METODI PER L ANALISI DEI CIRCUITI CIRCUITI PRIVI DI MEMORIA.

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1 MTODI P NISI DI IUITI Nel seguto vengono llustrat, medante esemp, alcun tra metod pù utlzzat per l'anals de crcut elettrc. Il problema che s vuole rsolvere è l seguente: assegnato l crcuto elettrco e le grandezze mpresse de generator ndpendent present, n generale funzon qualunque del tempo, s vuole calcolare l'andamento temporale delle corrent d ramo e delle tenson d ramo. ome gà detto, s suppone per semplctà che tutt component sano de bpol, potendos rcondurre alla potes medante l'ntroduzone d crcut equvalent de component a pù d due termnal. IUITI PIVI DI MMOI. I crcut prv d memora sono quell n cu tutt component del crcuto sono prv d memora; n tal caso l sstema rsolvente del crcuto stesso è costtuto da un sstema d equazon algebrche ed l valore d tutte le grandezze ncognte n un generco stante può essere calcolato dalla conoscenza del valore delle grandezze mpresse del crcuto n quello stesso stante. HWGGHOOHHTXD]QG.UKKII ome s è vsto, dato un crcuto con ram ed N nod, è possble ottenere N equazon lnearmente ndpendent applcando la KT, ed N equazon lnearmente ndpendent applcando la K. e KT vanno applcate a magle tra loro ndpendent, le K a superfc chuse che possono essere le superfc d taglo assocate al partcolare albero scelto o, pù semplcemente, superfc che racchudono un solo nodo. In quest ultmo caso la K afferma che la somma algebrca delle corrent entrant n un nodo è nulla. e KT, le K e le relazon costtutve costtuscono un sstema d equazon che, rsolto, fornsce le ncognte tenson e corrent d ramo. In fg è llustrato un crcuto con ram e nod. e ncognte del problema sono corrent ed altrettante tenson d ramo. e tre magle ndpendent sono state scelte facendo rfermento all albero n fg.. v v v v v a v b c I )JXUD D Metod per l anals de crcut -

2 Metod per l anals de crcut - D j a j b j c )JXUD pplcando la KT alle magle così defnte s ottengono le seguent equazon: () pplcando la K a nod, e s può scrvere: () Il sstema vene qund chuso dalle seguent equazon costtutve de component:, ( () e KT (), () e () costtuscono un sstema d equazon, rsolvendo l quale è possble calcolare le ncognte tenson e corrent d ramo. HWGGHOOHUUHQWGPDJOD Una semplfcazone del sstema rsolvente s può ottenere osservando nnanztutto che tramte le legg costtutve de component è possble elmnare le tenson d ramo de component controllat n tensone dalle KT. d esempo, utlzzando le (), le () dventano: ( () le equazon d taglo permettono noltre d esprmere la corrente n cascun ramo d albero come una combnazone lneare delle corrent de ram d coalbero, che sono state defnte corrent d magla. e equazon d taglo possono qund essere utlzzate per elmnare le corrent de ram d

