Gravità bilanciata dalla pressione cinetica

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1 Cap. 3 stelle normali Gravità bilanciata dalla pressione cinetica 1 dp ρ dr = GM r 2 2T = f GM 2 R equilibrio differenziale integrato T = 1 k GMm p 10R 107 K ma la stella irraggia quindi perde energia se non compensata si ha un cambio di equilibrio e un evoluzione contrazione a T crescente, su scala t KH = T = 2 3 M 2 m p kt = L L s yr tempo di Kelvin-Helmholtz

2 ruolo dell energia termonucleare intervengono le reazioni termonucleari nel core stellare a compensare le perdite ed assicurare lunga vita alle stelle con M < M Sole: R = cm 2s luce ρ 1g/cm 3 che accadrebbe se il Sole fosse soggetto solo a forze gravitazionali pure? ma sappiamo (geologia, datazioni radio-attive etc) che il Sistema Solare si è formato circa 4.55 Gyr fa fotoni in volo libero t ff 1 Gρ 1h contrazione graduale con liberazione di energia gravitazionale? de = dt = du 2 t KH GM 2 RL non basta yr energia chimica? reazioni chimiche: ~1 ev/atomo E E ˆ= M M 1 ev 940 MeV 10 9 energia nucleare? 4H He MeV/nucleone efficienza η = durata t = η Mc 2 L > yr produzione di energia: fissione? fusione non esplosiva: rilascio lento in condizioni controllate dalla gravità resa più alta, H abbondante come avviene? Alte T generate dalla contrazione gravitazionale

3 energia di legame per nucleone salita: forze nucleari attrattive vol A, sup A 2/3 (per piccoli A aumenta la frazione di nucleoni di superficie, le forze nucleari sono meno efficienti) nucleone interno: interagisce con un maggior numero di nucleoni vicini nucleone di superficie: interagisce con un minor numero di nucleoni vicini discesa: forze coulombiane repulsive le interazioni forti sono a corto raggio: all aumentare delle dimensioni del nucleo diventa relativamente più importante la repulsione coulombiana, a lungo raggio picchi: nuclei particolarmente stabili per A multiplo di 4 max: ~Fe 56 tempi caratteristici t = η Mc L yr ma: la massa che partecipa al bruciamento dell H è solo quella del core ~0.1 M M M c =0.1M t ff t KH t t =10 10 yr t ff 1 Gρ 1h t KH GM 2 RL yr questo garantisce controllo perfetto e stabilità della fusione termonucleare nelle stelle. infatti un eventuale eccesso di energia nucleare prodotta fa sì che il core reagisca in ~1h espandendosi; allora n e T diminuiscono (espansione adiabatica T n γ 1 ) e diminuisce il ritmo delle reazioni nucleari r (con f(t ) T 4 pp n 2 f(t ) o più ripido) e la fluttuazione muore

4 ignizione delle reazioni termonucleari per M M si innesca la catena p-p p + p 2 H + e + + ν 2 H + p 3 He + γ 3 He + 3 He 4 He +2p ignizione delle reazioni termonucleari ma: occorre avvicinare i p alla distanza in cui agiscono le interazioni forti la T del Viriale sembra insufficiente per superare la repulsione elettrostatica (barriera Coulombiana) T 10 7 K e 2 r o kt = erg 1 kev erg 1 MeV kt tuttavia: data l energia media 3/2 kt, la distribuzione di Maxwell contiene anche una coda di protoni più energetici N(E) e E/kT interviene la Meccanica Quantistica che permette di penetrare una barriera classicamente insuperabile (Effetto Tunnel) a basse energie la probabilità è e 2πe2 / hv e be 1/2 v =(2E/m p ) 1/2

5 picco di Gamow i 2 fattori si combinano nel rate (#reazioni/s) r pp n 2 p(kt) 3/2 a basse energie σ(e) 1/E de σ(e)ee E/kT e be 1/2 la funzione integranda ha un massimo per: d de [ e E/kT e be 1/2] =0= = 1 kt e E/kT e be 1/2 + +e E/kT b 2 E 3/2 e be 1/2 maxwellian distribution e E/kT e be 1/2 probability of tunneling 2 bkt = E 3/2 ( bkt E = E o = 2 ) 2/3 = [ (mp ) 1/2 πe 2 ] 2/3 2 h kt 6 kev all interno: T c 10 7 K γ con hν prodotti fotoni 10 MeV alla superficie: prodotti fotoni ottici con 1 ev ( ) hν T s K ν Hz sempre in equilibrio termico locale con la materia (plasma stellare)

