Fondamenti di Astrofisica

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1 Fondamenti di Astrofisica Lezione 7 AA 2010/2011 Alessandro Marconi Dipartimento di Fisica e Astronomia

2 Equazioni della struttura stellare Le equazioni che descrivono la struttura stellare sono: dp (r) dr dm(r) dr = GM(r)ρ(r) r 2 =4πr 2 ρ(r) equilibrio idrostatico conservazione della massa dt (r) dr = F [L(r), ρ(r),t(r),k(r),r] trasporto radiativo (trasporto energia all interno della stella, k(r) è l opacità) dl(r) dr =4πr 2 ρ(r)ε(r) conservazione dell energia (ε(r) è l energia prodotta per unità di tempo e di volume) 2

3 Equazioni della struttura stellare Queste equazioni vanno risolte con le opportune condizioni al contorno M(r = 0) = 0 M(r = r )=M L(r = 0) = 0 L(r = r )=L P (r = r )=0 L dipende dalle altre proprietà della stella, questa si usa in alternativa a M a queste vanno poi aggiunte le equazioni che descrivono lo stato del gas, l opacità ed i meccanismi di produzione dell energia P = P [ρ(r),t(r), (X, Y, Z)] k = k[ρ(r),t(r), (X, Y, Z)] ε = ε[ρ(r),t(r), (X, Y, Z)] X = ρ H ρ ; Y = ρ He ρ ; Z = ρ Metalli ρ composizione chimica del gas (metalli, elementi più pesanti di He) 3

4 Equazioni della struttura stellare Ci sono 7 equazioni accoppiate per 7 incognite P (r), M(r), ρ(r), T(r), k(r), L(r), ε(r) con 4 condizioni al contorno per le 4 equazioni differenziali del primo ordine; se c è una soluzione, questa è unica. Adesso esploriamo meglio le equazioni della struttura stellare. Equazione di stato. Dobbiamo tener conto sia della pressione del gas ma anche della pressione di radiazione. Per il gas PV = nrt, si può trasformare in P gas = nrt V = N V R N A T = M mv R N A T = ρ m kt 4

5 Equazione di stato Riguardo alla pressione di radiazione, ricordiamo la definizione di intensità de ν = I ν cos θ da dt dω dν se invece dell energia passo al numero di fotoni dn ν (Ω) = de ν hν = I ν hν cos θ da dt dω dν ciascun fotone ha una quantità di moto (diretta lungo il raggio di propagazione) pari a q ν = hν c dq ν (Ω) =q ν dn ν (Ω) = de ν hν P rad (Ω) = df da = dq ν(ω) dt hν c = de ν c cos θ da normale P da ovvero la quantità di moto trasportata nella direzione Ω è la pressione di radiazione in P sulla superficie da e dovuta ai fotoni che si muovono nella direzione Ω è quindi θ = I ν cos 2 θ dνdω c dω 5

6 Equazione di stato per ottenere la pressione totale occorre integrare su frequenza e angolo solido (supponiamo Iν isotropa) P rad = 1 c 0 I ν dν 2π 0 dφ π 0 cos 2 θ sin θ dθ se il sistema è all equilibrio termodinamico locale (cioè posso definire T punto per punto) Iν = Bν 0 π F ν [BB]dν = 0 πb ν dν = σt 4 0 B ν dν = σt 4 π 0 cos 2 θ sin θ dθ = 2 3 P rad = 1 c σt 4 π 2π 2 3 = 1 3 4σ c T 4 = 1 3 at4 si noti come la pressione di radiazione corrisponde dimensionalmente ad una densità di energia. In effetti u = at 4 è proprio la densità di energia associata alla radiazione. 6

7 Equazione di stato - Opacità In conclusione, l equazione di stato è P = P gas + P rad = ρkt m at 4 Vediamo adesso cosa rappresenta l opacità. L interazione tra un fotone ed una particella (atomo, ione, elettrone) si può parametrizzare tramite la sezione d urto σ, parametro legato alla probabilità dell interazione (dimensionalmente è una superficie): se il fotone incide sulla superficie virtuale σ posta alla posizione della particella si ha l interazione (diffusione e/o assorbimento). σ dl ds ds Visto dal fotone Consideriamo un elemento di volume cilindrico attorno alla direzione di propagazione di un fotone. 7

