Soluzione: Il campo generato da un elemento di filo dl è. db r = (1)

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1 1 Eserco 1 - Un flo conduttore percorso da corrente ha la forma mostrata n fgura dove tratt rettlne sono molto lungh. S calcol l campo d nduone magnetca ( dreone, verso e modulo) nel punto P al centro della semcrconferena d raggo R. R P Soluone: Il campo generato da un elemento d flo dl è d dl r = (1) 3 4πr dove r è l vettore che congunge l'elemento d flo con l punto P. Per tratt rettlne l prodotto vettorale n eq.(1) è par a pochè vettor dl ed r sono parallel ( o antparallel). Dunque, l campo n P è dovuto solamente alla corrente che scorre nella semcrconferena. I vettor dl nella semcrconferena sono tutt perpendcolar al vettore r e l campo elementare da ess prodotto è dretto perpendcolarmente al pano della fgura nel verso entrante. Il campo d nduone magnetca prodotto da tal element è: d dl k = k = dl k 4πR 4πR = () 4R dove k ndca l versore entrante nel pano della fgura. Eserco : Nel modello d Rutherford, l'atomo d Idrogeno è costtuto da un elettrone con carca elettrca - e che ruota con veloctà angolare ω attorno al protone con carca elettrca + e su un'orbta crcolare d raggo a. S calcol l momento magnetco medo dovuto al moto dell'elettrone. Soluone : L'elettrone ruotante è equvalente ad una corrente meda che scorre n una spra crcolare d raggo a n verso opposto al verso del moto dell'elettrone. Infatt, presa una qualunque seone dell'orbta dell'elettrone, la carca - e attraversa tale seone ogn volta che passa un tempo par al perodo del moto crcolare T = π/ω. Dunque, la corrente meda assocata è, n modulo, = e / T = e ω /(π) (1) Il vettore momento magnetco medo è percò dretto nel verso mostrato n fgura ed ha modulo: = π a = e ω a / () v

2 Eserco 3 - Una lastra pana quadrata d lato L e spessore trascurable è carcata con una denstà d carca unforme superfcale σ postva. La lastra s muove con veloctà v lungo l'asse parallelo ad uno de suo lat. S calcol: 1- la corrente eletrca assocata con l moto della pastra. - Le component, e del campo d nduone magnetca prodotto dalla pastra n punt vcn alla pastra. v Soluone: 1- La carca che s muove lungo dà orgne ad una corrente elettrca dretta nello stesso verso. La corrente è par alla carca che attraversa una seone vertcale della pastra (pano S che nterseca la pastra lungo la lnea tratteggata ndcata nella fgura sotto ed è perpendcolare alla corrente ) nell'untà d tempo. In un tempo nfntesmo dt, le carche s sono spostate d un tratto v dt, dunque le carche che hanno attraversato una seone della pastra n tale tempo sono tutte quelle contenute nel rettangolo d lato L e altea v dt ( regone grga n fgura), coè: dq = σ L v dt (1) Dunque, la corrente = dq/dt è = σ L v () v dt L S - Il problema ha smmetra pana e, qund, n accordo a quanto dscusso n dettaglo negl appunt, l campo magnetco è dovunque dretto lungo l'asse perpendcolare alla corrente e puo' dpendere dal valore della coordnata perpendcolare alla pastra posta n =. Dunque, = () j dove j è l versore dell'asse. Utlando la regola della mano destra s verfca faclmente che l campo è nel

3 3 verso postvo delle ( () > ) se > e n verso opposto se <. Inoltre, sempre per la smmetra, l campo n punt smmetrc rspetto al pano =, camp sono ugual ed oppost coè ( - ) = - (). Per calcolare l campo possamo utlare l teorema d Ampere applcato ad un crcuto rettangolare con due lat d lunghea L parallel all'asse e post n punt smmetrc e - con > e due lat parallel all'asse. Pochè l campo è dretto lungo, solo lat d lunghea L contrbuscono alla crcutaone del campo. Per l Teorema d Ampere, () L - ( - ) L = (3) Sfruttando la relaone ( - ) = - (), la relaone precedente fornsce: () = / ( L) = σ v / (4) Dunque, l campo generato dalla pastra è unforme con vers oppost sopra e sotto la pastra. Eserco 4 - S consder la stessa stuaone dell'eserco 3 ma con pastra d spessore d << L con dstrbuone d carca eletrca volumca ρ unforme che vagga con veloctà v lungo l'asse come nel problema 3. Indcando con l'asse ortogonale alla pastra con orgne nel centro della pastra, s calcol: 1 - la corrente assocata con l moto delle carche, - l campo d nduone magnetca nella regone esterna alla pastra ma suffcentemente vcna alla pastra ( d/ < < L) e all'nterno della pastra ( < d/). [ soluone: 1 - = ρ v d L, - a) d/ < < L : = ρ v / j; b) < d/ : = ρ v d/ j ] Eserco 5 - Una spra conduttrce crcolare d raggo R gace su un pano con centro nell'orgne degl ass ed è percorsa da una corrente dretta come n fgura. Un lungo flo conduttore rettlneo percorso da corrente dretta come n fgura è dsposto sull'asse della spra. 1- S calcol la fora eserctata dalla spra sul flo. - S calcol la fora eserctata dal flo sulla spra.

