Dipartimento di Matematica per le scienze economiche e sociali Università di Bologna. Matematica aa lezione febbraio 2009

Transcript

1 Dpartmento d Matematca per le scenze economche e socal Unverstà d Bologna Matematca aa lezone febbrao 2009 professor Danele Rtell 1/19?

2 2/19?

3 Fgura 1: ( 5y 4 ) 2 x + x 2 = 1 2/19?

4 S tratta del grafco delle due funzon ottenute esplctando rspetto ad y l equazone cartesana 3/19?

5 S tratta del grafco delle due funzon ottenute esplctando rspetto ad y l equazone cartesana ( 5y 4 ) 2 x + x 2 = 1 3/19?

6 S tratta del grafco delle due funzon ottenute esplctando rspetto ad y l equazone cartesana ( 5y 4 ) 2 x + x 2 = 1 f + (x) := 4 ( ) x + 1 x 2 5 3/19?

7 S tratta del grafco delle due funzon ottenute esplctando rspetto ad y l equazone cartesana ( 5y 4 ) 2 x + x 2 = 1 f + (x) := 4 ( ) x + 1 x 2 5 f (x) := 4 ( ) x 1 x 2 5 3/19?

8 Fgura 2: f + banco, f blu 4/19?

9 Lmt f(x) = cos2 x 1 + x 2 x 4 5/19?

10 Lmt f(x) = cos2 x 1 + x 2 x /19?

11 Lmt f(x) = cos2 x 1 + x 2 x Che sgnfcato possamo dare a f(0)? 5/19?

12 L Anals Matematca rende rgoroso quello che n cas come questo l buon senso suggersce 6/19?

13 L Anals Matematca rende rgoroso quello che n cas come questo l buon senso suggersce Se non posso valutare f(x) = cos2 x 1 + x 2 x 4 n zero lo farò per valor vcn a zero 6/19?

14 7/19? Costruamo la tabella x f(x)

15 8/19? proseguamo x f(x)

16 Un ntorno completo d un punto x 0 è un ntervallo aperto contenente x 0 9/19?

17 Un ntorno completo d un punto x 0 è un ntervallo aperto contenente x 0 9/19?

18 Un ntorno completo d un punto x 0 è un ntervallo aperto contenente x 0 La defnzone d ntorno non esclude che la possbltà che x 0 sa un estremo dell ntervallo. 9/19?

19 Defnzone S dce che l numero reale x 0 è un punto aderente d A, sottonseme non vuoto d R, se ogn ntorno completo I(x 0 ) d x 0 ha punt comun con A. 10/19?

20 Defnzone S dce che l numero reale x 0 è un punto aderente d A, sottonseme non vuoto d R, se ogn ntorno completo I(x 0 ) d x 0 ha punt comun con A. In smbol A I(x 0 ). 10/19?

21 Defnzone S dce che l numero reale x 0 è un punto aderente d A, sottonseme non vuoto d R, se ogn ntorno completo I(x 0 ) d x 0 ha punt comun con A. In smbol A I(x 0 ). Defnzone x 0 A s dce punto solato d A se esste un ntorno completo I(x 0 ) d x 0 tale che I(x 0 ) A = 10/19?

22 Defnzone S dce che l numero reale x 0 è un punto aderente d A, sottonseme non vuoto d R, se ogn ntorno completo I(x 0 ) d x 0 ha punt comun con A. In smbol A I(x 0 ). Defnzone x 0 A s dce punto solato d A se esste un ntorno completo I(x 0 ) d x 0 tale che I(x 0 ) A = S osserv che ogn punto solato x 0 n un nseme A è anche aderente. 10/19?

23 Defnzone S dce che l numero reale x 0 è un punto d accumulazone d A, sottonseme non vuoto d R se ogn ntorno completo I(x 0 ) d x 0 ha punt comun con A \ {x 0 }. 11/19?

24 Defnzone S dce che l numero reale x 0 è un punto d accumulazone d A, sottonseme non vuoto d R se ogn ntorno completo I(x 0 ) d x 0 ha punt comun con A \ {x 0 }. In smbol (A \ {x 0 }) I(x 0 ). 11/19?

25 Defnzone S dce che l numero reale x 0 è un punto d accumulazone d A, sottonseme non vuoto d R se ogn ntorno completo I(x 0 ) d x 0 ha punt comun con A \ {x 0 }. In smbol (A \ {x 0 }) I(x 0 ). Se A è l domno della funzone 0 è punto d accumulazone d A f(x) = cos2 x 1 + x 2 x 4 11/19?

26 Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. 12/19?

27 Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dremo che f tende ad l per x x 0 se per ogn successone x n x 0 s ha che 12/19?

28 Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dremo che f tende ad l per x x 0 se per ogn successone x n x 0 s ha che lm f(x n) = l n 12/19?

29 Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dremo che f tende ad l per x x 0 se per ogn successone x n x 0 s ha che In tal caso s scrve lm f(x n) = l n 12/19?

30 Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dremo che f tende ad l per x x 0 se per ogn successone x n x 0 s ha che In tal caso s scrve lm f(x n) = l n lm f(x) = l x x 0 12/19?

31 Avremmo potuto defnre l lmte usando la notazone ε δ 13/19?

32 Avremmo potuto defnre l lmte usando la notazone ε δ Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. 13/19?

33 Avremmo potuto defnre l lmte usando la notazone ε δ Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dremo che f tende ad l per x x 0 13/19?

