Si dice corpo rigido un oggetto ideale che mantiene la stessa forma e le stesse dimensioni qualunque sia la sollecitazione cui lo si sottopone.

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1 aptolo 7 I corp estes. I movment d un corpo rgdo he cosa s ntende per corpo esteso? on l termne d corpo esteso c s rfersce ad oggett per qual non è lecto adoperare l approssmazone d partcella, coè le cu dmenson non sono trascurabl rspetto all enttà degl spostament convolt. Il corpo esteso può essere pensato come scomponble n un grande numero d punt materal, ed movment d cu esso è capace possono a loro volta essere nterpretat come mot d nseme de punt materal che lo costtuscono. he cosa s ntende per corpo rgdo? S dce corpo rgdo un oggetto deale che mantene la stessa forma e le stesse dmenson qualunque sa la sollectazone cu lo s sottopone. S tratta d una dealzzazone: nessun corpo reale soddsfa perfettamente quest requst, tuttava molt oggett possono essere consderat corp rgd: un tavolo, un bcchere, e molt altr non lo sono, come una catena, una stoffa, una persona e così va. Qual movment sono possbl per un corpo rgdo? Studeremo l moto d traslazone ed l moto d rotazone d un corpo rgdo e la loro composzone, tralascando l anals d movment pù compless come quello polare. S dce che un corpo rgdo compe un moto d traslazone se tutt suo punt s muovono con lo stesso vettore veloctà e lo stesso vettore accelerazone. S dce che un corpo rgdo compe un moto d rotazone se tutt suo punt descrvono delle crconferenze con centro sulla stessa retta, che è detta asse d rotazone

2 E mportante sottolneare che un moto d traslazone non mplca necessaramente che punt materal che compongono l corpo rgdo s muovano su delle traettore rettlnee: ess potranno compere anche de tratt curv, od al lmte delle crconferenze. L mportante è che non sano concentrche, come s vede n fgura: v v v Il corpo a snstra descrve un moto traslatoro: sebbene le traettore che punt materal component l corpo rgdo seguono sano crcolar, le crconferenze lungo cu s dspongono non hanno centr su d un unca retta. Una va alternatva per accorgers che s tratta d traslazone pura è verfcare che comunque pres due punt e sul corpo, la retta che passa per ess s mantene parallela a sé stessa, e questo è dovuto al fatto che le traettore d tutt punt sono ugual. Il corpo a destra nvece descrve un moto d rotazone attorno ad un asse: tutt punt che lo compongono s spostano su delle crconferenze concentrche: la loro veloctà cresce con la dstanza dall asse d rotazone. Inoltre, come s vede, una retta passante per due suo punt qualunque e non s mantene parallela a sé stessa.

3 . Forze applcate ad un corpo rgdo lmteremo a consderare un corpo rgdo che s muova d moto pano, per l quale tutt vettor spostamento che ndvduano punt che lo costtuscono, s mantengono sempre parallel ad uno stesso pano. Supponamo dunque che tale moto sa l rsultato dell applcazone d un sstema d forze: F, F,.. F N anche esse parallele allo stesso pano. Nel caso pù generale l corpo sarà anmato dalla composzone d una rotazone ed una traslazone, entrambe parallele al pano. llo scopo d prevederne le caratterstche seguremo la strada d rcondurre l sstema d forze dato ad un altro pù semplce, che dremo equvalente, secondo la defnzone seguente: Due sstem d forze s dcono equvalent se loro effett sul moto d un corpo rgdo sono gl stess F F 4 F F Per un qualunque sstema d forze è possble defnre l rsultante : R F ottenble tramte una somma vettorale. F F Per determnare l moto d un corpo esteso è suffcente conoscere R? Nel caso d un punto materale questa grandezza esaursce tutte le nformazon che occorrono per defnrne l moto. Per un punto, nfatt, non è possble dstnguere un moto d rotazone da un moto d traslazone: entramb s svluppano lungo una traettora ad una sola dmensone ed è suffcente conoscere ntenstà, drezone e verso del rsultante per rcavare le legg orare. La lbertà ulterore d movmento d cu gode un corpo rgdo, coè la sua possbltà d ruotare, comporta però la necesstà d avere nformazon agguntve per poter prevedere l effetto delle forze ad esso applcate. E necessaro assocare a cascuno de vettor che ndvduano le forze F, F,.. F N che costtuscono l sstema, un punto d applcazone. l effett d una stessa forza sul moto d un corpo rgdo sono molto dfferent se questa agsce n poszon dverse. Se nfatt s scegle un qualunque asse perpendcolare al pano dove s svolge l moto, la capactà d una stessa forza d far ruotare l corpo attorno ad esso camba notevolmente varandone l punto d applcazone. F F 4 R he grandezza fsca s può ntrodurre per msurare questa capactà? E necessaro ntrodurre una nuova grandezza fsca che quantfch la capactà d una forza d far ruotare un corpo esteso attorno ad un dato asse. Le osservazon mostrano che la capactà d far ruotare, a partà d ntenstà della forza, è tanto maggore quanto pù la forza è ntensa e quanto pù vene applcata lontano dall asse attorno a cu s desdera produrre la rotazone. E per questo motvo che la mangla d una porta vene collocata all estremo opposto rspetto a cardn grevol. Per esprmere la capactà d far ruotare che ha una