8 Opacità La probabilità di interazione è data dal rapporto tra l area coperta dalla sezione d urto delle particelle e la superficie del volumetto su cui incide il fotone dp = σ dn ds dn = ndsdl dp = nσdl con dn numero particelle nel volumetto n densità di particelle nel volumetto la distanza tipica che il fotone percorrerà tra una interazione e l altra (cammino libero medio) si avrà per una probabilità p=1 ovvero l = 1 nσ = 1 ρk k = σ m opacità In generale se la materia stellare è composta da vari assorbitori e diffusori di densità ni e sezione d urto σi si avrà l = 1 i n = 1 iσ i ρk ρ = i n i m i k = i n iσ i i m in i = i (ρ i/m i ) σ i i ρ i 8

9 Opacità k è l opacità che compare nell equazione del trasporto radiativo. Il meccanismo più semplice di opacità è la diffusione della luce da parte di elettroni liberi (scattering Thomson) caratterizzata da e 2 2 = cm 2 σ T = 8π 3 m e c 2 σt è la sezione d urto Thomson; è la minima sezione d urto per l interazione tra materia e radiazione. Nell interno delle stelle il gas è completamente ionizzato, è costituito quasi di solo H, l interazione avviene con i soli elettroni (σt ~ 1/m 2 ) per cui n e n H = l = 1 n e σ T ρ m H ρ M 4/3πr 3 m H ρσ T 1.4 g cm g 1.4 g cm cm cm 2 si è usata la densità media del Sole ma se ρ è più grande, come al centro, l è ancora più piccolo. 9

10 Opacità In pratica i fotoni percorrono solo tratti molto piccoli prima di essere deviati. Lo spostamento vettoriale totale è D = l 1 + l l i + + l n li l3 la distanza percorsa è il modulo dello spostamento l1 l2 D 2 = l l l i l n 2 + ij li l j se considero una gran numero di processi di diffusione allora poiché gli spostamenti li hanno direzioni casuali nello spazio li l j =0 ij D 2 = i l i 2 = i l 2 = Nl 2 ovvero D = l N 10

11 Opacità Un fotone che viene prodotto al centro del Sole sarà diffuso N volte prima di uscire con N = r l cm = = cm Il fotone percorre un tratto pari a N l quindi il tempo necessario ad uscire dal Sole sarà τ = Nl c = l c r l 2 = r 2 lc = ( cm) 2 2 cm cm s s= yr 11

12 Relazioni di scala dal diagramma HR Siamo ora in grado di spiegare le relazioni di scala per le stelle che sono state trovate osservativamente L M 3 L T 8 e (per stelle con M >M ) (con Te temperatura superficiale) Determiniamo la quantità di energia immagazzinata nella stella sotto forma di radiazione. La pressione di radiazione è P rad T 4 E T 4 R 3 è dimensionalmente (ma anche realmente Prad = 1/3 u) una densità di energia per cui Il tempo impiegato a far uscire questa energia dalla stella è il tempo che i fotoni impiegano ad andare dal centro alla superficie della stella ovvero τ = R2 lc = R2 σ T ρ m H c τ σρr 2 12

13 Relazioni di scala dal diagramma HR ovvero L E τ T 4 R 3 σρr 2 T 4 R σρ una relazione analoga si sarebbe scritta partendo dall equazione del trasporto radiativo. σ è stato lasciato per far vedere il suo effetto. Considerandolo costante si ricava la relazione L-M per stelle tipo Sole o più massicce; considerando altri processi σ non è costante e si ricava la relazione per stelle meno massicce del Sole. Consideriamo il caso in cui sia costante. Applicando il teorema del viriale abbiamo trovato P GM 4πR 4 P M R 4 T GMm H 6k B R T M R 13

14 Relazioni di scala dal diagramma HR Combinando le relazioni per L, P e T otteniamo L R ρ T 4 R ρ M R 4 M 4 ρr 3 M 3 dato che ρr 3 M cioè la relazione osservata. La diversa pendenza per le stelle di bassa massa ( L~M 5 ) deriva da una dipendenza dell opacità da T, ovvero da un diverso processo di scattering che domina in quelle stelle. Vediamo adesso di capire perché L~Te 8 L M 3 per stelle con M>M L M 5 per stelle con M<M L T 8 e si riferisce a tutta la sequenza principale, per cui consideriamo una relazione L-M intermedia ovvero L M 4 per tutte le stelle 14

15 Relazioni di scala dal diagramma HR ricordiamo che L =4πR 2 σt 4 e T M R Te superficiale, T media della stella T 4 e L R 2 M 4 R 2 M 4 T 2 M 2 M 2 T 4 L 1/2 T 2 come vedremo più avanti l equilibrio delle stelle sulla sequenza principale è mantenuto dal bruciamento dell H nel nucleo che avviene a temperature ben definite. In pratica T~costante per tutte le stelle di sequenza principale, allora T 4 e L 1/2 ovvero L T 8 e 15

