7(25,$'(,&,5&8,7, Introduzione Si consideri un sistema elettrico costituito da un certo numero di componenti (vedi figura 1).

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1 7(5,$'(,&,5&8,7, Introduzone S consder un sstema elettrco costtuto da un certo numero d component (ed fgura ). A % ' = 0 = 0, t t D S L B 5 P L P 4 C L )LJXUD Cascun componente (A, B, C, D) è racchuso all nterno d un contentore da cu escono de termnal collegat elettrcamente tra d loro medante de fl metallc (,,, 4, 5). Tutto l sstema è mmerso nell ara che è un mezzo solante. La regone costtuta da tutto lo spazo meno quello occupato da component (spazo esterno a component) è una UHJLRQH D FRQQHVVLRQH OLQHDUH VHPSOLFH: presa una qualsas lnea chusa che gace n tale regone, esste almeno una superfce che s appogga a tale lnea che gace anch essa tutta all nterno della regone consderata. S supponga che nello spazo esterno a component sa possble consderare nulla la derata temporale della nduzone magnetca e dello spostamento elettrco. S consder qund la crcutazone del campo elettrco relata ad una qualsas lnea chusa L che gace nello spazo esterno a component. Rsulta : / Φ (GO = GW G % =0 () Dalla () segue che la crcutazone del campo elettrco lungo una lnea che congunge due punt qualsas P e P, rmanendo sempre nello spazo esterno a component, non dpende dalla partcolare lnea scelta ma uncamente da punt P e P (s dce che LO FDPSR HOHWWULFR q FRQVHUYDWLYR) e ene chamata dfferenza d potenzale tra l punto P ed l punto P :,/ ( GO= ( GO= Y (),/ S consder una superfce chusa S qualsas che gace nello spazo esterno a component, rsulta : 6 6 ' Q G6= 0 => QG6= 0 W () Crcutdef

2 La denstà olumetrca d corrente elettrca, nello spazo esterno a component è nulla ounque tranne che all nterno delle connesson metallche. In partcolare s consder una superfce S che racchude al suo nterno solo un tratto d connessone metallca; dalla () segue che la corrente che crcola n quella connessone, non dpende dal punto consderato della connessone, ma è una caratterstca della connessone. Nessun sstema elettrco reale erfca esattamente le potes assunte per quello sopra descrtto ; tal potes sono però soddsfatte con buona approssmazone per molt sstem elettrc real, per descrere qual s fa uso d un modello deale che prende l nome d crcuto elettrco a costant concentrate. In partcolare, per tal sstem, la crcutazone del campo elettrco lungo una lnea che congunge due punt non è ndpendente dalla lnea scelta, ma la dpendenza è così pccola che rsulta trascurable a tutt gl effett pratc. In tal caso, nece d parlare d dfferenza d potenzale, per ndcare l approssmazone fatta, s prefersce parlare d tensone tra due punt. Defnzon e Legg d Krchhoff Un FLUFXLWR HOHWWULFRDFRVWDQWLFRQFHQWUDWH, o rete elettrca, è un nseme d component elettrc deal descrtto dalle legg d Krchhoff. Nel seguto, per semplctà, con la parola crcuto elettrco s ntenderà crcuto elettrco a costant concentrate. Un componente elettrco deale (ed fgura ) è caratterzzato da un numero d termnal, o morsett. $ )LJ&RPSRQHQWHDWUHWHUPLQDOL A cascun termnale è assocata una corrente che è unocamente defnta, n alore e segno, una olta che sa stato arbtraramente scelto l suo erso posto (ndcato dalla frecca): una corrente = sgnfca che una corrente d ntenstà par a Ampère entra nel componente A attraerso l termnale, ceersa, una corrente = sgnfca che una corrente d ntenstà par a Ampère esce dal componente A attraerso l termnale Ad ogn coppa d termnal è assocata una tensone che è unocamente defnta, n alore e segno, una olta che sa stato arbtraramente scelto l termnale d rfermento (ndcato col segno ): una tensone = sgnfca che l termnale s troa ad un potenzale superore d Volt rspetto a quello del termnale, ceersa una tensone = sgnfca che l termnale s troa ad un potenzale nferore d Volt rspetto a quello del termnale. Un componente con termnal ene chamato bpolo. Nel seguto, per semplctà, s supporrà che crcut n esame sano costtut d sol bpol; se cò non fosse ero, s può pensare d rcondurs alla potes, sosttuendo component con pù d due termnal con opportun crcut equalent costtut da sol bpol: cò è scuramente possble medante l'ntroduzone d generator controllat (che erranno defnt nel seguto). I termnal de component sono collegat tramte connesson deal, caratterzzate dall'aere una tensone nulla a loro cap (ed fgura ). Crcutdef

