Cognome. Nome. matricola. Matematica Finanziaria a.a Prof.ssa Ragni Ferrara 08 giugno 2017

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1 Matematca Fnanzara a.a Prof.ssa Ragn Ferrara 08 gugno 207 Cognome Nome matrcola Frma e posta elettronca (solo per ch non s è regstrato sul sto) NOTA BENE: s accetta una sola correzone nel gruppo d quest Un captale C vene mpegato a regme msto a tasso annuo =,2% per un certo perodo fno a crescere del 5%. Per quanto tempo é stato mpegato tale captale? (a) 3 ann e un mese (b) 4 ann e un mese (c) 2 ann e 8 mes (d) 4 ann e 3 mes 2. Il valore attuale d un credto esgble tra due ann é determnable a regme composto a tasso o nel regme dello sconto commercale a tasso d sconto d = 0,986%. Per quale tasso le due operazon sono equvalent? (a) =% (b) =,% (c) =0,9% (d) =0,8% 3. Un captale C puó essere nvestto per due ann a regme composto a tasso o a regme semplce con tasso = +0, Quanto deve essere affnché le due operazon sano equvalent? (a) =3,5% (b) =3,% (c) =3,4% (d) =3,2% 4. Volete costture un captale d 0000 tra 6 mes, a regme composto e tasso annuo =4,244%, con 6 versament postcpat mensl. Se la qunta rata é R e tutte le altre sono R/2, determnare R. (a) 2856,34 (b) 2844,56 (c) 2834,56 (d) 2845,36 5. Un prestto vene rmborsato n 0 ann a rate annue par a R = 5000 ne prm 5 ann e R 2 = 5200 ne rmanent 5 ann al tasso costante = 2, 4%. In un pano d ammortamento fnanzaramente equvalente a questo a rata costante R, quale sarebbe stata R? (a) R=5084,07 (b) R=54,07 (c) R=5094,07 (d) R=5074,07 6. S acqusta un BOT con vta resdua d 9 mes a tasso annuo d mercato par a r = 4%. Dopo 3 mes lo vendete ad un acqurente che lo porta a scadenza. In potes d assenza d tassazon e nvaranza del tasso d mercato, determnare l rendmento semplce annuo della vostra compravendta. (a) 3,92% (b) 3,98% (c) 4,2% (d) 4,52% 7. Un ttolo obblgazonaro pagato ogg 2000 garantsce 5480 tra un anno e 7280 tra 2 ann. Trovare la duraton. Rsposta: duraton =...

2 8. Un obblgazone a cedola annuale e durata d 3 ann, d prezzo 80000, ha dato una prma cedola d 0000 e zero nella seconda. Chamate R l ultma cedola ancora da ncassare. a) Determnare tra qual valor potrá oscllare R affnché l rendmento sa compreso tra l 3% e l 5%. b) Stablre l VAN d tale ttolo a costo opportuntá par a =3% nel peggore de cas vst al punto a). c) Determnare gl outstandng captals d tale nvestmento nel peggore de cas del punto a). d) Stmate l rendmento del ttolo con un approssmazone par alla prma cfra decmale (tpo: tra l 2, % e l 2,2%) se la terza cedola ammonterá a Svolgmento Teora Trovare a quale tasso annuo composto x sa ndfferente scontare un certo credto C da ncassare tra n ann rspetto al regme a sconto commercale ad un fssato tasso annuo d sconto d.

3 Soluzone prmo questo S ha che M = C(+) n (+α), ove n é l numero ntero (ncognto) d ann d durata dell mpego, mentre α é l eventuale frazone (ncognta) dell anno successvo, con =0,02. Se ponamo M =,05C, la precedente equazone dvene,05=(+) n (+α). Se ora provamo a nserre esponent n al termne(+) n, va va a salre con n=,2,3,4,5, s vede che,05>(+) 4, mentre,05<(+) 5, dunque n=4, po s trova algebrcamente che (,05 ) α= (+) 4. Se nserte dat, s trova che α = 0,089, che equvale a poco pú d un mese, percó l perodo occorrente, con leggera approssmazone per dfetto, é d 4 ann e un mese. Soluzone secondo questo L equazone da mpostare per avere l uguaglanza de due valor attual d un certo credto (l cu dato é nnfluente) esgble all epoca t = 2 ne due regm ndcat é (+) t = dt da cu, con qualche semplce passaggo algebrco, s ha che = 2d = %. Soluzone terzo questo Il montante creato dal captale C tra due ann, se calcolato a tasso d nteresse nel regme composto, é dato da M = C(+) 2, mentre nel regme semplce, a tasso = +0,00052, é dato da M 2 = C(+2(+0,00052)). Dall uguaglanza M = M 2, svolgendo l quadrato a prmo membro e operando qualche semplfcazone, s trova che da cu segue che =3,2%. 2 = 0,00024, Soluzone quarto questo S deve calcolare l montante d una rendta cu versament sono par a R/2 alle epoche t =,2,3,4,6 e R all epoca t = 5. S not come tale operazone s possa confgurare come l unone d una rendta standard, con rata costante par a R/2, perodctá mensle e durata se mes, e l versamento nel solo qunto mese d una rata par a R/2. Pertanto, l montante d tale operazone é dato dalla somma del montante d una classca rendta standard e dalla captalzzazone per un solo mese della rata R/2, ossa M = R (+ m ) 6 + R 2 m 2 (+ m), ove M = 0000 e m é la conversone mensle del tasso annuo, secondo la nota formula m = 2 +. Isolando R e adoperando la precedente formula d conversone, dopo qualche passaggo algebrco, s trova che R=2M ( ) = 2834,56. + (+) /2 +(+)/2

