Cap.2 2T + U =0. si applica ai più svariati sistemi di N corpi: N~10 _. Stelle (fluido, N _ > ) Ammassi di stelle (N*~ ) (aperti-globulari)

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1 Cap.2 Teorema del Vrale s applca a pù svarat sstem d N corp: N~10 _ Stelle (fludo, N _ > ) Ammass d stelle (N*~ ) (apert-globular) Galasse (N*~10 11 ) Grupp d galasse (N g ~ ) Ammass d galasse (N g ~10 3 ) semplce relazone dnamca, n condzon d equlbro lega quanttà global: M, R, <v 2 > 2T + U =0

2 l Sole ammasso aperto M67 n Cancer a dstanza D=830 pc N~500 stelle

3 ammasso globulare M13 n Hercules N~10 6 stelle la galassa ellttca M87 =NGC4486 n Vrgo M M D 20 Mpc N~10 11 stelle

4 l gruppo d galasse Leo I N~10 galasse l Ammasso d galasse Perseus N~1000 galasse M M D 80 Mpc

5 la descrzone completa d un sstema d N corp n equlbro dnamco (legato) rchederebbe 3! 2N ntegral esatt (a t qualunque). ne sstem solat: moto e posz barcentro _ > 6 ntegral prm _ J > 3 _ E=T +U > 1 10 << 6N, non basta per una descrzone statstca vene n auto l Teorema del Vrale: " esprme equlbro statstco, d nseme " fornsce relazone tra quanttà global M, R, <v 2 > l energa cnetca è una funzone omogenea d grado 2 delle veloctà: allora: T (v 2 )=O 2 (v )= 1 2 T v v = m v 2 m v v =2T (teorema d Eulero sulle funzon omogenee) defnamo moment cnetc: allora s ha: d p dt r = questo termne n meda s annulla p = T v p r + 0=2T + ṗ r =2T + F r F r

6 meda F lm τ 1 τ τ o dt F (t) se F (t) = d dt F con F lmtata ( F ) s ha: F = lm τ 1 τ F 0 allora, se: (a) moto n regone lmtata (b) v fnte ( r ) d dt p r =0, 2T = F r 2T = F r se le forze F ammettono un potenzale U F U r = ṗ allora: se l potenzale U(r) =O k (r) 2T = ku 2T = U caso gravtazonale: (2 a legge d Newton) r U r è omogeneo d grado k r U = ku r (teorema d Eulero sulle funzon omogenee) k = 1 2T + U =0 noltre, conservazone dell energa: T + U = E T = E = 1 2 U

7 condzon: t >>τ oscll t <<τ evol de var corp nel potenzale d (eventuale) varazone globale dell equlbro U tempo caratterstco d ogn sstema domnato da forze gravtazonal pure: d 2 r dt 2 = GM r 2 t ff 1 Gρ soluzone dmensonale, approssmata: ( GM t r t 2 GM r 2 tempo d free-fall t ff o tempo dnamco t d r 3 ) 1/2 scale d tempo esempo: 2 corp (paneta attorno al sole etc) 3 a legge d Keplero R3 P 2 = GM 4π 2 P = 2π 1 GM/R 3 Gρ ρ [qu è una denstà meda determnata dalla massa del corpo domnante e dal volume occupato dall orbta] esempo: scala temporale dell Unverso vedremo che anche n questo caso s ha: t d 1 Gρ ann

8 esempo: temp d oscllazone n sstem Vralzzat 2T = U 2T = Nm v 2 = Mσ 2 = U = f GM 2 [approssmaz masse ugual] R σ 2 =3 vr 2 = 3 GM 5 R veloctà quadratca meda rspetto al centro d massa del sstema = dspersone d veloctà calcolo del fattore d forma per un caso a denstà unforme MdM U = G r = G = 16π2 R5 Gρ2 3 5 = 3 GM 2 5 R 4π 3 ρr3 4πρr 2 dr r = v 2 r = 1 5 t d = GM R = 1 4π 5 3 GρR2 GρR 2 R v 2 r 1 Gρ = τ oscll applcazon del Teorema del Vrale 2T + U =0 σ 2 = v 2 = f GM R, f 1 f = fattore d forma, per la sfera unforme =3/5 M,R σ 2,T stelle ammass globular T K (dp.da M M ) σ 30 km/s M 10 6 M R 2pc galasse σ 10 2 km/s M M R 20 kpc ammass d galasse σ 10 3 km/s M M R 2 Mpc

9 a T~10 6 K l gas stellare (prevalentemente H) è completamente onzzato potenzale d onzzazone d H: 13.6 ev 1 T K per T superor: + plasma stellare - e - p + n condzon d equlbro termco:! energa p + = 3/2 kt = energa e -! energa per coppa = 2*3/2 kt! energa totale = 2*3/2 kt*n p con n e = n p M gas m p N p temperatura nterna del Sole NkT = 3 GM 2 5 R t. d. vrale proton + elettron # proton= M/m p kt 1 GMm p 10 R T = K correzon: m p Am p 1.6m p } M M c 0.3M 5 R R c 0.1R T c 10 7 K

