Dinamica dei sistemi di punti materiali. Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

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1 Dnamca de sstem d punt materal Dott.ssa Elsabetta Bssald

2 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Sstem d punt materal Sno ad ora s è studato l moto d un sngolo punto materale. Nella dnamca de sstem s studa un numero N > 1 d punt materal P, con = 0,, N, che possono nteragre tra loro e/o con l sstema crcostante. Scomponendo l sstema ne sngol punt materal, rsultano necessare molte varabl per descrvere l moto: o N masse m o N poszon r (3N coordnate), N veloctà v = dr dt o N accelerazon a = dv dt, legate alle N forze F = m a

3 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Sstem d punt materal Le forze agent su punto materale P s possono dvdere n due categore: 1. Forze esterne F E, eserctate da agent estern al sstema 2. Forze nterne F I, eserctate dagl altr N 1 punt Rsultante delle forze nterne che agscono su un punto P F I N = j,j F j, In generale F I 0. Seconda legge della dnamca per un punto P (n un sstema nerzale): F = F E + F I = m a

4 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Sstem d punt materal Terza legge della dnamca per le forze nterne tra punt P e P j F,j = F j, Le forze nterne sono a 2 a 2 ugual e contrare Vettor drett lungo la stessa RETTA D AZIONE, con modulo uguale e verso opposto R I N = F I N = N j,j F,j = 0 P 1 F 1 E I F 2,1 I F 3,1 I F 1,3 I F 1,2 I F 3,2 I F 2,3 P 3 P 2 F 2 E F 3 E

5 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Grandezze meccanche total del sstema d punt materal msurate n un sstema d rfermento nerzale QUANTITÀ DI MOTO TOTALE Sstem d punt materal MOMENTO ANGOLARE TOTALE P = P = m v ENERGIA CINETICA TOTALE L = L = r m v E k = E k, = 1 2 m v 2

6 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Eserczo 6.1 Un corpo d massa m 1 scvola su un pano orzzontale lsco sotto l azone d una forza esterna F. Sul corpo m 1 è appoggato un secondo corpo d massa m 2 che scvola rspetto a m 1. Tra m 1 e m 2 esste una forza d attrto radente con coeffcente d attrto dnamco μ d. 1. Calcolare le accelerazon de due corp. m 2 m 1

7 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Centro d massa Per due punt materal d massa m 1 e m 2 poste sull asse x nelle poszon x 1 e x 2, la poszone del centro d massa (CM) è data da: x CM = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 S not come l centro d massa è spostato verso l punto materale pù massvo. Esso rsulterebbe nel centro della congungente due punt materal nel caso n cu m 1 = m 2.

8 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Centro d massa Dato un sstema d N punt P d massa m e raggo r, possamo defnre l centro d massa del sstema l punto geometrco ndvduato dal raggo vettore: r CM = σ N m r σ N m = m 1r 1 + m 2 r 2 + m N r N m 1 + m m N In un sstema d coordnate cartesane: r CM = x CM u x + y CM u y + z CM u z x CM = σ N m x σ N m y CM = σ N m y σ N m z CM = σ N m z σ N m P 2 P 1 r 2 CM r 1 r CM O r 3 P 3

9 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Centro d massa S rconsder l esempo con due punt materal d massa m 1 e m 2 poste sull asse x, come n fgura. S ponga l orgne del sstema d rfermento concdente con la poszone della massa m 1, ovvero x 1 = 0. x CM = m 2x 2 m 1 + m 2 S possono avere seguent cas: Se m 1 m 2 (oppure se m 1 ) x CM x 1 = 0 Se m 1 m 2 (oppure se m 1 0) x CM x 2 Se m 1 = m 2 x CM x 2 / 2 In defntva l centro d massa tende a dspors dove v è pù concentrazone d massa nel sstema d punt materal.

