Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa lezione 4: 28 febbraio 2013

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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa lezone 4: 28 febbrao 2013 professor Danele Rtell 1/25?

2 Usando le equazon dfferenzal a varabl separabl, possamo concludere che l regme esponenzale è l unco regme a godere d specfche propretà. f (t) = δf(t), f(0) = 1, 2/25?

3 Usando le equazon dfferenzal a varabl separabl, possamo concludere che l regme esponenzale è l unco regme a godere d specfche propretà. Infatt se cercassmo quel regme d captalzzazone con forza d nteresse costante, dcamo uguale a δ > 0, c troveremmo a consderare l equazone dfferenzale separable: f (t) = δf(t), f(0) = 1, 2/25?

4 Usando le equazon dfferenzal a varabl separabl, possamo concludere che l regme esponenzale è l unco regme a godere d specfche propretà. Infatt se cercassmo quel regme d captalzzazone con forza d nteresse costante, dcamo uguale a δ > 0, c troveremmo a consderare l equazone dfferenzale separable: f (t) = δf(t), f(0) = 1, che, usando la formula rsolutva porge: f 1 dz z = t 0 δdt = ln f = δt = f(t) = e δt 2/25?

5 Questo sgnfca che l regme composto è caratterzzato, nel senso che è l unco regme d captalzzazone con questa propretà, dal fatto d aver forza stantanea d nteresse costante nel tempo. 3/25?

6 Questo sgnfca che l regme composto è caratterzzato, nel senso che è l unco regme d captalzzazone con questa propretà, dal fatto d aver forza stantanea d nteresse costante nel tempo. Nel caso generale se la forza stantanea è una funzone δ(t) l fattore montante della legge d captalzzazone assocata s determna come: t ( t ) ln f(t) = δ(s) ds = f(t) = exp δ(s) ds /25?

7 Eserczo Un conto corrente accredta nteress usando una forza d nteresse δ(t) = 3t2 2+t 3 Se vengono depostat 100 euro al tempo t = 0 s calcolno gl nteress maturat fra la fne del quarto anno e la fne dell ottavo anno 4/25?

8 Eserczo Un conto corrente accredta nteress usando una forza d nteresse δ(t) = 3t2 2+t 3 Se vengono depostat 100 euro al tempo t = 0 s calcolno gl nteress maturat fra la fne del quarto anno e la fne dell ottavo anno f(t) = exp ( t 0 ) δ(s) ds 4/25?

9 Eserczo Un conto corrente accredta nteress usando una forza d nteresse δ(t) = 3t2 2+t 3 Se vengono depostat 100 euro al tempo t = 0 s calcolno gl nteress maturat fra la fne del quarto anno e la fne dell ottavo anno f(t) = exp ( t 0 ) δ(s) ds = 1 + t3 2 4/25?

10 Eserczo Un conto corrente accredta nteress usando una forza d nteresse δ(t) = 3t2 2+t 3 Se vengono depostat 100 euro al tempo t = 0 s calcolno gl nteress maturat fra la fne del quarto anno e la fne dell ottavo anno ( t f(t) = exp 0 ) δ(s) ds = 1 + t (f(8) f(4)) = /25?

11 Attualzzazone L attualzzazone pone l problema nverso della captalzzazone. E possede un ttolo d credto esgble nel futuro Questo sgnfca n concreto che un soggetto D s mpegna a corrspondere a E l captale C n una fssata data futura operazone d attualzzazone s nverte la stuazone studata nella captalzzazone 5/25?

12 Attualzzazone L attualzzazone pone l problema nverso della captalzzazone. E possede un ttolo d credto esgble nel futuro Questo sgnfca n concreto che un soggetto D s mpegna a corrspondere a E l captale C n una fssata data futura E decde d rvolgers ad un ntermedaro B allo scopo d cedere mmedatamente l credto, n modo da avere subto dsponble l captale C a < C operazone d attualzzazone s nverte la stuazone studata nella captalzzazone 5/25?

13 Defnzone. Dremo legge d attualzzazone assocata alla legge d captalzzazone m(t; C) la funzone a (t; C): m (t; a(t; C)) = C 6/25?

14 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) 7/25?

15 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) 7/25?

16 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) 7/25?

17 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) a(t; C) = C f(t) 7/25?

18 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) a(t; C) = C f(t) ϕ(t) = 1 f(t) 7/25?

19 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) a(t; C) = C f(t) ϕ(t) = 1 f(t) s dce fattore d attualzzazone conugato al fattore d captalzzazone. È ben defnto n forza del fatto che f(t) > 0. 7/25?

20 I fattor d attualzzazone conugat rspettvamente alle legg lneare ed esponenzale sono: ϕ L (t) = t, 8/25?

21 I fattor d attualzzazone conugat rspettvamente alle legg lneare ed esponenzale sono: ϕ L (t) = t, ϕ E(t) = 1 (1 + ) t 8/25?