3 )LJ&RQQHVVLRQHLGHDOHY Un nodo d un crcuto elettrco è un punto a cu sono collegat o pù termnal, oppure è un termnale solato. Il crcuto della fgura 4 è costtuto da cnque bpol; collegat a 4 nod (A, B, C, D) )LJXUD&LUFXLWRFRQHOHPHQWLHQRGL S defnsce ramo un tratto d crcuto che unsce due nod. S defnsce magla una sequenza d ram che nddua un percorso chuso. S defnsce sequenza chusa d nod una successone d nod tale che l prmo nodo concde con l'ultmo. /D /HJJH GL.LUFKKRII GHOOH 7HQVLRQL /.7 afferma che per una qualsas sequenza chusa d nod la somma algebrca delle tenson (tra due nod success) è nulla. La LKT applcata ad una magla del crcuto afferma che la somma algebrca delle tenson d ramo è nulla. Con rfermento al crcuto della fgura 4, applcando la LKT alla sequenza chusa d nod 4 s ottene la seguente equazone: Y Y Y Y 0 (4) 4 4= Le tenson d nodo d un crcuto sono le tenson de nod del crcuto rspetto ad un nodo d rfermento, la cu scelta è arbtrara. La LKT permette d screre la tensone tra una qualsas coppa d nod del crcuto n funzone delle tenson d nodo: con rfermento alla fgura 4, supponendo d sceglere l nodo A come nodo d rfermento, ed ndcando con e B ed e C le tenson d nodo de nod B e C ( H = Y ; H = ) la equazone (4) permette d screre: % %$ & Y&$ Y %& = H H (5) % & La sequenza chusa d nod ABCDA nddua un percorso chuso attraerso component del crcuto: tratt d tale percorso all'nterno d cascun componente engono dett ram ed l percorso, Crcutdef

4 magla. Applcando la LKT alla magla ABCDA, tenendo conto de ers post scelt per le tenson a cap de component (tenson d ramo) s ottene la seguente relazone: Y Y Y Y 0 (6) 4 = La LKT applcata ad una magla del crcuto afferma che la somma algebrca delle tenson d ramo è nulla. LaOHJJHGL.LUFKKRIIGHOOH&RUUHQWL/.& afferma che per ogn superfce chusa che nterseca uncamente le connesson tra component, e non component stess, la somma algebrca delle corrent che attraersano la superfce è nulla. S consder n prmo luogo una superfce chusa che racchuda al suo nterno solo un bpolo (ed fgura 5a). S )LJD/HJJHGL.LUFKKRIIGHOOHFRUUHQWLDSSOLFDWDDGXQELSROR La corrente entra nella superfce ndcata con la lnea tratteggata S nella fgura, mentre la corrente esce da tale superfce; la LKC afferma qund che dee essere: =.Tenendo conto d cò, con rfermento alla fgura 5b s consder la superfce chusa la cu rappresentazone nel pano del dsegno è la lnea tratteggata S. S S A B 5 D 4 4 C 5 )LJXUDE/HJJHGL.LUFKKRIIGHOOHFRUUHQWL Le corrent che attraersano tale superfce sono la corrente e la corrente 4 che entrano nella superfce e la corrente 5 che esce, per cu la LKC applcata a tale superfce permette d screre la seguente equazone: L L L 0 (7) 4 5= Crcutdef 4