10 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A VELOCITÀ DEL CENTRO DI MASSA Centro d massa v CM = dr CM dt = σ N dr m dt σ N m m: Massa totale del sstema = σ N m v σ N m = σ N p σ N = P m m P: Quanttà d moto totale del sstema. o COINCIDE con quella del centro d massa, consderato come un punto materale d massa m, con poszone r CM e veloctà v CM ACCELERAZIONE DEL CENTRO DI MASSA a CM = d2 r CM dt 2 = σ N dv m dt σ N m = σ N m a m

11 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Teorema del moto del centro d massa Se l sstema d rfermento è nerzale: m a = F = F E + F I Da cu N N ma CM = m a = F E + F I = R E + R I = R E TEOREMA DEL MOTO DEL CENTRO DI MASSA R E = ma CM = dp dt Seconda Legge d Newton per sstem d punt o Il centro d massa s muove come un punto materale n cu sa concentrata tutta la massa del sstema e a cu sa applcata la rsultante delle forze esterne o IL MOTO DEL CENTRO DI MASSA È DETERMINATO DALLE SOLE FORZE ESTERNE

12 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Osservazon sul centro d massa Defnzone d centro d massa è MATEMATICA, non è un punto materale reale La massa è dstrbuta ne sngol punt materal, che s muovono sotto l azone d FORZE INTERNE ED ESTERNE Punto matematco che però gode d notevol propretà: 1. Veloctà del CM è uguale alla quanttà d moto totale dvsa per la massa totale del sstema o Quanttà d moto del CM è UGUALE alla quanttà d moto totale 2. Accelerazone del CM è determnata dalla rsultante delle FORZE ESTERNE IL CM rappresenta l MOTO GLOBALE DEI PUNTI MATERIALI Valor d veloctà v CM ed accelerazone a CM ndcano che IN MEDIA l sstema s sposta n una certa drezone, che NEL COMPLESSO sta accelerando n quella drezone r CM, v CM e a CM rappresentano MEDIE PESATE sulle masse, fornscono nformazon d PROPRIETÀ MEDIE, non sul moto de sngol punt

13 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Osservazon sul centro d massa Una chave nglese vene lancata su una superfce prva d attrto. La chave segue un moto relatvamente complesso d rotazone, ma l suo centro d massa, ndcato nell mmagne come un puntno gallo, esegue un moto rettlneo unforme, n quanto la rsultante delle forze esterne agent sul corpo è nulla

14 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Osservazon sul centro d massa Anche nel caso d un bastone lancato n ara (moto n due dmenson, mmagne a destra) s vede come l centro d massa segua una traettora parabolca propro come l punto materale raffgurato nell mmagne a snstra.

15 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Eserczo 6.2 Tre punt materal d massa m 1 = 1. 2 kg, m 2 = 2. 5 kg e m 3 = 3. 4 kg sono dsposte a vertc d un trangolo equlatero d lato a = 1. 4 m come n fgura. 1. Calcolare la poszone del centro d massa del sstema. m 2 m 1 m 3

16 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Conservazone della quanttà d moto PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO PER UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI In un sstema solato, ovvero se non è soggetto a forze esterne o se la rsultante delle forze esterne è nulla s ha: R (E) = 0 a CM = 0 v CM = costante P = costante La quanttà d moto totale del sstema s conserva Il centro d massa s muove d moto rettlneo unforme o resta n quete o Se un sstema è chuso (le partcelle non possono uscre o entrare dal sstema) ed solato (R (E) = 0) allora la quanttà d moto del sstema s conserva o Se sono verfcate queste condzon allora le quanttà d moto nzale e fnale sono le stesse P n = P fn o Le sngole m v n generale possono varare nel tempo, la loro SOMMA resta costante

17 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Eserczo 6.3 Una scatola d massa M = 6 kg scvola lungo un pavmento orzzontale e prvo d attrto alla veloctà v = 4 m/s lungo l verso postvo dell asse x. Improvvsamente la scatola s rompe n 2 pezz. Uno de due pezz, d massa m 1 = 2 kg s muove lungo x e nel verso postvo, con veloctà v 1 = 8 m/s. 1. Qual è la veloctà del secondo frammento?

18 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Eserczo 6.4 Un fuoco artfcale d massa M è posto sul pavmento lsco. Questo s spacca n 3 framment d massa m A, m B = 0. 2M e m C = 0. 3M, che s allontanano come n fgura. L angolo tra l frammento A e C vale 100, mentre l angolo tra B e C vale 130. Sapendo che l frammento C possede una veloctà v C = 5 m/s, s calcol la veloctà del frammento B. C A B

19 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A S consder l sstema d due punt materal d massa m 1 = 100 kg e m 2 = 50 kg come n fgura. Non agscono forze esterne. S calcolno: La veloctà fnale v 2, sapendo che v 1 = 5 m/s; La quanttà d moto fnal; Eserczo 6.5 Il lavoro fornto da cascun punto materale.

