Tangenti a una conica: il metodo del Doppio sdoppiamento 1

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1 Tangent a una conca: l metodo del Doppo sdoppamento 1 Franco Goacchno Sunto Ecco un metodo alternatvo per determnare le tangent a una conca da un qualsas punto del pano. Esso consste nell applcare volte la formula d sdoppamento che s utlzza per determnare le tangent n un punto appartenente alla conca n oggetto. In buona sostanza s utlzza la formula d sdoppamento una prma volta con lo scopo d determnare, a partre dall assegnato punto (x ;y ) da cu bsogna traccare le tangent t 1 e t alla conca, due punt d tangenza T 1 e T (che possono essere entramb concdent con se appartene alla conca e t 1 t, o non esstere affatto se è nterno alla conca e non esstono nè t 1 nè t ). Per determnare nfne, a partre da T 1 e T, le tangent t 1 e t possamo o utlzzare d nuovo, stavolta nel modo consueto, la formula d sdoppamento o semplcemente determnare le rette passant rspettvamente per punt e T 1 e per punt e T. E possble mplementare con un lnguaggo d programmazone o ancor pù agevolmente su un foglo elettronco le formule che, a partre dall nput costtuto da coeffcent della conca assegnata e dalle coordnate del punto assegnato, resttuscono coeffcent delle equazon delle rette tangent cercate e le coordnate de punt d tangenza. A proposto d crconferenze, ellss e perbol, nfne, è nteressante osservare che con questo metodo vengono determnate anche le tangent parallele all asse y, che utlzzando l tradzonale procedmento del fasco propro d rette d centro rmangono escluse; per l perbole, n partcolare, quando l punto (dverso dall orgne O) appartene a un suo asntoto s evta la falsa tangente costtuta dall asntoto stesso che nvece vene erroneamente rlevata dal metodo tradzonale (chamarla, come s usa fare, tangente mpropra è una contraddzone n termn, vsto che non tange l perbole n alcun punto reale, ma nel vrtuale punto all nfnto). 1 E possble spermentare l metodo tramte un applcazone VBA-Excel all ndrzzo

2 Per fssare le dee rferamoc a un esempo concreto: data la parabola P: y = x + 6x 5 ed l punto (3/; ) determnare le tangent a P passant per. 1. Data la parabola P: y = ax + bx + c e l punto (x ; y ) determnare gl eventual punt d tangenza T 1 (x 1 ; y 1 ) e T (x ; y ) tra P e le tangent t 1 e t passant per. a formula d sdoppamento y + y x + x t: = axx + b + c (1.1) fornsce la tangente n un punto T(x ; y ), a no ncognto, appartenente a P. Se n tale equazone sosttuamo x e y con le coordnate del punto n nostro possesso mponamo la condzone che la tangente, come voglamo, pass per, e ottenamo un equazone d 1 grado nelle ncognte x e y esprmente y n funzone d x : essa rappresenta la cosddetta Polare della parabola rspetto al punto, coè la retta passante per punt d tangenza con la conca delle tangent condotte da (se esse esstono). 3 + x + y 3 t: = x (1.) da cu l equazone della polare y = 3x 3 (1.3) Imponamo ora la condzone che T(x ; y ) appartenga a P : sosttuendo nell equazone P: y = x + 6x 5 x con x e y con y, o meglo con la sua espressone (1.3) contenente x, ottenamo un equazone d grado nell ncognta x, rsolvendo la quale avremo: I) valor dstnt d x, coè x 1 e x, e corrspondent valor dstnt d y, coè y 1 e y ( esterno a P : punt d tangenza dstnt T 1 (x 1 ; y 1 ) e T (x ; y ) n corrspondenza delle tangent dstnte t 1 e t passant per ) ; II) valor concdent d x e corrspondent valor concdent d y ( appartenente a P e concdente con l solo punto d tangenza T(x ; y ) relatvo all unca tangente t passante per T) ; III) nessun valore d x né dunque d y ( nterno a P : nessun punto d tangenza perché non esste nessuna tangente passante per ).

