Meccanica Dinamica del corpo rigido
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- Rosina Calabrese
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1 Meccanca 8-9 6
2 Fora peso sul corpo rgdo Corpo sottoposto alla fora peso: Su ogn elemento nfntesmo d massa dm agsce la fora Rsultante delle fore: F peso V g dm Momento rsultante (polo ): M V Energa potenale: dep d F V g dm g dm Mg r g dm ( ) r df rdm g V Mr g V gdm r rdm M g dm E P V g dm r F Mg dm M g dm V Se agsce solo la fora peso, la dnamca del corpo rgdo è equvalente alla dnamca d un punto materale d uguale massa, posto nel ( barcentro ) del corpo x dm peso Momento della fora peso applcato al r df y
3 Traslaone v( t) Caso generale: Roto-traslaone Moto del corpo rgdo Tutt punt descrvono traettore ugual, percorse con la stessa veloctà v (t) può varare n modulo e dreone In generale: Traettore curvlnee Rotaone Tutt punt descrvono traettore crcolar, su pan parallel ntorno all asse d rotaone Traslaone nfntesma v( t) Rotaone nfntesma ( t) Quanttà dnamche (per sstem n generale) I Eq. cardnale: ( E) TT Tutt punt, n un dato stante, hanno la setssa veloctà angolare, parallela all asse II Eq. cardnale: ( t) gn movmento nfntesmo d un corpo rgdo può essere espresso come la combnaone d: P mv E E + E ' F F ma K K, K mv (Corpo rgdo) (Rsultante delle fore esterne) d ( E ) MTT M dt (Momento rsultante delle fore esterne)
4 Rotaone rgda: momento angolare Rotaone ntorno a un asse fsso (asse, sstema nerale) Veloctà angolare (n generale funone del tempo): π θ R cosθ, θ r v P Calcolamo l momento angolare d P rspetto al polo r m v ( t) Proeon del momento angolare r m v rm R v ( t) r π cos θ, ( R m ) I snθ rm R snθ R r snθ, Proeone del momento angolare totale sull asse :, Sull asse : Sull asse ortogonale a : r m R (lo rprenderemo ) ( Momento d nera del corpo rspetto all asse ) cosθ I m R v r R m Il momento d nera dpende da: - dstrbuone d massa del corpo - asse rspetto al quale è calcolato
5 I Momento d nera: I R dm Momento angolare totale: Corpo omogeneo e smmetrco Asse d rotaone concdente con un asse d smmetra per ogn P esste un P j per cu Equaone del moto nel caso smmetrco M d dt d dt Momento delle fore esterne M ( I ) I α Rotaone rgda, j, In questo caso abbamo + d I I α dt k I k, (Vale anche per dstrbuone d denstà smmetrca rspetto all asse) Acceleraone angolare In generale, non parallelo all asse Equaone del moto d rotaone Noto l momento delle fore esterne (e l momento d nera) s può calcolare l acceleraone angolare r j r
6 r F P Equlbro statco Condone d equlbro statco per un corpo rgdo nalmente n quete v ' F M v Se F allora M è ndpendente dal polo Momento rsultante rspetto al polo : M r F rspetto a : M ' r ' F r' ( r r ') F r F r F M r F Dmostramo che: F M ( ) ( ) ' Se, e per un polo, allora In generale cost., ma qu la veloctà nale è nulla (statctà nel sstema nerale) M per ogn polo ' F M M ' M f P f a P f f Coppa d fore: F f + f M è ndpendente dal polo
7 Esempo: Problema della scala y A φ mg N A f B, x N B, y B x Equlbro statco Il vncolo n A è lsco, n B c è attrto statco Determnare per qual φ s ha equlbro statco F M B polo B S ha equlbro per: µ N > f S B, y B, x tan φ < µ S N f A B, x mg N B, y unghea scala + µ S π sn ϕ N A sn ϕ mg N A mg tanϕ f B, x µ S mg > mg tanφ N
8 Energa cnetca E K E m v Rotaone: Energa cnetca e avoro K I I Nel caso smmetrco: avoro I R m R // I I I Analogo alla massa energa cnetca dpende dal momento d nera (asse d rotaone) I (Analogo d p E ) K m W E K Se un momento esterno modfca la veloctà angolare: E K I fn I n W Relaone tra momento e lavoro (caso smmetrco, // ) dθ dek d I I d I α dt I α dθ dt Mdθ dw θ dw d W M ( θ ) dθ M θ avoro: Potena: P M dt dt R r v (analogo d fora x spostamento)
Meccanica Dinamica del corpo rigido
Meccanca 08-09 Dnamca del corpo rgdo 7 ω L Equaon del moto: Momento angolare: Energa cnetca: Sstem corpo rgdo E F K dp dt L L + L ω M otaone d un corpo rgdo L ω Momento d nera: r dm V dl dt r m L L ω L
Meccanica Dinamica del corpo rigido
