Geometria (pseudo)-riemanniana

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1 Chapter 3 Geometra (pseudo)-remannana [Dsegno della sfera con trangolo la cu somma degl angol = = 270 6= 180] La geometra d erenzale è lo studo delle propretà geometrche d oggett che rassomglano localmente allo spazo R n, n 2 N fssato (oppure C n nel caso d geometre complesse), ma che non ne hanno necessaramente le propretà globale S tratta d uno strumento matematco partcolarmente adeguato per studare la geometra degl oggett curv Le consderazon de captol precedent ndcano che n modo d poter ncorporare la gravtazone lo spazo-tempo deve essere descrtto come un contnumm quadrdmensonale d event, che localmente rassomgla a R 4 munto della metrca d Lorentz La geometra d erenzale appare qund come l oggetto adeguato per mplementare l prncpo d relatvtà generale d Ensten Una geometra d erenzale dove l R n locale è lo spazo Eucldeo vene chamata geometra remannana QuelladovelR n locale è munto d una metrca non defnta-postva (ad esempo, per n = 4, la metrca d Lorentz (261)) vene chamata geometra pseudo-remannana Grande parte degl strument della geometra remannana hanno una traduzone mmedata nel caso pseudo-remannano Per questo motvo, grande parte del materale n questo captolo tratta della geometra remannana, con opportuna adattamento al caso pseudo-remannano quando necessaro I Varetà Per dare senso alla defnzone ntutva d geometra d erenzale data sopra, bsogna avere una nozone d localtà Questo vene fornta dalla topologa I1 Spazo topologco La topologa può essere vsta come l lvello zero della geometra, nel senso della prma struttura d cu deve essere munto un oggetto matematco per dventare spazo In modo nformale, la topologa permette d defnre la nozone d essere vcno a Ovvamente lo spazo fsco è munto d strutture pù ra nate, e la nozone d vcntà non basta Ma è essenzale Uno spazo topologco è defnto nel modo seguente 39

2 40 CHAPTER 3 GEOMETRIA (PSEUDO)-RIEMANNIANA Defnzone I1 Uno spazo topologco (X, T) è dato da un nseme X e una collezone T d sottonsem d X tale che L unone d un arbtraro numero (anche nfnto) d sottonsem d X, tuttnt, è ancora n T: seo 2X,allora S O 2 T L ntersezone d un numero fnto d sottonsem, tutt n T, è ancora n T: O 1, O 2,O n 2 T, allora n T =1 O 2 T L nseme X e l nseme vuoto ; sono n T se La collezone T è d e t t a u n a topologa d X, e suo element sono chamat gl apert d X nella topologa T In poche parole, una topologa d X è una collezone d sottonsem d X stable per unone arbtrara, ntersezone fnta, e che contene X e ; Un sottonseme C d X è d e t t o chuso quando l suo complemento n X (l nseme {x 2X,x /2C}) è aperto Qualunque nseme X può essere fatto un spazo topologco, prendendo per T tutt sottonsem d X (topologa dscreta), oppure T = {;, X} (topologa ndscreta) Pù nteressante è l esempo della reta reale R n cu gl apert sono tutt gl ntervall apert (a, b) R Dfatt s verfca che un unone arbtrara d ntervall apert è un ntervallo aperto, e lo stesso vale per un ntersezone fnta Ma non vale per un ntersezone nfnta: l ntersezone degl 1 apert ( n, 1+ 1 n )pern2n è l ntervallo chuso [0, 1] In realtà, la defnzone I1 è motvata dalle propretà soddsfatte dagl ntervall apert d R (percò l nome apert per gl element d una topologa) Questa topologa naturale d R s estende n modo ovvo allo spazo eucldeo R n : gl apert sono tutte le palle aperte d centro x 2X e d raggo r 2 R + (e le loro unon arbtrare e ntersezon fnte) B(x, r) := x 0 2 R n,d Euc (x, x 0 ) <r (31) Uno spazo topologco (X, T) èhausdor (o separato, o T 2 ), se la topologa è abbastanza fne per dstnguere un punto dall altro: per ogn coppa d punt p, q 2X, p 6= q, esstono due apert O p, O q n T tale che p 2O p,q2o q e O p \O q = ; (32) S verfca che R n munto della topologa standard è Hausdor, basta consderare O p = B(p, r), O q = B(q, r) con r = 1 2 d Euc(p, q) (33) Ma R n munto della topologa ndscreta non è Hausdor (entramb O p e O q sono sa R n,sa l nseme vuoto, e ; R n ) La topologa è una caratterstca d uno spazo quella d contnutà La nozone duale per una funzone è Defnzone I2 Dat due spaz topologc (X, T) e (Y, S), unamappaf : X!Yè detta contnua se l magne nversa f 1 (O) :={x 2X,f(x) 2O}d qualunque aperto O Yè u n aperto d X