20 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Teorema del momento angolare MOMENTO ANGOLARE TOTALE D un sstema d N punt materal P d massa m rspetto ad un polo O N L = L = r m v o r : raggo vettore OP (rspetto al polo O!) o v : veloctà d ogn P nel sstema d rfermento nerzale N In generale, l polo O rspetto al quale s calcola l momento angolare può NON COINCIDERE con l orgne del sstema d rfermento o Il polo O può NON ESSERE FISSO, ma n movmento con veloctà v O r può avere ENTRAMBI GLI ESTREMI (O e P ) IN MOVIMENTO, rspettvamente con veloctà v O e v

21 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Teorema del momento angolare S calcol la dervata temporale del momento angolare totale N dl dt = dr dt m dv v + r m dt Rcordando le regole per le trasformazon delle veloctà relatve: Per cascun punto P vale: N dr dt = v v O r : raggo vettore rspetto al polo, NON rspetto all orgne delle coordnate Per sstem d rfermento nerzal s ha che m dv dt = m a = F E + F I

22 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Teorema del momento angolare Pertanto: dl dt = N (v v O ) m v + r F E N + F I dl dt = v O m v CM + M E + M I o σ v v = 0 Prodotto vettorale d vettor parallel! M E MOMENTO TOTALE DELLE FORZE ESTERNE relatvo al polo O M E = r F E M E = σ N M E M I MOMENTO TOTALE DELLE FORZE INTERNE relatvo al polo O M I = r F I M I = σ N M I

23 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Teorema del momento angolare S valut dunque M I consderando due punt, P e P j : M,j I = r F j, + r j F,j = r j r F,j = r,j F,j = 0 F j, r O r j P r,j P j F,j Il vettore r,j = P P j è PARALLELO a F,j, con F,j = F j, o M I è costtuto dalla somma d tutt possbl termn M,j I Pertanto rsulta dentcamente nullo qualunque sa la scelta del polo M I = 0

24 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Teorema del momento angolare TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE dl dt = M E v O m v CM Se l termne v O m v CM rsulta nullo, allora Cas d annullamento: dl dt = M E 1. v O = 0: Il polo O è fsso nel sstema d rfermento nerzale 2. v CM = 0: Il centro d massa è n quete nel sstema d rfermento nerzale 3. v O = v CM : Il polo O concde con l centro d massa 4. v O v CM : I vettor veloctà sono parallel IN QUETSI CASI: La varazone del momento angolare è dovuta al solo momento delle forze esterne. Le forze nterne non portano contrbut.

25 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Conservazone del momento angolare Nelle stuazon n cu sano verfcate le condzon per cu l termne v O mv CM = 0, se l momento delle forze esterne è nullo allora l momento angolare resta costante (SI CONSERVA): Cò può succedere n due cas: M (E) = 0 L = costante 1. Il SISTEMA È ISOLATO, non agscono forze esterne o Dunque R E = 0 e M E = 0, qualunque polo s scelga. o S conservano sa L che P (P = costante). Attenzone! In generale R (E) = 0 non mplca M E = Il MOMENTO DELLE FORZE ESTERNE è nullo rspetto ad un determnato polo, ma non rspetto a qualsas polo sstema. L s conserva solo se calcolato per tale polo!

26 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Eserczo 6.6 S consder un pnguno d massa m che cade da fermo dal punto A n fgura, posto ad una dstanza orzzontale D dall'orgne O del sstema d rfermento. S consder la drezone postva dell'asse z dretto verso l'esterno rspetto al pano della fgura. S calcolno: 1. Il momento angolare del pnguno che cade rspetto al polo O; 2. Il momento della forza peso agente sul pnguno rspetto al polo O.

27 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Eserczo 6.7 S consderno due punt materal d massa m, legat tra loro da una sbarretta d massa trascurable, che ruotano n un pano orzzontale rspetto al centro della sbarretta. Nella stuazone nzale, la sbarretta è lunga 2r 1 e la veloctà angolare ha volare costante ω 1. Supponendo che la sbarretta sa telescopca, durante l moto la lunghezza vene portata ad un valore 2r 2, con r 2 > r 1. S calcol l valore fnale della veloctà angolare ω 2.

