Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa lezione 7: 6 marzo 2012

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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca Fnanzara aa lezone 7: 6 marzo 2012 professor Danele Rtell 1/29?

2 Defnzone Se è un prestto se m {1, 2,..., n} e se m < τ < m + 1 chameremo: 1. debto resduo prospettvo l valore attuale n τ delle rate non scadute da m + 1 al termne del prestto; 2/29?

3 Defnzone Se è un prestto se m {1, 2,..., n} e se m < τ < m + 1 chameremo: 1. debto resduo prospettvo l valore attuale n τ delle rate non scadute da m + 1 al termne del prestto; 2. debto resduo retrospettvo la dfferenza, valutata n τ fra l montante della prestazone A n τ e l montante n τ delle rate pagate α 1,..., α m 2/29?

4 Traducendo le parole n formule abbamo: n m δ p τ = h=1 δ r τ = A(1 + )τ α m+h (1 + ) (m+h τ ), m k=1 α k (1 + ) τ k "m #! "m1 "n 0 m! m1 n 3/29?

5 Traducendo le parole n formule abbamo: n m δ p τ = h=1 δ r τ = A(1 + )τ α m+h (1 + ) (m+h τ ), m k=1 α k (1 + ) τ k "m #! "m1 "n 0 m! m1 n anche n questo caso s dmostra che δ r τ = δp τ Anche nel caso d valute comprese fra due scadenze ha senso parlare d un solo debto resduo. 3/29?

6 Infne che, se m < τ < m + 1 s ha che: δ τ = (1 + ) τ m δ m. 4/29?

7 debto estnto = parte d prestto rmborsata all epoca m Smbolo ε m ε m = A δ m 5/29?

8 an d ammortamento La rata α k scadente al tempo k è decomposta n quota captale e quota nteress : α k = c k + h k 6/29?

9 an d ammortamento La rata α k scadente al tempo k è decomposta n quota captale e quota nteress : α k = c k + h k condzone d chusura n c k = A k=1 6/29?

10 ogn quota captale pagata va a ncrementare l debto estnto e a dmnure l debto resduo ε m = ε m 1 + c m δ m = δ m 1 c m ε 0 = 0 δ 0 = A 7/29?

11 ogn quota captale pagata va a ncrementare l debto estnto e a dmnure l debto resduo ε m = ε m 1 + c m δ m = δ m 1 c m ε 0 = 0 δ 0 = A Le quote nteress sono determnate proporzonalmente al debto resduo al pagamento precedente dal tu h m = δ m 1 7/29?

12 h 1 = A, 8/29?

13 h 1 = A, h 2 = [A c 1 ] 8/29?

14 h 1 = A, h 2 = [A c 1 ] h 3 = [A (c 1 + c 2 )] 8/29?

15 h 1 = A, h 2 = [A c 1 ] h 3 = [A (c 1 + c 2 )] 8/29?

16 h 1 = A, h 2 = [A c 1 ] h 3 = [A (c 1 + c 2 )] h n = [A (c 1 + c c n 1 )] 8/29?

17 Il pano d ammortamento è la tabella replogatva del rmborso del prestto. Esplcta, per ogn scadenza, la rata pagata, la quota captale, la quota nteress, l debto estnto e l debto resduo. Queste quanttà sono dette, gl element del pano d ammortamento 9/29?

18 Esempo La somma A = d vene rmborsata n un anno medante quattro rate trmestral al tasso = 0, Sapendo che le prme tre rate pagate sono state d d 250 s determn l ultma rata e s compl l pano d ammortamento 10/29?

19 Esempo La somma A = d vene rmborsata n un anno medante quattro rate trmestral al tasso = 0, Sapendo che le prme tre rate pagate sono state d d 250 s determn l ultma rata e s compl l pano d ammortamento passo zero: l tasso annuo va trasformato n trmestrale 4 = 0, possamo tranqullamente prendere 4 = 0, 01 10/29?

20 passo uno: scomposzone della prma rata 11/29?

21 passo uno: scomposzone della prma rata h 1 = 4 δ 0 = 4 A = 0, = 10 11/29?

22 passo uno: scomposzone della prma rata h 1 = 4 δ 0 = 4 A = 0, = 10 c 1 = α 1 h 1 = = /29?

23 passo uno: scomposzone della prma rata h 1 = 4 δ 0 = 4 A = 0, = 10 c 1 = α 1 h 1 = = 240 ε 1 = ε 0 + c 1 = = /29?

24 Trmestre α k c k h k δ k ε k , , , 00 10, , , 00 12/29?

25 passo due: scomposzone della seconda rata h 2 = 4 δ 1 = 0, = 7, 6 13/29?

26 passo due: scomposzone della seconda rata h 2 = 4 δ 1 = 0, = 7, 60 c 2 = α 2 h 2 = 250 7, 60 = 242, 40 14/29?

27 passo due: scomposzone della seconda rata h 2 = 4 δ 1 = 0, = 7, 60 c 2 = α 2 h 2 = 250 7, 60 = 242, 40 δ 2 = δ 1 c 2 = , 40 = 517, 60 15/29?

28 passo due: scomposzone della seconda rata h 2 = 4 δ 1 = 0, = 7, 60 c 2 = α 2 h 2 = 250 7, 60 = 242, 40 δ 2 = δ 1 c 2 = , 40 = 517, 60 ε 2 = ε 1 + c 2 = , 40 = 482, 40 16/29?

