnamca dove F è rsutante dee forze esterne, f èrsutantedeeforzenterne, m a = F + f + Φ + φ =,...,N., (5) Φ è rsutante dee reazon vncoar esterne, φ è rsutante dee reazon vncoar nterne. Teorema (de Energa Cnetca) Consderamo un sstema materae costtuto da N punt matera P n movmento rspetto ad un osservatore nerzae. Per ogn punto P vaga equazone fondamentae dea dnamca 5 rstretta ae forze attve nterne ed esterne, aora vae a seguente equazone dt dt = Π est. + Π nt. (6) 5

2 6 Dmostrazone. Motpchamo scaarmente cascuna equazone de sstema 5 peraveoctàdognpunto v. S ottene Ma m a v = d dt m a v = F v + f v. =,...,N. (7) m v v = d dt m v = F v + f v. =,...,N. (8) S è rcavato da equazone fondamentae dea dnamca, scrtta per un sstema d N punt, che a potenza dee forze agent su sngoo punto eguaga a dervata dea sua energa cnetca rspetto a tempo t. SommamoeN equazon scaar membroamembroeottenamo NX d dt m v = NX F v + NX f v = dt dt = Π est. + Π nt., (9) dove Π est. è a rsutante dea potenza dee forze esterne e Π nt. è a rsutante dea potenza dee forze nterne. Osservazone Mentre e equazon cardna dea dnamca convogono soo e forze esterne e oro moment, pochè R nt. =0e M O nt. =0, teorema de energa cnetca convoge a potenza dee forze nterne che, n generae può non essere nua. Esempo Due punt dotat d massa m e m conness da una forza eastca (moa) avent veoctà v e v. Osservazone La potenza dee forze nterne ne C.R. è nua Dmostrazone. Per defnzone Π nt. = NX f v. (0) ne atto d moto rgdo, possamo scrvere v = v O + ω nea precedente equazone fornsce NX NX h NX NX Π nt. = f v = f v O + ω P O = f v O + P O, che sosttuta h f ω P O = R nt. v O + ω M O nt., () ma n un C.R. R nt. =0per prncpo d azone e reazone e M O nt. =0per a stessa ragone. Osservazone 3 Se corpo è vncoato con vncoo sco (esterno a corpo) e fsso, apotenzadeareazonevncoareènua. Sevncoononèfsso n generae a potenza è dversa da zero.

3 Osservazone 4 Secorpoèvncoatoconrotoamentosenzastrscamentoe vncoo è fsso, a potenza dea reazone vncoare è nua. 7 Se vncoo non è fssoedèesternoasstema,apotenzaèdversadazero. Osservazone 5 Se vncoo d rotoamento senza strscamento è nterno a sstema, a potenza dee reazon vncoar nterne è nua. Pochè c è rotoamento senza strscamento, e veoctà de punt d contatto sono ugua v H = v K () e a potenza dee reazon vncoar dventa Π = R 0 v H R 0 v K =0. (3) S osserv che non è nua a potenza su sngoo corpo.

4 8 Osservazone 6 Se vncoo è sco ed è nterno a sstema, a potenza dee reazon vncoar è nua. Infatt e component norma dee veoctà de punt d contatto sono ugua e a potenza dee reazon vncoar dventa pochè Φ H = Φ K per P.A.R. v H,n = v K,n (4) Π = Φ H v H Φ K v K = Φ H v H,n Φ K v K,n =0, (5) Teorema (d Köng) L energa cnetca d un sstema n moto è par a energa cnetca d trasazone de sstema come se tutta a massa fosse concentrata ne barcentro pù energa cnetca de sstema reatva ad un osservatore trasante con barcentro stesso. Dmostrazone. Consderamo un sstema d punt P,dotatdmassam cascuno con veoctà v. L energa cnetca d questo sstema è par a T = N P m v, (6) dove v è a veoctà assouta. S consder un rfermento mobe. Pochè egame tra rfermento mobe e queo assouto vene espresso da v = v S + v re., (7) dove v S è a veoctà d trascnamento e v re. è a veoctà reatva. Sosttuendo ne espressone de energa cnetca, ottenamo T = N P m v S + v re. NP v S + v re. = m h v S + v re. + v S v re. = NP m v S + NP m v re. NP + m v S v re.. (8)