4 forza bsogna dunque conoscere la dstanza della retta lungo la quale la forza stessa agsce, dall asse attorno a cu s vuole far ruotare. Questa mportante nformazone vene detta bracco della forza: racco della forza: dstanza della retta d azone delle forza dall asse d rotazone. F S ntroduce qund la grandezza seguente: b F 4 F b b b 4 b F F ndcata con la lettera greca tau ( ) e detta momento della forza (o anche momento torcente della forza). onsdereremo postv moment dovut a forze che producono rotazon antorare attorno all asse nel pano del foglo, guardato dal lettore. Se sul corpo che s muove d moto pano, agsce un sstema d forze, chameremo momento rsultante del sstema rspetto a tale asse la grandezza F b F b F b... dove b sono bracc delle forze, vale a dre le dstanze delle rette d azone d cascuna delle F dal punto n cu l asse buca l pano. In fgura l punto ndca l ntersezone dell asse scelto con l pano d rotazone, e le lnee tratteggate rappresentano bracc delle forze. b b 4 F Esempo Trovare l momento rsultante del sstema d forze F ed F, d modulo 40 N e 0 N rspettvamente, che agscono sul quadrato d lato 0 m n fgura, F calcolato rspetto ad un asse perpendcolare al foglo e passante per l centro del quadrato. Dopo aver traccato le rette d azone delle forze s rconosce che bracc valgono: b b 4 6 e che per ch guarda l foglo, F tende a far ruotare n verso oraro attorno all asse, qund l suo momento sarà negatvo, F antoraro qund con momento postvo: b F b F F F N m 4 6 Il valore negatvo del momento rsultante comporta che l quadrato, oltre che a traslare nella drezone d R, tenderà a ruotare n verso oraro, per effetto del sstema d forze applcatogl. 4

5 ome s trova l punto d applcazone d R? Tanto la retta d azone quanto l punto d applcazone della rsultante del sstema non sono determnabl attraverso la somma de vettor effettuata con l metodo d punta-coda o del parallelogramma. Tale tecnca, che consente d sommare vettor, coè class d equvalenza d segment equpollent, fornsce soltanto l ntenstà del rsultante ed una drezone, quella della dagonale del parallelogramma, alla quale l rsultante è parallelo, ma non l punto d applcazone. Tuttava l rsultante del sstema d forze deve avere lo stesso momento del sstema stesso, qund se esste un punto sull oggetto rspetto al quale la somma de moment è nulla, l rsultante applcato n modo che abba momento zero rspetto quel punto sosttusce nteramente l sstema d forze. F F Esempo Trovare, se esste, l punto (od punt) n cu s può applcare l rsultante sstema d forze F ed F, d par ntenstà, che agscono sul quadrato n fgura. Dopo aver traccato le rette d azone delle forze s rconosce che una forza ha sempre momento nullo rspetto ad un qualunque asse che passa per la sua retta d azone. Qund entrambe le forze devono avere momento nullo rspetto ad un asse perpendcolare al foglo nel punto P, ntersezone delle due rette d azone. Ne segue che anche l rsultante dovrà avere momento nullo rspetto a P, qund la sua retta d azone (nclnata d 45 rspetto al lato del quadrato vsto che le forze hanno la stessa ntenstà), dovrà passare per P. Qund l rsultante può essere applcato n uno qualunque de punt n cu la retta a 45 passante per P ntercetta l quadrato. del F P R F F Esempo Trovare, se esste, l punto d applcazone del sstema d forze parallele F che agscono sul quadrato n fgura. ed F, D F D F Le rette d azone delle due forze parallele non s ncontrano ma, tuttava è possble operare sommando al sstema due forze opposte che non alterano la dnamca perché hanno rsultante nullo (n verde nella fgura). In questo modo s ottene l punto P rspetto al quale l sstema ha momento nullo, e così s fa passare per P la retta d azone del rsultante la cu drezone è ottenuta con la regola del parallelogramma. Il rsultante potrà po essere applcato n uno qualunque de punt n cu la retta trovata ntercetta l corpo, per esempo sul bordo del quadrato. P R F D Esempo 4 Trovare l punto (od punt) n cu s può applcare l rsultante del sstema d forze F ed F, d par ntenstà, che agscono sulla lamna n fgura. La drezone del rsultante s trova con la tecnca del parallelogramma: lungo una retta parallela a quella rossa tratteggata. Per ndvduare l punto d applcazone d F P R F Per sommare vettor applcat occorre operare la costruzone del cosddetto polgono funcolare, l quale consente d conoscere la retta d azone del rsultante, e, se reterato su d un sstema d forze ruotato rspetto all orgnale, anche l punto d applcazone. 5

