6. METODO DELLE FORZE IMPOSTAZIONE GENERALE

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1 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE 6. ETODO DEE FORZE IOSTZIOE GEERE ssocamo al sstema perstatco un altro sstema, denomnato sstema prncpale. Il sstema prncpale è un sstema statcamente determnato, ce s ottene da quello dato sopprmendo vncol (estern od ntern) nella msura necessara e suffcente. Esempo d sstema prncpale: pplcando al sstema prncpale carc attv, s rspetta l equlbro (l sstema è sostatco), ma non la congruenza. Infatt, ne punt dove sono stat soppress vncol, nella drezone e verso del generco -esmo vncolo soppresso s a uno spostamento ce n generale è dverso dall effettvo cedmento del vncolo. () SISTE EFFETTIVO () SISTE RIIE S rottene un sstema equvalente a quello effettvo applcando nel sstema prncpale, n corrspondenza d tutt gl n vncol soppress, le reazon sstema effettvo da que vncol. Tal reazon sono denomnate perstatce. (,...n) ce erano eserctate sul

2 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE 6 () () () 5 e perstatce devono far recuperare la congruenza; qund, esse devono produrre, n corrspondenza del generco -esmo vncolo soppresso, uno spostamento ce, sommato a, facca ottenere l valore effettvo. questo punto, graze alla lneartà del problema, possamo dre:. lo spostamento dovuto al complesso delle perstatce è la somma degl spostament prodott separatamente da cascuna. lo spostamento prodotto da cascuna perstatca è l prodotto dello spostamento provocato dall perstatca posta, per l perstatca. Traducendo n formula: n dove è lo spostamento del punto d applcazone dell perstatca d, prodotto da. Qund s è ottenuto : ;(,...,n n ), nella drezone e nel verso Queste equazon sono denomnate equazon d üller-reslau. Sono equazon d congruenza. Sono n numero d n (tante quant vncol soppress e qund quante le onsentono d determnare le tal fne osservamo ce: ). se sono valutabl a pror tutt gl altr termn. spostamento del punto d applcazone d, nella drezone e nel verso d, nel sstema effettvo. E l cedmento del vncolo -esmo, ce s suppone noto (se è zero, l vncolo è perfetto) ()

3 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE o spostamento del punto d applcazone d sstema prncpale, provocato da carc., nella drezone e nel verso d, nel () S può determnare col teorema de lavor vrtual (forze vrtual). T T o ds s EJ E GK,, T,, T spostamento del punto d applcazone d sstema prncpale, provocato da, nella drezone e nel verso d, nel () S può determnare col teorema de lavor vrtual (forze vrtual). T T ds s EJ E GK,, T,, T 5

4 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE Operatvamente: )Scelta d un sstema prncpale (,..., n sono not) 6 5 ) alcolo d,, T,, T ) alcolo d... n,... n,t... Tn (nel nostro caso, n 6),, T,, T,, T,, T ) alcolo d: T T o ds s EJ E GK 5, 5, T5 6, 6, T6 T T ds s EJ E GK n 5) Rsoluzone del sstema: Osservazon: ) océ la deformazone dovuta al taglo è molto mnore delle altre, negl ntegral T T T T o ds ; ds s EJ E GK s EJ E GK 6

5 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE termn T T GK T T, GK fatto n precedenza ) sono n generale trascurabl rspetto agl altr (s assume GK, come gà T ) Il termne ds s EJ E GK è > ) S a evdentemente ( gà vsto n precedenza, teorema d axwell) Qund la matrce de coeffcent del sstema delle equazon d üller-reslau: µ... n µ... n... n µ n... nn è smmetrca ( ) ed a termn della dagonale prncpale postv ( >). ) Se un perstatca rsulta d valore negatvo, cò sgnfca ce l suo verso effettvo è opposto rspetto a quello ce le era stato attrbuto. ETODO DEE FORZE IOSTZIOE GEERE ESEI Esempo q EJ, E cost. q EJ E SISTE RIIE ( s è operata una sconnessone nterna: rappresenta qund uno spostamento mutuo) 7

6 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE ds s EJ E ds s EJ E valutazone d, ;,, EJ E, EJ E - ( z) q EJ q z ( z ) dz q 8EJ q ( z) ( z) - - ( z) dz dz EJ E EJ E q 8EJ EJ E q 8 J Esempo - E, J, E, J, E, J, E, J, 8 parte d assorbta da (-) parte d assorbta da

