ω 0 =, abbiamo L = 1 H. LC 8.1 Per t il condensatore si comporta come un circuito aperto pertanto la corrente tende a zero: la R

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1 8. Per t l condensatore s comporta come un crcuto aperto pertanto la corrente tende a zero: la funzone non può essere la (c). caando α e ω 0 s ottengono seguent alor: α 5 0 e ω 0 0. Essendo α > ω 0 l crcuto è sorasmorzato qund la corrente non può essere oscllatora come nel grafco (a). a funzone rchesta è la (b). 8. Per t l condensatore s comporta come un crcuto aperto: la corrente tende a zero, qund anche s annulla. Per t0 l nterruttore è aperto qund la corrente è nulla così come la tensone. Pertanto corrsponde al grafco (a). Per t l condensatore s comporta come un crcuto aperto e l nduttore come un c.c.; la corrente tende a zero qund 0. Dalla KT dera che tende a V. Inoltre (0 ) 0 come specfcato nel testo; qund corrsponde al grafco (c). 8. E un crcuto parallelo. Dalla espressone d (t) s deduce: α ½, β rcaamo la capactà: α ω 0, abbamo H. F. Inoltre 0 β ω α. Dal alore d α ω 0 ; essendo 8.4 () ondzon nzal del crcuto. In t 0 l nterruttore è n poszone qund la corrente dell nduttore è nulla. Il condensatore è un c.a. pertanto la sua tensone è V. () α e ω 0 on l nterruttore n poszone s ottene un crcuto sere con α ω 0 α>ω 0 l crcuto è sorasmorzato. e frequenze natural sono: α α ω0 s 5 0,76 α α ω0 s 5 5, () ondzon nzal dell equazone dfferenzale (ED). Il alore (0 ) è nullo per la contnutà della corrente dell nduttore. a derata della corrente è d (0 (0 ) ), essendo la tensone dell nduttore (fgura seguente). 0.5 F H 6 Ω

2 on la KT s scre: ( 0 ) 6(0 ) (0 ) 0 ( 0 ) (0 ) V (la tensone del d condensatore è contnua). Infne ( 0 ). (4) alcolo de coeffcent. Utlzzando le formule (8.0) del lbro, con x, abbamo: A 6 5,68, 6 A. 5 6 ( 5) t ( 5) t Infne, con la formula (8.): ( t) ( e e ) A () ondzon nzal del crcuto. In t 0 l nterruttore è chuso. Il condensatore è un c.a. e l nduttore un c.c. Il resstore da 4 Ω non è percorso da corrente, dunque (0 ) 9/ A, (0 ) 0 V. () α e ω 0 on l nterruttore aperto s ottene un crcuto parallelo. I parametr sono: α ω α<ω 0 l crcuto è sottosmorzato, con pulsazone β ω α 5 rad/s. () ondzon nzal dell ED. Il alore (0 ) è nullo per la contnutà della tensone del condensatore. a derata della tensone è d (0 (0 ) ), essendo la corrente del condensatore (fgura seguente). /8 F / H 4 Ω on la K s scre: ( 0 ) (0 ) (0 ) / 4 0 ( 0 ) (0 ) A (la corrente d dell nduttore è contnua). Infne ( 0 ) 4. (4) alcolo de coeffcent. 4 Sosttuendo quest alor nelle formule (8.4) (x ), abbamo: A 0, A. 5 4 t Infne, con la formula (8.5a): ( t) e sen( 5t) V () e condzon nzal del crcuto sono date. () α e ω 0 onene trasformare l generatore d corrente n un generatore d tensone (fgura seguente).