3 albero. Per l crcuto n fg., le equazon d taglo assocate all albero n fg. fornscono le seguent relazon: M M M D D M dove s è posto M, () M M M ndcando convenzonalmente le corrent d magla con la lettera M ed assegnando loro come verso postvo l verso d percorrenza della magla. e equazon () autorzzano a pensare a cascuna corrente d magla come ad una corrente che percorre la propra magla d rfermento, sovrapponendos alle altre corrent d magla ne ram comun (ved fg. ). e corrent del crcuto elettrco rsultano qund dalla sovrapposzone delle corrent d magla. Inserendo le () nelle (), e tenendo conto della legge costtutva del generatore d corrente s ottene: ( M M D ( ) M M M D () M M M, S not che la corrente d magla M rsulta gà nota n quanto fssata dal generatore d corrente. Dalle prme due equazon del sstema è possble rcavare le due corrent d magla M D e M. a terza equazone fornsce la tensone del generatore d corrente una volta note le corrent d magla. possble generalzzare l rsultato ottenuto e formulare un procedmento che permette, per qualsas crcuto, d scrvere un sstema n cu compaano uncamente le corrent d magla e le tenson de component non controllat n corrente. ƒ SDVV: Indvduare le magle ndpendent. ƒ SDVV: ssegnare a cascuna magla un verso d percorrenza. ƒ SDVV: Indvduare le resstenze propre e mutue per cascuna magla. In un crcuto n cu sano present P magle ndpendent, ogn magla ha una resstenza propra e P- resstenze mutue. a resstenza propra kk della Nesma magla è defnta come la somma delle resstenze de ram che costtuscono la magla N. a resstenza mutua kp tra la Nesma e la Sesma magla è defnta come la somma delle resstenze de ram che sono comun alla magla N ed alla magla S. Il segno della resstenza mutua kp va preso postvo se le corrent d magla M k e M p sono concord lungo ram comun, negatvo n caso contraro. mmedato verfcare che se due magle non hanno ram n comune la loro resstenza mutua è nulla e che, per due qualsas magle N e S, vale la relazone kp pk Nel crcuto d esempo, s ha che: aa esstenza propra della magla assocata alla corrente d magla M a bb esstenza propra della magla assocata alla corrente d magla M b cc esstenza propra della magla assocata alla corrente d magla M c ab ba ± esstenza mutua delle magle assocate alle corrent d magla M a e M b ac ca esstenza mutua delle magle assocate alle corrent d magla M a e M c bc cb ± esstenza mutua delle magle assocate alle corrent d magla M b e M c ƒ SDVV: Scrvere un equazone per cascuna magla. In un crcuto con P magle ndpendent, l equazone per la generca magla N, costtuta da U k ram, assume la forma seguente: U U P N N ( M prmo membro della (7) fgura la somma algebrca delle tenson de generator che s ncontrano percorrendo gl U k ram della magla, postve se concord con l verso d percorrenza, negatve n caso contraro. e ( sono le f.e.m. de generator ndpendent d tensone, e rsultano pertanto note. e sono le tenson ncognte de component non controllat n corrente (generator ndpendent NM M M (7) Metod per l anals de crcut -

4 d corrente). secondo membro va la somma delle tenson a morsett de component resstv percors dalle corrent d magla. Tale termne è scomposto nel contrbuto kk M k, mputable alla corrente d magla M k assocata alla magla N stessa ed a contrbut kj M j, dovut alle corrent d magla M j assocate alle magle adacent a quella n questone ƒsdvv: Nel caso n cu sano present nel crcuto component non controllat n corrente, nelle equazon scrtte al punto fgurano le tenson relatve a tal component come ncognte agguntve. qund necessaro completare l sstema con le legg costtutve de component non controllat n corrente. a legge costtutva deve essere esplctata n termn delle corrent d magla, facendo rcorso, ove necessaro, alle equazon d taglo. Metod per l anals de crcut -

5 HWGGHSWHQ]DOGQG a defnzone d nodo fornta precedentemente (pag. crcut-def) fa corrspondere un nodo ad ogn morsetto. Tale defnzone, pur essendo formalmente corretta, rsulta a volte sconvenente dal punto d vsta pratco. In questo paragrafo s farà rfermento ad una defnzone pù operatva : G: punto a cu sono collegat o pù ram. DP: tratto d crcuto che unsce due nod. In questo modo, s elmnano nod comun a due component n sere, ed ram possono essere costtut da due o pù component n sere. Per cascun ramo sarà necessaro fornre un equazone che metta n relazone la tensone tra due nod nzale e fnale con la corrente. Tale relazone sarà ottenuta utlzzando le legg costtutve de component che, dspost n sere, costtuscono l ramo consderato. Quando tutt ram del crcuto sono controllat n tensone, coè quando, per tutt ram, la corrente è esprmble n funzone della tensone tra due nod nzale e fnale, è possble utlzzare l metodo dell'anals de nod per scrvere un sstema rsolvente d (N-) equazon nelle (N-) tenson d nodo ncognte del crcuto. S consder l generco nodo O (fgura 9), al quale fanno capo O ram (essenzal) contenent resstenze, eventualmente n sere a generator d tensone, e N ram contenent generator d corrente, non necessaramente n sere a delle resstenze. I k lk lk O l I l l l I O ram l NO ram l l l )JXUD Per cascun ramo non contenente un generatore d corrente, assumendo vers d rfermento per tenson e corrent ndcat n fg., è possble scrvere: Metod per l anals de crcut -

