Dai circuiti ai grafi

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1 Da crcut a graf Il grafo è una schematzzazone grafca semplfcata che rappresenta le propretà d nterconnessone del crcuto ad esso assocato Il grafo è costtuto da un nseme d nod e d lat Se lat sono orentat s parla d grafo orentato Per nodo s ntende una gunzone crcutale d collegamento tra termnal (morsett) d dspost elettrc Per lato s ntende l percorso (orentato) tra due nod corrspondent a morsett del dsposto elettrco Nota storca: Krchhoff enuncò nel 87 la legge topologca delle corrent ne crcut elettrc applcando per prmo la teora de graf a problem elettrc Parte I AA /

2 Nozon topologche S defnsce cammno (o percorso) tra due nod A e B del crcuto un nseme d lat contgu tal congungere A e B senza creare percors chus ed aente come unche estremtà nod A e B S defnsce magla un nseme d lat tal da formare un percorso chuso (A B), nel quale n ogn nodo ncdono esattamente due lat Una rete elettrca s dce pana se è rappresentable con un grafo pano pro d ncroc tra lat (se non ne nod) Con rfermento a ret pane, s defnsce anello una magla che non contene magle al suo nterno Per anello esterno s ntende la magla perferca, oero quella magla che non ha nulla al suo esterno S defnsce nseme d taglo l nseme de lat che ntersecano una superfce chusa (gaussana), detta superfce d taglo Parte I AA /

3 Da crcut a graf Per corrente d lato s ntende la corrente relata al lato n esame con rfermento all orentazone ad esso assocata Per tensone d lato s ntende la tensone tra nod che fanno capo al lato n esame In base alla conenzone dell utlzzatore, s assume come morsetto posto quello nel quale la corrente è entrante A B A lato k B k AB k AB Precsazone su lettere mauscole/mnuscole La potenza elettrca stantanea assorbta nel lato k è defnta: p k k k Parte I AA /

4 Da crcut a graf E qund possble rappresentare le connesson d una rete elettrca costtuta da dspost a due morsett (bpol) sosttuendo a cascun dsposto un lato ed una coppa d nod n corrspondenza de due morsett Nel caso d dspost a pù morsett (multpol) è possble consderare un morsetto come nodo d rfermento ed utlzzare un lato per cascuno de rmanent morsett, collegandolo al nodo d rfermento Nel caso d bpol multpl (multbpol) s può consderare un lato per ogn bpolo, oero un lato (solato) per ogn porta S consderano graf conness, oero graf per qual tutt nod sono tra d loro collegat da un cammno In caso contraro è possble consderare graf ncernerat (ed esempo laagna) In generale, l rfermento è a graf orentat con n nod ed l lat Parte I AA /

5 Da crcut a graf: esempo crcuto elettrco n, l grafo orentato Parte I AA /

6 7 Matrce d ncdenza [A] (de nod) Le propretà d nterconnessone d una rete elettrca, rappresentate samente dal grafo orentato ad essa assocato, possono essere sntetzzate n forma matrcale In partcolare, un metodo molto ntuto consste nello specfcare qual sono lat che ncdono su cascuno degl n nod della rete e con quale erso; ognuno de l lat ncderà su due sol nod, n uno con erso entrante, nell altro con erso uscente Come s edrà nel seguto, è suffcente consderare le propretà d ncdenza su n- nod n quanto sull n-esmo nodo ncdono lat gà consderat per nod restant Parte I AA /

7 8 Parte I AA / ed esempo laagna Matrce d ncdenza [A] (de nod): LKC a nod LKC: () () () ()

8 9 Matrce d ncdenza [A] (de nod) Vene così ntrodotta la matrce d ncdenza (rdotta) [A], detta anche matrce de nod, come una matrce d n- rghe ed l colonne composta dagl element a hk che assumono alor,,, secondo la regola seguente: a hk se l lato k esce dal nodo h se l lato k entra nel nodo h se l lato k non ncdesul nodo h lat M n L a hk k L l ed esempo laagna Parte I AA / nod [A]

9 Matrce d ncdenza [A] (de nod) Dalla defnzone rsulta che n ogn colonna, coè relatamente a cascun lato, s hanno al pù due coeffcent non null, d segno opposto, che rappresentano l ncdenza su due nod d estremtà Le colonne relate a lat che ncdono sull n-esmo nodo, non ncluso nella matrce, aranno un solo coeffcente non nullo Le propretà d ncdenza d tale nodo s desumono qund dagl n- nod restant Includendo nella matrce d ncdenza anche l n-esma rga s otterrebbe qund una matrce sngolare, n quanto la somma delle rghe fornsce un ettore dentcamente nullo Oero, l n-esma rga s può esprmere come combnazone lnear delle n- rghe precedent (la somma cambata d segno) In questo caso, tutte le l colonne arebbero per element, ed rmanent tutt null Parte I AA /

