Ricordiamo che una trasformazione ortogonale di coordinate da una terna T (O, i, j, k) a una terna T 0 (O 0, i 0, j 0, k 0 ) e rappresentata da

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1 III Sstem rgd 1. Grado d lberta d un sstema rgdo lbero Dare la poszone d un sstema rgdo S rspetto ad una terna T e equvalente a dare la poszone d una terna T 0 rspetto a T. Infatt dat tre punt non allneat d S, P 1, P 2, P 3 s puo costrure una terna T 0 che ha come orgne l punto P 1, P 1 P 2 come asse x, la perpendcolare a tale asse passante per P 1 nel pano de tre punt come asse y orentata n modo tale che P 3 abba ordnata postva e la perpendcolare al pano passante per P 1 come asse z orentata n modo tale che la terna sa levogra. L dentfcazone d terne cartesane ortogonal T 0 con sstem rgd c rporta allo studo che abbamo fatto nella prma parte delle lezon: abbamo vsto che per ndvduare la poszone de punt soldal alla terna T 0 rspetto ad una fssa T sono necessare 3 coordnate cartesane d un punto soldale, per es. le coordnate dell orgne d T 0 e 3 parametr che ndvduano l orentamento degl ass d T 0 rspetto a T (de 9 element della matrce A solo 3 sono ndpendent, ved parte I degl appunt). E n = 6 e appunto l grado d lberta d un sstema rgdo lbero S. D questo fatto c s puo rendere conto calcolando l numero d vncol olonom blater ndpendent dovut alla rgdta del sstema. Consderamo P 1, P 2, P 3 tre punt non allneat d S. Le relazon dovute a vncol d rgdta sono 3 e sono del tpo: (x x j ) 2 + (y y j ) 2 + (z z j ) 2 = l 2 j (1) Sano P h e P k due degl N 3 punt d S. Per ognuno de due punt scrveremo 3 relazon del tpo (1) n modo che sano a dstanza costante da prm tre. Ne segue che P h e P k hanno automatcamente dstanza costante tra loro. Le relazon ndpendent del tpo (1) sono dunque 3 + 3(N 3) e l grado d lberta e n = 3N (3 + 3(N 3)) = 6 qualunque sa l numero d punt N 3. Se l sstema rgdo e formato da punt allneat, l grado d lberta e n = 5. Infatt se punt P 1, P 2 ndvduano la retta su cu gace l sstema rgdo, per ognuno degl altr N 2 punt scrveremo 2 relazon d appartenenza alla retta e N 1 sono le relazon d rgdta del tpo (1) n modo che ogn punto sa a dstanza costante da quello che segue. Dunque 2(N 2)+N 1 sono le relazon ndpendent e n = 3N (3N 5) = 5 qualunque sa l numero d punt N 2. Il problema che s pone e quello d sceglere se coordnate lagrangane necessare e su cent ad ndvduare la poszone d S rspetto ad una terna fssa. Tre parametr corrspondono alle tre coordnate cartesane d un punto soldale ad S e tre ndvduano l orentamento d S. Quest ultm sono gl angol d Eulero (ved testo pag 195 e seguent e appunt sugl angol d Eulero n rete). 2. Cnematca d un sstema rgdo Abbamo vsto che dare la poszone d un sstema rgdo rspetto ad una terna T e equvalente a dare la poszone d una terna T 0 rspetto a T. Ne segue che lo studo della cnematca d un sstema rgdo s rduce allo studo del moto d una terna rspetto ad un altra Rcordamo che una trasformazone ortogonale d coordnate da una terna T (,, j, k) a una terna T 0 ( 0, 0, j 0, k 0 ) e rappresentata da X = Y + AX 0 (2) dove A e una matrce 3 3 cu element sono cosen drettor degl ass ( 0, j 0, k 0 ) rspetto agl ass (, j, k), Y e l vettore colonna cu element y 1, y 2, y 3 sono le component del vettore 0 rspetto a T, X e X 0 sono