6 ( ) ( M $ ( $ M M M M M, M,,..., O M a tensone a cap d cascun ramo, dalle legg d Krchhoff può essere espressa come dfferenza delle tenson d nodo de nod cu l ramo è collegato. Il sstema rsolvente s ottene scrvendo la K per ogn nodo del crcuto, escluso quello d rfermento, e rsulta qund costtuto da (N-) equazon nelle (N-) tenson d nodo ncognte. Ne ram n cu è presente un generatore d corrente, la corrente d ramo è fssata dalla presenza d tale generatore:,, M O, O,..., O N M M (9) In vrtù della K applcata al nodo O è possble scrvere: O N (). M M Tenendo conto delle (8) e (9), la () può essere rscrtta come: O O O ( ) ( ) ( ) O N (, M M M $ M M M, M M M S not che le prme tre sommatore a prmo membro della () sono estese a ram che non contengono generator d corrente, mentre l ultma sommatora è estesa solo a tal ram. possble scrvere un sstema d (N-) equazon lnearmente ndpendent applcando la () ad altrettant nod. e ncognte del problema così formulato rsultano essere le tenson d (N-) nod, mentre la tensone del nodo rmanente è assunta come rfermento. Nel caso n cu sano present nel crcuto ram non controllat n tensone (come nel caso n cu due nod sono conness da un generatore d tensone ndpendente), le corrent d tal ram non sono pù esprmbl n termn d tensone. Sa qund dato un generco ramo U k non controllato n tensone, che connette due nod O eo. Nell applcare l metodo de potenzal d nodo, la corrente k che percorre l ramo U k deve essere consderata come un ncognta. ncognta k va aggunta o sottratta al prmo membro dell equazone d tpo () relatvo a nod O eo, a seconda che l verso postvo scelto per k sa uscente o entrante. vendo aggunto una ncognta, sarà necessaro aggungere un equazone per completare l sstema. Tale equazone è rappresentata dalla legge costtutva del ramo U k. M M O (8) () I O O D S I )JXUD Metod per l anals de crcut -

7 (VHPS In fg. sono raffgurat nod O eo d un crcuto elettrco, ed ram ad ess conness. Gl altr ram del crcuto non sono raffgurat per maggore charezza. I nod O eo sono tra loro conness dal generatore ndpendente d tensone (. e equazon d nodo, scrtte utlzzando la (), per nod O eo sono: ( ( ) $ % ; (,, &. lle due equazon appena scrtte va aggunta la legge costtutva del generatore d tensone ( : (. e tre equazon appena scrtte, unte alle rmanent equazon d nodo, fornranno la soluzone del crcuto. nteressante notare che la varable può essere faclmente elmnata sommando membro a membro le due equazon per nod O eo : ( ( ( ),, $ % &. equazone appena scrtta è quella che s otterrebbe applcando la K alla superfce S n fg., ed esprmendo le corrent che attraversano tale superfce tramte relazon del tpo (8) o (9). 7HUHPDG7KHHQQ,SWHV Sono dat due bpol, ed N collegat come llustrato nella fgura. Il bpolo è lneare e controllato n corrente, mentre l bpolo N può essere qualsas, anche non lneare. N N )JXUD7HUHPDG7KHHQQ 7HV mtatamente alla corrente ed alla tensone v alla porta, l crcuto che s ottene sosttuendo l bpolo (quello lneare) con un generatore d tensone ed un bpolo ' collegat n sere, è equvalente n ogn stante al crcuto orgnale. Il bpolo ' s ottene dal bpolo annullando le grandezze mpresse de generator ndpendent d tensone e d corrente eventualmente present ( generator ndpendent d tensone vengono qund sosttut con de corto-crcut ed generator ndpendent d corrente vengono sosttut con de crcut apert). a tensone mpressa del generatore d tensone d Thevenn è par al valore della tensone v alla porta del bpolo quando la corrente è nulla (' da notare che l verso postvo d è arbtraro: Metod per l anals de crcut - 7