eccanca 07-08 7 Denstà Defnamo denstà d un eemento nfntesmo d ρ d ρ d In geneae ρ ρ( ) ρ( x,, ) < ρ Tea > 5.5 g cm ρtea ρ( ) 3 Pofo d denstà dea Tea Costa:. -.9 g cm -3 anteo: 3.4-5.6 g cm -3 Se assa totae
asse fisso nel tempo in rotazione attorno ad un asse fisso dell asse di rotazione rimarranno fermi al passar del temporispetto al sistema inerziale
Rotaon rgde attorno ad un asse fsso nel tempo un corpo rgdo n rotaone attorno ad un asse fsso ha un solo grado d lberta n quest cas per descrvere l moto converra rferrs ad un polo fsso se l asse d rotaone
Rotazione rispetto ad asse fisso Asse z : asse di rotazione
Rotaone rspetto ad asse fsso Asse : asse d rotaone 1 1 1 Ek= ω = ω= ω om. d nera: propreta d ogn corpo rgdo Dpende da: massa, forma e dmenson del corpo asse rspetto al quale lo s consdera Asta omogenea:
( F) Anello frenato Dati. M=2 kg massa dell anello R=2 m raggio dell anello rad ω= 10 (negativo perchè in senso orario) velocità iniziale dell'anello
Anello renato Dat M= kg massa dell anello R= m raggo dell anello rad = 10 (negatvo perchè n senso oraro) veloctà nale dell'anello s = 0 veloctà nale dell'anello F= 10 ˆ 5ˆj ora applcata al dsco r = O=+
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (13 gennaio 2017) (Prof. A. Muracchini)
PRV SCRITT DI ECCNIC RZINLE (13 gennao 017) (Prof.. uracchn) Il sstema rappresentato n fgura è costtuto da: a) una lamna pesante, omogenea a forma d trangolo soscele (massa m, base l, altezza h) vncolata
PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (15 gennaio 2016) ( C.d.L. Ing. Energetica - Prof. A. Muracchini)
PRV SRITT DI MENI RZINLE (15 gennao 2016) (.d.l. Ing. Energetca - Prof.. Muracchn) Il sstema n fgura, moble n un pano vertcale, è costtuto d un asta omogenea (massa m, lunghezza 2l) l cu estremo è vncolato
Corpi rigidi (prima parte)
Corp rgd (prma parte) Corp rgd Un corpo rgdo è un corpo n cu le dstane tra le vare par che lo compongono rmangono costan3. r CM d CM È un po parcolare d sstema d N parcelle. Valgono ancora le legg dp dt
Centro di massa. Coppia di forze. Condizioni di equilibrio. Statica Fisica Sc.Tecn. Natura. P.Montagna Aprile pag.1
L EQUILIBRIO LEQU L Corpo rgdo Centro d massa Equlbro Coppa d forze Momento d una forza Condzon d equlbro Leve pag.1 Corpo esteso so e corpo rgdo Punto materale: corpo senza dmenson (approx.deale) Corpo
F E risultante t delle forze esterne agenti su P i. F forza esercitata t sul generico punto P ij del sistema da P : forza interna al sistema
DINAMICA DEI SISTEMI Sstema costtuto da N punt materal P 1, P 2,, P N F E rsultante t delle forze esterne agent su P F E F forza eserctata t sul generco punto P j del sstema da P : forza nterna al sstema
Dinamica dei sistemi particellari
Dnamca de sstem partcellar Marco Favrett Aprl 11, 2010 1 Cnematca Sa dato un sstema d rfermento nerzale (O, e ), = 1, 2, 3 e consderamo un sstema d punt materal (sstema partcellare) S = {(OP, m )}, = 1,,
Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo
Energa e Lavoro Fnora abbamo descrtto l moto de corp (puntform) usando le legg d Newton, tramte le forze; abbamo scrtto l equazone del moto, determnato spostamento e veloctà n funzone del tempo. E possble
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FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE, A.A. 5/6 Prova scrtta del Gugno 6 ) Un corpo d massa m = 5 g scvola lungo un pano nclnato lsco d altezza h = m e nclnazone θ=3 rspetto all orzzontale. Il corpo parte da ermo
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Il lavoro L svolto da una forza costante è il prodotto scalare della forza per lo spostamento del punto di applicazione della forza medesima
avoro ed Energa F s Fs cos θ F// s F 0 0 se: s 0 θ 90 Il lavoro svolto da una orza costante è l prodotto scalare della orza per lo spostamento del punto d applcazone della orza medesma [] [M T - ] N m
Lavoro ed Energia. Scorciatoia: concetto di energia/lavoro. devo conoscere nel dettaglio la traiettoria: molto complicato!!!