5 S consder la superfce chusa la cu rappresentazone nel pano del dsegno è la lnea tratteggata S : tale superfce racchude al suo nterno solo l nodo B e la LKC ad essa assocata afferma che la somma algebrca delle corrent de ram che escono dal nodo B è nulla: L L L 0 (8) 5= /H GXH OHJJL GL.LUFKKRII GHOOH WHQVLRQL H GHOOH FRUUHQWL SHUPHWWRQR GL VFULYHUH GHOOH HTXD]LRQLOLQHDULWUDOHWHQVLRQLHOHFRUUHQWLFKHQRQGLSHQGRQRGDOODQDWXUDGHLFRPSRQHQWL SUHVHQWL QHO FLUFXLWR PD XQLFDPHQWH GD FRPH HVVL VRQR FROOHJDWL WUD GL ORUR WRSRORJLD GHO FLUFXLWR Sa dato un crcuto caratterzzato da R ram ed N nod. Per cascun ramo s assumano ers post per la tensone d ramo e la corrente d ramo secondo la conenzone dell utlzzatore, che, una olta scelto l erso posto della tensone, fssa commeerso posto della corrente quello che porta da nodo con tensone maggore a quello con tensone mnore (ed fg. 6). )LJ 9HUVL GL ULIHULPHQWR SHU OD WHQVLRQH H OD FRUUHQWH GL UDPR VHFRQGR OD FRQYHQ]LRQH GHOO XWLOL]]DWRUH Teorema d Tellegen Preso arbtraramente un nodo come nodo d rfermento del crcuto, la LKT permette d screre R relazon del tpo (5) lnearmente ndpendent che n forma matrcale assumono la forma: Y = 0 H (9) doe Y è l ettore delle tenson d ramo, H è l ettore delle tenson d nodo ed 0 è una matrce aente R rghe ed (N) colonne, l cu generco elemento M hk rsulta nullo se l ramo h non è collegato al nodo k, uguale a se la corrente del ramo h esce dal nodo k, se la corrente del ramo h entra nel nodo k. La LKC applcata a tutt nod tranne quello d rfermento permette d screre (N) equazon del tpo (8) che n forma matrcale assumono la forma: $ L = 0 (0) doe L è l ettore delle corrent d ramo ed $ è una matrce, chamata matrce d ncdenza rdotta, aente (N) rghe ed R colonne, l cu generco elemento A hk rsulta nullo se l ramo k non è collegato al nodo h, uguale a se la corrente del ramo k esce dal nodo h, se la corrente del ramo k entra nel nodo h. Rsulta qund: 0 $ 7 = () Dalle equazon (9), (0) ed () segue l 7HRUHPD GL 7HOOHJHQ che afferma che, per un dato crcuto, preso un qualsas ettore d tenson d ramo, che soddsf le LKT (9) per quel crcuto, Crcutdef 5

6 ed un ettore d corrent d ramo, che soddsf le LKC (0) per quel crcuto, allora ale la seguente relazone: Y T L = 0 () Facendo rfermento a ers assocat d tensone e corrente (fg. 6), s defnsce potenza elettrca assorbta da un bpolo n un generco stante t, l prodotto tra la tensone presente a suo termnal all stante t e la corrente che lo attraersa n quell stante: ( W) Y( W)( L W) S = () Quando la potenza così defnta è posta l bpolo assorbe potenza; quando nece è negato l bpolo eroga potenza Pù n generale, facendo rfermento ad un generco componente con N termnal, la potenza elettrca assorbta da tale componente n un generco stante t è data dalla seguente espressone: S () W = Y () W L () W N = N N (.a) doe s è preso l'ennesmo termnale come termnale d rfermento per le tenson ed ers post delle corrent sono tutt entrant nell'elemento. S può dmostrare che la potenza elettrca assorbta espressa dalla (.a) non dpende dalla scelta del termnale d rfermento E possble ntrodurre una conenzone dersa da quella gà menzonata dell utlzzatore: la conenzone del generatore. Secondo tale conenzone, una olta scelto l erso posto della tensone, ene fssato come erso posto della corrente quello che porta da nodo con tensone mnore a quello con tensone maggore (ed fg. 7). )LJ 9HUVL GL ULIHULPHQWR SHU OD WHQVLRQH H OD FRUUHQWH GL UDPR VHFRQGR OD FRQYHQ]LRQH GHO JHQHUDWRUH Per un bpolo per l quale s sa adottata la conenzone del generatore, l prodotto : ( W) Y( W)( L W) S = (4) assume l sgnfcato d potenza erogata. Quando tale prodotto è posto l bpolo eroga potenza; quando nece è negato l bpolo assorbe potenza &0(7,(/(775,&, Nel seguto engono descrtte e dscusse le equazon costtute e le propretà fondamental d alcun tra component d mpego pù dffuso n elettrotecnca. I component elettrc sono soggett a derse classfcazon, n base alle loro propretà. Crcutdef 6

