Calcolo Scientifico e Matematica Applicata Secondo Parziale, Ingegneria Ambientale

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1 Calcolo Scentfco e Matematca Applcata Secondo Parzale, Ingegnera Ambentale Rsolvere gl esercz, 2, 4 oppure, n alternatva, gl esercz, 3, 4. Valutazone degl esercz: 4, 2 8, 3 8, Illustrare, medante l metodo delle dfferenze fnte, la rsoluzone numerca del seguente problema perbolco u tt = u xx + 4x 2 u x ( + 2x 2 u + cos 2 (x, x 3, t 8, u(, t = f, u(3, t = f 2, u(x, = x 2, u t (x, = x + 2. Dscutere le condzon su pass affnché le matrc de sstem sano nvertbl. 2. Illustrare la rsoluzone numerca del seguente problema debolmente non lneare: u xx + (3 + sn xu x + (sn(u u 5 = sn 2 (x, x 4, u( = f, u(4 = f Illustrare la rsoluzone numerca del seguente problema parabolco: u t = [( + x 4 u x ] x (3 + 2 sn(xu + f(x, x, u(, t = u(, t =, u(x, = g(x. Dscutere le propretà prncpal delle matrc del sstema. 4. a. Illustrare l procedmento d rsoluzone, medante gl element fnt, del seguente problema ellttco: ( [ + x 4 y 2 ] u ( [ + x 4 y 2 ] u x x y y sotto la condzone al contorno u Ω =. + (2 + cos[x + y]u = x 2 y 2, (x, y Ω,

2 b. Indcat con ϕ la box splne che assume l valore nel punto nodale (3, 4 e zero negl altr punt nodal e con ψ la box splne che assume l valore nel punto nodale (3 h, 4 + h e zero negl 2 altr, llustrare l procedmento per l calcolo del seguente ntegrale I = ϕ ψ dxdy, essendo T l trangolo d vertc { (3 2 h, 4 + h, (3, 4, (3 + 2 h, h}. Utlzzare l trangolo d rfermento. T

3 Calcolo Scentfco e Matematca Applcata Secondo Parzale, Ingegnera Meccanca. Illustrare, medante l metodo delle dfferenze fnte, la rsoluzone numerca del seguente problema perbolco u tt = u xx + 4x 2 u x ( + 2x 2 u + cos 2 (x, x 3, t 8, u(, t = f, u(3, t = f 2, u(x, = x 2, u t (x, = x + 2. Dscutere le condzon su pass affnché le matrc de sstem sano nvertbl. 2. Illustrare la rsoluzone numerca del seguente problema debolmente non lneare: u xx + (3 + sn xu x + (sn(u u 5 = sn 2 (x, x 4, u( = f, u(4 = f Illustrare, medante l metodo delle dfferenze fnte, la rsoluzone numerca del seguente problema parabolco u t = u xx + 4x 2 u x ( + 2x 2 sn 2 (2tu + 3 sn 2 (x, x 4, t 2, u(, t = f, u(4, t = f 2, u(x, = x 4 +. Dscutere le condzon su pass affnché le matrc de sstem sano nvertbl. Rsolvere tutt gl esercz. Valutazone degl esercz: 4, 2 8, 3 8.

4 Soluzon per l ngegnera ambentale:. Sano = x < x <... < x n < x n+ = 3 nod spazal equdstant [h = 3, x n+ = h] e = t < t <... < t m < t m+ = 8 nod temporal equdstant [k = 8, t m+ j = jk]. Allora u,j+ 2u j + u,j k 2 = [ u+,j+ 2u,j+ + u,j+ + u ] +,j 2u,j + u,j 2 h [ 2 + 4x2 u+,j+ u,j+ + u ] +,j u,j 2 ( + 2x 2 u j + cos 2 (x, dove =,..., n e j =,..., m. S conoscono dat u,j = f, u n+,j = f 2, u = x 2, dove =,,..., n, n + e j =,,..., m, m +. Qund bsogna rsolvere l sstema per u,j+ [ =,..., n] ( h + ( ( u 2 k 2,j+ + 2x2 u 2 +,j+ 2x2 u 2,j+ = 2u j u,j + u +,j 2u,j + u,j k x 2 u +,j u,j ( + 2x 2 u j + cos 2 (x, dove =,..., n e termn con pedc per = e + per = n sono da spostare alla parte a destra. La matrce del sstema è trdagonale. Essa è strettamente dagonalmente domnante e qund nvertble se + 2x x2 2 < h + 2 k. 2 Cò è vero se 2x2 per =,..., n, coè se < h [/2 max x 2 2 ] =, coè se n 53. 8

5 (,j+ (+,j+ (,j+ (,j (,j (,j (+,j C rmane l calcolo d u. S ha: u = u(x, k u(x, + ku t (x, + 2 k2 u tt (x, u + ku t (x, + 2 k2 [ u+, 2u + u, + 4x 2 u +, u, dove u = x 2, u t (x, = x + 2 e =,..., n. ] ( + 2x 2 u + cos 2 (x, 2. Sano = x < x <... < x n < x n+ = 4 nod equdstant [h = 4 n+, x = h]. Sa u = u(x, f = f(x. Allora bsogna trovare le soluzon del sstema d equazon non lnear dove F (u, u, u + F (u, u, u + =, =, 2,..., n, := u + 2u + u + (3 + sn x u + u + (sn(u u 5 sn 2 (x.