5 Con una sceta opportuna de rfermento mobe s può emnare termne msto. Scegamo rfermento mobe con orgne ne barcentro G de sstema trasante, ovvero v S = v G. Aora termne msto dventa NP m v S v re. = NP m vg v re. = NP ma per defnzone Q re. =0.Indefntva T = NP m v re. vg = m v re. G 9 vg = Q re. v G, (9) m v re. + mv G = T re. + mv G. (0) Ne caso partcoare de Corpo Rgdo, T re. è energa cnetca d un atto d moto rotatoro attorno a barcentro G. Cacoamo espressone generae de energa cnetca per un atto d moto rotatoro ntorno ad O. T = R C h ρ (P ) ω Se ponamo a = ω P O dc = R C h ρ (P ) ω h P O ω P O, b = ω e c = P O, T dventa P O dc R n h o C ρ (P ) a b c dc. () h a b c è un prodotto msto. Usando e permutazon ccche, ottenamo h a b c = b [ c a] (3) e espressone s può scrvere come T = ω R ρ (P ) C nh h P O ω () o P O dc, (4) ma espressone sotto segno d ntegrae corrsponde a momento dea quanttà d moto con poo n O, per cu T = ω Γ O = ω I ω. (5) Usando una terna prncpae d nerza reatva ad O, Γ O dventa Γ O =(I xx ω x ) +(I yy ω y ) j +(I zz ω z ) k, (6) con, j e k versor dea terna prncpae d nerza e energa cnetca assume a forma T = h hω x + ω y j + ω z k (I xx ω x ) +(I yy ω y ) j +(I zz ω z ) k

6 0 = Ixx ω x + I yy ω y + I zz ω z. (7) possamo rscrvere T n un atro modo. Se ω = ω ω = ω u u versore d ω, (8) ω aora T = ω ( u I u) = I uω, (9) dove I u è momento d nerza rspetto a asse d stantanea rotazone u k ω.qund Per un atto d moto rototrasatoro T = I ωω. (30) T = mv G + I ωω. (3) Osservazone 7 Ne caso de Corpo Rgdo, teorema de energa cnetca dscende dae equazon cardna ½ d Q = R dt est. d. (3) Γ dt G = M (G)est. Dmostrazone. Motpchamo scaarmente a prma equazone per v G easeconda per ω ( d Q v dt G = m a G v G = R est. v G d h Γ dt G ω = d (I dt xx ω x ) +(I yy ω y ) j +(I zz ω z ) k ω = M (G)est. ω. (33) Sommamo e due equazon membro a membro m a G v G + d dt Γ G ω = R est. v G + M (G)est. ω = Π est., (34) ma m a G v G + d dt Γ G ω = d dt mv G " + I xx ω x + I yy ω y j + I zz ω z d k + Ixx ω x dt + I d j yyω y dt + I d zzω # k z ω = d dt dt mv G ³ ³ ³ + hi xx ω x + I yy ω y j + I zz ω z k + Ixx ω x ω + I yy ω y ω j + I zz ω z ω k ω = d dt mv G + I xx ω x ω x + I yy ω y ω y + I zz ω z ω z + h ω Γ G ω = d dt mv G +I xx ω x ω x +I yy ω y ω y +I zz ω z ω z = d dt mv G + Ixx ω x + I yy ω y + I zz ω z = d dt T = Π est. (35)

7 Lavoro e Camp conservatv Partamo da espressone 6 e supponamo d ncudere, otre ae forze attve esterne e nterne, anche e forze reattve esterne ed nterne. La forma espressa da equazone 6 è nota come prma forma de teorema de energa cnetca. C proponamo, ora d rcavare a seconda forma d tae teorema. Motpchamo ambo membr de espressone 6 per dt. Srcava dt = Π est. dt + Π nt. dt + Π 0 est.dt + Π 0 nt.dt = Πdt, (36) dove con Π abbamo ndcato sntetcamente tutt tp d forze (attve, reattve, nterne ed esterne). Per defnzone d potenza dt = Πdt = F vdt = F d P dt dt = F d P = δl, (37) dove con δl ndchamo avoro eementare computo da una forza F (P, v, t) (o rsutante d forze esterne, nterne,... ) agente su d un punto materae (o sstema) n un ntervao d tempo nfntesmo dt. Iavoroeementare non èundfferenzae esatto. In coordnate cartesane, avoro eementare s può rappresentare come δl = F x dx + F y dy + F z dz. (38) Se ntegramo n un ntervao d tempo [t 0,t ] a quanttà 36, s ottene avoro L computo daa forza F Z t t 0 Z t t 0 Z t dt = T = Πdt = δl = L Z t [Π est. + Π nt. + Π 0 est. + Π 0 nt.] dt = L est. + L nt. + L 0 est. + L 0 nt.. (39) t 0 L equazone scaare T = L est. + L nt. + L 0 est. + L 0 nt. (40) esprme teorema de energa cnetca nea II forma: a varazone d energa cnetca n un quasas ntervao d tempo è uguae aa somma agebrca de avor esegut da tutte e forze esterne, nterne, attve e reatttve agent su d un sstema materae. Consderamo ora, ntervao d tempo [t 0,t ] durante quae punto (sstema d punt, corpo rgdo,...) passa daa poszone P 0 aa poszone P descrvendo una curva. Se punto n un ntervao d tempo dt subsce o spostamento dp = v (t) dt, avorocomputodaaforzaf eperdefnzone o, pù n generae L = Z t t 0 δl = Z P P 0 t 0 h F d P Z Z h L = δl = F d P che rappresenta un ntegrae d nea. In coordnate cartesane possamo scrvere Z Z h Z Z x Z y Z z δl = F dp = [F x dx + F y dy + F z dz] = F x dx+ F y dy+ F z dz. x 0 y 0 z 0 (4) (4) (43)