28 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Sstema d rfermento del CM Il sstema d rfermento connesso al CENTRO DI MASSA (CM), pur essendo moble e qund non nerzale n genere, n base alle relazon dscusse n precedenza, rsulta godere d propretà partcolar COME SE FOSSE INERZIALE. Caratterstche: 1. L orgne del sstema del CM concde con l CM; 2. Gl ass del sstema del CM mantengono sempre la stessa drezone rspetto agl ass del sstema nerzale: posso essere assunt PARALLELI; 3. Il sstema d norma non è nerzale: o In base al punto 2), l moto è TRASLATORIO, ma non necessaramente rettlneo e unforme: Se R (E) 0 a CM 0.

29 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Trasformazon relatve al sstema d rfermento del centro d massa r = r + r CM v = v + v CM o Valde per un moto d trascnamento traslatoro (non rotatoro, ω = 0) I valor RISPETTO AL SISTEMA DEL CM sono ndcat con l apce Per l assunzone 1), rsulta o r CM = 0 o v CM = 0 o a CM = 0 σ N m r = 0 Sstema d rfermento del CM σ N m v = P = 0 o La quanttà d moto totale del sstema rsulta NULLA se msurata nel sstema d rfermento del centro d massa O r CM r r P CM

30 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Sstema d rfermento del CM Rcordando la forma modfcata della Seconda Legge della Dnamca per l moto d un punto materale n un sstema non nerzale con l solo moto d trascnamento traslatoro (a C = 0) F ma t = ma In questo caso, l accelerazone d trascnamento a t = a CM Per cu per gl N punt materal vale: Sommando su tutt punt: F E + F I m a CM = m a R E N m a CM = m a = 0 S trova qund che σ N m a = 0, gà rcavable da a CM = 0

31 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Sstema d rfermento del CM Il sstema del CM ha anche le seguent propretà: 1. Il momento della rsultante d tutte le forze (nterne, esterne, d nerza) rspetto al centro d massa calcolato nel sstema d rfermento del CM è par al solo momento delle forze esterne M E N = r E F Non v sono contrbut delle forze d nerza! 2. Il teorema del momento angolare sussste anche per le grandezze calcolate nel sstema non nerzale del CM, purché come polo s assuma l CM stesso dl dt = M E Momento angolare rspetto al CM calcolato nel sstema del CM N L = r m v

32 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Teorem d Köng S voglono dervare adesso due notevol propretà collegate alla nozone d sstema d rfermento del centro d massa 1. Teorema d Köng per l momento angolare 2. Teorema d Köng per l energa cnetca Fornscono per sstem d punt materal delle relazon tra l valore d quelle due quanttà, L ed E k, msurato n un sstema d rfermento nerzale e quello msurato nel sstema d rfermento del centro d massa

33 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Teorema d Köng per l momento angolare S assume che l polo concda con l orgne del sstema nerzale. Il momento angolare L del sstema rspetto al sstema nerzale vale N L = L = r m v S può rscrvere usando le relazon per r e v : N L = r + r CM m v + v CM L = r m v + r m v CM + r CM m v + r CM m v CM = L = 0 = 0 = L CM σ N m r = 0 σ N m v = 0 L : Momento angolare RISPETTO AL centro d massa L CM : Momento angolare dovuto al moto DEL CENTRO DI MASSA

34 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Teorema d Köng per l momento angolare PRIMO TEOREMA DI KÖNIG L = L + r CM mv CM = L + L CM Nel sstema d rfermento nerzale, l momento angolare del sstema (L) s può scrvere come SOMMA del momento angolare DOVUTO AL MOTO del centro d massa (L CM ) e d quello del sstema RISPETTO AL centro d massa (L )

35 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Teorema d Köng per l energa cnetca L energa cnetca nel sstema d rfermento nerzale è 1 E k = 2 m 2 v S può rscrvere usando la relazone per v : E k = 1 E k = 2 m v v 2 + v CM 1 2 m v CM + m v v CM = E k = E k,cm = 0 E k : Energa cnetca RISPETTO AL centro d massa E k,cm : Energa cnetca dovuta al moto DEL CENTRO DI MASSA

36 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Teorema d Köng per l energa cnetca SECONDO TEOREMA DI KÖNIG E k = E k + E k,cm Nel sstema d rfermento nerzale, l energa cnetca del sstema (E k ) s può scrvere come SOMMA dell energa cnetca DOVUTA AL MOTO del centro d massa (E k,cm ) e d quella del sstema RISPETTO AL centro d massa (E k )

