Significato delle EQUAZIONI COSTITUTIVE dei tessuti viventi

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1 Per flud n movmento occorre consderare l campo delle veloctà. Inun sstema cartesano Oxyz l campo è descrtto dal vettore v(x,y,z) che defnsce le component della veloctà del fludo n ogn punto x,y,z : v (x,y,z) =1,,3 Per studare n che relazone sono tra loro le veloctà tàd punt vcn P( P(x ) e P (x + dx ) s calcola l dfferenzale : dv v = x j dx j dove: v 1 v v j 1 vj v = + + x j xj x x x j

2 Defnendo: V j 1 v v j = + xj x 1 v j v Ω j = + x x j Tensore della veloctà d deformazone (smmetrco) Tensore della vortctà (antsmmetrco) Il dfferenzale d veloctà dventa: dv = V j dx j Ω j dx j S not che l tensore della veloctà d deformazone per flud è formalmente dentco al tensore delle deformazon nfntesme d Cauchy per sold. I flud, n pù, hanno l descrttore della vortctà D altronde, n un tempuscolo dt lo spostamento della generca partcella d fludo è dato da partcella d fludo è dato da u = v dt

3 Un equazone costtutva descrve una ben determnata propretà del materale! Qund, essa deve essere ndpendente dalle coordnate d rfermento n cu è scrtta ed ecco perché essa è un equazone tensorale! In natura esstono molt materal assa dvers tra loro, non sorprende qund che v possano essere molte equazon costtutve! Eppure, esstono alcune semplc equazon costtutve che descrvono puttosto bene alcune class d materal molto comun n fsca e n ngegnera: gg Per flud non vscos l tensore delle tenson (stress) assume la forma: j = pδ con δ j = 1 per =j δ j = 0 per j p = pressone j

4 Per gas deal (anche ara) vale l equazone d stato, che lega la pressone p alla denstà ρ e alla temperatura T : p ρ = RT Solamente per flud ncompressbl (acqua) c è anomala: p = costante Per flud vscos newtonan le tenson tangenzal o d scorrmento sono proporzonal alla veloctà àd df deformazone dlfl del fludo: = p δ + M V con M jkl tensore dalla vscostà j j jkl kl Se M jkl è sotropo, una rflessone o una rotazone del sstema d rfermento 3D eucldeo non camba l valore alle component del tensore

5 Qund vale : M ( ) = λ δδ + μ δδ + δδ jkl j kl k jl l jk Un materale le cu equazon costtutve sono sotrope è detto materale sotropo! j = pδ j + λ V kkδ j + μv j = pδ j + μv j μv kkδ j 3 Nella seconda formulazone (d Stokes), s assume che la tensone normale meda 1/3 kk è ndpendente d dll dalla veloctà tàd dlatazone dl del fludo V kk qund un unco parametro μ (l coeffcente d vscostà) resce a rappresentare l tensore M jkl. Per flud ncompressbl V kk = 0 qund : j = pδ j + μv j

6 Un classco esempo per vsualzzare l effetto della vscostà d Newton è quello d un fludo a contatto d una parete n flusso lamnare : Tensoned scorrmento! du τ = μ dy dyne s pose cm N s 01 N s m 1pose 0.1 m Storcamente la vscostà μ s msurava n : ogg s msura n :

7 Per un soldo elastco d Hooke vale : = E ε j jkl kl con E jkl tensore delle costant elastche Se l materale è sotropo, anche le equazon costtutve sono sotrope e le costant E jkl rmangono mmutate per ogn rotazone del sstema d rfermento! Per quest materal le costant s rducono a due : = λε δ + με j kk j j con λ e μ=g costant d Lamé

8 Sgnfcato del modulo d taglo μ o d elastctà tangenzale G : Equazon costtutve d un soldo d materale elastco sotropo : ( ) = λ ε + ε + ε + Gε xx xx yy zz xx ( ) = λ ε + ε + ε + Gε yy xx yy zz yy ( ) = λ ε + ε + ε + Gε zz xx yy zz zz xy xz yz = Gε = Gε = Gε E la Legge d Hooke, soltamente t scrtta n forma nversa : 1 ν ν ε + E è l modulo d Young j = j kk j E E δ xy xz yz ν è l coeffcente d Posson

9 Le costant d Lamé e quelle d elastctà sono legate tra loro da semplc relazon : Gν Eν λ = = ν ( ν)( ν) ( 1 ) E ν ( 1+ ν ) G = λ ν = Se un materale elastco è trato o compresso solo nella drezone z,, valgono le relazon : ε zz = 1 ν ν zz ε xx zz ε = E E E = yy zz Se è sollectato anche nelle drezon x e y vale : 1 ν ν ε zz = zz xx yy E E E

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