4 Soluzone qunto questo Tale pano puó essere vsto come l unone d due mn -pan a rata costante d cnque ann l uno, l prmo a rata R e l secondo a rata R 2 : la somma de valor attual, dett A e A 2, de due mn pan deve dare l valore attuale complessvo, detto A. Fate attenzone solo al fatto che l valore attuale del secondo mnpano deve essere portato all epoca zero, perché naturalmente esso s rferrebbe all epoca t = 5. Detto questo, s ha che e Pertanto, s ha che A = R (+) 5 A 2 = R 2 (+) 5 (+) 5. A=R (+) 5 + R 2 (+) 5 (+) 5 = (+) 5 (R + R 2 (+) 5 ). Nello stesso tempo, se avess un pano standard a rata R equvalente dal punto d vsta fnanzaro a questo, avre che A=R (+) 0. Uguaglando second membr delle ultme due equazon e solando R, s ha che R= (+) 5 (+) 0 (R + R 2 (+) 5 ) = 5094,07. Soluzone sesto questo L equazone da mpostare per l acqusto, senza per ora potzzare alcuna compravendta, è la seguente: A 0 (+3r/4)=N, ove A 0 è l prezzo cu acqustate l ttolo ed N é l nomnale. Quando, dopo 3 mes, lo vendete, la formula per l acqurente che porterá a scadenza l ttolo é A 3 (+r/2)=n, ove A 3 è l prezzo pagato dall acqurente. La vostra compravendta, qund, nel regme semplce, ha A 0 come captale nzale e A 3 come montante fnale nell arco d 3 mes, ossa, formalzzando l tutto, A 0 (+x/4)=a 3, ove x é l rendmento ncognto. Se ora sosttute A 0 e A 3 tramte le due precedent formule e rcavate l ncognta x, troverete che x= 2r 2+r. Inserendo dat, s ha che x = 3,92%. Soluzone settmo questo Il rendmento d un ttolo obblgazonaro è l T IR del DCF. Essendo l cash-flow d tale ttolo dato da s ha che (0; 2000),(;5480),(2;7280), DCF(x)= x (+x) 2, po s pone DCF(x)=0 e s trova l unca soluzone fnanzaramente sgnfcatva x = 0,04=4%. Per la duraton D, s ha che D= t a (+x ) +t 2 a 2 (+x ) 2, 2000 ossa D=,56.

5 Soluzone ottavo questo a) Abbamo che G(x)= x + R (+x) 3, qund, detto x un qualunque TIR, essendo G(x )=0, s rcava che R=80000(+x ) (+x ) 2. Ora, ponendo nella suddetta equazone prma x = 0,03 e po x = 0,05 s ottene rspettvamente R 3 = 8608,86 e R 5 = 97347,5, qund 8608,86 R 97347,5. b) Nel peggore de cas del punto precedente, la terza cedola é R 3 = 8608,86 ed l TIR é l 3%, ossa concdente con l costo opportuntá, qund non cé bsogno d fare alcun calcolo, perché, n questo caso, per le propretá del VAN n relazone al TIR, s ha mmedatamente che l VAN é zero. c) Gl outstandng captals (standard) dell nvestmento sono: w 0 = a 0 ; w k = w k (+x ) a k, per k=,...,n dove x = 3% è l TIR e a k è l mporto del cash-flow alla scadenza t = k. fnanzara s conclude all epoca n, allora w n = 0. Nel nostro caso abbamo: d) In tal caso l dscounted cash-flow é par a w 0 = 80000; w = w 0 (+x ) a = (,03) 0000=75400 w 2 = w (+x ) a 2 = (,03) 0=80662 w 3 = w 2 (+x ) a 3 = (,03) 8608,86=0. G(x)= x (+x) 3, Rcordamo che, se l operazone e c basta trovare due valor x e x 2 la cu dfferenza (n percentuale) sa la prma cfra decmale, tal che G(x )>0 e G(x 2 ) > 0. Non é dffcle vedere che x = 3,7% e x 2 = 3,8%, con G(x ) = 22,6 e G(x 2 ) = 478,5, qund l rendmento é compreso tra l 3,7% e l 3,8%. Basta mpostare l equazone da cu Soluzone questo teorco C (+x) n = C( nd), x= n nd