10 Parte I AA / Formulazone matrcale delle legg d Krchhoff E mmedato erfcare che la matrce d ncdenza, così per come è defnta, consente d esprme n forma matrcale la legge d Krchhoff delle corrent applcata agl n- nod della rete elettrca Consderando nfatt le l corrent d lato,,, h,, l [] s ottene: [A][] a a a a a a Tal n- equazon rsultano lnearmente ndpendent n quanto cascuna rga, relata ad un nodo derso, aggunge almeno una arable rspetto alle precedent, n quanto n quel nodo ncderà almeno un nuoo lato, a meno che l nodo non sa l ultmo (n-esmo) Tutte le equazon ottenute con tagl possono essere scrtte componendo tra loro (combnazone lneare) quelle a nod n n an l l a l a l l l

11 Parte I AA / Formulazone matrcale delle legg d Krchhoff In modo analogo, la matrce d ncdenza, n forma trasposta [A] T, consente d esprmere n forma matrcale la legge d Krchhoff delle tenson applcata alle tenson de n- nod della rete elettrca rspetto al nodo n-esmo scelto come rfermento, e k kn Consderato nfatt tal tenson d nodo e, e,, e k,, e n- [e] s ottene: [A] T [e] [] a a a l e e e a a a Oero, la tensone k d cascun lato è espressa come dfferenza tra le due tenson d nodo relate al lato k rspetto al nodo n-esmo d rfermento Per lat che ncdono nel nodo n-esmo s ha semplcemente che la tensone d nodo concde con quella d lato, e j ± j l e e e a a a n n nl e e n e n n l

12 Formulazone matrcale delle legg d Krchhoff Con rfermento alla fgura, s ha qund: e x e y k nodo x lato k nodo y Dalle precedent l relazon scalar possono essere elmnate le n- tenson d nodo, ottenendo così le l-n equazon ndpendent d Krchhoff rspetto le l tenson d lato La matrce d ncdenza trasposta [A] T sntetzza qund, se pur n modo rdondante, la legge d Krchhoff delle tenson Parte I AA / xn n nodo rf E possble esprmere le n- LKC ndpendent anche con procedure derse, basandos su opportune superfc d taglo In generale s ottene una matrce detta matrce degl nsem d taglo La matrce d ncdenza è ottenuta sceglendo superfc che contengono solo nodo k yn

13 Matrce degl anell [B] Nel caso d ret pane, le propretà d nterconnessone d una rete elettrca possono essere rappresentate sulla base degl anell puttosto che su nod, come aena per la matrce d ncdenza S può dmostrare che un grafo pano d n nod ed l lat possede ln anell E mmedato erfcare che tutte le magle della rete possono essere ottenute come sorapposzone (somma) d anell In partcolare, supponendo d orentare tutt gl anell con erso concorde (oraro o antoraro), per cascuno degl l lat della rete è possble specfcare se appartene o meno ad uno degl ln anell, e con quale orentazone; ogn lato apparterrà al pù a due anell (contgu) con orentazone opposta Consderando anche l anello esterno orentato n senso opposto, ogn lato appartene esattamente a due anell con orentazone opposta Parte I AA /

14 Parte I AA / ed esempo laagna Matrce degl anell [B]: LKT agl anell LKT: () () () ()

15 Matrce degl anell [B] Vene così ntrodotta la matrce degl anell (rdotta) [B] come una matrce d ln rghe ed l colonne composta dagl element b hk che assumono alor,,, secondo la regola seguente: b hk se l lato k se l lato k se l lato k apparteneall'anelloh con orentazone concorde apparteneall'anelloh con orentazone dscorde non apparteneall'anelloh Ognuna delle l colonne arà al pù due element non null, d segno opposto, n corrspondenza de due anell a cu appartene l corrspondente lato Includendo un ulterore rga corrspondente all anello esterno (con orentazone opposta), ogn rga arebbe per element, e tutt rmanent anell [B] M ln lat L k b hk L l Parte I AA /