2 vettor colonna cu element sono rspettvamente x 1, x 2, x 3 e x 0 1, x 0 2, x 0 3, component de vettor P e 0 P rspetto a T e T 0. La condzone d ortogonalta s esprme con la relazone A T = A 1. Supponamo ora che la terna T 0 s muova rspetto alla terna T. Sa P un punto fsso n T 0. Studeremo l moto della terna T 0 studando come sono dstrbute le velocta de punt P soldal (fss) a T 0. Per fare questo dervamo rspetto al tempo la formula (2), tenendo presente che gl element della matrce A dpendono dal tempo, cos come le coordnate d P e 0 rspetto a T. Ẋ = ẋ1 ẋ 2 ẋ 3 1 A = Ẏ + ȦX0 = Ẏ + ȦA 1 (X Y ) = Ẏ + (X Y ) (3) dove abbamo usato la formula (2) nel 2 0 passaggo e dove abbamo posto = ȦA 1 = ȦAT. La matrce e antsmmetrca. Per dmostrarlo basta far vedere che + T = 0, coe ȦA T + (ȦAT ) T = ȦAT + (A T ) T Ȧ T = ȦAT + AȦT Abbamo usato l fatto che (AB) T = B T A T e (A T ) T = A. Rcordando che d dt AT = ( d dt A)T, s ha + T = d dt (AAT ) = d dt (AA 1 ) = d dt I = 0 Ne segue che, dett! j gl element della matrce, s ha:! 11 =! 22 =! 33 = 0 e! 12 =! 21,! 31 =! 13,! 23 =! 32. L azone d una matrce antsmmetrca su un vettore colonna qualunque, nello spazo eucldeo trdmensonale orentato, puo essere rappresentata medante l prodotto vettorale X =! ^ x (4) dove! e un vettore d component (! 1,! 2,! 3 ) = (! 32,! 13,! 21 ) e x e l vettore d poszone d component (x 1, x 2, x 3 ). Eserczo: dmostrare la (4) calcolando l vettore colonna X e le component del vettore! ^ x. La formula (3) s puo scrvere Propreta del vettore!: v P = v 0 0 +! ^ 0 P (5) a) Il vettore! e ndpendente dal sstema d rfermento scelto, cos come vettor velocta v P e v 0 b) Valgono le seguent formule d Posson! ^ 0 = d dt 0,! ^ j 0 = d dt j0,! ^ k 0 = d dt k0 c) Se esste una drezone u soldale alla terna T 0 che resta fssa durante l moto,! e dretto come l asse fsso u. Inoltre ogn punto P soldale a T 0 descrve una crconferenza su un pano perpendcolare ad u d centro la proezone P d P sull asse fsso u e raggo P P. d) Se! = 0 l moto d T 0 rspetto alla terna T e traslatoro. Dmostramo qualcuna delle propreta a)...d). a), b) (ved lbro d testo pag. 117)

3 c) Supponamo per semplcta che l asse u fsso sa k 0 = k e = 0. Dalla terza formula d Posson ne d segue che dt k0 = 0 e! e parallelo a k 0, coe! e dretto come l asse fsso. Inoltre, detta P la proezone d P sull asse z, s ha v P =! ^ 0 P =!k 0 ^ 0 P =!k 0 ^ ( 0 P + P P ) =!k 0 ^ P P Proettando la formula precedente sugl ass d T, s ha ẋ = y, ẏ = x, ż = 0 da cu segue, moltplcando ambo membr della prma equazone per x, la seconda per y e sommando, x 2 + y 2 = x 02 + y 02 = R 2 e v P =!R con v P tangente alla crconferenza posta sul pano ortogonale a k d centro P e raggo R. gn punto del sstema rgdo s muove descrvendo una crconferenza d centro P 2 k 0 su un pano perpendcolare a k 0 con v P tangente alla crconferenza n P. Calcolamo la grandezza d!. Sa l angolo tra versor e 0, 0 = cos. Dervando quest ultma uguaglanza e utlzzando le formule d Posson, s ha: (! ^ 0 ) = sen e per la propreta del prodotto msto tra vettor a (b ^ c) = b (c ^ a) s ha coe! =.! ksen = sen d) Se! = 0, ne segue che v P = v 0 coe d dt 0 P = 0 con 0 e P due qualunque punt soldal alla terna moble. Questo vuol dre che l vettore 0 P e costante n drezone (oltre che n grandezza, cosa che ga sappamo) e l moto e traslatoro. Il vettore! cos ntrodotto rappresenta l vettore velocta angolare della terna T 0 rspetto a T. La formula (5) ndvdua l moto d T 0 ( e qund d S) rspetto a T. Le velocta de punt soldal a T 0 rspetto a T, e qund l moto del sstema rgdo S sono ndvduate da due vettor cnematc: la velocta d un qualunque punto 0 soldale a S e la velocta angolare! d S rspetto a T. v P = v 0 0 +! ^ 0 P e detta formula fondamentale della cnematca de sstem rgd. Essa fornsce la dstrbuzone stantanea delle velocta d un sstema rgdo (atto d moto). L atto d moto d un sstema rgdo e ndvduato da due vettor (6 quantta scalar), v 0,!, la velocta d un qualunque punto soldale a S e la velocta angolare. Nella formula precedente 0 e P sono due punt qualunque soldal con S. Studamo alcun mot che l rstema rgdo puo