7 Un componente ene dettosdvvlyr quando l energa ( a assorbta da esso, ottenuta ntegrando nel tempo la potenza assorbta S a, è n qualsas stante maggore o uguale a zero: W () G 0 W ( ( W) S τ τ (5) D = D La (5) mplca che un componente passo può assorbre potenza S a negata (oero può erogare potenza) solo se può attngere ad una energa nterna precedentemente mmagazznata. Un componente che non gode della propretà (5) s dce DWWLYR. Un componente per l quale sa possble esprmere la tensone n funzone della corrente, oero sa possble screre la legge costtuta nella forma: Y = Y ene detto FRPSRQHQWHFRQWUROODWRLQFRUUHQWH. Un componente per l quale sa possble esprmere la corrente n funzone della tensone, oero sa possble screre la legge costtuta nella forma: ( Y) L = L ene detto FRPSRQHQWHFRQWUROODWRLQWHQVLRQH. ( L) Resstore lneare R )LJXUD5HVLVWRUHOLQHDUH Il smbolo del resstore lneare è ndcato nella fgura 8. Con rfermento a ers assocat d tensone e corrente, la legge costtuta del resstore è la seguente: Y= 5L (6) doe R è una costante chamata resstenza del resstore (msurata n ê). L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: S= 5L (7) Se la resstenza R è posta, la potenza elettrca assorbta rsulta essere sempre posta od al pù nulla, quando la corrente è nulla; n base alla (5) l resstore è qund un componente passo. Un flo d rame d lunghezza L e sezone S può essere modellato per mezzo d un resstore d resstenza R par a ρ L / S, n cu la potenza elettrca assorbta ene trasformata n energa nterna del sstema e ceduta nteramente all'ambente crcostante sotto forma d calore, se la temperatura del flo ene mantenuta costante. Dalla (6) segue che se è nota la corrente che crcola sul resstore lneare è nota anche la tensone a cap del resstore; l resstore lneare è qund un componente controllato n corrente. Dalla (6) segue noltre che se R è dersa da zero, quando è nota la tenson a cap del resstore, è anche nota la corrente che lo attraersa, par a /R; l resstore lneare è anche controllato n tensone. Il resstore lneare è qund un componente controllato sa n tensone che n corrente. La connessone deale, llustrata nella fgura ed anche chamata corto crcuto, può essere consderata un resstore lneare d resstenza nulla, come tale rsulta essere un componente Crcutdef 7