8 una volta scelto l verso postvo, l valore d è par alla tensone v se la punta della frecca punta verso l termnale, è par nvece a -v se la punta della frecca punta verso l termnale ) nalogo al teorema d Thevenn, con potes sml e le stesse possbltà d applcazone è l teorema d Norton. 7HUHPDGUWQ,SWHV Sono dat due bpol, ed N collegat come llustrato nella fgura. Il bpolo è lneare e controllato n tensone, mentre l bpolo N può essere qualsas, anche non lneare. 7HV mtatamente alla corrente ed alla tensone v alla porta, l crcuto che s ottene sosttuendo l bpolo (quello lneare) con un generatore d corrente ed un bpolo ' collegat n parallelo, è equvalente n ogn stante al crcuto orgnale. Il bpolo ' s ottene dal bpolo annullando le grandezze mpresse de generator ndpendent d tensone e d corrente eventualmente present (l bpolo ' è lo stesso che ntervene nel teorema d Thevenn). a corrente mpressa I c del generatore d corrente d Norton è par al valore della corrente alla porta del bpolo quando la tensone v è nulla (' da notare che l verso postvo d I c è arbtraro: una volta scelto l verso postvo l valore d I c è par alla corrente se la punta della frecca punta verso l termnale dove la corrente esce da, è par nvece a - se la punta della frecca punta verso l termnale dove la corrente entra n ) N N I c )JXUD7HUHPDGUWQ 7UDVIUPD]QVWHOODWUDQJOHWUDQJOVWHOOD Nella fgura a sono mostrat tre resstor collegat a stella; nella fgura b sono mostrat tre resstor collegat a trangolo. ntramb sstem costtuscono un trpolo che vene collegato al crcuto esterno attraverso tre termnal, e. acendo uso delle egg d Krchhoff e delle relazon costtutve de resstor è possble dmostrare che, per quanto rguarda le corrent a termnal (, e ), è possble sostture tre resstor collegat a stella con tre resstor, d resstenza opportuna, collegat a trangolo e vceversa. a sosttuzone va ntesa nel senso che qualunque sa l sstema d tenson applcate a termnal, e l sstema d corrent assorbto da due carch è lo stesso. Metod per l anals de crcut - 8

9 O )JXUD D )JXUD on rfermento alle fgure 7a e 7b, le espresson delle resstenze equvalent per le trasformazon stella-trangolo e trangolo-stella sono le seguent dove è ndcata con G la conduttanza, coè l nverso della resstenza. 7UDVIUPD]QHWUDQJOVWHOOD 7UDVIUPD]QHVWHOODWUDQJO G G G GG G G G GG G G G GG G G G IUITI ON MMOI Vengono dett crcut con memora quell n cu è presente almeno un componente dotato d memora; n questo caso l sstema rsolvente del crcuto stesso è costtuto da un sstema d equazon non pù algebrche, come nel caso de crcut senza memora, ma, n generale ntegrodfferenzal ed l valore d tutte le grandezze ncognte n un generco stante può essere calcolato dalla conoscenza del valore delle grandezze mpresse del crcuto n tutto l'ntervallo temporale precedente all'stante consderato, a partre da un stante nzale n cu sono note le varabl d stato del sstema (quelle grandezze cu è assocata una energa elettromagnetca mmagazznata nel crcuto: tensone a cap de condensator e corrente attraverso gl nduttor). Tutt metod precedentemente descrtt per l caso de crcut senza memora, sono applcabl n questo caso, con le stesse potes, compres teorem d Thevenn e d Norton, la cu formulazone, nfatt, non fa alcun rfermento alle caratterstche d memora del crcuto, ma portano a scrvere un sstema d equazon ntegro-dfferenzal. In partcolare, per quanto rguarda l metodo d Krkhhoff, le equazon costtute dalle K e KT rmangono un sstema d equazon algebrche lnear che vene però chuso dalle equazon costtutve de component n cu compaono termn ntegrodfferenzal. Metod per l anals de crcut - 9

10 HWGGHOOHHTXD]QGVWDW S consder un crcuto n cu gl unc component dotat d memora sano nduttor e condensator, è possble pervenre con un procedmento automatco ad un sstema rsolvente costtuto da tante equazon dfferenzal ordnare del prmo ordne, quant sono condensator e gl nduttor present nel crcuto, n cu le ncognte sono le varabl d stato del crcuto, e coè le tenson a cap de condensator e le corrent attraverso gl nduttor. S consder ad esempo l crcuto llustrato nella fgura 8. e equazon costtutve del condensatore e dell'nduttore portano a scrvere le seguent equazon: dv dt d dt c c v () c v c - v )JXUD a corrente attraverso l condensatore e la tensone a cap dell'nduttore v possono essere espresse n funzone delle varabl d stato v c ed rsolvendo l crcuto con una qualsas delle metodologe gà vste. tal fne, è possble schematzzare l nduttore con un generatore d corrente con corrente mpressa ed l condensatore con un generatore d tensone con tensone mpressa v c, ottenendo così l crcuto llustrato nella fgura. c v c v )JXUD Metod per l anals de crcut -