avere. Sa T 0 ( 0, 0, j 0, k 0 ) la terna soldale con S. 1. Moto rotatoro d S rspetto a T : esste una retta soldale a S, u = 0 + j 0 + k 0, fssa durante l moto detta asse d rotazone.,, sono cosen drettor dell asse u rspetto agl ass d T 0. dj0 dt + Ne segue che d dt u = d0 dt + l angolo che un sempano fsso forma con uno soldale a S. gn punto del sstema rgdo s muove descrvendo una crconferenza d centro P 2 u su un pano perpendcolare a u con v P tangente alla crconferenza n P. dk0 dt =! ^ u = 0. Come abbamo vsto, (propreta c))! = u dove e 2. Moto con asse nvarable: esste una retta soldale a S che s mantene sovrapposta ad una retta fssa e supponamo che k 0 = k. Proettando la formula v P = v 0 + k 0 ^ P P sugl ass d T, s ha ẋ = y, ẏ = x, ż = ż 0

4 gn punto d T 0 descrve un orbta appartenente ad un clndro crcolare d raggo R. La tangente dell angolo che v P forma con k e tg = R ż. Se l tapporto R 0 ż e costante, l moto e detto elcodale e se, e ż 0 0 sono costant, l moto elcodale e unforme. 3. Atto d moto rotatoro: un punto soldale (sa 0 ) a S resta fsso durante l moto. La formula (5) dvene: v P =! ^ 0 P Il vettore! non e pu costante n drezone e l asse a cu! e stante per stante parallelo prende l nome d stantanea rotazone. 4. Atto d moto rototraslatoro: un atto d moto rgdo generco puo essere vsto come la composzone d un atto d moto traslatoro e d un atto d moto rotatoro. S puo dmostrare l teorema del Mozz (ved pag 116 e 117 del lbro d testo). 5. Moto pano: l sstema rgdo s muove n modo tale che le velocta d tutt suo punt sano costantemente parallele ad una gactura fssa. gn pano soldale parallelo a ad un dato stante s mantene durante l moto sovrapposto al pano fsso e le velocta de punt appartenent ad una retta ortogonale al pano concdono. Ne segue che tal punt descrvono orbte pane parallele con la stessa legge orara. Tale moto puo essere completamente descrtto dal moto d un pano moble p rspetto al pano fsso. Teorema d Eulero: gn atto d moto rgdo pano o e traslatoro con velocta parallela al pano oppure e un atto d moto rotatoro con velocta angolare ortogonale al pano del moto. (ved lbro d testo pag. 118). 6. Component del vettore! rspetto alla terna moble ( appunt sugl angol d Eulero e cnematca n rete). Eserczo: una terna T 0 s muove rspetto a T n modo tale che 0 = e la matrce A(t) e data da 0 1 cos sen 0 A sen cos 0 A determnare la velocta angolare d T 0 rspetto a T. D che moto s tratta? ( S suggersce d calcolare la matrce = ȦAT e qund l vettore! = (! 32,! 13,! 21 ) 3. Dnamca e statca d un sstema rgdo lbero Le equazon cardnal Q = R e, J + v ^ Q = M e (1) necessare per la dnamca d un qualunque sstema d punt materal, dventano, per sstem rgd, anche su cent come dmostreremo pu avant. Che cos debba essere c s puo rendere conto con un ragonamento d massma basato sul confronto tra numero d equazon scalar, se, e se e l numero d ncognte. Anche nel caso statco s dmostra che condzone necessara e su cente per l equlbro d un sstema rgdo lbero n una poszone S, che s suppone occupata nzalmente con atto d moto nullo, e che n corrspondenza a detta poszone e all atto d moto nullo e al generco stante t > t 0, s abba R e = 0, M e = 0 (2) Infatt supponamo che sano verfcate le equazon (2) n corrspondenza d una poszone S = S e atto d moto nullo e per ogn t > t 0. Consderamo le equazon cardnal (1) con condzon nzal S = S e atto d