6 R, dopo aver traccato le rette d azone delle forze s rconosce che l sstema ha momento nullo rspetto al punto n cu le due rette s ncontrano. Pertanto l rsultante potrà essere applcato n uno qualsas de punt n cu la retta rossa tratteggata ncontra la lamna, ad esempo P. F b F osa s ntende per coppa d forze? Un sstema molto semplce d forze è quello qu a fanco llustrato, denomnato coppa. Esso è costtuto da due forze d par ntenstà, parallele ma drette n vers oppost: l suo rsultante è charamente nullo. Il momento d una coppa ndca la sua capactà d far ruotare un qualunque segmento, soldale con l corpo, e perpendcolare alle rette d azone delle forze, come quello rappresentato da b n fgura. fn dell equlbro (o del moto) d un corpo rgdo, sono equvalent due coppe avent lo stesso momento, come ad esempo le F, F e F, F n fgura, con F F. F b F Quanto vale l momento d una coppa d forze? E possble dmostrare che, qualunque sa l asse che s scegle, sebbene l momento d cascuna forza rspetto ad esso var con l asse, l momento rsultante della coppa sarà sempre dato dal prodotto dell ntenstà comune, F, per la dstanza fra le rette d azone, b, detto anche bracco della coppa: F b F ome s può ndvduare un semplce sstema d forze equvalente ad uno dato? S può dmostrare che l azone d un sstema d forze complanar su d un corpo rgdo lbero d muovers d moto pano, è sempre equvalente a quella del rsultante R del sstema, applcato n un punto P scelto arbtraramente, nseme a quella d una coppa d forze che abba, rspetto ad un asse perpendcolare al pano e passante per P, lo stesso momento rsultante del sstema. F F E possble spostare una forza lungo la sua retta d azone? Un conseguenza della propretà suesposta è la possbltà d spostare una forza F lungo la sua retta d azone senza conseguenze per la dnamca del corpo. In questo modo nfatt non s altera né la rsultante del sstema d forze né l suo bracco, e qund non ne vene modfcato nemmeno l valore del momento totale rspetto ad un qualunque asse. d esempo, rferendoc alla fgura a lato, è del tutto ndfferente a fn del moto del trangolo, applcare F n, oppure n. In qual altr mod s può spostare una forza senza alterare la dnamca del corpo? Esste una tecnca che consente d spostare una forza F, applcata n un punto, n un punto dverso,, facendo n modo che F s mantenga parallela alla sua retta d azone. Infatt, se la nuova forza è parallela alla veccha, l rsultante del sstema d forze che agsce sul corpo non vene alterato: l unca cosa che camba è l momento rsultante. asterà allora compensare l cambamento che l operazone d 6

7 spostamento comporta sul momento rsultante. tale scopo s dovrà applcare al corpo una coppa d trasporto, ntendendo con cò una qualsas coppa d forze che abba, rspetto ad un asse passante per l nuovo punto d applcazone, lo stesso momento che aveva prma F quando era applcata n. onsderando la fgura, s vede bene come la coppa d forze F F, cascuna d ntenstà par a quella F, compens la modfca che lo spostamento del punto d applcazone df da n ha comportato per l momento rsultante. Ma per la prma propretà sopra enuncata, tutte le coppe d uguale momento sono equvalent, e qund s potrà usare come coppa d trasporto una qualunque coppa equvalente alla F F D con F FD F. F F, ad esempo la F b F F F F D b F F 7

8 . Equlbro d un corpo rgdo Scelto qund un asse, ed ndcato con P l punto n cu questo buca l pano, per vedere l effetto d un sstema d forze su d un corpo s deve applcare l rsultante R n P e far agre una qualunque coppa d momento par al momento rsultante. Se n partcolare R e sono null, l sstema d forze non può modfcare lo stato d quete (o d moto rettlneo unforme) del corpo, e pertanto: Dremo che un corpo rgdo s trova n una condzone compatble con l equlbro se sono contemporaneamente null l rsultante ed l momento rsultante del sstema d forze che agscono su d esso. F 0 0 F F F Esempo 5 Il blocco rgdo n fgura è n equlbro sotto l azone d un certo numero d forze, fra cu F che hanno uguale valore. S dca se l corpo resterebbe n equlbro nel ed F caso n cu, a partà d ogn altra crcostanza, rspettvamente nel vertce e nel vertce. F ed F venssero applcate F S, resterebbe n equlbro perché una coppa d forze verrebbe sosttuta da una coppa d momento uguale, anche se non complanare, e qund senza alterare l equlbro d un corpo rgdo. 5 m 0 m Esempo 6 Il trangolo è n equlbro ed una delle forze agent è ndcata n fgura. Senza modfcare l equlbro s trasl tale forza nel punto ndvduando l modulo delle forze d una coppa d trasporto costtuta da forze orzzontal applcate n e n. N F (4 N) 5 m 0 m F (8 N) m 5 m N F (8 N) N Il momento d F rspetto a è Fb N m (antoraro). F Per ottenere lo stesso valore con una coppa d forze orzzontal applcate n verso destra ed n verso snstra deve essere: F 5 40, da cu: F 8 N. Esempo 7 S dca se è possble che l segmento rgdo sa n equlbro sotto l azone d quattro forze: le tre dsegnate pù un altra. (Per la rsoluzone consderare moment rspetto a.) 8

