Riccardo Sabatino 463/1 Progetto di un telaio in c.a. A.A. 2003/04
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1 Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/ Il metodo degl spostament per la rsoluzone del telao Il metodo degl spostament è basato sulla valutazone de moment flettent ce agscono sugl estrem e d un asta generca per effetto delle rotazon φ e φ negl estrem de carc vertcal (moment d ncastro perfetto) e degl spostament trasversal tra gl estrem δ. S defnscono le seguent grandezze: W, momento ce nasce nell estremo per effetto d una rotazone untara n V, momento ce nasce nell estremo per effetto d una rotazone untara n U, momento ce nasce nell estremo per effetto uno spostamento trasversale relatvo tra gl estrem dell asta Per ogn tpo d condzone vncolare è possble applcare semplc relazon d congruenza ce consentono d rcavare tal grandezze n funzone dell nerza dell asta e della sua lungezza. S ntroducono noltre moment d ncastro perfetto e, ce s orgnano negl estrem dell asta a nod suppost bloccat per effetto d carc e altre azon esterne. L espressone del momento flettente per cascun estremo è pertanto del tpo: W ϕ + V ϕ U δ + Il metodo degl spostament assume come ncognte le rotazon de nod (ntern) del telao, scrvendo equazon d equlbro alla rotazone del tpo: C dove C è l eventuale coppa applcata drettamente sul nodo. Per tela a nod spostabl quale l telao oggetto d studo, vanno noltre consderate le relazon ce ntervengono tra le forze esterne, moment flettent e gl spostament relatv d pano. el caso n cu plastr ce sono n effett gl unc nteressat da spostament relatv degl estrem (almeno per lo scema strutturale ce s sta trattando, e coè telao a magle rettangolar) rsultno scarc s possono scrvere tante equazon quanto l numero d pan nella forma: U ϕ + U δ T dove n T, coè la sommatora delle forze orzzontal agent sugl mpalcat dal pano - F esmo al pano n-esmo, essendo appunto n n totale l numero d pan costtuent l telao. (S fa notare ce l equazone scrtta precedentemente la s può ottenere, con alcun passagg algebrc da un equlbro alla traslazone orzzontale della struttura, ove essendo plastr scarc tagl agent su plastr stess sono funzone de sol moment attraverso la relazone, T ). 0
2 Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 Scrtte tutte le equazon e rorganzzat termn l sstema d equazon ce regge l problema può essere scrtto nella forma matrcale: K s f f 0 dove K è la matrce d rgdezza del sstema, s è l vettore degl spostament nodal ncognt ed f-f 0 è l vettore delle azon nodal. Fatte queste premesse è possble scrvere tutte le equazon ce rsolvono lo scema n esame: Equazon d equlbro a nod 4,1 6,3 7,8 8,7 10,7 11,10 1,11 Equazon d equlbro alla traslazone 1,4 4,7 7,10 4,1 7,4 10,7 + +,5 5,8 + 8,11 4,5 5, 6,5 7,4 8,5 10,11 11,8 1,9 4,7 5,6 6,9 7,10 8, ,1 0 5,8 8, , 3,6 6, ,5 6,9 9,6 + 11,8 9,1 1,9 + ( F + F + F ) ( F + F ) Ovvamente tutte le equazon andranno po svluppate tenendo presente l espressone master de moment flettent d cu s è detto ad nzo paragrafo. on rtenendo opportuno dlungarc nello svluppo d tutt passagg s fa soltanto notare ce è possble automatzzare la scrttura delle matrc rappresentatve del sstema d equazon facendo alcune consderazon: ( F ) Anztutto è possble ndvduare una sottomatrce all nterno della matrce d rgdezza ce raccogle la parte rotazonale e ce è dentca alla matrce d rgdezza del telao supposto a nod fss termn sulla dagonale prncpale sono par alla sommatora delle rgdezze W delle aste confluent nel nodo termn fuor dagonale sono par a V V, nel caso n cu nod e sano tra d loro collegat par a 0 nel caso n cu non lo sano termn not sono par alla sommatora de moment d ncastro perfett confluent nel nodo cambat d segno per la parte rotazonale, pù la somma delle forze orzzontal agent al pano per la parte traslazonale