4 4 Soluone - 1 -La fora elementare agente su un generco trattno d flo orentato d lunghea dl appartenente al flo rettlneo è d F = dl (1) dove è l campo d nduone magnetca generato dalla spra nel punto dove s trova l'elemento dl. Per motv d smmetra, l campo generato dalla spra n un punto dell'asse è dretto lungo l'asse e, qund, è parallelo a dl. Ne consegue che la fora agente su cascun trattno d flo rettlneo è nulla e, qund, è nulla anche la fora totale agente sul flo. - Per l prncpo d aone e reaone, la fora eserctata dal flo rettlneo sulla spra è nulla. Metodo dretto: Lo stesso rsultato s ottene osservando che le lnee d campo d un flo rettlneo ndefnto sono crconferene con centro sull'asse. Dunque, la lnea d campo che passa per la spra è, n ogn punto, parallela alla spra. Ne consegue che la fora elementare agente su ogn trattno orentato d spra è nulla e, qund, anche la fora rsultante è nulla. Eserco 6 - Una spra conduttrce d forma semcrcolare d raggo R gace nel pano ed è mmersa n un campo d nduone magnetca gacente nel pano perpendcolare al pano della spra e formante un angolo θ con l'asse. La spra è percorsa da una corrente nel verso ndcato n fgura. S trov: 1 - la fora ( component, e ) agente sul tratto rettlneo che congunge punt C e D, - La fora ( component, e ) agente sul tratto semcrcolare che va da C a D, 3 - Il momento d fora ( component,, ) agente sulla spra. θ C D Soluone : 1 - La fora sul flo rettlneo è: F = CD (1) Il modulo della fora è:

5 5 F = R () Il vettore F è perpendcolare al pano ndvduato da vettor CD e. In partcolare, essendo CD parallelo all'asse, la fora gace nel pano e fa un angolo π/ con l campo ( ved fgura sotto) F θ C D Utlando la regola della mano destra s verfca mmedatamente che la fora è nel verso delle negatve e fa un angolo π/ - θ con l'asse. Dunque: F =, F = - R sn(π/ - θ ) = - R cos θ F = R sn θ (3) - I Metodo: La fora totale su una spra percorsa da corrente n campo unforme è nulla. Dunque, la fora agente sul tratto semcrcolare è uguale ed opposta a quella agente sul tratto rettlneo, coè: F =, F = R cos θ F = - R sn θ (4) II Metodo ( calcolo dretto): La fora s può calcolare drettamente ntegrando le fore elementar d Laplace agent su sngol trattn d lunghea dl d semcrcoferena Dunque: C C F = dl = dl (5) D D dove s è sfruttato l fatto che e sono costant e, qund, possono essere portat fuor dal segno d ntegrale nseme al segno d prodotto vettorale per la propretà dstrbutva del prodotto vettorale. Ma l'ntegrale de dl n eq.(5) non è altro che la somma degl spostament nfntesm da D a C lungo la semcrconferena che è uguale allo spostamento totale, coè l vettore DC che congunge l punto D con C. Dunque, la (5) dventa F = DC (6) che è uguale ed opposta alla fora F n eq.(1) essendo DC = - CD.