37 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Osservazon Se per la quanttà d moto l valore totale per l sstema è par a quello del centro d massa, cò non è vero per l energa cnetca e per l momento angolare. Per L e E k : scomposzone semplce e sgnfcatva n termn d: Moto medo del sstema, rappresentato dal moto del centro d massa Moto del sstema rspetto al centro d massa «moto nterno» Per L e E k l centro d massa NON RIASSUME le propretà del sstema o C sono contrbut sa dal moto medo che dal moto nterno, non è suffcente conoscere solo l moto del CM I due teorem d Köng stablscono che al moto del CM bsogna aggungere la descrzone del moto del sstema attorno al CM

38 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Eserczo 6.8 S calcolno valor de moment angolar L, L e L CM, e delle energe cnetche E k, E k e E k,cm, per le quattro stuazon rappresentat n fgura, con due punt materal d massa m. O ndca l orgne del sstema d rfermento nerzale e concde con l polo d rfermento d L e L CM. 2 1 v v O CM v v O CM 3 v O P 1 CM P 2 v 4 h v P 1 CM P 2 v O

39 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A S estenda la defnzone d lavoro ad un sstema d punt materal. S consder qund una forza F = F (E) + F I che agsce su un punto P che s sposta d dr. Il lavoro rsulta par a: Teorema dell energa cnetca dw = F dr = F E dr + F I dr = dw E + dw (I) Sommando su tutt gl N punt e ntegrando su tutte le traettore percorse, s ottene l LAVORO TOTALE W = W E + W I Somma del lavoro delle forze esterne e del lavoro delle forze nterne o Questa volta l contrbuto delle forze nterne NON SCOMPARE! o Il lavoro delle forze nterne è legato ad un CAMBIAMENTO DELLE DISTANZE MUTUE tra var punt (F,j dr,j 0) Se queste dstanze non possono varare (come ne CORPI RIGIDI), allora W I = 0

40 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Teorema dell energa cnetca Per cascuno degl N punt del sstema, vale l teorema dell energa cnetca: per cu W = ΔE k,. Sommando su tutt punt ed ntegrando, s ottene 1 W AB = W,AB = 2 m v 2,B 1 2 m v 2,A = E k,b E k,a v,a : modulo della veloctà dell -esmo punto nella confgurazone nzale A v,b : modulo della veloctà dell -esmo punto nella confgurazone fnale B E k,a : energa cnetca del sstema nella confgurazone nzale A E k,b : energa cnetca del sstema nella confgurazone fnale B

41 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Teorema dell energa cnetca TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA per sstem d punt materal W E + W I = E k,b E k,a = ΔE k Se le forze esterne sono conservatve: W E = ΔE P E Se le forze nterne sono conservatve: W (I) I = ΔE P

42 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Energa meccanca CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA DEL SISTEMA nel caso n cu tutte le forze agent, sa nterne che esterne, sano conservatve W = ΔE k = ΔE P E k + E P A = E k + E P B = E M = costante E P : Somma d tutte le energe potenzal n goco, assocate alle forze nterne ed eterne agent sul sstema Nel caso sano present anche forze non conservatve s ha: E k + E P B E k + E P A = ΔE M = W nc Attenzone: Anche n un sstema solato l energa meccanca può non conservars se le forze nterne non sono conservatve

43 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Replogo (1) Equazon che descrvono la DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI 1. TEOREMA DEL MOTO DEL CENTRO DI MASSA R E = ma CM = dp dt 2. TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE M E = dl dt Le due equazon sono ndpendent e permettono d rcavare nformazon sull evoluzone temporale d P ed L, dovuta all azone d forze e moment estern e rferta a TUTTO IL SISTEMA, ma NON SUL MOTO DEI SINGOLI PUNTI

44 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Replogo (2) Dalle equazon del moto e dal teorema dell energa cnetca dscendono 3 LEGGI DI CONSERVAZIONE 1. Se R E = 0 CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO P 2. Se M E = 0 CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE L 3. Se tutte le forze agent sono conservatve CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA DEL SISTEMA E M Sono tutte legg ndpendent tra loro! Se s conserva una grandezza, non vuol dre che s conservno le altre.