3 Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 gl altr termn sulla dagonale prncpale s presentano nella forma d sommatora delle rgdezze traslant de rtt del pano -esmo dvse per l altezza degl nterpan termn fuor dagonale s presentano nella forma U a seconda ce rtt appartengano al pano nteressato qund dallo spostamento δ ; vengono post par a 0 n caso contraro la matrce delle rgdezze è smmetrca. 3.4 Rgdezze delle aste del telao Prma d procedere alla rsoluzone delle sngole combnazon d carco s rcorda ce per le aste ncastrate-ncastrate valgono le seguent relazon: W V U 4EI L EI L 6EI L W V,, U ql 1 Per l telao n esame sono d seguto rassunte le rgdezze d tutte le aste (calcolate con E50000 g/cmq): Asta L [cm] b [cm] [cm] Inerza [cm^4] W [gcm] V [gcm] U [g] 1, , , , , , , , , , , , , , , B.: nella tabella d cu sopra non s rportano valor de coeffcent d rgdezza U per le trav soltanto per l fatto ce ess non vengono utlzzat nel calcolo essendo la struttura a magle rettangolar. 3.5 Combnazone 1: Carc vertcal S valutano anztutto carc gravant sul telao: per questa combnazone vale la relazone,, Q d 1.4 G Q
4 Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 q 1 q g/m q g/m [1 e mpalcato] [3 mpalcato] per cu è possble calcolare moment d ncastro perfetto: 4,5 5,6 7,8 8,9 10,11 11,1 q1l gm q1l gm ql1 8, gm ql 9, gm q3l1 11, gm q3l 1, gm e qund l vettore de termn not: f f o Quanto alla matrce d rgdezza questa è data da:
5 Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04.B.: Una verfca prelmnare consste nel controllare ce l matrce sa smmetrca e defnta postva: questo secondo punto mplca ce tutt termn sulla dagonale prncpale sano strettamente postv. Operatvamente per rsolvere lo scema d carco è stato mplementato un foglo elettronco n grado d svolgere l sstema d 1 equazon n 1 ncognte alla base del problema. Da un punto d vsta puramente matematco nfatt la rsoluzone del sstema non offre nessuna complcazone partcolare, trattandos semplcemente d nvertre la matrce delle rgdezze e d moltplcarla, rge per colonne, con l vettore de termn not. on rtenendo opportuno soffermars eccessvamente sul calcolo (ampamente svluppato nell allegato foglo d calcolo) s rportano d seguto rsultat del sstema: ϕ 4 ϕ5 ϕ 6 ϕ7 ϕ 8 ϕ9 s ϕ10 ϕ11 ϕ 1 δ1 δ δ rad 3.499E-05 rad rad rad.0548e-05 rad rad rad 3.868E-05 rad rad cm cm A questo punto s calcolano tutte le caratterstce della sollectazone (ovvamente s rcorda ce segn fanno rfermento alla convenzone del Cross): Plastr I ordne 1, gcm I mpalcato 4, gcm 4, gcm 1835 gcm, gcm 5, gcm 5, gcm 6, gcm 3, gcm 6,3-411 gcm II ordne 4, gcm II mpalcato 7, gcm 7, gcm 8, gcm 5, gcm 8, gcm 8, gcm 9, gcm 6, gcm 9, gcm 4
6 Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 III ordne 7, gcm III mpalcato 10, gcm 10, Kgcm 11, gcm 8, Kgcm 11, gcm 11, Kgcm 1, gcm 9, Kgcm 1, Kgcm Per quanto rguarda tagl s rcorda ce valgono le seguent espresson general: T, per plastr T, ql per le trav, ± Per cu svolgendo calcol s a: Plastr I ordne T 1, Kg I mpalcato T 4, Kg T, Kg T Kg T 3, Kg T 5, Kg T 6, Kg II ordne T 4, Kg T 5, Kg II mpalcato T 7, Kg T 6, Kg T 8, Kg T 8, Kg III ordne T 7, Kg T 9, Kg T 8, Kg T 9, Kg III mpalcato T 10, Kg T 11, Kg T 11, Kg T 1, Kg e nfne gl sforz normal sono dat da relazon d equlbro a nod: 5
7 Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 7,10 8,11 9,1 10,11 11,1 4,7 5,8 6,9 7,8 8,9 1,4,5 3,6 4,5 5,6 T T F T T 10,11 11,1 T T 8, 11 6, ,10 9,1 4,7 5,8 6,9 3,6 1,11 F 9,1 + T F + T T 7,10 4,7 7,10 + T + T 9,1 + T + T 4,5 5,6 6,5 6,9 11,10 7,8 8,9 9,8 1,4 4,7 8,7 6