8 Defnzone 5 S dce che F è un campo d forze conservatvo se ntegrae ungo a nea dpende soo dag estrem P 0 e P. Una seconda defnzone equvaente è a seguente Defnzone 6 S dce che F è un campo d forze conservatvo se ntegrae ungo una quasas nea chusa (senza buch a nterno dea nea chusa) è nuo. Una terza defnzone è data da Defnzone 7 S dce che F èuncampodforzeconservatvoseessteunafunzone scaare regoare U U (x, y, z), detta funzone potenzae tae che δl = du. Condzone Necessara e Suffcente affnché campo d forze F sa conservatvo è che rot F =0, (44) dove rot F è rotore dea forza F. In questo caso, F s dce rrotazonae. In component cartesane rot F s può rappresentare come rotf j k µ = x y z F x F y F = Fz y F µ y Fz j z x F µ x + z Fy k x F x. y z (45) Aora F èdeaforma F = gradu, (46) dove gradu è gradente de potenzae U e n termn cartesan possamo scrvere F x + F y j + F z U k = x + U y j + U z k. (47) Se esste potenzae aora daa 43, possamo scrvere Z Z Z U U U L = [F x dx + F y dy + F z dz] = dx + dy + x y z dz = du = U (P ) U (P 0 ). (48) Esempo (Forza costante) Per esempo, a forza peso. La forza F ècostante n moduo, drezone e verso. Prendamo una terna d ass cartesan, tae che asse x sa paraeo ad F = F. Daa 48, s rcava F x = F = U x F y =0= U y = U (x) =Fx+ costante. (49) F z =0= U z Ne caso dea forza peso, se y è asse vertcae ascendente vettore p = p j e potenzae vae U (y) = py + costante, (50) mentre se y è asse vertcae dscendente vettore p = p j e potenzae vae U (y) =py + costante. (5)

9 3 Esempo 3 (Forza d tpo centrae) Sa O un punto fsso e ½ f (r) u forza repusva F = f (r) u forza attrattva, f (r) 0 e u = P O. (5) P O Fssamo una terna con orgne n O esar = p x + y + z F x = ±f (r) x r F y = ±f (r) y r F z = ±f (r) z r = U (r) U (r 0 )= Z r r 0 f (t) dt. (53) Infatt U x U y U z = ±f (r) r x = ±f (r) x r = ±f (r) r y = ±f (r) y r = ±f (r) r z = ±f (r) z r. (54) Esempo 4 (Forza eastca) Sa F dea forma F = k P O = kr u, (55) aora Z r U (r) = ktdt = kr + costante. (56) Esempo 5 (Forza gravtazonae newtonana) Sa F dea forma F = G Mm u, (57) r aora Z r U (r) = G Mm dt = G Mm t r + costante. (58) TeoremdConservazone. Conservazone dea quanttà d moto secondo un asse Daa prma equazone cardnae dea dnamca d dt Q = R est. + R 0 est., (59) se r è un asse fsso d versore u e ³ R est. + R est. 0 u =0= d Q u dt = d ³ Q u dt = Q u = costante durante moto (60)

10 4 Esempo 6 Asta d unghezza emassam Nea drezone x non agscono forze. Qund ³ Rest. + R est. 0 =0 = Q = Q x = mv Gx = costante durante moto (6) Scrvamoacoordnata ungo assex de barcentro Pochè Q x è costante, anche x G = x + cos θ = ẋ G = ẋ sn θ θ. (6) mv Gx = m µ ẋ sn θ θ = costante. (63) Durante moto ẋ = sn θ θ. (64). Conservazone de momento dea quanttà d moto Daa seconda equazone cardnae dea dnamca d dt Γ O + v O Q = M (O)est. + M (O)est., 0 (65) consderamo due cas: a) Se rspetto ad un poo O M (O)est. + M (O)est. 0 =0e v O Q =0 = Γ O = costante durante moto. (66) Esempo 7 Corpo bero pesante. La rsutante de moment dee forze attve e reattve rspetto a barcentro è nuo M (G)est. + M (G)est. 0 e v G Q = 0, pochè v G k Q.Aora Γ G =costante.