3 4 Ω Ω 0.5 H (t) 8 u(t) V 0.5 F Utlzzando l procedmento descrtto alle pagne 69-70, s ottene l equazone dfferenzale: d d 4 0 con α 6 e ω 0. Poché α>ω 0 l crcuto è sorasmorzato, con le frequenze natural: α α ω0 s 6 α α ω0 s 6 () ondzon nzal dell ED. Il alore (0 ) è nullo (dato). a derata della corrente è d (0 (0 ) ), essendo la tensone dell nduttore. on la KT s scre: ( 0 ) 6(0 ) (0 ) 8 ( 0 ) 8 (0 ) 4V. d Infne ( 0 ) 8. (4) alcolo de coeffcent. on le formule (8.0) abbamo: A 4, 4 A. 4 t s t Infne, con la formula (8.): ( s ( t) e e ) A. 8.7 () ondzon nzal del crcuto. In t 0 l nterruttore è chuso. Il condensatore è un c.a. e l nduttore un c.c. a corrente dell nduttore è (0 ) / A; la tensone del condensatore concde con la tensone del resstore da 4 Ω, qund (0 ) 4 (0 ) 4 V. () α e ω 0 Per t>0 s ottene un crcuto sere. I parametr sono: α 6 ω 0 8 α>ω 0 qund l crcuto è sorasmorzato. e frequenze natural sono: α α ω0 s 68 -,4 α α ω0 s 68-9,85 () ondzon nzal dell ED. (0 )A per la contnutà della corrente dell nduttore. a derata della corrente è d (0 (0 ) ), essendo la tensone dell nduttore (polartà coordnata con la corrente ).

4 on la KT s scre (nterruttore aperto): ( 0 ) (0 ) 8(0 ) ( 0 ) V. d Percò ( 0 ) 0. (4) alcolo de coeffcent. on le formule (8.0) abbamo: A,077,,4t A - 0,077. 9,85t Infne, con la formula (8.): ( t),077e 0,077e A. 8.8 () ondzon nzal del crcuto. a condzone nzale del condensatore è data ( (0 ) V). Per rcaare (0 ) conene applcare l teorema d Theenn al bpolo mostrato d seguto. 0 kω T 5 kω 0 V 0 kω a tensone T concde con la tensone a cap del resstore a destra: 40 resstenza equalente è T 0 k 0k // 5k Theenn s ottene lo schema seguente per t0, dal quale s rcaa (0 ) ½ ma. 40/ kω T 0k 0 5k 0 V. a kω. Sosttuendo l bpolo equalente d 0/ V () α e ω 0 Per t >0 conene sostture l bpolo d Theenn con quello d Norton (la corrente d c.c. è stata rcaata sopra e ale ½ ma). In questo modo s ottene l crcuto parallelo nella fgura seguente. 40/ kω 0 µf (t) ½ ma mh - 4

5 Utlzzando l procedmento descrtto alle pagne 69-70, s ottene una equazone dfferenzale 5 della forma (8.6) con α, 75 e ω Poché α < ω 0, l crcuto è 4 sottosmorzato, con pulsazone β ω0 α 0 4 rad/s. () ondzon nzal dell ED. ( 0 ) (0 ) (0 ) V; d (0 (0 ) ). a corrente (0 ) s ottene con la K: (0 ) (0 ) (0 ) ½ ma T Poché (0 ) (0 ) ½ ma, s rcaa (0 d ) -/0 ma, e (0 ) -5. (4) alcolo de coeffcent. Sosttuendo quest alor nelle formule (8.4) (x), s rcaano coeffcent: 4 A, A 7,5 0. Poché A <<A, possamo approssmare la soluzone con la seguente espressone:,75t 4 ( t) e cos(0 t) V 8.9 () ondzon nzal del crcuto. onene applcare l teorema d Theenn al bpolo nella fgura seguente. a tensone a uoto è V e la resstenza equalente è 4 Ω. 8 Ω Ω 8 V 4 Ω 4 Ω Utlzzando l bpolo equalente d Theenn abbamo l crcuto seguente n t 0. S rcaano 8 seguent alor: ( 0 ) A, ( 0 ) 8V. 4 Ω 8 Ω V _ () α e ω 0 Per t > 0 s ha un crcuto sere con α, ω 0 5. Poché α < ω 0, l crcuto è 0 sottosmorzato, con pulsazone β ω α rad/s. 5

