Studio grafico-analitico di una funzioni reale in una variabile reale

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1 Studo grafco-analtco d una funzon reale n una varable reale f : R R a = f ( ) n Sequenza de pass In pratca 1 Stablre l tpo d funzone da studare es. f ( ) Determnare l domno D (o campo d esstenza) della funzone. prof. Govann Annbal Gann = algebrca (razonale, rrazonale ) o trascendente (esponenzale, logartmca, gonometrca) a) se è una funzone razonale ntera l suo domno D è costtuto da tutto l'asse reale R (S tratta d ndvduare l nseme de punt n cu la funzone è defnta) b) se la funzone è una razonale fratta, mporre che l denomnatore sa dverso da zero c) se la funzone è rrazonale: - se l ndce d radce è par occorre mporre che l radcando non sa negatvo (coè ) poché la funzone è reale - se l ndce d radce è dspar, non occorre mporre condzon sul radcando d) se la funzone è logartmca bsogna mporre che l'argomento del logartmo sa strettamente postvo (>0) e) se la funzone è esponenzale non c sono condzon da mporre sul suo argomento f) se la funzone è gonometrca bsognerà mporre solo che gl argoment della funzone tangente sano dvers da multpl dspar d angol rett coè π + kπ 2 2 Stablre se la funzone presenta delle smmetre funzone par -f() f() g) quando la funzone è composta da funzon d tpo dverso tutte le condzon d realtà dovranno essere verfcate contemporaneamente, ovvero esse dovranno essere legate e condotte algebrcamente come un sstema d equazon o dsequazon h) scrvere l domno come ntersezone de dvers ntervall n cu la funzone assume valor real ) ndcare su un pano cartesano gl ntervall o punt n cu la funzone non è defnta (coè valor n cu la funzone non esste) Nell potes che sa permesso dal domno D della funzone: a) se sosttuendo rsulta f ( ) = f ( ) allora = f è par coè è smmetrca rspetto all asse ( ) b) se sosttuendo rsulta f ( ) = f ( ) allora = f è dspar coè è smmetrca rspetto all orgne ( ) - 1

2 prof. Govann Annbal funzone dspar f() c) nel caso n cu la funzone sa smmetrca, s può restrngere lo studo della funzone a sol valor postv e dunque costrure l grafco nel solo sempano 0 ; per ottenere l grafco completo basterà smmetrzzare la curva ottenuta - O -f() Stablre se la funzone è perodca b) se f ( ) f ( ) f ( + T ) = è perodca d perodo T, coè se =, s può lmtare lo studo della funzone al perodo T, rpetendo l grafco nel resto del domno O 3 4 Rcercare le eventual ntersezon della funzone con l'asse Rcercare l'eventuale ntersezone della funzone con l'asse Studare l segno della funzone O a) porre a sstema l'equazone della curva con l'equazone dell'asse delle ascsse: = f ( ) = 0 ovvero rsolvere l'equazone f ( ) = 0 b) ndcare punt ottenut nel grafco a) porre a sstema l'equazone della curva con l'equazone dell'asse delle ordnate: = f ( ) = 0 ovvero calcolare = f ( 0) b) ndcare punt ottenut nel grafco a) studare la dsequazone ( ) 0 b) negl ntervall n cu la funzone rsulta postva, la curva sarà stuata sopra l'asse delle ascsse f c) rportare rsultat sul grafco, escludendo le zone che non contengono la curva > 2

3 prof. Govann Annbal Studare n generale l comportamento della funzone per tutt valor n cu non rsulta defnta e all nfnto Rcercare gl eventual asntot vertcal, orzzontal e oblqu Determnare gl ntervall d dervabltà della funzone Studare gl ntervall d crescenza e decrescenza della funzone (ntervall d monotona della funzone) funzone crescente a) se f ( ) = ± lm allora =c è un asntoto vertcale c b) se f ( ) = l lm (con l fnto), allora = l è un asntoto orzzontale f ( ) lm = m (con m fnto) e lm [ f ( ) m] = q c) se (con q fnto) allora = m + q è un asntoto oblquo d) rportare con un segno grafco l comportamento della curva nell'ntorno d tal valor e stablre l suo domno Calcolare = f ( ) a) se > 0 allora ( ) b) se < 0 allora ( ) 1 f rsulta crescente f rsulta decrescente funzone decrescente 8 Rcercare punt d massmo e d mnmo relatvo a) studare valor n cu la dervata prma s annulla coè f = : ( ) 0 - se la curva è decrescente a snstra e crescente a destra d allora è l ascssa d punto d mnmo 3

4 prof. Govann Annbal mnmo 0 - se la curva è crescente a snstra e decrescente a destra d allora è l ascssa d punto d massmo 0 massmo 0 - se la curva è strettamente decrescente o strettamente crescente a snstra e a destra d allora è l ascssa d punto d flesso a tangente orzzontale (punto 10) 0 punto angoloso c) studare punt d non dervabltà della funzone, coè valor n cu la funzone, per essendo defnta, non è dervable: - se lm f ( ) = a e f ( ) = b lm con a b allora + è l ascssa d un punto angoloso cuspde o - se lm f ( ) = ± e f ( ) = m l ascssa d una cuspde - se f ( ) = ± lm allora è + lm e allora è l ascssa d un flesso a tangente vertcale (punto 10) d) studare la funzone negl estrem del suo domno se esso è chuso e lmtato, osservando dalla crescenza o decrescenza (punto 8) se tal punt sono d massmo o d mnmo e) calcolare le ordnate de punt d massmo e d mnmo f) rportare sul grafco punt trovat o 4

5 prof. Govann Annbal flesso a tangente vertcale 9 Studare la concavtà e la convesstà della funzone funzone con concavtà verso l alto o Calcolare la dervata seconda della funzone = f ( ) l alto a) se f ( ) > 0 b) se ( ) < 0 : allora la funzone volge la concavtà verso f allora la funzone volge la concavtà verso l basso f allora la funzone può presentare eventual punt d flesso (punto 9) c) se ( ) = 0 1 funzone con concavtà verso l basso 10 Rcercare gl eventual punt d flesso flesso a tangente orzzontale ascendente a) Calcolare valor per cu f ( ) = 0 - se (punto 8) rsulta che anche f = e nell ntorno d ( ) > 0 ( ) 0 f allora è l ascssa d un punto d flesso a tangente orzzontale ascendente, con tangente d equazone =, dove = f ( ) - se (punto 8) rsulta che anche f = e nell ntorno d ( ) < 0 ( ) 0 f allora è l ascssa d un punto d flesso 5

6 prof. Govann Annbal a tangente orzzontale ascendente, con tangente d equazone =, dove = f ( ) - se rsulta che ( ) 0 f allora è l ascssa d un punto d flesso a tangente oblqua (ascendente se f >, dscendente se f ( ) < 0 ), con tangente d ( ) 0 equazone = m( ) dove m = f ( ) flesso a tangente orzzontale dscendente o b) Controllare l esstenza d punt d non dervabltà con lm f = (punto 7): ( ) ± - rsulta allora che è l ascssa d un punto d flesso a tangente vertcale con tangente d equazone = c) Calcolare le ordnate de punt d flesso d) Rportare punt d flesso nel grafco con le relatve tangent o flesso a tangente oblqua ascendente o o flesso a tangente oblqua dscendente o o 6