11 b) Se rspetto ad un poo O eadunassefsso r d versore u, v O Q =0e ³ M (O)est. + M (O)est. 0 u =0 = Γ O u = costante durante moto. (67) Esempo 8 Corpo Rgdo con asse fsso. Supponamo che asse fsso sa orentato come asse z.prendamo ³ come poo O un punto de asse, aora v O Q =0pochè v O =0. M (O)est. + M (O)est. 0 k =0.Infatt M (O)est. è un vettore perpendcoare a k, pochè a forza peso p ha a stessa drezone d k. o stesso vae per M (O)est. 0, pochè poo è un punto de asse fsso e a reazone vncoare de asse è sempre perpendcoare a asse stesso. Aora Γ O,z =costante. 3. Conservazone de Energa Consderamo un stema materae soggetto a forze attve conservatve (nterne ed esterne), a vnco estern fss e a vnco (ntern ed estern) non dsspatv o perfett. Da teorema de energa cnetca nea prma forma, possamo scrvere dt dt = Π est. + Π nt. = dt =(Π est. + Π nt. ) dt. (68) Per potes, e forze che stamo consderando sono conservatve, per cu dt =(Π est. + Π nt. ) dt = dl est. + dl nt. = du est. + du nt. = d (U est. + U nt. ). (69) Scrtto n modo compatto, s ottene che, ntegrata fornsce 5 d (T U est. U nt. )=0 (70) T (U est. + U nt. )=E = costante durante moto. (7) La costante E s dce energa meccanca totae. Se vnco fossero scabr (dsspatv), per teorema de energa cnetca s può scrvere dt = du + dl 0, (7) dove abbamo ndcato sntetcamente con U potenzae dee forze attve nterne ed esterne e con dl 0 avoro dee forze d reazone. S not che dl 0 < 0. In forma ntegrata, a precedente reazone dventa E (t) =E 0 + L 0. (73) Usando energa potenzae V a posto de potenzae U, sottene T +(V est. + V nt. )=E = costante durante moto.

12 6 Esempo 9 Consderamo ancora esempo dea fgura a pagna 4 e scrvamo un atro ntegrae prmo: ntegrae de energa T U = E. (74) Usamo teorema d Köng per cacoo d T T = mv G + I ωω = m µ ẋ G + ẏg m + θ. (75) Dobbamo esprmere ẋ G e ẏ G n termn d e θ ½ xg = x + cos θ ½ ẋg = ẋ y G = sn θ = sn θ θ ẏ G = cos θ θ, (76) aora T = m ẋ G + ẏg + µ " m µ θ = m ẋ θ sn θ + µ cos θ θ #+ m 4 θ = m ẋ ẋ sn θ θ + θ + m 4 4 θ = mẋ + m 6 θ mẋ sn θ θ. (77) S not che vg può essere cacoato usando teorema d composzone dee veoctà v G =( v trasc. + v re. ) = v trasc. + v re. + v trasc. v re., (78) dove v trasc. = ẋ, v re. = θ/ e angoo compreso tra v trasc. e v re. vae π/+θ. S ottene à vg = ẋ + θ 4 + ẋ θ! ³ π θ cos + = ẋ + θ 4 ẋ θ sn θ. (79) I potenzae vae U = mgy G = mg sn θ (80) e energa totae dventa mẋ + m 6 θ mẋ sn θ θ mg sn θ = E. (8) Sappamo che questo sstema ha un secondo ntegrae prmo: a quanttà d moto ungo asse x, espresso daa 63. Se supponamo, per fssare e dee, che come condzone nzae, asta sa n quete n poszone orzzontae, aora energa totae E n quea confgurazone è nua, per cu ( mẋ + m θ ³ mẋ sn θ θ mg sn θ = E =0 6 m ẋ sn θ θ =0 = ẋ = sn θ θ. (8)