8 controllato n corrente, ma non n tensone; nfatt ad un unco alore d tensone corrspondono nfnt alor possbl della corrente. Vceersa, un crcuto aperto, l cu smbolo è rappresentato nella fgura 9, può essere consderato come un resstore d resstenza nfnta e come tale è un componente controllato n tensone, ma non n corrente: nfatt all'unco alore possble della corrente (0) corrsponde una nfntà d alor possbl della tensone a cap del crcuto aperto. )LJXUD&LUFXLWRDSHUWR Due o pù resstor s dcono collegat n sere quando sono percors dalla stessa corrente. Facendo rfermento alla fg. 0, è possble screre la legge costtuta de tre resstor 5 5 5, percors dalla stessa corrente corrente L: Y $% = 5 L, Y %& = L5, Y &' = L5. R R R R eq = R R R A B C D A D AB BC CD )LJXUD5HVLVWRULFROOHJDWLLQVHULH Tenuto conto che, per la LKT, la tensone Y tra morsett nzal e fnal della sere A e D ale: Y = Y$% Y%& Y&', rsulta anche che: Y = ( ) L = 5HTL, doe la resstenza 5 eq = ene defnta resstenza equalente della sere. I tre resstor n sere s comportano qund come un unco resstore con resstenza par ad 5 eq. Il ragonamento può essere generalzzato al caso d Q resstor n sere, che hanno una resstenza equalente 5 eq par alla somma delle resstenze che costtuscono la sere: 5 HT = 5 L. Q = L Due o pù resstor s dcono collegat n parallelo quando la tensone a loro cap è la stessa (fg. ). Le legg costtute de tre resstor 5 5 5, n fg. soggett alla stessa tensone Y possono essere scrtte nella forma: L = Y 5, L = Y 5, L = Y 5. Per la LKC applcata alla superfce chusa S n fg. ale noltre: L = L L L. S rcaa qund: Y L Y =, ( ) = 5 HT (8) Crcutdef 8

9 doe ( 5 ) 5 HT = 55 ene defnta resstenza equalente del parallelo. S R R R R eq =(/ R / R / R ) )LJXUD5HVLVWRULFROOHJDWLLQSDUDOOHOR E possble generalzzare al caso d un parallelo d Q resstor: n tal caso, la resstenza equalente 5 eq è par all nerso della somma degl ners delle resstenze che costtuscono l parallelo: Q 5 HT =. 5 L= L (9) Induttore lneare L )LJXUD,QGXWWRUH Il smbolo dell'nduttore lneare è ndcato nella fgura, la sua legge costtuta è la seguente: GL Y=/ GW (0) doe L è una costante chamata nduttanza dell'nduttore (msurata n H). L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: G S= / L GW () La () mostra che l energa elettrca assorbta dall'nduttore ale (P = / L ; tale energa è unocamente determnata dal alore della corrente L che attraersa l nduttore, ed è per tale moto conserata. L energa assorbta ( m ene qund mmagazznata come d energa elettromagnetca Crcutdef 9

10 nell'nduttore e, una olta mmagazznata, può essere nteramente resttuta a component del crcuto cu è collegato l'nduttore durante un transtoro successo. L energa assorbta ( m è sempre posta, e n base alla (5) l nduttore rsulta essere un componente passo. La potenza elettrca assorbta dall'nduttore può nece assumere alor sa post che negat. Un aolgmento costtuto da N spre fnemente aolte sopra un nucleo torodale d materale ferromagnetco dolce, qualora l'ntenstà della corrente che lo percorre non sa troppo eleata, n modo da poter trascurare la saturazone del materale ferromagnetco, può essere modellato come un resstore ed un nduttore collegat n sere (ed fg. ). Il campo magnetco prodotto dalla corrente L, a causa dell'eleato alore della permeabltà magnetca (µ) del materale d cu è costtuto l nucleo torodale dell'aolgmento, tende a concentrars n tale regone. La potenza elettrca assorbta dall'nduttore reale, ene n parte trasformata n energa nterna per effetto Joule (e qund ceduta all'ambente sotto forma d calore, se la temperatura del sstema ene mantenuta costante) ed n parte mmagazznata nel campo magnetco presente all'nterno del nucleo torodale. R L )LJXUD,QGXWWRUHUHDOH E possble dmostrare chel energa elettromagnetca mmagazznata dall'nduttore ale: = /L µ G9 9 WRUR () Per sottolneare l fatto che alla energa elettromagnetca E m è assocato un campo magnetco, tale energa ene pù specfcatamente chamata energa magnetca mmagazznata nell'nduttore. L'equazone costtuta dell'nduttore (9) permette n ogn stante, se è noto l alore della tensone a suo cap, d calcolare la derata temporale della corrente che lo attraersa lascandone però completamente ndetermnato l alore. Il alore della corrente nddua unocamente l'energa magnetca mmagazznata nell'nduttore e dpende dal transtoro subìto dall'nduttore nel perodo precedente all'stante d tempo che s consdera. Infatt, ntegrando nel tempo la (9), supponendo che all'stante, quando è stato assemblato l crcuto ed è nzato l transtoro, la corrente sull'nduttore fosse nulla, s ottene: W L( W) = Y() τ Gτ () / La () mostra che l alore della corrente all'stante t dpende dal alore della tensone n tutt gl stant precedent. Per ndcare cò s dce che l'nduttore ha memora. Il alore della corrente che Crcutdef 0