avoro ed Energa esempo: corpo soggetto a orza varable con la poszone [orza d gravtà, orza della molla] oppure traettora complcata utlzzando la sola legge d Newton F ma non posso calcolare la veloctà del
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO
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L = L E k 2 ENERGIA CINETICA DI ROTAZIONE. Espressione generica dell energia cinetica di rotazione: 1 ω
NRGIA CINTICA DI ROTAZION k m R ) ( k R m R m spressone generca dell energa cnetca d rotazone: I k Se la rotazone aene ntorno ad un asse prncpale d nerza, allora: I L da cu: I L k NRGIA CINTICA DI ROTOTRASLAZION
Lavoro nel moto rotazionale
Lavoro nel moto rotazionale Qual è il lavoro (W ) fatto da una forza su di un corpo che sta ruotando? dw = F d s = (F sin φ)(rdθ) = τ a dθ La componente radiale della forza, F cos φ, non fa lavoro perché
Soluzione: Il campo generato da un elemento di filo dl è. db r = (1)
1 Eserco 1 - Un flo conduttore percorso da corrente ha la forma mostrata n fgura dove tratt rettlne sono molto lungh. S calcol l campo d nduone magnetca ( dreone, verso e modulo) nel punto P al centro
Sistemi punti, forze interne ed esterne
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6.1- Sistemi punti, forze interne ed esterne
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PICCOLE OSCILLAZIONI ATTORNO ALLA POSIZIONE DI EQUILIBRIO
PICCOLE OSCILLAZIONI ATTORNO ALLA POSIZIONE DI EQUILIBRIO Stabltà e Teorema d Drclet Defnzone S dce ce la confgurazone C 0 d un sstema è n una poszone d equlbro stable se, portando l sstema n una confgurazone
Meccanica Dinamica dei sistemi
Meccanca 7-8 Dnamca de sstem 5 W Dnamca de sstem d unt materal Laoro er un sstema d unt materal er la artcella -esma: O r m F dw n dr F ds T dw F dr F W F dr W + W n n m, m, W W + W E m d Laoro totale
Ricordiamo che una trasformazione ortogonale di coordinate da una terna T (O, i, j, k) a una terna T 0 (O 0, i 0, j 0, k 0 ) e rappresentata da
III Sstem rgd 1. Grado d lberta d un sstema rgdo lbero Dare la poszone d un sstema rgdo S rspetto ad una terna T e equvalente a dare la poszone d una terna T 0 rspetto a T. Infatt dat tre punt non allneat
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Campo magnetico e forza di Lorentz (II)
Campo magnetco e forza d Lorentz (II) Moto d partcelle carche n un campo magnetco Legg elementar d Laplace Prncpo d equvalenza d Ampere Moto d una partcella carca n un campo magnetco dp dt F q v qv d v
PROBLEMA 1. Soluzione. β = 64
PROBLEMA alcolare l nclnazone β, rspetto al pano stradale, che deve avere un motocclsta per percorrere, alla veloctà v = 50 km/h, una curva pana d raggo r = 4 m ( Fg. ). Fg. Schema delle condzon d equlbro
= τ MOTO ROTOTRASLATORIO DI UN CORPO RIGIDO. Equazioni cardinali. Prima equazione cardinale:
MOTO ROTOTRASLATORO D UN CORPO RGDO Equaioni cardinali Prima equaione cardinale: dv c M Fet Esprime il teorema del moto del centro di massa: il moto del centro di massa del corpo rigido è quello di un
Determinazione del momento d inerzia di una massa puntiforme
Determnazone del momento d nerza d una massa puntorme Materale utlzzato Set d accessor per mot rotator Sensore d rotazone Portamasse e masse agguntve Statvo con base Blanca elettronca Calbro nteracca GLX
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Complement 4 - Materal non sotrop [Ultmarevsone revsone9gennao gennao2009] In questo noteboo s parte dalla legge d Hooe per sold ansotrop, e s deducono le opportune restron sulle 21 costant elastche, potando
F = 0 L = 0 se: s = 0 = 90 [L] = [ML 2 T -2 ] F // 1J = 10 7 erg
![F = 0 L = 0 se: s = 0 = 90 [L] = [ML 2 T -2 ] F // 1J = 10 7 erg](/thumbs/96/128573130.jpg "F = 0 L = 0 se: s = 0 = 90 [L] = [ML 2 T -2 ] F // 1J = 10 7 erg")
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1-19 1.4 1.4.1. La multfunone f () = + 1 3 è l prodotto d 2 multfunon Z Z e W 3 W. È qund ragonevole supporre che Z =, coè = 1 e W =, coè = sano punt d dramaone d f. Con rfermento alla fgura a lato, e
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