9 Non è possble. Infatt la forza necessara per l equlbro dovrebbe avere un componente vertcale d N verso l alto ed un componente orzzontale d N verso destra. Inoltre, per l equlbro della rotazone attorno a (rspetto a cu le forze da N e N hanno momento nullo), s deve produrre un momento uguale e contraro a: N 5m 5 N m (che è oraro). Il componente orzzontale da N verso destra ha momento nullo rspetto a dato che la sua retta d azone passa per tale punto. Per equlbrare 5 N m dovre allora applcare l componente vertcale da N verso l basso n un punto 5 metr a snstra d, cosa mpossble perché l punto cadrebbe fuor dal segmento. 5 m N 4 N N 4 N Esempo 8 La lamna rgda trangolare è n equlbro sotto l azone d tre forze, due delle qual sono rappresentate n fgura. S dca se è possble che la terza forza sa applcata nel punto medo del lato. Non è possble perché le due forze hanno momento nullo rspetto al punto e qund dovrà essere nullo anche l momento delle terza forza rspetto ad. ò mplca che la sua retta d azone debba passare per. Essendo po le due forze ugual, la retta d azone è la bsettrce dell angolo e qund la terza forza sarà applcata n uno de punt n cu la bsettrce ncontra l trangolo (ad esempo quello ndcato), e qund l punto medo d è escluso. F Esempo 9 La lamna rgda trapezodale è n equlbro sotto l azone d tre forze, due delle qual sono ndcate n fgura, applcate ne punt e. S dca se è possble ndvduare retta d azone e punto d applcazone della terza forza nel caso n esame, e nel caso n cu F abba verso opposto. F Nel prmo caso la retta d azone d F deve essere parallela alla dagonale del parallelogramma d F ed F. Inoltre, dato che F ed F hanno momento nullo rspetto al punto, deve passare per. L unco punto che appartene al trapezo e che sta sulla retta d azone ndvduata è propro. Nel secondo caso v sono nfnt punt sul trapezo che appartengono alla retta d azone d F e qund l punto d applcazone è ndetermnato F F F F F 9

10 4. Il barcentro d un corpo rgdo Se un corpo rgdo è soggetto all azone d un sstema d forze, per conoscerne gl effett sul moto, dovremo esegure l calcolo del momento rsultante, per va dretta, sommando moment d tutte le forze convolte, e del rsultanter, applcando l metodo d punta coda n sequenza. Una semplfcazone è tuttava possble nel caso n cu l sstema sa costtuto da forze tutte parallele, come accade nel caso delle forze dovute alla gravtà, che agscono n drezone vertcale su cascuno de punt materal che compongono un corpo rgdo. In questo caso nfatt è possble dmostrare che esste punto, detto centro del sstema d forze, che ha la notevole propretà per cu: applcare un sstema d forze parallele ad un corpo rgdo è equvalente, a fn dell equlbro (o del moto), ad applcare l solo rsultante R nel centro del sstema d forze, qualora questo cada all nterno del corpo. F b R b F ome s può determnare tale centro? pplcare un sstema d forze ad un corpo rgdo è equvalente ad applcare l suo rsultante n un qualunque punto P nseme ad una coppa che abba per momento l momento rsultante rspetto all asse che passa per P. Nel caso d un sstema d forze parallele, dovremo qund trovare l punto dove applcare l rsultante n modo che equvalga, da solo, all ntero sstema. Questo accade se è nulla la somma de moment rspetto all asse perpendcolare al foglo e passante per l punto d applcazone. In questo modo nfatt sarà nullo anche l momento della coppa che avremmo dovuto affancare al rsultante, che è propro quello che s sta cercando d ottenere. nalzzamo l caso semplce d un sstema d due sole forze parallele ed equverse, e consderamo l loro momento rsultante rspetto ad un asse che s trov fra le loro rette d azone e sa perpendcolare al pano del foglo. onsderamo la congungente de punt d applcazone delle due forze F ed F : per effettuare l calcolo con semplctà prenderemo un asse che ntercetta, ma s può dmostrare che l rsultato non camba se s trasla l asse parallelamente alle rette d azone delle due forze. Indchamo con l punto n cu l asse buca l pano. erchamo qund quale deve essere la dstanza d da affnché valga zero la somma de moment: F b F b 0 dove l segno meno tene conto del fatto che F tende a far ruotare n verso oraro attorno a. In un rfermento cartesano avremo b x x e b x x da cu: F ( x x ) F ( x x ) 0 0

11 x ( F F ) x F x F x x F x F x F x F R F F dove, essendo le forze parallele s è sfruttato l fatto che l ntenstà del rsultante è data semplcemente dalla somma delle ntenstà: R F F. Ne concludamo che ponendo l asse lungo una qualunque retta vertcale avente per ascssa l valore x trovato, l momento rsultante del sstema d forze rspetto ad esso sarà nullo. Per trovare anche l ordnata del punto, tornamo alla relazone F b F b 0, che rscrvamo come: F b F b dove l ultma uguaglanza s deve alla smltudne de trangol rettangol H e K. Immagnamo ora d avere un altro sstema d forze, ottenuto ruotando quello orgnaro d un angolo qualunque attorno al loro punto d applcazone. Poché né la lunghezza del segmento, né le ntenstà delle forze sono cambate, l centro d questo secondo sstema soddsferà ancora la relazone F. ò mplca che nemmeno e mutano, n quanto s F mantengono ugual sa la loro somma che l loro rapporto. Se ne conclude che l centro del l sstema ruotato è lo stesso d quello orgnaro. Il rsultante, che s può pensare applcato n, ruoterà anch esso dello stesso angolo attorno al suo punto d applcazone. Possamo allora rcavare la coordnata y del centro del sstema ruotando le forze d 90 e rpetendo l ragonamento sul nuovo sstema: H b F b K R F y y F y F y F y F R F F Se ne conclude che s trova sul segmento congungente punt d applcazone delle due forze, a dstanze da e da nversamente proporzonal alle ntenstà delle forze stesse. ome s calcola l centro delle forze parallele dovute alla gravtà? Possamo mmagnare la forza d gravtà come un sstema d N forze parallele, che agscono su cascuno degl atom puntform che costtuscono un corpo rgdo. Il ragonamento sopra permette d concludere che per ogn corpo rgdo esste un punto, detto barcentro, d coordnate: m g m g m g