6 () ondzon nzal dell ED. d (0 ) ( 0 ) (0 ) A; (0 ). a tensone (0 d ) s ottene con la KT: ( 0 ) (0 ) 8 (0 ) 0. Qund ( 0 ) 0. (4) alcolo de coeffcent. Sosttuendo quest alor nelle formule (8.4) (x ), s rcaano coeffcent: α A (0 ), A (0 ) / β 0, 5. Qund abbamo: A A A 5 /, 5 t φ tan ( A / A ) tan (/ ) 0,46. a soluzone è ( t) e cos(t 0,46) A. 8.0 () ondzon nzal del crcuto. Il crcuto n t 0 è mostrato nella fgura seguente, a snstra. on la KT s erfca che (0 ) 0. a corrente scorre seguendo l percorso ndcato n rosso (l resstore centrale è cortocrcutato). Pertanto (0 ) 9/ A. 9 V 9 V Ω Ω Ω 0.5 Ω Ω - - T () α e ω 0 o studo per t>0 s semplfca applcando l teorema d Theenn al bpolo mostrato sopra a destra. S rcaa faclmente T 4,5 V, T,5 Ω. Sosttuendo l bpolo equalente s ottene l crcuto mostrato sotto. E un crcuto sere con α, ω 0. Il crcuto è sottosmorzato (α < ω 0 ). a pulsazone è β ω 0 α rad/s. H 4,5 V,5 Ω 0.5 Ω 0.5 F 6

7 () ondzon nzal dell ED. (0 ) (0 d (0 ) ) A; (0 ) (0 ). a tensone (0 ) s ottene con la KT: ( 0 ) (0 ) (0 ) 4, 5 (0 d ) -,5 V ( 0 ). (4) alcolo de coeffcent. d / (0 ) α (0 ) A (0 ), A, 5. Qund abbamo: A A A, 54, β φ tan ( A / A ) tan (/ ) 0,46. a soluzone è ( t),54e cos( t 0,46) A. 8. () ondzon nzal del crcuto. Il crcuto n t 0 è mostrato nella fgura seguente. a corrente è nulla, mentre la tensone s rcaa con la formula del parttore: (0 ) 5 6/9 0 V. t Ω 5 V 6 Ω () α e ω 0 Trasformando l generatore d tensone n un generatore d corrente, e combnando le resstenze n parallelo, s ottene lo schema seguente, per t > 0. H /4 F Ω 5 A E un crcuto parallelo con un generatore costante. a tensone è descrtta da una equazone dfferenzale del ordne con α, ω 0. Poché α < ω 0 l crcuto è 0 sottosmorzato, con pulsazone β ω α rad/s. () ondzon nzal dell ED. d ( 0 ) (0 ) 0 ; (0 ) (0 ). a corrente (0 ) s ottene con la K: (0 ) (0 ) (0 ) 5 (0 ) 0 A 7

8 (4) alcolo de coeffcent. Sosttuendo quest alor nelle formule (8.4) (x ), s rcaano coeffcent: A (0 ) 0, A (0 ) / β 0 /. a tensone è α t 0 ( t) e 0 cos( t) sen( t) V () a corrente s ottene con la K: d 5 / 5 () 4 Sosttuendo l espressone () nella () s ottene: (t) e t 5 [-5 cos ( t ) sen ( t)] 5 A. 8. Nel caso d smorzamento crtco la rsposta presenta un massmo o un mnmo all stante A t0 (Fgura (8.) del lbro). Poché (0 ) 0, applcando la KT abbamo α A d (0 ) 4 (0 ) (0 ) ; qund ( 0 ). a derata n 0 è negata dunque la rsposta d 4 presenta un mnmo n t 0. I coeffcent della soluzone sono: A (0 ) α(0 ) e A (0 ) 0. Pertanto t 0 /α α 50. Inoltre ω 0 α 50 0,06 H 0 Infne, poché α 50, rcaamo 8 Ω. 8. In (a) esste un taglo d nduttor, qund l ordne è n -. In (b) esste un percorso chuso che attraersa solo condensator, qund n In (a) l ordne è poché non esstono ncol derant dalle legg d Krchhoff. In (b) l ordne è poché esste un taglo costtuto da nduttor e un generatore d corrente. 8