13 7 Emnando ẋ ne sstema precedente, s ottene µ m sn θ θ + m 6 θ µ m sn θ θ sn θ θ mg sn θ m µ sn θ θ + m 6 θ mg sn θ =0 4 sn θ θ + 3 θ = g sn θ = θ =3g sn θ +3 4 sn θ θ. (83) Cacoamo, per esempo, a veoctà angoare quando asta passa per a vertcae, coè θ = π/. La precedente espressone dventa r θ = g = θ 3g = ±. (84) Per tornando ndetro r θ = π/ = θ 3g =, (85) r 3g θ =. (86) Esempo 0 S consder sstema d fgura formato da un dsco d massa m eraggor che rotoa senza strscare su un pano ncnato d massa M. I pano ncnato è bero d muovers rspetto ad un sstema d rfermento fsso senza attrto. Determnare moto de dsco sapendo che, per t =0 sstema s trova n quete con dsco nea poszone pù ata. Consderamo sstema d rfermento d fgura e osservamo che e forze n goco, attve e reattve s rducono aa soa forza peso. Pochè vnco non sono dsspatv, energa meccanca s conserva, come pure s conserva a componente dea quanttà d moto ungo asse x. CacoamoQ x Q x = Mẋ + m (ẋ + ṡ cos α) =costante. (87)

14 8 Pochè sstema s trova n quete a tempo t =0 Q x (t) =Q x (0) = 0. (88) Cacoamo energa cnetca T = T dsco + T p.ncnato,dove ½ T p.ncnato = Mẋ T dsco = mv G + I Gω (teorema d Köng). (89) Le coordnate de barcentro d G eereatveveoctàsono e ½ xg = x + s cos α y G = s sn α = T dsco = m ẋ G + ẏg + ½ ẋg = ẋ + ṡ cos α ẏ G = ṡ sn α µ mr ω µ µṡ mr (90) = m (ẋ + ṡ cos α) +(ṡ sn α) + R = mẋ + mṡ + mẋṡ cos α + 4 mṡ = mẋ mṡ + mẋṡ cos α. (9) Per rotoamento senza strscamento ω = ṡ/r. Come ne esempo precedente v G può essere cacoato con a composzone dee veoctà v G =( v trasc. + v re. ) = v trasc. + v re. + v trasc. v re., (9) dove v trasc. = ẋ, v re. = ṡ e angoo compreso tra v trasc. e v re. vae α. Segue che vg = ẋ + ṡ +ẋṡ cos (α). (93) Compessvamente T = T dsco + T p.ncnato = mẋ mṡ + mẋṡ cos α + Mẋ. (94) I potenzae vae e energa totae dventa U = mgy G = mgs sn α (95) (m + M) ẋ mṡ + mẋṡ cos α mgs sn α = E. (96) Dae condzon nza deducamo che E =0. Sfruttando a conservazone dea quanttà d moto 87, possamo esprmere ẋ n funzone d ṡ ẋ = m cos α ṡ, (97) m + M per cu espressone 96 dventa µ (m + M) m cos α m + M ṡ + 3 µ 4 mṡ + m m cos α m + M ṡ ṡ cos α mgs sn α

15 m cos α m + M ṡ mṡ m cos α m + M ṡ mgs sn α =0. (98) Isoando ṡ, s ottene µ 3 4 m cos α m + M ṡ = gs sn α = ṡ = gs sn α Se ponamo 4(m + M) g sn α a = 3(m + M) m cos α equazone precedente dventa Possamo rsovera n due mod (a) Estraamo a radce quadrata e rcavamo ṡ = ds dt = ± as = varab separab Qund 9 µ 4(m + M) 3(m + M) m cos α (99) = costante, (00) ṡ = as. (0) ds s = ± adt = s = ± at. (0) s (t) s (0) = ± a 4 t = s (t) = a 4 t, (03) dove abbamo usato a condzone nzae s (0) = 0 e abbamo scartato segno pochè o spostamento non avvene spontaneamente n sata. (b) Dervamo rspetto a tempo t, equazone 0 e ottenamo ṡ s = aṡ = s = a = s = a. (04) Abbamo dvso per ṡ con potes che ṡ 6= 0. L equazone dfferenzae è de secondo ordne. Dobbamo ntegrare due vote. s = a = ṡ (t) ṡ (0) = a t = ṡ (t) =a t, (05) dove abbamo usato a condzone nzae d quete ṡ (0) = 0. Integrando una seconda vota s rcava ṡ (t) = a t = s (t) s (0) = a 4 t = s (t) = a 4 t. (06) I teorem d conservazone enuncat fornscono deg ntegra prm de moto. (Q x = costante, Γ O,z = costante). G ntegra prm de moto sono funzon dee coordnate bere e dee oro dervate prme rspetto a tempo, che s mantengono costant durante moto.