5 moto nullo. Come specfcheremo pu avant le equazon (1) completate dalle condzon nzal ndvduano unvocamente lo stato d moto del sstema ed e facle verfcare che la soluzone statca S(t) = S e l unca soluzone. Infatt essa soddsfa dat nzal e le equazon (1) rsultando n corrspondenza ad essa zero l prmo membro e zero l secondo membro per potes Espressone del momento rsultante delle quantta d moto J per sstem rgd (consultare anche pag del lbro d testo). J = X P ^ m v = X P ^ m (v +! ^ P ) = MG ^ v + J rot Nell espressone precedente abbamo usato come polo d rduzone del momento l punto soldale ad S che appare nella formula fondamentale della cnematca de sstem rgd. Tale scelta non e rduttva, perche, dovendo calcolare l momento rspetto ad un altro polo 0, sappamo che l momento vara al varare del polo secondo la legge J 0 = J + 0 ^ Q Calcolamo l contrbuto a J dovuto all atto d moto rotatoro: J rot = X P ^ m (! ^ P ) = X m P 2! X m (P!)P Nella formula prececente abbamo usato l dentta : a ^ (b ^ c) = (a c)b (a b)c Sa l orgne d una terna soldale ad S, sano, j, k versor degl ass d tale terna, e sano x, y, z le coordnate d P, e p, q, r le component del vettore velocta angolare rspetto alla terna soldale.calcolando prodott scalar e rordnando termn, ne segue che J rot = Ap + Bqj + Crk + Dq + Er + Dpj + F rj + Epk + F qk dove A = X m (y 2 + z 2 ), B = X m (x 2 + z 2 ), C = X m (x 2 + y 2 ) sono quantta costant che dpendono dalla dstrbuzone delle masse dett moment d nerza rspetto agl ass x, y, z della terna soldale con S e D = X m x y, E = X m x z, F = X m y z sono quantta costant dett prodott d nerza. Introducendo la matrce smmetrca 3 3 detta matrce d nerza 0 I, A D E 1 D B F A E F C le component d J rot rspetto agl ass della terna soldale s possono scrvere come J rot = X I,, = 1, 2, 3 dove e l vettore colonna cu element sono le component p, q, r del vettore velocta angolare Espressone dell energa cnetca T per sstem rgd (consultare anche pag del lbro d testo).

6 Tenendo conto della formula fondamentale della cnematca de sstem rgd, l energa cnetca s scrve come T = 1 X m v 2 v = 1 2 Mv v + v (! ^ MG) + T rot dove T rot e l contrbuto all energa cnetca dovuto all atto d moto rotatoro d S. Notamo che se l punto G, ottenamo l teorema d Kong per sstem rgd (pag del lbro d testo) T = 1 2 Mv G v G + T rot dove T rot e l energa cnetca relatva ad una terna barcentrale. L espressone d T rot e la seguente T rot = 1 X m (! ^ P ) (! ^ P ) = 1 X m! (P ^ (! ^ P )) = ! J rot = 1 X 2, I, coe l energa cnetca d rotazone e una forma quadratca nelle component della velocta angolare. Poche T rot e postva, nulla se e solo se! = 0, ne segue che la matrce d nerza e smmetrca e defnta postva. Nella formula precedente abbamo usato l dentta a (b ^ c) = b c ^ a 3.3. Dagonalzzazone della matrce d nerza (pag. 190, 191) Ass prncpal e central d nerza. Propreta d smmetra (pag ) Moment d nerza e propreta Su cenza delle equazon cardnal. Sceglendo una terna soldale che sa prcpale d nerza, l espressone d J rot s rduce a J rot = Ap + Bqj + Crk (3) Notamo che s sono usat gl stess smbol per moment d nerza, le component d! e versor, ma nella (3) A, B, C sono moment prncpal cos come versor sono versor d una terna prncpale e le component d! sono rferte a tal ass. Possamo calcolare l prmo membro della seconda equazone cardnale prendendo come polo l barcentro o, se esste, un punto soldale con S fsso. S ha che J G = JG rot e J G = Aṗ + B qj + Cṙk +! ^ J rot G = = (Aṗ + (C B)qr) + (B q + (A C)rp)j + (Cṙ + (B A)pq)k (4) Possamo ora scrvere le se equazon d erenzal scalar proezon delle equazon cardnal. Proettamo la prma equazone sugl ass X, Y, Z della terna nerzale e la seconda su una terna soldale e centrale d nerza (o prncpale d nerza avente come orgne un eventuale punto fsso soldale con S) MẌG = R e X, MŸG = R e Y, M Z G = R e Z (5) Aṗ + (C B)qr = M e x, B q + (A C)pr = M e y, Cṙ + (B A)pq = M e z (6)