9 8.5 o schema per ottenere le equazon d stato è mostrato d seguto. Dobbamo rcaare e n funzone d e. kω kω 9 V on la KT e la legge d Ohm s ottengono le relazon seguent: e equazon d stato sono: d 0 0 d o schema per ottenere le equazon d stato è mostrato d seguto. Dobbamo rcaare e n funzone d e. A 0 Ω 0 Ω Applcando la K al nodo A abbamo: Applcando la KT alla magla tratteggata s rcaa: e equazon d stato sono: 0 d 0 d 0 9

10 8.7 o schema per ottenere le equazon d stato è mostrato d seguto. Dobbamo rcaare e n funzone d e. Ω A Ω 0 V on la KT s ottene: 0 on la K al nodo A s rcaa: 0 e equazon d stato sono: d 0 d 8.8 o schema per ottenere le equazon d stato è mostrato d seguto. Dobbamo rcaare e n funzone d e. A S on la formula d Mllman s ottene AB B S e corrent s possono esprmere con le seguent formule: AB AB Sosttuendo l espressone precedente d AB s ottene: e equazon d stato sono: S S 0

11 d d S S a matrce d stato è: A Il determnante è 0 ( ) > ; la tracca è T - 4 < 0; qund l crcuto è stable. 8.9 o schema per ottenere le equazon d stato è mostrato d seguto. Dobbamo rcaare e n funzone d e. 0 Ω A 0 Ω K nodo A: 0 0 0, KT magla d destra: e equazon d stato sono: d 0, a matrce d stato è d 0, A 0 0 Abbamo: α -T 0,; ω 0. Il termne y(t) è nullo poché non c sono generator ndpendent. equazone dfferenzale è: d d 0, Per studare la stabltà è necessaro determnare la matrce d stato e studarne la tracca e l determnante. o schema per ottenere le equazon d stato è mostrato d seguto. Dobbamo rcaare e n funzone d e. Il generatore d tensone è stato spento poché non nflusce sulla matrce d stato ma solo sul ettore d ngresso.

12 Ω Κ Ω K nodo : K K nodo : K 0 Per la legge d Ohm abbamo mentre. Sosttuendo s ottene: K nodo : K ( K ) K K nodo : K 0 e equazon d stato sono: a matrce d stato è d d ( K ) K A K K 0 Il crcuto è stable se T K < 0 e Κ > 0. Entrambe le condzon sono soddsfatte se K<. 8. o schema per ottenere le equazon d stato è mostrato d seguto. Dobbamo rcaare e n funzone d e. _ s (t) o _ K nodo : K nodo : s

13 Applcando la KT al percorso chuso ndcato dal tratteggo s rcaa: ; noltre. Sosttuendo nelle equazon precedent s ottene s Utlzzando le relazon de condensator s scrono le equazon d stato: d s d a matrce d stato è A 0 caamo coeffcent dell equazone dfferenzale: α T /, ω 0. S ha lo smorzamento crtco se α ω 0 (pag. 7 del lbro); mponendo la condzone s ottene l equazone ( ) 4 Poché le ncognte sono quattro, esstono nfnte soluzon. Ad esempo, s erfca faclmente che la condzone è soddsfatta se e. 8. o schema per ottenere le equazon d stato è mostrato d seguto. Dobbamo rcaare e n funzone d e. 4 Ω 4 Ω s (t)

14 Applcando la KT al percorso ndcato dalla lnea tratteggata abbamo l equazone 0, dalla quale s rcaa: s 4 s 4 4 Applcando la K alla lnea chusa n rosso s ottene l equazone / 4, dalla quale s rcaa: s Utlzzando le relazon de condensator s scrono le equazon d stato: a matrce d stato è d d () 4 4 s A () s Il alore nullo d a corrsponde al fatto che la arable è descrtta da una equazone d prmo grado n cu non compare (equazone ()); pertanto eole n modo ndpendente da. ò s spega fscamente consderando che, per l c.c. rtuale dell operazonale, la arable può essere dedotta dal semplce crcuto nella fgura seguente. Al contraro, la arable dpende da (. equazone ()). F 4 Ω s (t) 4