3 I VARIETÀ 41 Per Y = R, s rtrova la nozone usuale d funzone contnua su X [dsegno funzone non-contnua] Se f è contnua, bunvoca e l suo nverse è contnuo, allora f è d e t t a u n omeomorfsmo, e gl spaz (X, T) e(y, S) sono omeomorf I2 Varetà topologca Dato uno spazo topologco (X, T), una collezone d apert F = {O } tale che [ O = X (34) è u n rcoprmento aperto d X Un sotto nseme G = {O j } F tale che S j O j è u n sottorcoprmento d X S defnsce nello stesso modo un (sotto) rcoprmento d un sottonseme d X Defnzone I3 Una varetà (topologca) d dmensone n 2 N è uno spazo topologco M, Hausdor, che ammette un rcoprmento aperto {O } tale che per ogn, esste un omeomorfsmo : O! U con U un nseme aperto d R n ; Se due apert O, O j s ntersecano, O \O j 6= ;, alloralamappa j := j 1 : è c o n t n u a [dsegno] (O \O j ) U! j (O \O j ) U j (35) x 7! j ( 1 (x)) (36) La coppa (U, ) è chamata carta L nseme delle carte forma un atlante (n analoga con le carte e atlante n geografa) In fsca s parlerà puttosto da un sstema d coordnate Le funzon sono chamate funzon coordnate, ele j sono le funzon d transzone del atlante Esempo I4 L esempo pù semplce d varetà topologco è lo spazo eucldeo R n stesso, che può essere coperto da un carta sola: l aperto R n stesso con le funzone, (solo aperto, R n stesso e la funzone x! x Un esempo per cu un atlante deve essere composto da almeno due carte è l cercho S 1 Un possble atlante è (S 1 \ 0, (x) = 2 (0, 2 )), (S 1 \ 1, (x) = 0 2 (, )) (37) dove A e B sono due punt dametralmente oppost L ntersezone delle due carte è l unone de due arch apert AB, BA Lafunzoneranszoneè che è contnua sul suo domno [dsegno] 0 = 8 2 (0, ), 0 = (, 2 ) (38)

4 42 CHAPTER 3 GEOMETRIA (PSEUDO)-RIEMANNIANA Esempo I5 Un altro esempo struttvo è la sfera S n d dmensone n 2 N Come sotto nseme d R n+1, è defnta come l nseme de punt d coordnate x tale che Un atlante è dato da 2n +1 apert con le funzon coordnate nx (x ) 2 =1 (39) =0 U + := (x 0,x 1,,x n ) 2 S n,x > 0, (310) U := (x 0,x 1,,x n ) 2 S n,x < 0, =1, n, (311) +(x 0,x 1,,x n ):=(x 0,,x 1,x +1,,x n ), (312) (x 0,x 1,,x n ):=(x 0,,x 1,x +1,,x n ) (313) Le funzon coordnate sembrano ugual, ma non hanno lo stesso domno ± sono le proezon de emsfer U ± sul pano x =0 [dsegno] I3 Varetà d erenzale Ovvamente, per dscrvere lo spazo-tempo la topologa non basta: la cnematca rchede una struttura d erenzale, coè la possbltà d dervare una funzone Il modo pù naturale per rendere d erenzale una varetà topologca, è d mportare la struttura d erenzale d R n Una funzone d R n n R n non è altra che una collezone d n-funzon d n-varabl Identfcando x 2 R n con l vettore x d componente x 1,x 2,,x n 2 R, scrvamo 0 (x) = 1 (x) 2 (x) n (x) 1 C A dove (x) = (x 1,x 2,,x n ) =1,,n (314) La funzone : R n! R n è d e t t a d classa C 1 se tutte le funzon sono nfntamente dervabl n tutte le loro component Coè per qualunque n 2 N, @ 1 n 8, n 2 [1,n], (315) esstono (e qund sono contnue) Defnzone I6 Una varetà d erenzale è una varetà topologca le cu funzon d transzon sono d classe C 1 Una mappa f : M!N tra due varetà d erenzal M, N d dmensone m, n è lsca se preserve la struttura d erenzale, nel senso seguente S consdera un punto p 2M, mappato

5 II VETTORI 43 n f(p) 2N, e due carte (U, ) on M e(v, funzone f s dentfca alla mappa )nn tale que p 2 U, f(p) 2 V Localmente la f 1 : R m! R n (316) 0 x f 1 (x 1,,x µ, x m 1 ) x µ 7! f (x 1,,x µ, x m ) (317) B C B A x m f m (x 1,,x µ, x m ) Denotando x µ le component d (p) 2 R m e y quelle d (f(p)) 2 R n, l equazone (316) s scrve n modo abbrevato y = f (x µ ) (318) La mappa f è d erenzable (o lsca) n p se ogn funzone f è d classa C 1 rspetto a tutte le varabl x µ Sccome le funzon d transzon sono C 1, la d erenzabltà è una propretà ntrnseca, e non dpende dalla scelta delle carte Sottolneamo tre cas partcolarmente mportant: Se una mappa lsca f : M!N è nvertble e la sua funzone nversa è lsca, allora f è u n d eomorfsmo Le varetà M e N sono d eomorfe Ovvamente M è d eomorfa a se stesso (consderare la mappa f(p) = p) L nseme de d eomorfsm d M verso M è l gruppo de d eomorfsm d M, denotato D (M) Una funzone lsca f : M!R è semplcemente detta funzone lsca su M L nseme d tutte le funzon lsce su M s scrve C 1 (M) Una funzone lsca c : R!Mè u n a curva lsca n M La defnzone s estende a una mappa d un aperto (a, b) dr n M II Vettor Come defnre nel ambto della geometra d erenzale un analogo de vettor nella geometra usuale? II1 Vettore tangente Ovvamente, su una varetà d erenzale un vettore non può essere defnto come nello spazo eucldeo, n termne d frecca lungo una drezone fssa : su una varetà d erenzale, la nozone d drezone fssa ha al pù un senso locale Dobbamo qund pensare ad una defnzone locale d vettore n geometra eucldea, defnzone che sarà po esporta nel ambto rmannano Questa defnzone esste ed è quella d vettore tangente a una curva Data una curva c(t) = (x(t),y(t)) 2 R 2 nel pano Eucldeo, s consdera l rapporto ncrementale c(t 0 + ) c(t 0 ) (319)