6 corpo nero radiazione in equilibrio con la materia spettro di corpo nero: w(ν,t)dν = 8πh ν 3 c 3 e hν kt 1 dν w(t )= a = F = σt 4 w(ν,t)dν = at 4 = T 4 erg/cm 3 π 5 k 4 c 3 h 3 σ = c 4 a L =4πR 2 σt 4 T e Stefan-Boltzmann superficiale (effettiva) ν 2 hν max 2.8kT ν 3 e hν/kt dw dν = 3ν2 hν (e kt 1) ν 3 h kt e hν kt =0 3(e hν (e hν kt 1) 2 kt (3 x) =3e x x 2.8 hν max =2.8 kt w(ν,t) hν kt hν kt hν 1) = kt e hν kt 8πh ktν2 c 3 8πh c 3 ν3 e hν kt Rayleigh-Jeans coda di Wien cammino libero medio γ + e = γ + e dei fotoni per diffusione probabilità di interazione di un γ con e : p = n e σ T l p=1 λ sc = 1 n e σ T γ σ T n e t sc = λ sc c = 1 n e σ T c l cammino libero medio per diffusione tempo medio fra 2 diffusioni

7 scattering Thomson la più semplice interazione fotonica (dominante in plasma) p = ez z e m E P = 2 p 2 3 c 3 = 2 3 σ T = 8π 3 momento di dipolo e 4 E 2 m 2 c 3 = 8π 3 ( e 2 mc 2 p e2 m E Larmor (ż c) ( e 2 mc 2 σ T ) 2 c E2 4π F inc ) 2 = cm 2 sua variazione nota: da r o = e2 mc cm (raggio classico dell elettrone) y E B e 2 r o = mc 2 z p x i fotoni effettuano un random walk per uscire dalla stella n e cm 3 σ T cm 2 λ sc 1 cm R cm in un random walk: r 2 Nλ 2 infatti: R 2 = r r r 2 n + +2r 1 r r n 1 r n R r 1 r 2 numero delle diffusioni per uscire: N = R2 λ 2 tempo necessario: t = λ c N = λ c R 2 λ 2 = R c R λ 2s < 10 4 yr

8 scattering Thomson (segue) all interno della stella: equilibrio termodinamico fotoni-elettroni-protoni gradiente di temperatura dal centro alla superficie: T R T c T s R K/cm ad ogni interazione ( R 1 cm) fotoni e particelle devono riequilibrare una frazione di energia T T T T fino alla superficie di ultimo scattering, dove n cm 3 (ρ 1g/cm 3 ) da cui i fotoni volano liberi nello spazio conservando l ultima distribuzione di corpo nero a T~6000 K nel core alla superficie relazione L-M in una stella calda ( M>M ) in cui scattering Thomson e pressione di radiazione dominano possiamo valutare la luminosità come rapporto fra l energia della radiazione e il tempo necessario ai fotoni per uscire dalla stella: L E t = 4π 3 R3 at 4 t t R2 λ λ = 1 nσ T 1 ρ R3 M L R3 T 4 λ R 2 = T 4 Rλ kt GM R (Viriale) L M 4 R 4 R R3 M M 3

9 relazione L-M andamento di L(M): log L L M 5 L M per per M M M M L M 3.5 L M 5 log M M stelle massive: luminose, calde, a breve vita (giovani) τ = η c 2 M L M L M 4 M 2 in superficie: emissione delle stelle: temperature superficiali: - continuo ~ corpo nero - in prima approssimazione, dal colore del - righe di assorbimento continuo, Legge di Wien: hν max =2.8 kt (righe di emissione eccezionali) - in modo fine, dalle righe di assorbimento II = una volta ionizzato I = neutro T ˆ= tipo spettrale serie di Balmer T

10 tipi spettrali O, B, A, F, G, K, M T definiti secondo l intensità dei diversi sistemi di righe di assorbimento T inoltre c è una divisione fine decimale: A0, A1, A2... B0, B1, B2... etc il Sole è una stella G2V V indica la classe di luminosità: I,II,III,IV,V per luminosità decrescente le serie dell Idrogeno hν mn = Ry [ 1 m 2 1 n 2 hc Ry = =912Å Lyman (m=1): ν n = Ry h λ n = hc/ry 1 1 n 2 ] [1 1n 2 ], n > 1 L α,l β,l γ :1216, 1026, 972 Å (ultravioletto) Ry = m ee 4 2 h 2 =13.6 ev Balmer (m=2): ν n = Ry h λ n = hc/ry n 2 [ n 2 ], n > 2 H α,h β,h γ :6566, 4864, 4342 Å (visibile) queste transizioni corrispondono alle righe di emissione. le transizioni inverse corrispondono alle righe di assorbimento. emissione assorbimento

11 diagramma HR (Herzsprung-Russell) giganti blu o giganti di s.p. magnitudine assoluta = -2.5 log L +cost log L giganti rosse sequenza principale luogo delle stelle che bruciano idrogeno log T log L L =4πR 2 σt 4 e log R log T