16 7 Formulazone matrcale delle legg d Krchhoff In modo analogo alla matrce de nod, anche la matrce degl anell consente d esprmere n forma matrcale le legg d Krchhoff Infatt, per ognuno degl ln anell sono specfcat lat d appartenenza con la relata orentazone Introducendo le l tenson d lato k rsulta qund sntetzzata la legge delle tenson per cascun anello: [B][] b b b b b b b b l n l n bl n l l l l l l Tal equazon rsultano tra loro ndpendent, n quanto ogn anello ntroduce almeno un nuoo lato e qund una nuoa tensone Ogn equazone aggunta alle magle s ottene come combnazone lneare Parte I AA /

17 8 Formulazone matrcale delle legg d Krchhoff E possble rappresentare anche la legge delle corrent ntroducendo le cosddette corrent d anello (o corrent cclche), grandezze auslare assocate ad ogn anello, j, j,, j l-n Tal corrent sono defnte n modo da esprmere medante la loro somma algebrca la corrente d ogn lato, consderando gl anell a qual l lato appartene e le loro orentazon rspetto a quella del lato ( o al pù anell) Con rfermento agl anell x ed y d fgura ed al lato k ad ess comune s ha qund: k j x j y Per gl anell estern s ha: k ± j h j x k j y Parte I AA /

18 9 Formulazone matrcale delle legg d Krchhoff Consderando la matrce degl anell n forma trasposta [B] T, è possble gungere all espressone: [B] T [j] [] b b b l j j j b b b l j j j b b n b n nl Elmnando dalle precedent l equazon le ln corrent d anello s ottengono n relazon ndpendent che esprmono le LKC E possble esprmere le ln LKT ndpendent anche con procedure derse, basandos su opportune magle S ottene una matrce detta matrce delle magle, rspetto alla quale quella degl anell è un caso partcolare j j n j n n l Parte I AA /

19 Teorema d Tellegen Enuncato: S consder una rete elettrca ed l corrspondente grafo orentato con n nod ed l lat Sano [] ed [] un qualsas nseme d l tenson d lato e d l corrent d lato e che soddsfano le legg d Krchhoff S ha allora che: l k k k T oero [ ] [ ] Se [] ed [] rappresentano le tenson e le corrspondent corrent d lato n uno stesso stante, s ha che l teorema d Tellegen s rduce al prncpo d conserazone delle potenze stantanee Per crcut concentrat s ha qund che la conserazone dell energa è una dretta conseguenza delle legg d Krchhoff Parte I AA /

20 Teorema d Tellegen Dmostrazone: Se [] ed [] soddsfano le legg d Krchhoff, è possble ntrodurre la matrce d ncdenza [A] che soddsfa alle relazon: [A][] [A] T [e] [] Dalla seconda relazone s ottene: [] T ([A] T [e]) T [e] T [A] Moltplcando per []: [] T [] [e] T [A] [] Introducendo la prma relazone: [] T [] Una procedura analoga può essere seguta con la matrce degl anell [B] o con le matrc topologche [D], [C] che saranno ntrodotte nel seguto ed esempo laagna Parte I AA /

21 Ulteror propretà de graf orentat: albero e coalbero Un ulterore metodo sstematco che consente d screre n equazon LKC ndpendent ed ln equazon LKT ndpendent è basato sull ntroduzone del concetto fondamentale d albero e coalbero per l grafo orentato che rappresenta la rete elettrca n esame S defnsce albero d un grafo orentato connesso, un suo sottografo connesso che contene tutt gl n nod e non possede magle S può dmostrare che è possble defnre un numero totale d alber ders tra loro par a: l! / [(n)! (ln)!] Per come è defnto, ogn albero possederà esattamente b n lat I lat d albero sono dett ram S defnsce coalbero l nseme de restant lat del grafo, che saranno par a: c l (n) ln I lat d coalbero sono dett corde S ordnano lat, prma albero e po coalbero: [] [ a c ], [] [ a c ] In alcun cas è possble consderare un albero a stella, laddoe n nod sano tutt raggungbl dall n-esmo nodo tramte un solo lato Parte I AA /

22 Parte I AA / Matrce degl nsem d taglo fondamental (ram) S consderano come superfc d taglo quelle che ntersecano un solo ramo d albero, una per cascun ramo e con orentazone ad esso concorde Applcando la LKC a corrspondent nsem d taglo s ottene un nseme d n equazon ndpendent, n quanto per cascuna s ntroduce una nuoa arable (la corrente del corrspondente ramo) Utlzzando una notazone matrcale e ordnando lat n modo da consderare prma quell d albero (da ad n), po quell d coalbero (da n ad l), L n n K l s ottene: L [D][] [D] [, F] [D] detta anche matrce de Ram M n M M L O ram [ F] corde