3 Il procedmento ora descrtto equvale pratcamente a rsolvere l sstema tra la conca e la sua polare rspetto a, determnando così gl eventual punt d tangenza. 3x 3 = x + 6x 5 (1.) y = 3x 3 da cu punt d tangenza x 1 = 1 x = T1 V T (1.5) 1 = = 3. Utlzzando nel modo usuale la formula d sdoppamento determnare le tangent n T 1 e T a P. a formula d sdoppamento (1.1) applcata a P, T 1 e T c fornsce le cercate tangent alla conca passant per l punto. y + x + 1 t 1 : = x coè t 1 : y = x (.1) y + 3 x + t : = x coè t : y = x 1 (.) Generalzzando quanto esposto ne paragraf precedent: 3. Il metodo del Doppo Sdoppamento Dat (x ; y ) e P: y = ax + bx + c: I) cerchamo gl eventual punt d tangenza T 1 (x 1 ; y 1 ) e T (x ; y ). A tale scopo sosttuamo nella formula d sdoppamento (1.1) x e y con x e y y + y x + x = axx + b t: + c (3.1) da cu l equazone della polare della parabola rspetto a y = ( ax + b) x + ( bx y + c) (3.) Post f = ax + b (3.3) g = bx y + c (3.) possamo rscrvere la (3.) nella forma semplfcata = fx g (3.5) y +

4 Qund rsolvamo l sstema d grado y = ax + bx + c y = fx + g (3.6) che dopo la sosttuzone dventa ax + ( b f ) x + c g = y = fx + g (3.7) coè, rcordando la (3.3) ax ax x + c g = y = fx + g (3.8) Rsolvendo con formula rdotta l'equazone d grado ottenamo = ( ax ) ac + ag (3.9) e dunque x = x ± a y = fx + g per = 1, (3.1) II) Determnamo le eventual tangent t 1 e t con la formula dello sdoppamento. y + y x + x t : = axx + b + c per = 1, (3.11) da cu t : y ( ax + b) x + bx y c = + per = 1, (3.1) Post m = ax + b per = 1, (3.13) q = bx y + c per = 1, (3.1) possamo rscrvere la (3.1) nella forma semplfcata t : y = m x + q per = 1, (3.15). Implementazone su foglo elettronco Basterà mplementare l procedmento del doppo sdoppamento utlzzando le formule descrtte nel paragrafo precedente. In partcolare: I) preparare 5 celle d nput chamandole a, b, c, x, y;

5 II) nelle celle preventvamente denomnate f, g, delta, x1, y1, x, y calcolare le formule, rspettvamente, (3.3), (3.), (3.9), (3.1). Nella formula relatva al dscrmnante rdotto prevedere un struzone condzonale =se(.) che, n caso d valore negatvo, mand n output l messaggo Il punto è nterno alla parabola: tangent nesstent ; III) preparare celle d output denomnate m1, q1, m, q n cu calcolare le formule, rspettvamente, (3.13) e (3.1). 5. Il metodo del Doppo Sdoppamento per l ellsse n forma canonca rferta a propr ass d smmetra x y Data l ellsse rferta a propr ass E: + = 1 ed l punto (x ; y ) β I) cerchamo gl eventual punt d tangenza T 1 (x 1 ; y 1 ) e T (x ; y ). Consderamo, n prma potes, l caso y. Sosttuendo nella formula d sdoppamento dell ellsse x e y con x e y ottenamo x x yy t: + = 1 β (5.1) da cu l equazone della polare dell ellsse rspetto a β x β y = x + y y (5.) Post β x f = y (5.3) β g = (5.) y possamo rscrvere la (5.) nella forma semplfcata y = fx + g (5.5) Qund rsolvamo l sstema d grado x y + = 1 β (5.6) = fx + g che dopo la sosttuzone dventa

6 ( β + f ) x + fgx + g β = y = fx + g (5.7) Rsolvendo con formula rdotta l'equazone d grado ottenamo = β ( β + f g ) (5.8) e dunque fg ± x = β + f = fx + g per = 1, (5.9) Se nvece y = la (5.1) dventa x x t: = 1 (5.1) da cu l equazone della polare dell ellsse rspetto a rsulta essere x = (5.11) x Qund rsolvamo l sstema d grado x y + = 1 β (5.1) x = x che dopo la sosttuzone dventa y = β 1 x (5.13) x = x da cu

7 x = x per = 1, (5.1) y = ± β 1 x S not che, essendo y =, la condzone d esstenza della frazone, x, equvale a escludere che concda con l centro d smmetra d E: cò è certamente lecto vsto che non esstono tangent a un ellsse che passno per l suo centro d smmetra; analogamente sarà verfcata la condzone d esstenza del radcale, < x, purché l punto non sa nterno all ellsse. II) Determnamo le eventual tangent t 1 e t con la formula dello sdoppamento. x x y y t : + = 1 β per = 1, (5.15) da cu t : β x x + yy β = per = 1, (5.16) Post a = β x per = 1, (5.17) b = y per = 1, (5.18) c = β per = 1, (5.19) possamo rscrvere la (5.16) nella forma semplfcata t : a x + b y + c per = 1, (5.) = 6. Il metodo del Doppo Sdoppamento per la crconferenza Data la crconferenza C: x + y + x + βy + γ = ed l punto (x ; y ) I) cerchamo gl eventual punt d tangenza T 1 (x 1 ; y 1 ) e T (x ; y ).