7 Le equazon (6) sono le equazon d Eulero. Rcordamo che p, q, r sono funzon degl angol d Eulero,, e delle loro dervate prme e che l rsultante e l momento rsultante delle forze dpendono dalla poszone, dalla velocta de punt ed eventualmente dal tempo e coe dalle se varabl lagrangane scelte X G, Y G, Z G, dagl angol d Eulero e dalle loro dervate prme. Ne segue che l sstema (5) e (6) costtusce un sstema d equazon d erenzal del secondo ordne n X G, Y G, Z G,,,. S puo dmostrare che tal equazon s possono mettere n forma normale e sotto opportune potes d regolarta su second membr delle (5-6) vale l teorema d esstenza locale e uncta ; qund, not valor nzal d X G, Y G, Z G,,, e delle loro dervate prme, coe poszone e atto d moto nzal, l moto e completamente determnato Espressone del lavoro elementare computo da forze agent su punt d un sstema rgdo dl = X f v dt = X f (v +! ^ P )dt = (R v + M!)dt (7) In partcolare se tale lavoro e rferto alle forze nterne, s ha che n un sstema rgdo le forze nterne non compono lavoro essendo R = 0 e M = Teorema delle forze vve. Possamo chederc se l teorema delle forze vve dt = dl contene, nel caso d sstem rgd, nformazon n pu rspetto alle equazon cardnal, cosa che accade nel caso d sstem qualunque d punt materal. C aspettamo una rsposta negatva, vsto che le equazon cardnal, per sstem rgd, sono anche su cent a determnarne l moto. Infatt consderamo T = 1 2 Mv G v G (Ap2 + Bq 2 + Cr 2 ) dt = (Mv G a G )dt + (Apṗ + Bq q + Crṙ)dt = (Mv G a G +! J G )dt Il teorema delle forze vve a erma che durante l moto d un sstema d punt l d erenzale dell energa cnetca e uguale al lavoro elementare computo da tutte le forze agent sul sstema. Il lavoro computo dalle forze nterne e nullo per sstem rgd, qund dt = dl e, coe (Mv G a G +! J G )dt = (R e v G + M e G!)dt avendo preso nell espressone (7) del lavoro l barcentro come punto soldale ad S. E charo che l teorema delle forze vve non dce nulla d nuovo rspetto alle equazon cardnal, ma rappresenta una loro conseguenza al contraro d quanto accade per sstem deformabl per qual non e nullo l lavoro delle forze nterne. Eserczo: Calcolare moment d nerza central e prncpal d una sbarretta omogenea d lunghezza l e massa m. Eserczo: Calcolare moment d nerza central e prncpal d un dsco omogeneo d raggo R e massa m. Eserczo: Calcolare moment d nerza d una lamna rettangolare ABC omogenea d lat A = a, C = b rspetto agl ass d una terna xyz d versor = versa, j = versc, k ortogonale al pano contenente la lamna

8 A = µ I prodott d nerza Z a Z b 0 0 y 2 dxdy = Mb 2 /3, B = Ma 2 /3, C = M(a 2 + b 2 )/3, M = µab D = µ Z a Z b 0 0 xydxdy = Mab/4, E = F = 0 Questa terna non e prncpale d nerza. Abbamo dmostrato che ogn terna che ha orgne su uno degl ass central e ass parallel a quell central e prncpale. Se prendamo l orgne della terna n 0 dove 0 e tale che 0 = b/2 e ass parallel a x, y, z, questa terna e prncpale e nfatt D = µ Z a Z b/2 0 b/2 xydxdy = 0 Eserczo: Determnare moment central d nerza per un paralleleppedo omogeneo d lat a, b, c (A = m 12 (b2 + c 2 ), B = m 12 (a2 + c 2 ), C = m 12 (a2 + b 2 ) ) Eserczo: Determnare moment central d nerza per una sfera omogenea d raggo R. (A = B = C = 2m 5 R2 ) Eserczo: Determnare la matrce d nerza per una lamna a forma d trangolo rettangolo AB d lat A = a, B = b rspetto agl ass d una terna xyz d versor = versb, j = versa e k ortogonale al pano contenente la lamna. Verfcare che 0 I m 6 a2 m 12 ab 0 1 m 12 ab m 6 b2 0 A m (a2 + b 2 ) Eserczo: Calcolare l barcentro G d una sbarretta A non omogenea d densta µ(x) = k(l+x) e lunghezza l e l suo momento d nerza rspetto ad un asse barcentrale ortogonale alla sbarretta. ( l barcentro e posto sulla sbarra ad una dstanza par a 5 9l dall estremo e l momento d nerza s determnana usando l teorema d Huygens I G = Ml2 )