22 Rendte Il concetto d rendta ha nel calcolo fnanzaro la funzone d strumento d ndagne teorca nella valutazone d dverse stuazon fnanzare che s verfcano n stant temporal dvers. 9/25?

23 Rendte Il concetto d rendta ha nel calcolo fnanzaro la funzone d strumento d ndagne teorca nella valutazone d dverse stuazon fnanzare che s verfcano n stant temporal dvers. La comprensone d questa nozone è ndspensable quando ad una prestazone fnanzara fanno rscontro un certo numero d controprestazon, cascuna delle qual matura n stant dvers: rmborso d un prestto o valutazone d un nvestmento 9/25?

24 Defnzone Sa n N un ntero postvo. S dce rendta temporanea, un nseme fnto d captal Cs, dsponbl a temp ts, s = 1, 2..., n 0 C1 C2 C3 t1 t2 t3... Cs... ts Cn tn Fgura 1: Asse de temp R = (ts ; Cs ) 10/ L2 3M 33 22?

25 Defnzone. Sa assegnata la rendta R = (t s ; C s ) e sa f(t) un fattore d montante. La quanttà: n V (R; t n ) = C k f(t n t k ) k=1 prende l nome d montante della rendta R all stante fnale t n 11/25?

26 Montante n Regme composto V (R; t n ) = n C k (1 + ) t n t k k=1 12/25?

27 Montante n Regme semplce V (R; t n ) = n k=1 ) C k (1 + (t n t k ) 13/25?

28 Defnzone. Sa assegnata la rendta R = (t s ; C s ) e sa ϕ(t) un fattore d sconto. Il valore attuale della rendta R è: n V (R; 0) = C k ϕ(t k ) k=1 14/25?

29 Valore attuale n Regme composto V (R; 0) = n k=1 C k (1 + ) t k 15/25?

30 Valore attuale n Regme semplce V (R; 0) = n k=1 C k 1 + t k 16/25?

31 Eserczo. Una rendta è costtuta da captal 800, 250, 1 500, qual sono dsponbl rspettvamente dopo un mese, quarantotto gorn, quattro mes, otto mes e dec gorn dall orgne della rendta. Determnare, n regme semplce, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, /25?

32 Eserczo. Una rendta è costtuta da captal 800, 250, 1 500, qual sono dsponbl rspettvamente dopo un mese, quarantotto gorn, quattro mes, otto mes e dec gorn dall orgne della rendta. Determnare, n regme semplce, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, 06. Soluzone {( ) 30 R = 360 ; 800, ( ) ; 250, ( ) ; 1 500, ( )} ; /25?

33 Eserczo. Determnare, n regme semplce, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, 06. Soluzone {( ) 30 R = 360 ; 800, {( ) 1 R = 12 ; 800, ( ) ; 250, ( ) 2 15 ; 250, ( ) ; 1 500, ), ( 1 3 ; ( )} ; )} ( ; /25?

34 Eserczo. Soluzone {( ) 1 R = 12 ; 800, V ( R; 25 ) 36 = [ = = 3 820, 25 ( ) 2 15 ; 250, ( ) 1 3 ; 1 500, ( )] ( )] [ [ [ ( )} ; ( )] + 15 ( )] 36 20/25?

35 Eserczo. Soluzone {( ) 1 R = 12 ; 800, V (R; 0) = = = 3 666, 62 ( ) 2 15 ; 250, ( ) 1 3 ; 1 500, ( )} ; /25?

36 Eserczo. Una rendta è costtuta da captal 800, 250, 1 500, qual sono dsponbl rspettvamente dopo un mese, quarantotto gorn, quattro mes, otto mes e dec gorn dall orgne della rendta. Determnare, n regme composto, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, 06. V ( R; 25 36) = 3 819, 21 V (R; 0) = 3 667, 75 22/25?

37 Rendte perodche costant Data la rendta perodca costante R = {(1; C),..., (n; C)} n cu t s = s, s = 1,..., n e C s = C, s = 1,..., n 23/25?

38 Valore attuale della rendta perodca costante a n = (1 + ) 1 + (1 + ) 2 + (1 + ) n 24/25?

39 Valore attuale della rendta perodca costante a n = (1 + ) 1 + (1 + ) 2 + (1 + ) n bsogna rcordare che v + v v n = v (vn 1) v 1 e sostture al posto d v la quanttà v = /25?

40 Valore attuale della rendta perodca costante a n = (1 + ) 1 + (1 + ) 2 + (1 + ) n bsogna rcordare che v + v v n = v (vn 1) v 1 e sostture al posto d v la quanttà v = po fare un certo lavoro algebrco per concludere che a n = 1 (1 + ) n 24/25?

41 Montante della rendta perodca costante stante la scndbltà basta rcordare che s n = (1 + ) n a n 25/25?

42 Montante della rendta perodca costante stante la scndbltà basta rcordare che s n = (1 + ) n a n qund s n = (1 + ) n1 (1 + ) n = (1 + )n 1 25/25?