7 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE Q.. a frecca d una trave appoggata con carco Q n mezzera vale 8EJ Dmostrazone per esempo con le analoge d or Q Q Q Q TRVE USIIRI: q* Q 6EJ Q EJ Q 6EJ Q 6EJ Q EJ Q Q Q EJ 96EJ 8EJ 6 ( ) Equazone d congruenza: ( ) 8EJ 8E J trave () EJ trave () Rapporto fra le part d assorbte dalla trave () e dalla trave () se EJ E J Osservazone: la struttura pù rgda assorbe la frazone maggore del carco.. Inquadramento con le equazon d üller-reslau: ; (sconnessone nterna) SISTE RIIE 9

8 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE ; 8 8 8E J 8EJ 8 8 Esempo caso : la forza è applcata nel punto D EJ E EJ D E ; ; EJ EJ Determnamo per esempo con le analoge d or - _ (TRVE USIIRI) EJ q* EJ n modo analogo s può determnare E EJ E 5

9 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE E J E E Il rapporto tra e è dato da: E caso : la forza è applcata nel punto D EJ E D EJ EJ EJ E ; ; ( ved caso precedente ) ; E E J E EJ E E Il rapporto tra e è dvesro dal caso (), nfatt è dato da: E J E aso partcolare: E I due problem vengono a concdere. e due mensole s rpartscono l carco n base alla loro rgdezza. D EJ EJ E 5

10 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE Esempo - Struttura due volte perstatca. q SISTE RIIE q J,J ' ' ' ' Equazon d üller-reslau () q 8 z - q 8 z q 8 z - q z - _ z - 8 (z- ) q z z z - - 5

11 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE q J,J ' ' qz 8 z qz 8 q z z z z z Eseguendo calcol s ottene : 5q ; ; ; ; 768EJ 8EJ E E e rsolvendo l sstema delle due equazon d üller-reslau: E EJ 5 q 768J 5 q J J 5 8J J J J q J 8J J J J nel caso partcolare d deformazone assale trascurable ( E ), s a: 5 q,. 6 e rsulta, n tal caso: 5

12 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE I ETODO DEE FORZE E I ETODO DEGI SOSTETI - ESEI Strutture perstatce esempo E E () () () E ste d uguale sezone e materale ( Ecost.) Equlbro: le forze normal nelle aste devono avere rsultante nel nodo ongruenza: gl allungament delle aste devono avere lo stesso spostamento nel nodo ETODO DEE FORZE ETODO DEGI SOSTETI SISTE RIIE () () () () Sconnettamo () da () () () () loccamo l nodo Forza normale n () e (): Spostamento del nodo appartenente a ()()): E E Forza normale n (): Spostamento del nodo (appartenente a ()): Spostamento relatvo fra () e ()(): E (anzcé ) Volata la congruenza llungament delle aste: Forza normale nelle aste: Forza trasmessa dalle aste al nodo: (anzcé ) Volato l equlbro 5

13 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE ETODO DEE FORZE ETODO DEGI SOSTETI () () () Recuperamo la congruenza applcando un perstatca ce produca uno spostamento relatvo fra () e ()() l quale, sommato a quello prodotto da da l valore effettvo (zero) Recuperamo l equlbro mponendo al nodo uno spostamento ξ ce deform le aste n modo da generare n esse forze normal la cu rsultante produca nel nodo una forza uguale a quella effettva () Equazone d congruenza (üller-reslau) spostamento relatvo del nodo () spostamento relatvo nel nodo nel sstema prncpale, dovuto al carco spostamento relatvo nel nodo nel sstema prncpale, dovuto a Equazone d equlbro (lebsc, ) R R R ξ R forza nel nodo () R forza trasmessa al nodo dalle trav, nel sstema prncpale a nod bloccat, dovuto al carco agente sulle trav R forza trasmessa al nodo dalle trav, nel sstema prncpale, dovuta a ξ mposto al nodo. 55

14 aptolo6 ETODO DEE FORZE - IOSTZIOE GEERE ; ETODO DEE FORZE R ETODO DEGI SOSTETI R R R ξ ds ; ds E E S S R () () () () () () () () () () () () () () E E () () () () ds E E S ds E E S E E ( ) R E E E R ξ R E ξ ( ) E E E 56