4. TEOREMA DEI LAVORI VIRTUALI PER LE TRAVATURE
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- Severino Venturini
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1 aptolo TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR. TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR Il teorema de lavor vrtual, che è tato dmotrato per la trave emplce, può eere eteo n entrambe le ue forme (potament vrtual e fore vrtual alle travature. Denomnamo l ae delle trutture. Scrvamo l lavoro eterno rguardante eventual carch concentrat eparatamente da uello concernente carch dtrbut. tal fne, denomnamo R l generco -emo carco concentrato (fora o coppa e con lo potamento generalato (tralaone e rotaone del punto d applcaone d R nella dreone d R. Il teorema de lavor vrtual può crvere allora, per una travatura pana: et nt a potament vrtual ( δ δ u u ( p δ w δv m δϕ d R δ ( N δε T δγ δκ d et nt b fore vrtual ( δ δ f f ( δ p w δ v δm ϕ d δr ( δn ε δt γ δ κ d con lo teo gnfcato de mbol adottato per la trave.
2 aptolo TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR UN IZION D TOR DI VORI VIRTUI: DTRINZION DI SOSTNTI ROTZIONI IN TRVTUR STIH S vuole determnare una certa componente d potamento punto. pplchamo l Teorema delle fore vrtual In forma generale eo crve: ( δ p w δ v δϕ m d δr ( δn ε δt γ δ κ Faccamo la eguente applcaone partcolare: tema d potament e carattertche d deformaone: l tema effettvo (tralaone o rotaone nel generco d w, v, tema d fore e carattertche d ollectaone vrtual: una fora (o coppa vrtuale δ R, applcata n nella dreone dello potamento (o rotaone, con le corrpondent N δ, δ, δ T R N,, T N- δ, δ, δ T N, ndca che tratta delle δ N, δ, T δ dovute a δ R 5
3 aptolo TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR Supponamo che vncol non abbano cedment (vncol perfett. Il teorema delle fore vrtual crve n ueto cao: δ R ( δ N ε δ κ δ T γ endo l legame elatco e lneare: d ε N ; κ J ; γ T GK, per cu δ N N δ δ T T δ R d ( J GK er la lneartà può anche crvere: δ N N δr ; δ δr ; δ T T δr eendo N,, T, le carattertche provocate da una fora (o coppa untara applcata n. N,, T Sottuendo nella ( N N T T δ R d J GK e per l arbtraretà della fora (o coppa vrtuale δ R : N N T T d ( J GK dove: è lo potamento (rotaone cercato N,, T ono le carattertche d ollectaone effettve N,, T, ono le carattertche d ollectaone provocate da una fora (coppa untara applcata n nella dreone dello potamento (rotaone cercato. Supponamo ora che vncol abbano cedment; vedamo per emplctà l cao d un olo cedmento, ad eempo una rotaone (nota : c 6
4 aptolo TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR pplcando come n precedena l teorema delle fore vrtual, la reaone δ provocata dalla fora vrtuale δ R nel vncolo, nella dreone d, (n ueto cao, un momento d ncatro compe l lavoro vrtuale δ. R c Qund l lavoro vrtuale eterno dventa: er la lneartà poamo crvere: untara n. δ R δ δ δr, eendo la reaone del vncolo per una fora Rpetendo l ragonamento fatto per vncol perfett, crve: N N T T d J GK tendendo a pù cedment vncolar, ha: N N T T j j d ( J GK j eendo j l generco vncolo cedevole. Oervaon er applcare le formule ( o ( occorre eere n grado d conocere le carattertche d ollectaone dovute al carco ed a fore (coppe untare T T oché la deformaone dovuta al taglo è pccola, l termne è n generale tracurable GK rpetto ad altr che fgurano nell ntegrale. 7
5 aptolo TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR 8 y (N y UN IZION D TOR DI VORI VIRTUI SI GK co t, co t, J (tracurable deformabltà al taglo d N N J Determnare la frecca ( f n J J 6 J d J d J f J 8 5 f
6 aptolo TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR J co t, co t, GK (tracurable deformabltà al taglo N N d J Determnare lo potamento vrtuale ( n _ N _ ( N N - - N N N d d 9
7 aptolo TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR empo Q Spotamento d ( y d J e hanno dunue egno concorde, und l ntegrando è empre potvo e ha: > Il rultato è generale: lo potamento (rotaone provocato da una fora (coppa nel uo punto d applcaone è concorde con la fora (coppa. empo Spotamento d provocato da applcata n ( d J Spotamento d provocato da applcata n ( d J
8 aptolo TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR In nte: per d J ( ( per d J ( ( Il dagramma ( è uguale al dagramma ( e l dagramma ( è uguale al dagramma (. Qund due ntegrand ono ugual e ha: Il rultato è generale: lo potamento (rotaone della eone provocato da una fora (coppa untara applcata n è uguale allo potamento (rotaone della eone provocato da una fora (coppa untara applcata n. (Teorema d axwell N.. ntrambe le propretà ottenute nell empo e nell empo valgono per legame elatco lneare.