8 Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 per cu rassumendo s a: Plastr I ordne 1, Kg I mpalcato 4, Kg, Kg 5, Kg 3, Kg II ordne 4, Kg II mpalcato 7, Kg 5, Kg 8, Kg 6, Kg III ordne 7, Kg III mpalcato 10, Kg 8, Kg 11, Kg 9, Kg S rmanda n ogn caso alle tavole allegate per la rappresentazone de dagramm delle caratterstce della sollectazone. 3.6 Combnazone : Carc vertcal + Forze ssmce Per questo scema d carco valgono tutte le consderazon fatte nel paragrafo precedente relatvamente alle modaltà d rsoluzone. Stante noltre la stessa matrce d rgdezza, vanno rcalcolat soltanto carc agent sulla struttura, da cu dscenderà un nuovo vettore d termn not. Rcordando ce per questa combnazone vale la relazone: Q d G Q q 1 q g/m q g/m [1 e mpalcato] [3 mpalcato] e qund: 4,5 5,6 7,8 8,9 10,11 11,1 q1l gm q1l gm ql1 8, gm ql 9, gm q3l1 11, gm q3l 1, gm 1 E rcordando ce stavolta sono present le forze: 7
9 Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 F g F 9835 g F g l vettore de termn not è: f f o Per cu l vettore delle ncognte è dato da: ϕ 4 ϕ5 ϕ 6 ϕ7 ϕ 8 ϕ9 s ϕ10 ϕ11 ϕ 1 δ1 δ δ rad rad rad rad rad rad rad rad rad cm cm S rassumono d seguto le caratterstce della sollectazone nterna: oment Flettent Plastr I ordne 1, gcm I mpalcato 4, gcm 4, gcm gcm, gcm 5, gcm 5, gcm 6, gcm 3, gcm 6, gcm 8
10 Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 II ordne 4, gcm II mpalcato 7, gcm 7, gcm 8, gcm 5, gcm 8, gcm 8, gcm 9, gcm 6, gcm 9, gcm III ordne 7, gcm III mpalcato 10, gcm 10, gcm 11, gcm 8, gcm 11, gcm 11, gcm 1, gcm 9, gcm 1, gcm Tagl Plastr I ordne T 1, Kg I mpalcato T 4, Kg T, Kg T Kg T 3, Kg T 5, Kg T 6, Kg II ordne T 4, Kg T 5, Kg II mpalcato T 7, Kg T 6, Kg T 8, Kg T 8, Kg III ordne T 7, Kg T 9, Kg T 8, Kg T 9, Kg III mpalcato T 10, Kg T 11, Kg T 11, Kg T 1, Kg Sforz ormal Plastr I ordne 1, Kg I mpalcato 4, Kg, Kg 5, Kg 3, Kg II ordne 4, Kg II mpalcato 7, Kg 5, Kg 8, Kg 6, Kg III ordne 7, Kg III mpalcato 10, Kg 8, Kg 11, Kg 9, Kg 9
11 Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/ Combnazone 3: Carc vertcal - Forze ssmce Per quest ultmo scema d carco varano rspetto al precedente soltanto le forze, ce agscono n drezone contrara. Per cu rcordando ce: q 1 q g/m [1 e mpalcato] q g/m [3 mpalcato] 4,5 5,6 7,8 8,9 10,11 11,1 q1l gm q1l gm ql1 8, gm ql 9, gm q3l1 11, gm q3l 1, gm F g F g F g l vettore de termn not è: f f o Da cu rsolvendo l sstema: 30
12 Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 ϕ 4 ϕ5 ϕ 6 ϕ7 ϕ 8 ϕ9 s ϕ10 ϕ11 ϕ 1 δ1 δ δ rad rad rad rad rad rad rad rad rad cm cm D seguto sono rassunte le caratterstce della sollectazone nterna dervant da quest ultma anals: oment Flettent Plastr I ordne 1, gcm I mpalcato 4, gcm 4, gcm gcm, gcm 5, gcm 5, gcm 6, gcm 3, gcm 6, gcm II ordne 4, gcm II mpalcato 7, gcm 7, gcm 8, gcm 5, gcm 8, gcm 8, gcm 9, gcm 6, gcm 9, gcm III ordne 7, gcm III mpalcato 10, gcm 10, gcm 11, gcm 8, gcm 11, gcm 11, gcm 1, gcm 9, gcm 1, gcm Tagl Plastr I ordne T 1, Kg I mpalcato T 4, Kg T, Kg T Kg 31
13 Rccardo Sabatno 463/1 Progetto d un telao n c.a. A.A. 003/04 T 3, Kg T 5, Kg T 6, Kg II ordne T 4, Kg T 5, Kg II mpalcato T 7, Kg T 6, Kg T 8, Kg T 8, Kg III ordne T 7, Kg T 9, Kg T 8, Kg T 9, Kg III mpalcato T 10, Kg T 11, Kg T 11, Kg T 1, Kg Sforz ormal Plastr I ordne 1, Kg I mpalcato 4, Kg, Kg 5, Kg 3, Kg II ordne 4, Kg II mpalcato 7, Kg 5, Kg 8, Kg 6, Kg III ordne 7, Kg III mpalcato 10, Kg 8, Kg 11, Kg 9, Kg 3
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