11 attraersa l nduttore nddua unocamente l energa magnetca mmagazznata al suo nterno e percò costtusce la sua arable d stato. Condensatore lneare C )LJXUD&RQGHQVDWRUH Il smbolo del condensatore è ndcato nella fgura 4, la sua legge costtuta è la seguente: GY L=& GW (4) doe C è una costante chamata capactà del condensatore (msurata n F). L'espressone della potenza elettrca assorbta segue dalla () e rsulta: G S= & Y GW (5) La (5) mostra che l energa elettrca assorbta dal condensatore ale (H = & Y ; tale energa è unocamente determnata dal alore della tensone Y a morsett del condensatore, ed è per tale moto conserata. L energa assorbta ( e ene qund mmagazznata come energa elettromagnetca nel condensatore. Una olta mmagazznata, può essere nteramente resttuta a component del crcuto cu è collegato l condensatore durante un transtoro successo. L energa assorbta ( e è sempre posta, e n base alla (5) l condensatore rsulta essere un componente passo. La potenza elettrca assorbta dal condensatore può nece assumere alor sa post che negat. Un condensatore reale, costtuto da due armature n materale conduttore accoppate elettrostatcamente e separate da un delettrco può essere modellato con un condensatore deale n parallelo ad una resstenza (ed fg. 5). Tale resstenza, d alore soltamente molto eleato, sere a rappresentare gl effett d fenomen dsspat e quell della conducbltà bassa, ma non nulla, nel delettrco. Crcutdef

12 A A C B R )LJXUD&RQGHQVDWRUHFLOLQGULFR Quando una carca q ene spostata tramte una connessone elettrca dalla armatura esterna (collegata al termnale A) a quella nterna (collegata al termnale B), la regone d spazo occupata dall solante nterposto tra le armature del condensatore è sede d un campo elettrco. E possble dmostrare la seguente relazone: B &Y = 9 LVRODQWH ε ( G9 (6) doe ε è la costante delettrca dell'solante. La potenza elettrca assorbta dal condensatore clndrco ene qund mmagazznata nel campo elettrco presente nell'solante tra le armature del condensatore. Per sottolneare l fatto che alla energa elettromagnetca E e è assocato un campo elettrco, tale energa ene pù specfcatamente chamata energa elettrostatca mmagazznata nel condensatore. Le relazon (4, 5, 6) mostrano come essta una relazone d dualtà tra l condensatore e l'nduttore; nfatt è possble ottenere le relazon caratterstche d un componente da quelle dell'altro, scambando tra d loro smbol della tensone con la corrente, dell'nduttanza con la capactà, del campo magnetco con l campo elettrco e della permeabltà magnetca con la costante delettrca. Analogamente all'nduttore, anche l condensatore è un componente con memora; ntegrando la (4) dall'stante, n cu è stato assemblato l crcuto ed n cu la tensone a cap del condensatore s è supposta nulla, al generco stante t s ottene: W Y( W) = L() τ Gτ (7) & La (7) mostra che l alore della tensone n un generco stante t dpende dal alore della corrente n tutt gl stant precedent. Il alore della tensone a cap del condensatore nddua unocamente l'energa elettrca mmagazznata al suo nterno e percò rappresenta la sua arable d stato. Crcutdef