34 Avremmo potuto defnre l lmte usando la notazone ε δ Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dremo che f tende ad l per x x 0 se per ogn ε > 0 13/19?

35 Avremmo potuto defnre l lmte usando la notazone ε δ Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dremo che f tende ad l per x x 0 se per ogn ε > 0 esste δ(ε) > 0 13/19?

36 Avremmo potuto defnre l lmte usando la notazone ε δ Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dremo che f tende ad l per x x 0 se per ogn ε > 0 esste δ(ε) > 0 tale per cu, per ogn x A, x x 0 per cu rsult x x 0 < δ(ε), s ha 13/19?

37 Avremmo potuto defnre l lmte usando la notazone ε δ Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dremo che f tende ad l per x x 0 se per ogn ε > 0 esste δ(ε) > 0 tale per cu, per ogn x A, x x 0 per cu rsult x x 0 < δ(ε), s ha f(x) l < ε 13/19?

38 Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. 14/19?

39 Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dcamo che f ha lmte snstro per x crescente verso x 0 14/19?

40 Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dcamo che f ha lmte snstro per x crescente verso x 0 e n tale caso scrvamo lm x x 0 f(x) = lm x x0 f(x) = l 14/19?

41 Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dcamo che f ha lmte snstro per x crescente verso x 0 e n tale caso scrvamo lm x x 0 f(x) = lm x x0 f(x) = l se per ogn ε > 0, esste δ(ε) > 0 tale che x 0 δ(ε) < x < x 0 = f(x) l < ε. 14/19?

42 Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. 15/19?

43 Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dcamo che f ha lmte destro per x decrescente verso x 0 e n tale caso scrvamo lm x x + 0 f(x) = lm x x0 f(x) = l 15/19?

44 Defnzone Sa f : A R, x 0 d accumulazone per A. Dcamo che f ha lmte destro per x decrescente verso x 0 e n tale caso scrvamo lm x x + 0 f(x) = lm x x0 f(x) = l se per ogn ε > 0, esste δ(ε) > 0 tale che x 0 < x < x 0 + δ(ε) = f(x) l < ε. 15/19?

45 Defnzone Sano A R, A ; f : A R e x 0 A. Dremo che la funzone f è contnua n x 0 punto aderente d A, se: 16/19?

46 Defnzone Sano A R, A ; f : A R e x 0 A. Dremo che la funzone f è contnua n x 0 punto aderente d A, se: a) x 0 è un punto solato d A; 16/19?

47 Defnzone Sano A R, A ; f : A R e x 0 A. Dremo che la funzone f è contnua n x 0 punto aderente d A, se: a) x 0 è un punto solato d A; b) se x 0 non è solato, se: lm f(x) = f(x 0 ) x x 0 16/19?

48 Defnzone Sano A R, A ; f : A R e x 0 A. Dremo che la funzone f è contnua n x 0 punto aderente d A, se: a) x 0 è un punto solato d A; b) se x 0 non è solato, se: lm f(x) = f(x 0 ) x x 0 In pratca la contnutà d una funzone sgnfca che questa è permeable all operazone d lmte 16/19?

49 Defnzone Sano A R, A ; f : A R e x 0 A. Dremo che la funzone f è contnua n x 0 punto aderente d A, se: a) x 0 è un punto solato d A; b) se x 0 non è solato, se: lm f(x) = f(x 0 ) x x 0 In pratca la contnutà d una funzone sgnfca che questa è permeable all operazone d lmte lm f(x n) n 16/19?

50 Defnzone Sano A R, A ; f : A R e x 0 A. Dremo che la funzone f è contnua n x 0 punto aderente d A, se: a) x 0 è un punto solato d A; b) se x 0 non è solato, se: lm f(x) = f(x 0 ) x x 0 In pratca la contnutà d una funzone sgnfca che questa è permeable all operazone d lmte lm n f(x n) = f( lm n x n ) 16/19?

51 Non contnutà Se x 0 A con f(x) non contnua n x 0 è necessaro che x 0 non sa un punto solato, altrment la funzone sarebbe contnua, 17/19?

52 Non contnutà Se x 0 A con f(x) non contnua n x 0 è necessaro che x 0 non sa un punto solato, altrment la funzone sarebbe contnua, dunque x 0 è aderente ad A ma deve essere: 17/19?

53 Non contnutà Se x 0 A con f(x) non contnua n x 0 è necessaro che x 0 non sa un punto solato, altrment la funzone sarebbe contnua, dunque x 0 è aderente ad A ma deve essere: lm f(x) f(x 0 ) x x 0 17/19?

54 Dremo che la dscontnutà n x 0 è un salto se esstono e sono fnt, ma dvers: 18/19?

55 Dremo che la dscontnutà n x 0 è un salto se esstono e sono fnt, ma dvers: lm x x + 0 f(x) = l + 18/19?

56 Dremo che la dscontnutà n x 0 è un salto se esstono e sono fnt, ma dvers: lm x x + 0 f(x) = l + e 18/19?

57 Dremo che la dscontnutà n x 0 è un salto se esstono e sono fnt, ma dvers: lm x x + 0 f(x) = l + e lm x x 0 f(x) = l 18/19?

58 Ad esempo f(x) = x [x] ha un salto per ogn x Z 1 19/19?