9 aptolo TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR UN IZION D TOR DI VORI VIRTUI: DTRINZION DI RZIONI VINORI IN TRVTUR ISOSTTIH Inamo dal cao generale d una truttura anche pertatca. S vuole determnare una certa componente d reaone. pplchamo l Teorema degl potament vrtual. In forma generale eo crve: ( p δ w δv m δϕ d R δ ( N δε T δγ δκ d Faccamo la eguente applcaone partcolare: tema d fore e carattertche d ollectaone: l tema effettvo. (fora o momento nel generco vncolo N,,T tema d potament e carattertche d deformaone vrtual: gl potament prodott da uno potamento (rotaone vrtuale δ applcato n nella dreone d, con le corrpondent δ ε ; δ γ ; δ κ. v, w,,,, N.. δ v, δ w, δ ϕ, δ ε, δ γ, δ κ ndca che ono dovut a δ.
10 aptolo TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR Il torema degl potament vrtual crve n ueto cao: ( pδw δv mδϕ δ d ( N δ ε δ κ T δ γ d (o Un notevole cao partcolare, utle per le applcaon, è uello n cu la truttura della uale vuole determnare una reaone vncolare è otatca. d eempo, la eguente truttura, n cu cerca la reaone V (che dentfca con : D pplcando uno potamento vrtuale nel vncolo e nella dreone della reaone, eendo la truttura otatca, la deformata è cottuta da tratt rettlne. Nell eempo: V D oché non c è deformaone, l econdo membro della (o annulla e la (o rduce a: (N.. V ( p δ w δ v m δ d δ ( o o ϕ facendo rtrovare l epreone valda per corp rgd (a conferma del fatto che per le reaon d trutture otatche è uffcente la tatca de corp rgd. onendo: δ w w δ; δ v v δ ; δ ϕ ϕ δ, dove w ; v ; ϕ ottengono applcando nel vncolo uno potamento untaro, ha dalla ( o o : ( p w v m ϕ d
11 aptolo TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR UN IZION D TOR DI VORI VIRTUI: DTRINZION DI RZIONI VINORI IN TRVTUR ISOSTTIH - SI empo D V V V Determnaone d V ; V ; V ;. (N.. dottamo ; a on le euaon d eulbro ( euaon cardnal aulare - momento flettente n ; V V - momento flettente n D ; V V - eulbro tralaone vertcale; V V ; V V eulbro rotaone (polo n ; V ; V ; V ( ; V ( ; ( b on l teorema de lavor vrtual - determnaone d V D V δ V V
12 aptolo TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR - determnaone d V V D V δ δ d ; δ V d ; V V - determnaone d V l D V V δ δ d δ V d ; V V - determnaone d D V ; V ( ; V ( ; δ δ d δ d ; ( RTTRISTIH DI SOITZION D D _ D _ 5
13 aptolo TOR DI VORI VIRTUI R TRVTUR FORU UTII R TRV (J cot Trave appoggata con: carco (, moment agl etrem, cedmento ne vncol Rotaon α e α ( * α α ( * α α ( J 6J 6J J δ δ δ δ ( α (, * * α ( rotaon dovute al olo carco, o termn d carco Trave ncatrata con: carco (, cedment de vncol oment e ( J J 6J α α ( δ δ J J 6J α α ( δ δ (, moment dovut al olo carco, o moment d ncatro perfetto N.. I egn,-, delle formule ono conform a ver potv ndcat nelle fgure d ueto foglo. 6
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