11 a soluzone del crcuto d fgura 9 può, ad esempo, essere ottenuta medante l metodo de potenzal d nodo, calcolando prma la tensone del nodo rspetto al nodo : ( ; $ % () ' qund possble esprmere la corrente c e la tensone v n funzone delle varabl d stato del sstema (la () esprme nfatt la tensone v n funzone delle due varabl d stato): % Infne, sosttuendo le () nelle () s ottene: % () G % & GW G % GW (( ) G & GW G GW (( ) () a soluzone del sstema d equazon dfferenzal ordnare del prmo ordne () può essere ottenuta, eventualmente per va numerca, a partre dall'stante nzale n cu sono not valor v c ed delle varabl d stato (condzon nzal): v c ( ) () v c () possble consderare crcut n cu sono present nterruttor deal che s aprono e s chudono stantaneamente. nterruzone o l nstaurars d una corrente elettrca n un nterruttore reale è un fenomeno molto complesso che non avvene stantaneamente; avvene comunque n un tempo molto pccolo che può rsultare trascurable a fne del transtoro che s vuole studare. In questo caso è possble descrvere l processo medante l nterruttore deale. S consder ad esempo l crcuto rappresentato nella fgura n cu è presente l nterruttore deale T che s chude stantaneamente all stante t. Quando l nterruttore deale è aperto (fgura a) esso equvale ad un crcuto aperto e qund la corrente che lo attraversa è nulla. Vceversa quando l nterruttore è chuso esso equvale ad un corto crcuto e la tensone a suo cap è nulla. Metod per l anals de crcut -

12 D T T v v - - )JXUD&UXWQQWHUUXWWUHGHDOHDSHUWDHKXV ll stante t -, coè un stante prma che l nterruttore s chuda, l crcuto s trova n regme stazonaro; la corrente è nulla e qund è nulla anche la tensone a cap dell nduttore e del resstore. Un stante dopo che l nterruttore s è chuso (t ) le grandezze del crcuto hanno n generale, essendo cambata n manera dscontnua la topologa del crcuto, valor dvers da quell relatv all stante t -. d esempo, la tensone a cap della sere resstore-nduttore, nulla all stante t - rsulta par ad all stante t. Non rsultano però cambat valor d quelle grandezze a cu è assocata una energa del crcuto, coè le corrent degl nduttor e le tenson de condensator (le varabl d stato); nel caso specfco l valore della corrente nullo all stante t - rsulta qund nullo anche all stante t. Il 78$7 ', &7,8,7 '($ ((*,$, afferma qund che valor delle grandezze cu è assocata una energa del crcuto sono delle funzon contnue del tempo e consente d rsolvere l crcuto a partre dalla conoscenza de valor delle varabl d stato all stante t -. Nel caso dell esempo d fgura l andamento temporale della corrente vene calcolato, seguendo l procedmento generale sopramenzonato, dalla soluzone della equazone dfferenzale ordnara con la condzone nzale d corrente nulla. G ( GW ( ) ( W () W H, () W G GW (H W. (8) v t a) b) )JXUD$QGDPHQWGHOODUUHQWHDHGHOODWHQVQHDDSGHOO QGXWWUHQXQUXW t Metod per l anals de crcut -

13 D T T v c v c - - )JXUD&UXW&QQWHUUXWWUHGHDOHDSHUWDHKXV S consder ora l crcuto n fgura. nterruttore T chude all stante l generatore d tensone sul condensatore, che supponamo scarco ( ) all stante t -. Quanto detto rguardo al postulato d contnutà dell energa c consente d affermare che, se all stante t -, sarà anche per t. equazone che descrve l transtoro è qund: G & ( G ( GW GW ( ) v c W & W & () W (( H ), () W & H. (8) a) t b) t )JXUD $QGDPHQW GHOOD WHQVQH D DS GHO QGHQVDWUH D H GHOOD UUHQWH Q XQ UXW& HJPHGUUHQWHDOWHUQDWD S può dmostrare che sotto alcune debol potes d stabltà del crcuto, se l crcuto è lneare e le ecctazon present sono funzon snusodal sofrequenzal del tempo, dopo un transtoro d durata dpendente da parametr del crcuto stesso, s raggunge una soluzone d regme n cu tutte le grandezze del crcuto sono funzon snusodal sofrequenzal, con frequenza par a quella de Metod per l anals de crcut -

14 generator. Per calcolare la soluzone d regme, s può applcare l metodo smbolco che consdera le grandezze e le equazon del crcuto trasformate medante la trasformata d Stenmetz e pervene ad un sstema rsolutvo algebrco nello spazo de numer compless. Il sstema rsolvente s può ottenere sosttuendo condensator e gl nduttor con de "resstor" con resstenza complessa (mpedenza). Per la descrzone dettaglata del metodo s rmanda a captol successv. Per la soluzone del crcuto smbolco sopramenzonato s applcano tutt metod precedentemente vst per crcut prv d memora. Metod per l anals de crcut -