29 Trmestre α k c k h k δ k ε k , , , 00 10, , , , , 40 7, , , 40 17/29?

30 passo tre: scomposzone della terza rata h 3 = 4 δ 2 = 0, , 60 = 5, /29?

31 passo tre: scomposzone della terza rata h 3 = 4 δ 2 = 0, , 60 = 5, 176 c 3 = α 3 h 3 = 250 5, 176 = 244, /29?

32 passo tre: scomposzone della terza rata h 3 = 4 δ 2 = 0, , 60 = 5, 176 c 3 = α 3 h 3 = 250 5, 176 = 244, 824 δ 3 = δ 2 c 3 = 517, , 824 = 272, /29?

33 passo tre: scomposzone della terza rata h 3 = 4 δ 2 = 0, , 60 = 5, 176 c 3 = α 3 h 3 = 250 5, 176 = 244, 824 δ 3 = δ 2 c 3 = 517, , 824 = 272, 776 ε 3 = ε 2 + c 3 = 482, , 824 = 727, /29?

34 Trmestre α k c k h k δ k ε k , , , 00 10, , , , , 40 7, , , , , 824 5, , , /29?

35 possamo fnalmente determnare l ultma rata α 4 = δ δ 3 = 1, , 776 = 275, Trmestre α k c k h k δ k ε k , , , 00 10, , , , , 40 7, , , , , 824 5, , , , , 776 2, /29?

36 Rmborso d un prestto con rate unform Nel rmborso del prestto con rate costant, la relazone fondamentale è rscrtta nell potes che la somma prestata A sa resttuta con rate costant d mporto α k = α a temp t 1 = 1,..., t n = n 24/29?

37 Rmborso d un prestto con rate unform Nel rmborso del prestto con rate costant, la relazone fondamentale è rscrtta nell potes che la somma prestata A sa resttuta con rate costant d mporto α k = α a temp t 1 = 1,..., t n = n Ragonando prospettvamente: n A = α k (1 + ) k = α k=1 n (1 + ) k = α a n k=1 24/29?

38 qund: α = A a n = A α n 25/29?

39 qund: con α = A = A α n a n α n = 1 (1 + ) n 25/29?

40 qund: α = con α n = A = A α n a n 1 (1 + ) n debto resduo prospettvo δ m = A α n a n m 25/29?

41 qund: α = con α n = A = A α n a n 1 (1 + ) n debto resduo prospettvo δ m = A α n a n m debto resduo retrospettvo δ m = A [ (1 + ) m ] α n s m 25/29?

42 Eserczo α n [ an m + s m ] = (1 + ) m 26/29?

43 ε m = A δ m = A [ ] 1 α n a n m quota captale e quota nteress δ m = δ m 1 c m h m+1 = δ m (1) c m+1 + h m+1 = c m + h m 27/29?

44 ε m = A δ m = A [ ] 1 α n a n m quota captale e quota nteress δ m = δ m 1 c m h m+1 = δ m (1) c m+1 + h m+1 = c m + h m la seconda equazone d (1) s può scrvere, tenendo conto della prma, come h m+1 = δ m = (δ m 1 c m ) 27/29?

45 ε m = A δ m = A [ ] 1 α n a n m quota captale e quota nteress δ m = δ m 1 c m h m+1 = δ m (1) c m+1 + h m+1 = c m + h m la seconda equazone d (1) s può scrvere, tenendo conto della prma, come h m+1 = δ m = (δ m 1 c m ) sosttuendo nel prmo membro della terza equazone d (1) 27/29?

46 c m+1 + δ m = c m+1 + δ m 1 c m (2) 28/29?

47 c m+1 + δ m = c m+1 + δ m 1 c m (2) Il secondo membro della terza delle (1) s scrve come: c m + h m = c m + δ m 1 (3) 28/29?

48 c m+1 + δ m = c m+1 + δ m 1 c m (2) Il secondo membro della terza delle (1) s scrve come: c m + h m = c m + δ m 1 (3) Uguaglando (2) ed (3) ottenamo: 28/29?

49 c m+1 + δ m = c m+1 + δ m 1 c m (2) Il secondo membro della terza delle (1) s scrve come: c m + h m = c m + δ m 1 (3) Uguaglando (2) ed (3) ottenamo: c m+1 + δ m 1 c m = c m + δ m 1 28/29?

50 c m+1 + δ m = c m+1 + δ m 1 c m (2) Il secondo membro della terza delle (1) s scrve come: c m + h m = c m + δ m 1 (3) Uguaglando (2) ed (3) ottenamo: c m+1 + δ m 1 c m = c m + δ m 1 da cu s trova c m+1 = (1 + ) c m, 28/29?

51 c m+1 + δ m = c m+1 + δ m 1 c m (2) Il secondo membro della terza delle (1) s scrve come: c m + h m = c m + δ m 1 (3) Uguaglando (2) ed (3) ottenamo: c m+1 + δ m 1 c m = c m + δ m 1 da cu s trova c m+1 = (1 + ) c m, qund per ogn 1 k n s ha: c k = (1 + ) k 1 c 1. 28/29?

52 formula per la generca quota captale: c k = A ( α n ) (1 + ) k 1 le quote captale sono n progressone geometrca 29/29?