12 x y x f f y f x m g m g f y m g m g x x... m x m m m m m m m m... m N N y y... m y... m N N N N rspetto al quale la somma de moment delle forze rsulta zero. Le forze d gravtà che agscono su cascuna delle partcelle che compongono l corpo non hanno qund la capactà d farlo ruotare attorno al suo barcentro, e pertanto è l punto n cu può pensars applcato l rsultante. S dce barcentro d un corpo l punto n cu può pensars applcata la forza d gravtà Il barcentro è un punto che appartene al corpo? Sebbene le coordnate d sano n ogn caso nterne ad un rettangolo ndvduato dalla massma e mnma ascssa (rettangolo rosso n fgura), e dalla massma e mnma ordnata de punt, può anche cadere fuor dal corpo. Un semplce esempo d questo caso s ha per un oggetto a forma d cambella, oppure una bottgla vuota. Nel caso n cu sa nterno al corpo potremo effettvamente sostture all ntero sstema d forze l suo rsultante applcato n. Nel caso n cu sa esterno, potremo comunque utlzzarlo come punto mmagnaro d applcazone delle forze d gravtà al fne d semplfcare alcun calcol, come ad esempo l momento della gravtà rspetto ad un qualunque altro asse, oppure l calcolo del lavoro della forza d gravtà.

13 5. Determnazone del barcentro Sstem dscret Le formule drette per l calcolo delle coordnate del barcentro d un corpo sono d mmedata applcazone nel caso esso sa costtuto da un sstema d punt. Vedamo alcun esemp. m m Una coppa d masse puntform ugual. x x mg x mg x x mg mg ; y y mg y mg y y mg mg come s vede l barcentro s trova a metà strada fra le due masse, posto sul segmento che le congunge. Una coppa d masse puntform dfferent nzché fare l calcolo dretto desumeremo nformazon ponendo l asse x lungo la congungente e l asse y passante per. vremo x 0 e y 0, però se con d e d s ndcano le dstanze d dalle masse rsulta: m d d m x d m m d m m 0 m m d d coè l barcentro è pù vcno alla massa pù pesante fra le due. Se ad esempo s hanno due punt d cu uno pesa tre volte l altro rsulterà: x x m x m x x m m 4 o anche: d d, coè la dstanza da è tre volte quella da. Una struttura d masse puntform dfferent Se non v sono smmetre, note le coordnate n un rfermento opportuno, e note le masse, s applca drettamente la defnzone: m x x m x m x m x m x m m m m m m m m y y m y m y m y m y m m m m m m m 4 m 5 Detto anche sstema dscreto

14 Sstem contnu Nel caso d sstem contnu non è possble utlzzare nella pratca la formula per punt, tuttava vale la propretà seguente: Propretà dstrbutva del barcentro: l barcentro d un corpo s può ottenere suddvdendolo n element ed mmagnando la massa d cascuno concentrata nel propro barcentro. Una sbarretta omogenea pplcando la propretà dstrbutva la possamo vedere come una sere d coppe d masse puntform ugual. vendo cascuna coppa l barcentro nel punto medo, quella sarà anche la poszone d della sbarretta Un corpo dotato d un asse d smmetra Se una fgura pana ha un asse d smmetra possamo mmagnare d suddvderla n tante sbarrette con centro d smmetra su quell asse. on questo approcco estendamo faclmente l rsultato precedente per cu l barcentro s troverà scuramente sull asse d smmetra. Se gl ass d smmetra sono pù d uno, allora rpetendo l ragonamento trovamo che gacerà sul loro punto d ncontro. E l caso d un quadrato, un cercho, un anello, l cu barcentro sarà nel loro centro geometrco. Se l corpo ha tre dmenson l ragonamento s può rpetere per cu rsulta che corp sold regolar come sfere, clndr o parallelepped rett hanno l barcentro nel punto d ncontro de loro ass d smmetra. Un trangolo peno Una lamna pana a forma d trangolo s presta ad un calcolo del barcentro tramte suddvsone n barrette parallele ad uno de lat. Ognuna d esse avrà l suo barcentro nel punto medo, pertanto anche l barcentro del trangolo gacerà sul segmento comune a tutt punt med e coè la medana del lato a cu le barrette sono parallele. Rpetendo l ragonamento per un altro lato s dmostra così che l barcentro s trova nel punto d ncontro delle medane. Tre masse ugual ne vertc d un trangolo Osservamo che un rsultato analogo vale per un trangolo costtuto da tre masse ugual poste ne suo vertc. In questo caso possamo applcare la propretà dstrbutva sosttuendo alle masse e una massa par alla loro somma ma posta nel loro barcentro, coè nel punto medo del lato. Sappamo ora che l barcentro del sstema de due punt ed + gace sulla loro congungente, che n questo caso è la medana del lato. Rpetendo l ragonamento per un altra coppa è dmostrato che l barcentro s trova sul punto d ncontro delle medane. 4 arcentro d un generco quadrlatero peno asterà dvdere l quadrlatero n due trangol unendo con un segmento due suo vertc non consecutv. Sosttuendo po cascuno de due trangol con una massa puntforme posta nel suo barcentro, ovvero nel punto d ncontro delle medane, ne rcavamo che l barcentro del quadrlatero deve gacere sul 4