10 Teorema del Vrale: dervazone a fludo dp equazone d equlbro drostatco dr = ρgm(r) r 2 4πr 3 dr prmo membro R 0 =[4πr 3 p] R 0 4πr 3 dp dr dr = secondo membro R ρg M(r) r 2 4πr 3 dr = 0 = R 0 R 0 [ ] R dp R ( dp 4πr 3 dr dr 0 0 3p4πr 2 dr =4πr 3 0 4π0p G M(r) dm(r) = r R 0 G M(r) ρ4πr 2 dr = r du = U R [ 0 ε k = ) dr dr 3 4πr 2 dr = 3(γ 1)ε k 4πr 2 dr = 2T p (γ 1) = f 2 nkt, γ =1+2 f 2T = U ] f = # grad lbertà Teorema del Vrale, forma dscreta rpartamo da: F j = Gm m j d 3 j 2T + j 2T (r j r ) Gm m j d 3 j r U r =0 consderamo coppa k, l 2 termn: 1) =k, j=l 2T r F = " 2) =l, j=k = Gm km l d 3 kl coppe (r j r ) r =0 Gm m j d j =0 r ( j F j ) Gm k m l d 3 [(r l r k ) r k +(r k r l ) r l ]= kl (r l r k ) (r k r l )= Gm km l d kl

11 U = coppe Gm m j d j energa potenzale: energa per separare all component per masse ugual: M v 2 = G N 2 U = Gm 2 1 # coppe d N oggett d 2 m2 1 d v 2 = G M 2 1 d GM R e v 2 r = GM 3R e N(N 1) 2 con N R e d ammass d galasse, es: Coma Cluster 1 o R dato: R e.7 e ~1 o.7 R D e = 1.7 per stmare la dstanza dobbamo antcpare de concett d cosmologa: legge d Hubble dmensone angolare 57.3 D 1 radante dstanza v = H o D H o km/s/mpc D = v H o = c H o z z = λ λ v c redshft=spostamento verso l rosso

12 Coma Cluster c/ho D = 4000 H o / H o /75 Mpc le galasse dell ammasso hanno vare z =0.023 veloctà. nteressa la veloctà radale e l redshft del centro d massa R e = D Teorema del Vrale: = H o /75 =2.8 1 H o /75 Mpc v 2 r = GM 3R e M = 3 v2 r R e G = 3 (103+5 ) = M 1 H o / M G M!! come ma? matera oscura! gas cald e onzzat = plasm gas alta T: plasma es: H a T>>13.6 ev, e -, p + lber 4 o stato della matera, per T crescente:! soldo, lqudo, gas, plasma kt >> e 2 /d = e 2 n 1/3 nel Sole (n cm 3, T 10 7 K) kt = erg >> e 2 n 1/ erg fattore ~10 2

13 ntracluster plasma (ICP) ne ragg X L X n 2 R 3 T erg/s n 10 3 cm 3 T 10 8 K s può stmare anche dal Vrale kt 1 GMm p 10 R erg >> e 2 n 1/ erg fattore v 2 r (bremsstrahlung) Nucle Galattc Attv e Quasar NLR σ 300 km/s, BLR σ 3000 km/s, R 1 10 pc R pc BH M = M BH Vrale: M BH σ2 R G σ 2 GM R M

14 allargamento delle rghe d emssone è dovuto al moto delle nub non può essere dovuto alla temperatura del gas T 10 4 K ( ) 1/2 kt v 10 km/s m p varazon lente dell equlbro dal Teorema del Vrale e dalla conservazone dell energa: 2T + U =0 T + U = E } se l equlbro vara n modo lento su a causa d perdte d energa totale (rraggamento, espulsone d corp, etc) T = U 2 = E t >τ oscll de < 0 du < 0 dt > 0 contrazone rscaldamento U = f GM R esempo: esempo: formazone delle stelle: contrazone della protostella, rscaldamento fno ad accendere l combustble nucleare 4H He 4 +2ν +24.5MeV (T 10 7 K) esaurto H nterno, ogn stella con M > M subsce nuova contrazone e rscaldamento fno all gnzone del prossmo combustble He 4 C 12,O 16,... (T 10 8 K)

15 Teorema del Vrale non stazonaro (τ evol τ oscll ) d dt p r = 2T + U = d dt m ṙ r = 1 2Ïp p ṙ + ṗ r =2T + U 0 k = 1, caso gravtazonale [ altrment 2T ku ] con I p momento d nerza polare (o centrale) m r 2 R R u R cl non stazonaro R vrale (stazonaro, autogravtante) t Clausus, 1870: la vs vva meda d un sstema è uguale al suo Vrale vs vva = forza vva = energa cnetca = T Vrale d Clausus = da vres (plurale d vs) 1 ṗ 2 r = 1 F r = U

16 commento sulle mede operatvamente non s può fare la meda su temp ann F t>τ oscll s rcorre all potes ergodca: nello spazo delle fas l punto a 6N dmenson che rappresenta l sstema trascorre n ogn regone d volume V un tempo t V meda su t ˆ= meda nello spazo delle fas, sulle confgurazon stantanee