23 Parte I AA / Matrce degl nsem d taglo fondamental (ram) ed esempo laagna LKC: () () () albero Rnumerando lat secondo l ordne de ram d albero s ottene:

24 Matrce degl nsem d taglo fondamental (ram) In analoga con la matrce de nod [A], cascuna rga della matrce [D], assocata ad uno degl n nsem d taglo, ha element, oppure a seconda che l lato corrspondente sa parte del taglo con orentazone concorde, dscorde o non appartenga affatto al taglo consderato E mmedato erfcare che la matrce de nod è un caso partcolare d matrce degl nsem d taglo fondamental laddoe s possa ndduare un albero a stella, fssando come rfermento l nodo centro della stella La matrce [D] n forma trasposta può essere utlzzata per esprmere le ln equazon LKT ndpendent delle tenson d lato [] n funzone delle n tenson d ramo, [ r ]: [] [D] T [ r ] Nota: la tensone d cascun lato d coalbero è espressa dalla LKT come somma algebrca delle tenson d albero che appartengono alla corrsponente magla fondamentale Parte I AA /

25 Matrce degl nsem d taglo fondamental (ram) Rprendendo la numerazone d lat e nod utlzzata con la matrce d ncdenza: () () () LKC: albero a stella Oero, s ottengono le stesse equazon (a meno del segno) Parte I AA /

26 Parte I AA / Matrce delle magle fondamental (corde) S consderano come magle quelle ottenute aggungendo un lato d coalbero a lat d albero, con orentazone concorde a quella del lato d coalbero Ognuna delle ln magle fondamental così ottenute è qund costtuta da una corda e da alcun ram Applcando la LKT a cascuna d queste s ottene un nseme d ln equazon ndpendent, n quanto per cascuna s ntroduce una nuoa arable (la tensone della corrspondente corda) Ordnando lat consderando ancora prma ram (da ad n), e po le corde (da n ad l) s ottene: L n n K l L [C][] [C] [E, ] [C] detta anche matrce delle CordE M ln [E] ram M L L corde M 7

27 8 Parte I AA / coalbero Matrce delle magle fondamental (corde) LKT: () () () albero

28 Matrce delle magle fondamental (corde) 9 In analoga con la matrce degl anell [B], cascuna rga della matrce [C], assocata ad una delle ln magle, hanno alore, oppure a seconda che l lato corrspondente sa parte della magla con orentazone concorde, dscorde o non appartenga affatto alla magla consderata E mmedato erfcare che la matrce degl anell è un caso partcolare d matrce delle magle fondamental laddoe n un grafo pano s possano ndduare magle fondamental tutte concdent con anell In tal caso, ad ogn corda corrsponde un anello La matrce [C] n forma trasposta può essere utlzzata per esprmere le n equazon LKT ndpendent delle corrent d lato [] n funzone delle ln corrent d corda, [ c ]: [] [C] T [ c ] Nota: la corrente d cascun lato d albero è espressa dalla LKC come somma algebrca delle corrent d corda che appartengono al corrspondente taglo fondamentale Parte I AA /

29 Parte I AA / LKT: () () () Matrce delle magle fondamental (corde) Rprendendo la numerazone d lat e nod utlzzata con la matrce degl anell: Oero, s ottengono le stesse equazon (a meno del segno)

30 Relazone tra matrce de ram e matrce delle corde La matrce de ram e la matrce delle corde derant dallo stesso albero (e qund dallo stesso coalbero) presentano netablmente una relazone d legame La relazone può essere dedotta con la seguente procedura: S consder un nseme d tenson d ramo [ r ], tale nseme non dee soddsfare ad alcuna relazone e può essere del tutto arbtraro S calcolano le corrspondent tenson d lato: [] [D] T [ r ] Introducendo tal tenson nella: [C][], s ottene: [C][D] T [ r ] Essendo [ r ] arbtraro, n partcolare qualsas [ r ], la relazone cercata non può che essere del tpo: [C][D] T [] oppure, consderando la trasposta: [D][C] T [] Parte I AA /

31 Relazone tra matrce de ram e matrce delle corde Una olta ndduato l albero (e qund l coalbero) della rete n esame, le nformazon topologche contenute nelle matrc de ram e delle corde, [D] e [C], sono raccolte nelle loro sottomatrc [F] ed [E], sulla base delle relazon: [D] [, F] ed [C] [E, ] Introducendo la precedente relazone d legame tra [D] e [C] s ottene: F T [ F] [ ][ ] T C D [ E] [] [] [ E] [ ] T La relazone d legame tra le sottomatrc rsulta pertanto: [E] [F] T oppure: [F] [E] T Parte I AA /