15 segmento che unsce due punt come n fgura. Rpetendo l ragonamento per una suddvsone n trangol dversa del quadrlatero, s avrà che ora dovrà stare sul segmento 4. Ne consegue che s troverà all ncontro de due segment e 4. Oggett scomponbl Nel caso s debba calcolare l barcentro d una fgura pana scomponble n element dotat d ass d smmetra, s può applcare la propretà dstrbutva. Nell esempo della lamna a forma d L, s ndvduano barcentr de due rettangol che la costtuscono, e che gaccono ne punt e n cu gl ass d smmetra s ncontrano. Successvamente s mmagnano le masse de rettangol concentrate n quest punt e s ndvdua lungo la congungente con la formula per le masse puntform. Nel secondo esempo della lamna a forma d casetta, s opera la scomposzone n un trangolo ed un rettangolo e s procede analogamente. Lamne con buch Se s ha a che fare con una lamna che presenta un buco, come quella crcolare qu a destra, è possble segure la stratega d mmagnare un altro buco smmetrco rspetto al prmo e d scomporre l oggetto n una lamna con due buch (e qund smmetrca rspetto a due ass, con nel loro punto d ncontro) ed una lamna pù pccola con la forma del buco, n questo caso anch essa smmetrca, con nel suo centro. Immagnando po le masse de due element concentrate ne loro barcentr, s può procedere all ndvduazone d. Esempo 0 Una tavola è ncernerata a metà della sua lunghezza. alcolare a quale dstanza dal punto d appoggo devono essere post barcentr d due masse che sono n relazone m 4m per avere l equlbro. d N d alcolando moment rspetto ad un asse perpendcolare al foglo e passante per l punto d appoggo della tavola s ha che l peso a snstra tende a far ruotare n verso antoraro e quello a destra n verso oraro. Ponendo opportunamente segn rsulta: m d m gd m gd 0 d d m 4 W W Esempo Una cassa cubca è appoggata sopra ad una tavola e sostenuta da due montant e. alcolare le forze eserctate da montant sapendo che: m 50 Kg, m 5.0 Kg. assa Tavola.4 m.0 m Dsegnamo lo schema del corpo lbero del sstema costtuto dalla cassa e della tavola, consderando che la gravtà è applcata nel centro geometrco della 5

16 F.4 m.0 m W W T F cassa, e nel centro geometrco della tavola, vsto che s tratta d oggett dotat d ass d smmetra. Le equazon dell equlbro s scrvono: F W W F 0 T 0 F W W F T Tutte le forze sono vertcal qund la prma equazone ha solo le component lungo l asse y : F m g m g F 0 T Per la seconda equazone, dato che è ndfferente l asse rspetto a cu s scegle d calcolare moment, prendamo quello che buca l pano del foglo passando per. In questo modo nfatt calcol sono facltat perché l momento d F, ncognta, rsulta nullo dato che la sua retta d azone passa per l asse. onsderato che pes della cassa e della tavola tendono a far ruotare l sstema n verso oraro attorno all asse per (e qund hanno moment negatv) e che noltre l bracco d W msura la metà della lunghezza totale della tavola T stessa, s ha: bracco d F nullo: momento nullo bracco d W par a.4 m, provoca rotazone orara: momento negatvo bracco d W par a.7 m, provoca rotazone orara: momento negatvo T bracco d F par a.4 m, provoca rotazone antorara: momento postvo 5 L da cu sosttuendo: 0.4 m g.7 m g.4 F 0 T Dall equazone de moment s rcava agevolmente:.7 m g.4 m g T ( ) 9.8 F 6 N.4.4 ed nserendo l rsultato nell equazone delle forze: F m g m g F N T E utle rsolvere nuovamente l problema sceglendo un dfferente asse per moment, ad esempo passante l punto oppure per l barcentro della tavola. Lcos F Esempo Un operao tene nclnata d un angolo una carrola che contene della ghaa ed ha massa complessva 60 Kg. Indcando con L la lunghezza della carrola, e sapendo che l barcentro s trova a L dalla ruota, s dca quanto vale 5 l ntenstà della forza F e della forza normale eserctata dal terreno. N pplchamo le equazon dell equlbro de corp. Per le forze, tutte vertcal: N W F 0 N mg F 0 5 Lcos W Per moment, calcolat rspetto ad un asse orzzontale che passa per la ruota: 0 0 mg L cos F L cos 0 N W F 5 6

17 Rsolvendo: F L cos mg L cos F N 5 5 N mg F N Esempo Un quadro d massa m 0.0 Kg vene appeso con un trante n modo da Q formare un angolo d 45.0 con la parete, come n fgura. Sapendo che la corda s rompe quando la tensone supera 500 N, s dca se l quadro s stacca dalla parete. he cosa accade nvece se un bambno d massa m 5.0 Kg s attacca al quadro lascandos penzolare dal punto pù alto? Traccamo lo schema del corpo lbero. Dobbamo supporre che la forza eserctata dal muro abba una componente tangenzale N per equlbrare l peso del quadro, ed una componente perpendcolare al muro, N per equlbrare la tensone del trante. S hanno le seguent equazon per l equlbro delle forze: F 0 N T 0 N T 0 N T x x x F 0 N W 0 N m g 0 N m g y y y Q Q Per l equlbro de moment convene sceglere un asse passante per la cernera, n modo da avere null moment delle due forze N ed N, dato che le rette d azone passano per : 0 0 W T onsderato che W tende a far ruotare n verso oraro attorno all asse per e qund ha momento negatvo e bracco verso antoraro con bracco L 4 L, mentre T tende a far ruotare n, e qund ha momento postvo, s ha: L L m g T 0 T m g N Q Q 4 Qund la corda non s rompe essendo T 500 N. S ha po: N T 96 N, N m g N Q Dopo l aggunta del bambno che s lasca penzolare dal punto pù alto, al sstema bambno e tabellone vene ora applcata anche la forza peso del bambno W. Lungo le ascsse l equazone d equlbro delle forse non camba, mentre lungo le ordnate s ha: F 0 N m g m g ( ) N y Q Per l equlbro de moment sempre attorno ad un asse perpendcolare al foglo e passante per : 5 L L 4 y 45 N x N 4 L L N N L T T W Q W Q W 7