6 6 3 - Il momento magnetco della spra è dretto lungo l'asse nel verso postvo ed è par n modulo a = π R /. Il prodotto vettorale de vettor e è perpendcolare al pano da ess ndvduat che concde con l pano e, dunque, è dretto lungo l'asse. Il modulo del momento d fora è τ = snθ. Utlando la regola della mano destra, s verfca faclmente che l momento è dretto nel verso negatvo dell'asse. Dunque: τ = - snθ = π a snθ /, τ = τ = (7) Eserco 7 - Un lungo solenode d altea h è costtuto da un flo conduttore d seone S. Le spre del solenode hanno raggo a molto pù grande del raggo del flo conduttore e sono avvolte compattamente ( spre successve sono n contatto). Il flo conduttore è rvestto da una sotle guana solante d spessore trascurable n modo da evtare l contatto elettrco fra spre adacent. La resstvtà del flo conduttore è ρ. 1 - S calcol la resstena R del solenode. - S calcol l campo magnetco presente nel solenode quando una corrente scorre nel solenode. Soluone: 1 - Pochè le spre sono avvolte n modo compatto, la dstana fra centr d due spre adacent è par a d = b dove b è l raggo del flo che è par a b = (S/π) 1/ ( ved fgura sotto). Vsta n seone d spre adacent d Ma allora, se h è l'altea del solenode, l numero d spre present è N = h/d ( ad esempo, nel caso n fgura, s verfca mmedatamente che l'altea totale delle 3 spre è propro par a 3 d). Dunque: h N = (1) S /π La lunghea totale del flo è, percò, L = N πa, coè: 3 / hπ a L = () S dunque, la resstena dell'avvolgmento è:

7 7 3 / ρ L hπ a R = = ρ 3/ (3) S S - Il campo d nduone magnetca all'nterno d un solenode è dretto lungo l'asse ed è par a = n (4) dove n = N/h è l numero d spre per untà d lunghea. Dunque: = S / π Eserco 8 - Una spra conduttrce d massa m e raggo a è percorsa da una corrente costante come mostrato n fgura. La spra s trova nalmente ferma con l centro a dstana d >> a da un lungo flo conduttore percorso dalla corrente nel verso mostrato n fgura. La spra è vncolata a muovers sena attrto lungo l'asse n fgura. S trov la veloctà massma raggunta dalla spra. d Soluone: La spra ha un momento magnetco dretto lungo l'asse uscente dal pano della fgura e d modulo = π a. Il campo magnetco generato dal flo nella regone occupata dalla spra è dretto n verso opposto all'asse ed è par, n modulo, a = (1) π Pochè d >> a, l campo magnetco n punt dvers della spra ha valor d poco dvers ( la dstana d un punto della spra dal flo è sempre compresa fra d - a d e d + a d). Dunque, nella (1) s può sostture a l valore costante d, coè s può consderare l campo della spra pratcamente unforme e par n modulo a = () πd L'energa assocata con l'nteraone della spra ( dpolo magnetco) con l campo unforme è : πa a U = = = = (3) πd d

8 8 Questa energa decresce all'aumentare della dstana d della spra dal flo, dunque la spra vene respnta dal flo e s sposta nel verso postvo dell'asse convertendo la sua energa potenale n energa cnetca. Il massmo valore dell'energa cnetca e, qund, della veloctà vene raggunto quando la spra s trova a dstana nfnta dove l campo è nullo e con esso l'energa magnetca. Imponendo la conservaone dell'energa meccanca, s trova: a 1 = mvma d v ma a = (4) md Eserco 9 - Una spra pana d area S è percorsa da una corrente costante ed è mmersa n un campo d nduone magnetca unforme. La spra gace nel pano. La spra è nalmente ferma e la normale n alla spra fa nalmente un angolo θ con l campo d nduone magnetca che gace nel pano. Il momento d nera della spra rspetto all' asse gacente sul suo pano e passante per l suo centro è I. S osserva che la normale alla spra na ad oscllare attorno alla dreone del campo magnetco. n θ 1- S trov la massma veloctà angolare raggunta dalla spra. - Nell'potes θ << 1, s calcol l perodo T delle oscllaon. Soluone : 1- La spra possede un momento magnetco d modulo = S dretto lungo la normale alla spra. La veloctà massma vene raggunta quando la normale alla spra è parallela al campo e l'energa magnetca è mnma. Infatt, l'energa d nteraone fra spra e campo è par a U = - cosθ che è mnma per θ =. Imponendo la conservaone dell'energa meccanca, s scrve: 1 cosθ = + Iωma ω ma (1 cosθ ) S(1 cosθ ) = = (1) I I - Sulla spra l campo esercta un momento d fora ( momento d fora su un dpolo magnetco) che è dretto lungo l'asse nel verso negatvo ed è par a: τ = S sn θ Sθ () dove abbamo tenuto conto del fatto che l'angolo θ fra la normale alla spra e l campo è sempre molto pccolo e, qund, sn θ θ. L'equaone del moto d rotaone della spra attorno all'asse è, percò:

9 9 d θ dt Sθ = I θ = ω d θ S d θ = (3) dt I dt Dove abbamo defnto la pulsaone ω = (S/I) 1/. L'equaone (3) è l'equaone classca d un moto oscllatoro con pulsaone ω. Dunque, l perodo T è: π πi T = = ω S