6 Sceglendo l punto d nnesco u [] = f + n + (f 2 f = (n + f + f 2, n + s applch l metodo d Newton-Raphson rsultando nell terazone u [k+] = u [k], u[k] F u (u [k], u[k] F (u [k], u [k] +, u [k] +. D conseguenza, per < ph 2 [con p = max(3 + sn x = 4, coè se < h oppure se n 7] s ha: 2 u [k+] = u [k] + u[k] + 2u[k] + u [k] + h 3+sn x (u [k] 2 + u[k] + (sn(u[k] u [k] 5 sn 2 (x, (sn(u [k] u [k] 4 ( cos(u [k] dove =,..., n e k =,, 2,.... S osserv che l denomnatore della frazone è postvo. 3. Sano = x < x <... < x n < x n+ = nod non necessaramente equdstant e sano, x x, x x x φ (x = x, x x x, x + x x + x, x x x +,, x + x, le funzon splne tal che φ (x = e φ (x j = per j. Allora la formulazone varazonale del problema è l seguente: Trovare, per t >, una funzone u(, t H(, tale che per ogn v H(, s ha: d dt = + u(x, tv(x dx ( ( + x 4 u x (x, tv (x + (3 + 2 sn(xu(x, tv(x dx f(x, tv(x dx.

7 Sosttuendo u = n j= c jφ j e v = φ s arrva al sstema lneare n c j(t j= n c j ( j= φ φ j dx = + φ φ j dx = ( ( + x 4 φ φ j + (3 + 2 sn(xφ φ j dx f(x, tφ (x dx, G(xφ (x dx, dove =,..., n. Introducendo le matrc real, smmetrche e trdagonal M e K (quest ultma chamata la stffness matrx come M j = φ φ j dx, K j = s ottene l problema d Cauchy { Mc (t = Kc(t + f(t, Mc( = g, ( ( + x 4 φ φ j +(3 + 2 sn(xφ φ j dx, dove c(t è l vettore colonna de coeffcent e f(t e g sono vettor colonna degl ntegral che rguardano f e g. Charamente, M è la matrce d Gram [rspetto al prodotto nterno n L 2 (, ] delle funzon splne. Sccome le splnes sono lnearmente ndpendent, gl autovalor d M sono tutt postv e qund M è nvertble. La stessa cosa vale per la stffness matrx K, pochè essa è la matrce d Gram [rspetto al prodotto nterno [u, v] = ( ( + x 4 u v + (3 + 2 sn(xuv dx n H (, che genera la topologa d H (, ]. Qund { c (t = M Kc(t + M f(t, c( = M g. 4a. Il problema ellttco con condzon d Drchlet ([ + x 4 y 2 ] u + (2 + cos[x + y]u = x 2 y 2,

8 ammette la seguente formulazone varazonale: Trovare u H(Ω tale che per ogn v H(Ω s ha: ( [ + x 4 y 2 ] u v+(2 + cos[x + y]uv dxdy = x 2 y 2 v(x, y dxdy. Ω Sano φ (x, y [ =,..., N] le funzon splne con supporto l unone d al massmo se trangol. Ponendo u = N j= c jφ j e v = φ s ha: N c j j= = Ω Ω ( [ + x 4 y 2 ] φ φ j + (2 + cos[x + y]φ φ j dxdy x 2 y 2 φ (x, y dxdy, dove =,..., N. Scrvendo quest ultmo sstema d equazon lnear nella forma Kc = f, dove la stffness matrx K è reale, smmetrca e sparsa, bsogna dmostrare l nvertbltà d K. Sccome +x 4 y 2 e 2+cos[x+y] sono funzon postve, la stffness matrx è la matrce d Gram [rspetto a un prodotto nterno d H (Ω che genera la topologa d H (Ω] delle funzon splne e quest ultme sono lnearmente ndpendent. D conseguenza, K ha soltanto autovalor postv e qund è nvertble. 4b. La trasformazone lneare che porta punt (s, t {(,, (,, (, } ne rspettatv punt { (3, 4, (3 2 h, 4 + h, (3 + 2 h, h} ha la forma { x = 3 2 hs + 2 ht, y = 4 + hs + 4 ht. Essa ha la matrce Jacobana ( ( xs x J = t = h h 2 2 y s y t h h, 4 essendo u 2 H (, [u, u] u 2 H (, Ω