8 β Consderamo, n prma potes, l caso y. Sosttuendo nella formula d sdoppamento della crconferenza x e y con x e y ottenamo x + x y + y t: x x + y y + + β + γ = (6.1) da cu l equazone della polare della crconferenza rspetto a x + x + βy + γ y = x (6.) y + β y + β Post x + f = (6.3) y + β x + βy + γ g = y + β (6.) possamo rscrvere la (6.) nella forma semplfcata y = fx + g (6.5) Qund rsolvamo l sstema d grado x + y + x + βy + γ = y = fx + g (6.6) che dopo la sosttuzone dventa ( 1 + f ) x + ( fg + + βf ) x + g + βg + γ = y = fx + g (6.7) Chamat a, b, c 3 coeffcent dell equazone rsolvente, cerchamo le eventual soluzon real del sstema, chamandole, come al solto x per = 1, (6.8) β Se nvece y = la (6.1) dventa t: x x + x + x β + γ = (6.9) da cu l equazone della polare della crconferenza rspetto a rsulta essere β x γ x = x + (6.1)

9 β S not che, essendo y =, la condzone d esstenza x equvale a escludere che concda con l centro d C: cò è certamente lecto vsto che non esstono tangent a una crconferenza che passno per l suo centro. Infne rsolvamo l sstema d grado β x γ x = x + + βy + x + x + γ = (6.11) Chamat a = 1, b = β, c = x + x + γ 3 coeffcent dell equazone rsolvente con ncognta y, cerchamo le eventual soluzon real del sstema, chamandole, come al solto x per = 1, (6.1) II) Determnamo le eventual tangent t 1 e t con la formula dello sdoppamento. x + x y + y t : x x + y y + + β + γ = per = 1, (6.13) da cu t : ( x + ) x + ( y + β) y + x + βy + γ = per = 1, (6.1) Post a = x + per = 1, (6.15) b = y + β per = 1, (6.16) c = x + βy + γ per = 1, (6.17) possamo rscrvere la (6.1) nella forma semplfcata t : a x + b y + c per = 1, (6.18) = 7. Il metodo del Doppo Sdoppamento per l perbole n forma canonca rferta a propr ass d smmetra

10 Rsolvamo l caso delle tangent condotte dal punto (x ; y ) all perbole n x y forma canonca rferta a propr ass I: = 1; n modo analogo s β tratterà l caso d perbole con asse trasverso vertcale. I) cerchamo gl eventual punt d tangenza T 1 (x 1 ; y 1 ) e T (x ; y ). Consderamo, n prma potes, l caso y. Sosttuendo nella formula d sdoppamento dell ellsse x e y con x e y ottenamo x x yy t: = 1 (7.1) β da cu l equazone della polare dell perbole rspetto a β x β y = x (7.) y y Post β x f = (7.3) y β g = y (7.) possamo rscrvere la (5.) nella forma semplfcata y = fx + g (7.5) Qund rsolvamo l sstema d grado x y = 1 β = fx + g (7.6) che dopo la sosttuzone dventa ( β f ) x fgx g β = y = fx + g (7.7) Se l punto appartene a un asntoto dell perbole e solo n tal caso, la prma equazone ha coeffcente drettore ed l sstema è d 1 grado, con soluzone

11 g + β x 1 = fg 1 = fx 1 + g Cò è coerente con l esstenza, n tal caso, d una sola tangente all perbole. Se non appartene a nessuno de due asntot, nvece, rsolvendo con formula rdotta l'equazone d grado ottenamo = β ( β f + g ) (7.8) e, se tale numero è maggore uguale d, le soluzon fg ± x = per = 1, (7.9) β f = fx + g Se nvece y = la (7.1) dventa x x t: = 1 (7.1) da cu l equazone della polare della crconferenza rspetto a rsulta essere x = (7.11) x Qund rsolvamo l sstema d grado x y = 1 β (7.1) x = x che dopo la sosttuzone dventa y = β 1 x (7.13) x = x da cu