13 Generatore d tensone E E (a) (b) )LJXUD*HQHUDWRUHGLWHQVLRQH Il smbolo del generatore ndpendente d tensone è ndcato nella fgura 6a, quello del generatore dpendente d tensone nella fgura 6b; nel prmo caso la tensone mpressa E del generatore (o forza elettromotrce del generatore) (msurata n V) è una funzone nota del tempo, nel secondo caso dpende dal alore della tensone (generatore plotato n tensone) o della corrente (generatore plotato n corrente) d un altro componente del crcuto. Con rfermento a ers post delle grandezze ndcat nella fgura, l'equazone costtuta del generatore d tensone è la seguente: L'espressone della potenza elettrca erogata segue dalla (4) e rsulta: Y= ( (8) S= (L (9) La potenza elettrca erogata rsulta qund posta o negata a seconda che la corrente attraersa l generatore nel erso concorde o opposto rspetto a quello della tensone mpressa. Il generatore ndpendente d tensone è qund n grado d assorbre od erogare una potenza elettrca d alore qualsas, mantenendo comunque nalterato l alore della tensone a suo cap. Una battera può essere modellata elettrcamente medante lo schema llustrato nella fgura 7, costtuto da un resstore e da un generatore ndpendente d tensone collegat n sere. E 0 R )LJXUD0RGHOORFLUFXLWDOHGLXQDEDWWHULD Il generatore d tensone permette, ad esempo, d smulare la trasformazone d energa chmca n elettrca e ceersa che aene all'nterno della battera; la tensone mpressa E 0 è par alla tensone a cap della battera durante l funzonamento a uoto (quando non eroga corrente). La resstenza R del resstore, ene detta resstenza nterna della battera e permette d smulare la dsspazone d energa elettrca, per effetto Joule, n calore che ene ceduto all'ambente crcostante, che accompagna l passaggo della corrente nella battera. Crcutdef

14 Generatore d corrente I I (a) (b) )LJXUD*HQHUDWRUHGLFRUUHQWH Il smbolo del generatore ndpendente d corrente è ndcato nella fgura 8a, quello del generatore dpendente d corrente nella fgura 8b; nel prmo caso la corrente mpressa del generatore (I) (msurata n A) è una funzone nota del tempo, mentre nel secondo dpende da un'altra grandezza che può essere la corrente (generatore plotato n corrente) o la tensone (generatore plotato n tensone) d un altro componente del crcuto. Con rfermento a ers post delle grandezze ndcat nella fgura, l'equazone costtuta del generatore d corrente è la seguente: L=, (0) L'espressone della potenza elettrca erogata segue dalla (4) e rsulta: S= Y, () La potenza elettrca erogata rsulta qund posta o negata a seconda che la tensone a cap del generatore abba erso concorde o dscorde rspetto a quello della corrente mpressa. Il generatore ndpendente d corrente è qund n grado d assorbre od erogare una potenza elettrca d alore qualsas, mantenendo comunque nalterato l alore della corrente che lo attraersa. A dfferenza de component st n precedenza, non esste un componente elettrco reale che enga modellato elettrcamente, con buona approssmazone, da un solo generatore d corrente. Il generatore d corrente nterene nece nel crcuto elettrco equalente de dspost elettronc. Ad esempo, è possble realzzare un crcuto complesso che modella un transstore npn n cu sono present due generator d corrente plotat n corrente. &(,68//$7(5,$'(,*5$), Il grafo d un crcuto è un dagramma atto a mostrare n manera semplfcata la topologa del crcuto stesso. Nel grafo cascun ramo ene sosttuto da un segmento, n modo che tutte le connesson tra nod del crcuto sano rspettat. Sulla base del grafo, è possble dare le seguent defnzon: $OEHUR: nseme d ram che costtuscono un percorso aperto che unsce tutt nod del crcuto. Percorrendo ram dell albero è possble,partendo da un qualsas nodo, raggungere qualsas altro nodo, ma non è possble tornare al nodo nzale se non rpercorrendo ram del percorso d andata. In altre parole, per qualsas coppa d nod n ed n del crcuto esste una ed una sola sequenza d ram appartenent all albero che unsce n ad n. Per un dato crcuto, la scelta dell albero non è generalmente unoca (ed Fg. 9). Se l crcuto ha N nod, l albero è sempre costtuto da n ram. Crcutdef 4