45 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Sstem d forze applcate n punt dfferent S consderno un certo numero d forze F applcate a punt dvers dello spazo, per esempo agl punt N materal n esame. S assume come polo O. Rsultante delle forze: R = σ F Momento rsultante delle forze: M O = σ OP F = σ r F Sceglendo un altro polo O (per cu r = r + OO ): M O = σ r F M O può essere qund espresso come M O = OO + r F F = OO F + r F = OO R + M O In generale, l momento complessvo del sstema dpende dalla scelta del polo, a meno che non rsult R = 0

46 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Sstem d forze applcate n punt dfferent Coppa d forze: Inseme d due forze F e F, ugual e opposte, con dversa retta d azone Bracco della coppa d forze: Dstanza b tra le due rette d azone delle forze In questa stuazone: La rsultante delle forze è nulla (R = 0) Il momento della coppa non dpende dalla scelta del polo M O = M O M F o Modulo bf o Drezone perpendcolare al pano ndvduato dalle due rette d azone F Es. Le forze nterne d un sstema d punt materal costtuscono un nseme d COPPIE A BRACCIO NULLO (sono sulla stessa retta d azone), per cu l loro momento rsultante è NULLO RISPETTO A QUALSIASI POLO.

47 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Sstem d forze applcate n punt dfferent CONSIDERAZIONI In generale, dato un qualsas sstema d forze, vettor R e M O non sono ortogonal tra loro (M O è ndpendente da R) Dato un sstema d forze applcate IN PUNTI DIVERSI, e fssato un polo per moment (qund not R e M O ), questo sstema può essere rdotto a: 1. UNA FORZA RISULTANTE R CON RETTA D AZIONE PASSANTE PER IL POLO (così che l momento rspetto al polo rsult nullo!) 2. UNA COPPIA DI FORZE DI MOMENTO M O (che ha rsultante nulla e momento ndpendente dal polo) Due sstem d forze s dcono EQUIVALENTI rspetto ad un sstema d punt materal (o per un corpo rgdo), se: o Applcat al sstema, causano la stessa dnamca o I due sstem d forze devono avere la stessa rsultante R e lo stesso momento d forze M (E).

48 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Sstem d forze applcate n punt dfferent SISTEMI DI FORZE PARALLELE Forze avent tutte la STESSA DIREZIONE (es. forza peso): F = F u, con rsultante R = σ F = σ F u e momento rsultante M = σ r F u = σ F r u o Rsulta ortogonale a u e R S può trovare un punto generco C nel quale applcare tutta la rsultante R affnché l momento complessvo non camb coè M = OC R = r C σ F u Confrontando le due espresson s ottene: r C = σ F r σ F o Punto C = CENTRO DELLE FORZE PARALLELE Caso partcolare: BARICENTRO o CENTRO DI GRAVITÀ r C = σ m g r σ m g = σ m r σ m = r CM

49 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Eserczo 6.9 S consderno tre punt materal d massa m 1 = 4 kg, m 2 = 8 kg e m 3 = 4 kg, poszonat nel pano xy come mostrato n fgura, e su qual agscano tre forze esterne F 1 = 6 N, F 2 = 12 N e F 3 = 14 N. 1. S calcolno modulo, drezone e verso dell accelerazone del centro d massa del sstema.

50 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Eserczo 6.10 Un cane d massa m = 5 kg s trova su una zattera d massa M = 20 kg, n una poszone dstante 6 m dalla rva. Il cane cammna verso rva per 3 m e po s ferma. S trascurno tutt gl attrt. 1. A che dstanza da rva s trova l cane?

51 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A Eserczo 6.11 Un uomo d massa M = 75 kg sta su un carrello d massa m = 39 kg che vagga a 2. 3 m/s. Ad un tratto salta gù dal carrello con veloctà orzzontale zero rspetto al terreno. 1. D quanto fa varare n questo modo la veloctà del carrello?

52 Elsabetta Bssald (Poltecnco d Bar) A.A SI consder l sstema d due punt materal d massa m 1 = 6 kg e m 2 = 3m 1, collegat da una molla deale con k = 7. 2 kn/m, come mostrato n fgura. Inzalmente la molla è tenuta compressa d 15 cm rspetto alla sua lunghezza a rposo, per mezzo d un fllo. Ad un certo stante l flo vene taglato e l sstema nza a muovers. S calcolno, nell stante t n cu l corpo m 1 s stacca dalla parete vertcale: 1. Il lavoro complessvo fatto dalle forze esterne; 2. La corrspondente varazone d energa cnetca del centro d massa e d quella dell energa nterna del sstema; 3. La veloctà del corpo m 2. Eserczo 6.12