12 x = x per = 1, (7.1) y = ± β 1 x S not che, essendo y =, la condzone d esstenza della frazone, x, equvale a escludere che concda con l centro d smmetra d I ossa con l orgne O (caso gà dscusso); analogamente sarà verfcata la condzone d esstenza del radcale, > x, purché l punto non sa nterno a ram dell perbole. II) Determnamo le eventual tangent t 1 e t con la formula dello sdoppamento. x x y y t : = 1 β per = 1, (7.15) da cu t : β x x yy β = per = 1, (7.16) Post a = β x per = 1, (7.17) b = y per = 1, (7.18) c = β per = 1, (7.19) possamo rscrvere la (5.16) nella forma semplfcata t : a x + b y + c per = 1, (7.) = 8. Il metodo del Doppo Sdoppamento per una generca conca Rsolvamo l caso delle tangent condotte dal punto (x ; y ) alla conca C: x + βxy + γy + δx + εy + ζ = I) Cerchamo gl eventual punt d tangenza T 1 (x 1 ; y 1 ) e T (x ; y ). Sosttuendo nella formula d sdoppamento della conca x e y con x e y ottenamo

13 x y + y x x + x y + y t : x x + β + γy y + + δ + ε + ζ = (8.1) da cu l equazone mplcta della polare della conca rspetto a ( x + βy + δ) x + ( βx + γy + ε) y + δx + εy + ζ =. (8.) Chamat ap, bp e cp tre coeffcent d tale retta, se bp ne rendamo esplcta l equazone e, post f = ap/bp (8.3) g = cp/bp (8.) ottenamo y = fx + g (8.5) Qund rsolvamo l sstema d grado x + βx y + γy + δx + εy + ζ = y = fx + g (8.6) che dopo la sosttuzone dventa ( + βf + γf ) x + ( βg + γfg + δ + εf ) x + γg + εg + ζ = y = fx + g (8.7) Se la prma equazone ha coeffcente drettore ed l sstema è d 1 grado, coè se la conca è un perbole e l punto appartene a un suo asntoto (escluso l caso n cu anche l secondo coeffcente sa nullo, per l quale non esstono tangent alla curva) s ottene l unca soluzone γg + εg + ζ x 1 = ( βg + γfg + δ + εf ) 1 = fx 1 + g (8.8) esste coè una sola tangente all perbole. In tutt gl altr cas, nvece, dopo aver denomnato as, bs e cs tre coeffcent dell'equazone d grado del sstema (8.7), rsolvendo con formula rdotta ottenamo = bs as * cs (8.9) e, se, le soluzon

14 x y bs ± = per 1, (8.1) as = fx + g = Se nvece bp = (escluso l caso n cu anche ap =, nel quale d nuovo non esstono tangent), ossa se la polare è parallela all asse y, s rcava mmedatamente cp x1 = x = (8.11) ap e dunque rsolvamo l sstema d grado x + βx y + γy + δx + εy + ζ = cp (8.1) x = ap ottenendo, dopo la sosttuzone, cp cp cp γy + + δ + ζ = ε β y ap ap ap (8.13) cp x = ap Se γ = ed l sstema è d 1 grado, coè se la conca è un perbole e l punto appartene a un suo asntoto (escludendo d nuovo l caso n cu anche l secondo coeffcente sa nullo, per l quale non esstono tangent alla curva), come nel precedente caso (8.8), s ottene l unca soluzone cp x 1 = ap cp cp δ + ζ (8.1) ap ap y1 = cp β ε ap In tutt gl altr cas, nvece, dopo aver denomnato at, bt e ct tre coeffcent dell'equazone d grado del sstema (8.13), rsolvendo con formula rdotta ottenamo

15 = bt at*ct e, se, le soluzon. cp x = ap per bt ± y = at = 1, (8.15) (8.16) II) Determnamo le eventual tangent t 1 e t con la formula dello sdoppamento. yx + x y x + x y + y t : x x + β + γy y + δ + ε + ζ = per = 1, (8.17) da cu + βy + δ + γy + βx + ε + δx + εy t : ( x ) x ( ) y + ζ = per = 1, (8.18) Post a = x + βy + δ per = 1, (8.19) b = γy + βx + ε per = 1, (8.) c = δx + εy + ζ per = 1, (8.1) possamo rscrvere la (8.18) nella forma semplfcata t : a x + b y + c per = 1, (8.) =