9 per cu det J = 5 8 h2. Abbamo ora γ(s, t = s t e δ(s, t = s per le funzon lnear n (s, t T R [l trangolo d rfermento con vertc (,, (, e (, ] che s annullano n due delle tre vertc e prendono l valore nella terza. S calcol ( h h ( ( 4 6/5h Qund I = J T γ = 8 5 J T δ = 8 5 T h h = 2 2 ( h h ( 4 h h = 2 2 8/5h ( 2/5h 4/5h. ϕ ψ dxdy = (J T γ (J T δ det J dsdt T R = h2 = 4, essendo 2 = T R dsdt l area del trangolo d rfermento., T R T

10 Soluzon per l ngegnera meccanca:. Sano = x < x <... < x n < x n+ = 3 nod spazal equdstant [h = 3, x n+ = h] e = t < t <... < t m < t m+ = 8 nod temporal equdstant [k = 8, t m+ j = jk]. Allora u,j+ 2u j + u,j k 2 = [ u+,j+ 2u,j+ + u,j+ + u ] +,j 2u,j + u,j 2 h [ 2 + 4x2 u+,j+ u,j+ + u ] +,j u,j 2 ( + 2x 2 u j + cos 2 (x, dove =,..., n e j =,..., m. S conoscono dat u,j = f, u n+,j = f 2, u = x 2, dove =,,..., n, n + e j =,,..., m, m +. Qund bsogna rsolvere l sstema per u,j+ [ =,..., n] ( h + ( ( u 2 k 2,j+ + 2x2 u 2 +,j+ 2x2 u 2,j+ = 2u j u,j + u +,j 2u,j + u,j k x 2 u +,j u,j ( + 2x 2 u j + cos 2 (x, dove =,..., n e termn con pedc per = e + per = n sono da spostare alla parte a destra. La matrce del sstema è trdagonale. Essa è strettamente dagonalmente domnante e qund nvertble se + 2x x2 2 < h + 2 k. 2 Cò è vero se 2x2 per =,..., n, coè se < h [/2 max x 2 2 ] =, coè se n 53. 8

11 (,j+ (+,j+ (,j+ (,j (,j (,j (+,j C rmane l calcolo d u. S ha: u = u(x, k u(x, + ku t (x, + 2 k2 u tt (x, u + ku t (x, + 2 k2 [ u+, 2u + u, + 4x 2 u +, u, dove u = x 2, u t (x, = x + 2 e =,..., n. ] ( + 2x 2 u + cos 2 (x, 2. Sano = x < x <... < x n < x n+ = 4 nod equdstant [h = 4 n+, x = h]. Sa u = u(x, f = f(x. Allora bsogna trovare le soluzon del sstema d equazon non lnear dove F (u, u, u + F (u, u, u + =, =, 2,..., n, := u + 2u + u + (3 + sn x u + u + (sn(u u 5 sn 2 (x.

12 Sceglendo l punto d nnesco u [] = f + n + (f 2 f = (n + f + f 2, n + s applch l metodo d Newton-Raphson rsultando nell terazone u [k+] = u [k], u[k] F u (u [k], u[k] F (u [k], u [k] +, u [k] +. D conseguenza, per < ph 2 [con p = max(3 + sn x = 4, coè se < h oppure se n 7] s ha: 2 u [k+] = u [k] + u[k] + 2u[k] + u [k] + h 3+sn x (u [k] 2 + u[k] + (sn(u[k] u [k] 5 sn 2 (x, (sn(u [k] u [k] 4 ( cos(u [k] dove =,..., n e k =,, 2,.... S osserv che l denomnatore della frazone è postvo. 3. Sano = x < x <... < x n < x n+ = 4 nod spazal equdstant [h = 3, x n+ = + h] e = t < t <... < t m < t m+ = 2 nod temporal equdstant [k = 2, t m+ j = jk]. Allora t j t,j k = u +,j 2u j + u,j + 4x 2 u +,j u,j ( + 2x 2 sn 2 (2t j u j + 3 sn 2 (x, u j = f, u n+,j = f 2, u = x 4 +, dove =,..., n e j =,..., m +. Qund ( 2 h x2 sn 2 (2t j + k ( + 4x2 u 2 +,j = t,j k + 3 sn 2 (x, u j ( 4x2 2 u,j dove =,..., n, j =,..., m + e termn con prmo pedce per = e + per = n sono da spostare nella parte a destra. Per

13 ogn pedce j =,..., m + la matrce del sstema è trdagonale. Essa è strettamente dagonalmente domnante e qund nvertble se + 4x x2 2 < 2 h x2 sn 2 (2t j + k. Cò è vero se 4x2 per =,..., n, coè se < h [/ max 4x 2 ] =, coè se n