12 luminosità di Eddington la radiazione stellare esercita una pressione sugli elettroni del plasma infatti l onda e.m. trasporta energia e quantità di moto: flusso: F = de dadt dp = 1 c de pressione di radiazione: p rad = dp dadt = F c per una sorgente astrofisica isotropa: p rad = F c = L 4πR 2 c Fgrav Frad la forza della pressione di radiazione non può superare l attrazione gravitazionale, altrimenti il sistema si disgrega p rad σ T = Lσ T 4πR 2 c GMm p R 2 limite indipendente da R luminosità di Eddington σ T = 8π 3 ( e 2 mc 2 ) nota: la sez d urto Thomson è 2 maggiore per gli elettroni, la forza gravitazionale è maggiore Fgrav Frad per i protoni, i due sono legati P + e- dal campo elettrico L L Edd = 4πGm pc M = M erg/s σ T M per il Sole: L L Edd per le stelle note: L<L Edd lo stesso limite si applica ad ogni sorgente stabile ed isotropa ad esempio, per i Quasar: L Edd = M 8 erg/s

13 evoluzione in sequenza principale le stelle rimangono in sequenza principale finché bruciano idrogeno nel centro, circa nella stessa posizione per un tempo più o meno lungo, a seconda della massa τ = η c 2 M L nelle stelle di piccola massa, fino a circa 1.5 masse solari, la produzione di energia nucleare avviene attraverso la catena p-p. questo favorisce condizioni in cui nel nucleo della stella il trasporto dell energia è radiativo mentre l inviluppo è convettivo M L M 4 M 2 viceversa, nelle stelle di massa maggiore di 1.5 masse solari le reazioni nucleari dominanti sono quelle del ciclo CNO. il nucleo risulta allora convettivo e l inviluppo radiativo ciclo CNO 12 C + p 13 N + γ 13 N 13 C + e + + ν 13 C + p 14 N + γ 14 N + p 15 O + γ 15 O 15 N + e + + ν 15 N + p 12 C + 4 He anche il ciclo CNO - come la catena p-p - trasforma 4p in 4 He. è possibile solo se è già presente del 12 C ed il ritmo dipende da T più fortemente che per p-p. il ciclo CNO prevale al di sopra di ~1.5 masse solari

14 evoluzione post sequenza quando la stella esaurisce l idrogeno nel nucleo l evoluzione accelera, si hanno forti variazioni di T c e si passa attraverso fasi evolutive violente. la luminosità aumenta fortemente non è più verificata la condizione t KH t stelle di piccola massa: passano per una fase di supergigante rossa in cui gli strati esterni sono meno legati, a causa della piccola accelerazione di gravità, così in parte vengono espulsi nella fase di nebulosa planetaria. resta un nucleo, caldo e degenere, di carbonio e ossigeno, cha va a formare una nana bianca. nebulosa planetaria ad anello NGC 6720 una nana bianca ha dimensioni paragonabili alla Terra e densità ~10 6 g/cm 3

15 stelle di grande massa: > ~8 M solari la stella brucia carbonio, poi neon, poi ossigeno, poi silicio. si forma una struttura a strati (o a cipolla) con un nucleo finale di ferro la traccia nel diagramma HR è circa orizzontale a zig-zag, alternando espansioni del nucleo e contrazioni dell inviluppo con fasi in cui avviene l opposto il nucleo di ferro non può piu`generare elementi più pesanti (non conviene), perciò si accumula e, quando supera circa 1.4 masse solari (massa limite di Chandrasekhar) collassa e la stella esplode come una supernova. al centro si forma una stella di neutroni, oppure un black hole se la massa del nucleo supera ~3 masse solari esplosione di una supernova nella galassia M51, 19 luglio 2005 le esplosioni di supernova immettono nel mezzo interstellare una gran quantità di elementi pesanti prodotti nelle reazioni nucleari. le stelle che si formano in seguito dal materiale arricchito sono così ricche di elementi pesanti (metalli)

16 resti di supernova: crab nebula Cas A in raggi X e in radio il nucleo collassa e forma una stella di neutroni

17 popolazioni stellari diagrammi HR di alcuni ammassi stellari: le stelle componenti hanno la stessa età e diverse masse, le stelle di grande massa hanno esaurito l idrogeno e si sono allontanate dalla sequenza principale. dalla posizione del punto di svolta è possibile determinare l età dell ammasso. si vede allora che gli ammassi globulari sono vecchi e fanno parte della cosiddetta popolazione II, che è distribuita nell alone galattico. le stelle del disco e gli ammassi aperti costituiscono la popolazione I, giovane la popolazione II ha composizione chimica primordiale, la popolazione I è arricchita in elementi pesanti perché formata da gas che contiene gli elementi prodotti nelle supernovae