18 L L m g T m g L 0 Q 4 T m g ( ) N Q Pertanto l trante non s rompe nemmeno n questo caso. y R L N N W b x D R W N h Esempo 4 Due bgle sferche d raggo R e massa m stanno sul fondo d una caraffa larga L come n fgura. S trovno le forze normal eserctate dalle paret e dal fondo. Per l equlbro s deve avere lungo l asse delle ascsse: N N 0 e lungo le ordnate: N mg 0 N mg Per l calcolo de moment convene sceglere un asse passante per l centro della sfera n basso, rspetto al quale sono null hanno rette d azone passant per esso. Rsulta: W N W 0 N, N, W, le cu forze ha momento negatvo dato che tende a far ruotare n verso oraro attorno a, ed l suo bracco vale: b L R N ha momento postvo dato che tende a far ruotare n verso antoraro attorno a, ed l suo bracco, consderato che D R, vale: h ( R) b 4 R ( L 4LR 4 R ) 4 LR L ) S ottene allora: N 4 LR L ) mg( L R) 0 mg( L R) N N 4 LR L ) Esempo 5 Una tavola d massa m 0.0 Kg e lunghezza L.00 m è appoggata al L muro n modo da formare con l pavmento un angolo d 45. Sapendo che è nullo l attrto statco con l muro, s calcolno le forze normal eserctate ne punt d appoggo e l attrto statco con l pavmento. 45 Per l equlbro s deve avere lungo l asse vertcale: N mg 0 N mg N e lungo l asse orzzontale: f N 0 f N s s 8

19 N alcolando moment rspetto ad un asse perpendcolare al pano del foglo n rsulta: L N L mg Esempo 6 Un uomo d massa 0 N mg N f s m 70.0 Kg cammna lungo un asse d massa U m 95.0 Kg ncernerato nel punto e sorretto da un trante che al massmo sopporta una tensone d 700 N. S trovno l valore della tensone nonché drezone ed ntenstà della forza N eserctata dal punto d appoggo n senza che v sa l uomo sopra. S dca qund fno a che dstanza dal muro l uomo può arrvare senza che l trante ceda. y L N x f s L W Dsegnamo lo schema del corpo lbero osservando che la forza eserctata dal vncolo nel punto deve avere sa una componente orzzontale N sa una vertcale N per equlbrare quelle vertcal del peso e del trante e quella orzzontale del trante. Ignorando dapprma l uomo, per l calcolo de moment convene un asse perpendcolare al pano del foglo nel punto, n modo da avere null quell delle due forze ncognte N e N : 8.0 T m g T T N 4.80 Lungo l asse vertcale s ha: N m g T 0 N N e lungo l asse orzzontale N T 0 N N La drezone della forza N N N è espressa dall angolo n fgura: N 6 arctan arctan arctan N 797 ggungendo l uomo ed ndcando con x la sua dstanza da, (nonché bracco d W ), l equlbro de moment dvene: U T m 0 g m U gx ed mponendo che sa T 700 N s trova la massma dstanza x ammessa: x 0 N N x W U m 8.0 m N N T N W 9

20 x m.0 m.6 m.4 m Esempo 7 Un operao d massa m 80.0 Kg sta verncando una faccata seduto su d O un asse d massa m 4.0 Kg sorretta da due fun. Sulla stessa asse c è un seccho d massa m 8.00 Kg, l tutto dsposto come n fgura. alcolare le tenson cu sono sottoposte le fun. S T.0 m.6 m W O W W S T.4 m Equlbro de moment rspetto ad un asse perpendcolare al foglo e passante per :.0m g.5m g.6m g.0 T 0 O S T N.0 Per l equlbro lungo l asse vertcale: T T ( m m m ) g 0 O S T ( m m m ) g T (80 4 8) N O S R R Esempo 8 Due masse sono appese alla pulegga con doppa ruota n fgura, con R 7 R. Sapendo che m 7.00 Kg s dca quale deve essere l valore 4 mnmo d m per far grare la ruota. m W W m ll equlbro la tensone d cascuna corda è uguale al peso delle masse qund l uguaglanza de moment rspetto ad un asse per l centro della pulegga mpone che: R R 4 m gr m gr 0 m m m m 4.00 Kg 7 R R 7 qund la ruota gra se m 4.00 Kg. 4 0