6 44 CHAPTER 3 GEOMETRIA (PSEUDO)-RIEMANNIANA Grafcamente, abbamo che la drezone del vettore c(t 0 + ) c(t 0 ) tende ad essere tangente alla curva c nel punto c(t 0 ) quando tende a zero Questa drezone non dpende della parametrzzazone scelta Solo l modulo e l verso possono cambare [dsegno] Esste però una parametrzzazone s 7! c(s) tale che l vettore c(s 0 + ) c(s 0 ) lm = dc =!0 t 0 dx s 0 dy s 0 abba sempre norma 1: defnendo s(t) = R t 0 pẋ2 (u)+ẏ 2 (u)du, unoha dc Dalla defnzone d s, segue che = p ẋ 2 +ẏ 2 = dc = s dx 2 + = p ẋ 2 +ẏ 2,eqund s dx 2 +! (320) dy 2 (321) dy 2 =1 (322) La coordnata s è chamata la coordnata curvlnea dalla curva (ovvamente c è un analoga ntrgante col tempo propro!) e dc s 0 è l vettore tangente alla curva nel punto c(s 0 ) Datta una curva lsca c n una varetà M, s defnsce n un modo analogo l vettore tangente ad punto c(t) L unca d erenza è che n geometra d erenzale, non ha tanto senso dentfcare l vettore tangente dalle sue component, perchè anche se l prmo punto che defnsce l vettore è sulla varetà, l punto all estremtà della frecce è nello spazo ambente fuor della varetà Il punto della geometra d erenzale è precsamente d descrvere un oggetto n un modo ntrnseco, senza aver bsogno d mmergerlo n un spazo ambente d dmensone pù grande Per questo motvo, defnamo un vettore tangente tramte la sua azone su una funzone lsca f 2 C 1 (M) Defnzone II1 Sa c(t) una curva lsca n una varetà d erenzale M d dmensone m, p = c(0) un punto della curva, e c 1 (t),,c µ (t),,c m (t) le coordnate d c n una mappa (U p,x µ ) con U p un ntorno d p (qund t prende valore n un aperto d R contenendo 0) Il vettore tangente alla curva c al punto p è l operatore che ad ogn funzone lsca f 2 C 1 (M) assoca la sua dervata drezonale df (c(t)) (323) t=0 Esplctamente df (c(t)) = t=0 µ c(0) ċ µ (0) =: X µ f (324) dove usamo la convenzone d Ensten per la sommatora sul ndce µ, e µ, Xµ := ċ µ (0) 0 (325)

7 II VETTORI 45 Il vettore tangente alla curva c n p = c(0) è qund l operatore d erenzale X µ : C 1 (M)! R (326) la cu azone è defnta da (324) I numer X µ,µ =1,,m sono le component del vettore nella carta (U p,x ) Ogn curva che attraversa l punto p defnsce un vettore tangente n p L nseme d tutt quest vettor costtusce lo spazo tangente n p, e vene denotato T p M Proposzone II2 T p M è uno spazo vettorale d dmensone m = dm M Una base nella carta (U p,x µ ), chamata base delle coordnate, è {@ µ,µ=1,,m} (327) Proof Senza perà d generaltà, s può sempre rparametrzzare qualunqe curva c che attraversa p n tale modo che p = c(0) Per costruzone, l vettore tangente a c è una combnazone lneare de µ della base delle coordnate, con coe cent Xµ = dcµ 0 Questo dmostra che lo spazo tangente è ncluso dentro lo spazo vettorale generato dalla base coordnata Per mostrare che ogn combnazone lneare V = X µ, X µ 2 R è l vettore tangente a una curva n p, basta consderare la curva le cu coordnate nel ntorno U p sono c µ (t) =p µ + X µ t (328) Uno ha dcµ 0 = Xµ, e qund l vettore tangente a c è V Fnalmente dobbamo provare che la base delle coordnate è una famgla lbera, coè X =0() X =08 (329) Questo segue applcando V = sulla funzone coordnata x µ 2 C 1 (M): 0=V [x ]= X x = X (330) dove utlzzamo x =