15 &RDOEHUR: defnto un albero, è possble assocare ad esso l coalbero, defnto come nseme de ram del crcuto che non fanno parte dell albero. Se l crcuto ha R ram ed N nod, ram del coalbero sono sempre R (N ). Ogn ramo d coalbero nddua asseme a ram dell albero una magla. Il ramo d coalbero ene detto ramo caratterstco della magla che nddua, e la corrente d tale ramo ene detta corrente d magla assocata alla suddetta magla.,qvlhphglwdjolr: defnto un albero, è possble consderare una superfce chusa S a che nterseca l albero n corrspondenza d uno ed un solo ramo r a. La superfce S a s defnsce qund superfce d taglo assocata al ramo r a. S defnsce nseme d taglo assocato al ramo r a l nseme de ram d coalbero che nterseca la superfce S a. Applcando la LKC ad una superfce d taglo s ottene l equazone d taglo. Tale equazone che mette n relazone la corrente che passa per l ramo d albero assocato alla superfce d taglo con le corrent che passano per ram d coalbero appartenent all nseme d taglo. S guard ad esempo l equazone d taglo assocata alla superfce n fg. 0. E possble screre N equazon d taglo, una per ogn ramo d albero. (a) (b) (c) )LJXUD DJUDIRGLFLUFXLWRHEFGXHGHLSRVVLELOLDOEHULOLQHDFRQWLQXDHFRDOEHULOLQHD WUDWWHJJLDWD S a Equazone d taglo L M M M j 4 5 j 5 j 5 4 )LJXUD /D VXSHUILFLH FKLXVD 6 D q OD VXSHUILFLH GL WDJOLR DVVRFLDWD DO UDPR / LQVLHPH GL WDJOLRDVVRFLDWDDOUDPRqIRUPDWRGDLUDPLGLFRDOEHUR$SSOLFDQGROD /.&DOODVXSHUILFH6 D VLRWWLHQHO HTXD]LRQHGLWDJOLR S consder ora l grafo n fg., n cu è edenzata la scelta fatta per ram d albero (n tratto contnuo) e d coalbero (tratteggat). Come gà detto, cascun ramo d coalbero nddua una magla. Le quattro magle così defnte sono ndpendent, poché posseggono un ramo che non è presente n nessuna altra magla. Tale ramo è l ramo d coalbero che chude la magla, detto appunto ramo caratterstco. In fg. sono edenzate le quattro magle ndpendent ndduate dalla scelta dell albero. Inoltre, come è possble erfcare faclmente, non è possble troare un altra magla che contenga ram non present nelle quattro magle gà defnte. Ne segue che l numero massmo d magle ndpendent è par al numero d magle che engono ndduate da ram del coalbero, coè R(N). Per ogn magla ndpendente è possble screre un equazone Crcutdef 5

16 rcaata dalla LKT. Le equazon rcaate n tale manera rsultano tra loro lnearmente ndpendent. Ne segue che per ogn crcuto è possble screre un numero massmo d LKT lnearmente ndpentent par a R(N). )LJ0DJOLHLQGLSHQGHQWL S consderno ora le le N equazon d taglo. E facle erfcare che cascuna d esse è lnearmente ndpendente dalle altre. Infatt, n ogn equazone è presente una corrente d ramo d albero che non fgura n nessuna dele altre equazon. Facendo rfermento al grafo n Fg., è qund possble screre le seguent quattro equazon d taglo relate al partcolare albero scelto. j S S 5 j j 4 5 S 4 j 4 S )LJ6XSHUILFLGLWDJOLR L M M LKC(S ) L M M LKC(S ) L M M LKC(S ) L M M LKC(S 4 ) 9.a 9.b 9.c 9.d E noltre possble erfcare che applcando la LKC ad una qualsas superfce chusa s ottene un equazone lnearmente dpendente dalle quattro equazon d taglo. Ad esempo, applcando la LKC alla superfce chusa S 5 che racchude l nodo 5, s ottene: L L L L = 0, relazone lnearmente dpendente dalle equazon d taglo dato che può essere ottenuta sommando membro a membro le 9. Quanto detto s può generalzzare dcendo che l numero massmo d LKC lnearmente ndpendent è par al numero d equazon d taglo, coè N. Crcutdef 6