21 6. orp rgd appes od appoggat bbamo vsto che qualunque sa l sstema d forze applcato ad un corpo rgdo vncolato a muovers d moto pano, esso equvale sempre ad applcare n N un punto P l suo rsultante R, nseme ad una qualunque coppa d momento par al momento rsultante rspetto ad un asse passante per P perpendcolare al pano. Se qund voglamo l corpo rgdo n equlbro, coè non anmato da alcun moto d traslazone o d rotazone nel pano, la condzone necessara è che: Sa zero l rsultante delle forze: R F 0 Sa zero l momento rsultante delle forze rspetto ad un qualunque asse perpendcolare al pano: 0. Tal condzon vengono a volte dette condzon compatbl con l equlbro, perché non sono n generale suffcent per l equlbro, dato che comunque punt del corpo potrebbero essere anmat da moto rettlneo unforme, cosa compatble con l fatto che la rsultante delle forze agent su d ess sa nulla. Dremo allora che quando tal condzon sono soddsfatte, un corpo rgdo, che era nzalmente fermo, s mantene n equlbro. P Q mg P Q Un corpo appeso. Se un corpo vene sospeso per un suo punto P e s trova n equlbro, sgnfca che la reazone N del vncolo ha compensato l peso mg. Perché cò sa possble N deve essere dretta vertcalmente come lo è mg. Deve noltre avere momento nullo rspetto al barcentro, come lo ha mg, e coè la sua retta d azone passerà per. Ma poché essa è necessaramente applcata n P, la sua retta d azone è la retta vertcale condotta per P, e pertanto tale retta passa per l barcentro. Se l corpo è una lamna (od un qualunque oggetto rgdo a due dmenson), è possble determnare spermentalmente cambando l punto P d sospensone. Per quanto detto nfatt, nel barcentro s ncontrano tutte le vertcal condotte per punt d sospensone quando l corpo è n equlbro. Un corpo appoggato su d un pano Se su d un corpo appoggato agscono solo la gravtà e la forza normale al pano, (e qund n assenza d attrto fra l corpo ed l pano d appoggo) esso rmane n equlbro solo se la vertcale condotta per l barcentro cade entro l area d appoggo. on area d appoggo s ntende quella del pù pccolo fra polgon convess contenente tutt punt d contatto, come n fgura. Infatt da cascuno de punt d contatto vene eserctata una forza vertcale creandos così un sstema d forze parallele. La rsultante, applcata n un punto entro l area d appoggo, per equlbrare l peso dovrà avere momento zero rspetto al mg In equlbro Non n equlbro

22 barcentro e pertanto la sua retta d azone ntercetta. Ne segue che la vertcale per cade entro l area d appoggo. a Esempo 9 Una scultura d arte moderna s compone d due parallelepped a sezone quadrata d lato b, saldat a formare la lettera L capovolta. S dca se quando è appoggata come n fgura può reggers n ped, sapendo che a.50 m e b m, che la massa del paralleleppedo n basso vale m 5.00 Kg, mentre per quello n alto s ha m.00 Kg x b x ome sappamo, per un corpo appoggato la vertcale condotta per l barcentro deve cadere dentro all area d appoggo. Per vedere se questa condzone rsulta soddsfatta è suffcente calcolare la coordnata orzzontale x del barcentro n un rfermento che abba l orgne nell angolo n basso a snstra del paralleleppedo a terra. Sosttuendo due blocch cascuno con una massa concentrata nel propro barcentro s ha x b, a x da cu: x m x m x m m m Dato che x b la vertcale per l barcentro cade entro l area d appoggo e qund la scultura s regge n ped. Esempo 0 S dca se è possble costrure una pla d matton sporgent tale che l pù alto d ess fuoresca completamente dall area d appoggo. L L 4 Procedamo per pass consderando dapprma due matton uno sull altro. Il mattone sopra ha l barcentro nel suo centro geometrco, coè dove s ncontrano gl ass d smmetra, e al massmo può sporgere senza cadere della metà della sua lunghezzal : è questa nfatt l ultma poszone per cu la vertcale per l barcentro del mattone sopra non esce dall area d appoggo. ggungamo ora un terzo mattone sotto a prm due. L ultma poszone utle per l equlbro è quella per cu la vertcale per l barcentro della coppa sopra cade a flo del mattone sotto. Per trovare la poszone d applchamo la propretà dstrbutva del barcentro, sosttuendo cascuno de due matton con due punt massv concentrat ne rspettv barcentr e. Il barcentro sarà a metà strada fra e, essendo le due masse ugual. La stessa relazone s avrà fra la proezone orzzontale del segmento (che msura L L L come s vede n fgura) e la parte sporgente del mattone, che sarà. 4 La poszone d un quarto mattone sotto s rcava ancora sosttuendo tre sopra con una massa puntforme concentrata nel loro barcentro. S procede dapprma concentrando due matton nzal n, e po osservando che la

23 massa n è doppa della massa n e qund la dstanza d d da deve essere doppa della dstanza d d da, nfatt sappamo che d d m. m Qund s dvde n tre part e se ne prende una sola per d e due per d. La stessa proporzone vale sulla proezone n orzzontale d (che msura L L L come s vede n fgura) e la parte sporgente del mattone, che sarà. 6 Il ragonamento s rpete per l successvo sbalzo, dove per trovare l barcentro de quattro matton sopra se ne mmagnano concentrat tre n e po d m osservando che deve essere s dvde n quattro part e se ne 4 d m prende una sola per d e tre per d. La stessa proporzone vale sulla proezone n orzzontale d (che msura 4 L come s vede n fgura) e la parte sporgente del mattone, che sarà L L. Proseguendo con la stessa lnea d 4 8 ragonamento s ha che la somma degl sbalz s scrve: L che gà dopo 4 sbalz vale 5 4 L L. d L L 6 d