16 La produzione di energia nelle stelle La cosa che resta per finire di vedere la struttura stellare è capire il meccanismo di produzione dell energia all interno del Sole ovvero ε = ε[ρ(r),t(r), (X, Y, Z)] Supponiamo che la fonte di energia del Sole sia gravitazionale, ovvero che il Sole abbia irraggiato fino ad ora l energia liberata dalla sua contrazione. All inizio della contrazione del Sole (ovvero all infinito) adesso E( ) =E grav ( )+E th ( ) =0 E(R )=E grav (R )+E th (R ) dal teorema del Viriale E grav = 2E th ovvero E(R )=E grav (R )+E th (R )= E th (R ) <E( ) 16

17 La produzione di energia nelle stelle La diminuzione di energia è dovuta all energia irraggiata che è pertanto E = E( ) E(R )=E th (R )= 1 2 E grav(r )= 1 2 GM 2 R Per quanto tempo il Sole avrebbe potuto irraggiare energia gravitazionale mantenendo una luminosità L? Questo tempo scala è il cosiddetto tempo di Kelvin-Helmholtz dato da τ KH = E L = 1 2 GM 2 L R = s= yr Ma dalla geologia sappiamo che la Terra è esistita da almeno 4 miliardi di anni e che durante questo tempo non ci sono stati variazioni significative di L. Evidentemente l energia irraggiata dal Sole non è di natura gravitazionale. Similmente si può dimostrare che l energia prodotta da reazioni chimiche (es. H+O H2O) non è sufficiente. 17

18 Energia di legame per particella nucleare (10-13 J) Le reazioni di fusione nucleare Meno strettamente legato Più strettamente legato H Fusione Li He N C O U 56 Fe Energia di legame dovuta alla forza nucleare forte. Numero di massa Fissione Una possibile fonte di energia per il Sole e le altre stelle sulla sequenza principale è la fusione di H in He. Questo processo è esoenergetico poiché l energia di legame di atomo di He è inferiore (più negativa) dell energia di legame totale dei singoli nuclei di H. La diminuzione dell energia di legame all aumento della massa nucleare avviene fino al 56 Fe, dopo l energia di legame cresce nuovamente.

19 La catena p-p La maggior parte dell energia prodotta dal Sole proviene da una catena di reazioni detta catena p-p. Il primo passo è p + p d + e + + ν e d nucleo di Deuterio, isotopo di H con p e n nel nucleo.. Il tempo scala perché questo processo avvenga è τ ~ yr ovvero se ho 2 protoni devo farli scontrare per ~10 10 anni prima che quella reazione avvenga. τ è così lungo perché è reazione che coinvolge le interazioni deboli come si vede dalla presenza del neutrino. L energia totale prodotta e distribuita tra le particelle risultanti è MeV. Appena la reazione avviene e + si annichila con e - rilasciando MeV in fotoni γ. Il neutrino invece ha una debolissima interazione con la materia (cammino libero medio R ) per cui scappa dal Sole portandosi via E~0.26 MeV. Entro ~1 s dalla reazione p+p un deuterone (nucleo deuterio) si fonde con un protone e p + d 3 He + γ con rilascio totale di energia E = 5.40 MeV (γ ed en. cinetica). 19

20 La catena p-p In fine dopo un tempo scala di circa ~ anni si ha 3 He + 3 He 4 He + p + p con un rilascio di energia cinetica pari a MeV. Ricapitolando, ogni volta che la reazione p+p avviene per due volte, 4 protoni sono convertiti in 4 He + 2 neutrini + fotoni + energia cinetica delle particelle. p + p d + e + + ν e τ yr e + + e 2γ τ 1s p + d 3 He + γ τ yr E =0.425 MeV E =2 m e c 2 = MeV} 2 E =5.49 MeV 3 He + 3 He 4 He + p + p E = MeV 20

21 La catena p-p Il risultato finale è 4p 4 He +2ν e + γ L energia prodotta è E =( ) MeV a cui dobbiamo sottrarre 2 x MeV che vengono dall annichilazione di 2 elettroni pre-esistenti ovvero E = MeV MeV = MeV = [m(4p) m( 4 He)]c 2 ovvero E è proprio pari alla differenza di energia di legame tra 4 He ed i 4 protoni liberi. Risulta anche E =0.007 m(4p)c 2 ovvero ò efficienza di produzione di energia (conversione materia in energia) è pari allo 0.7% della materia/energia a disposizione (massa dei 4 protoni) 21

22 Catena p-p Deuterio Protone Raggio γ ν Neutrino Neutrone Positrone

23 La catena p-p nel Sole Supponiamo adesso che il Sole effettui la reazione 4p 4 He riprocessando il 10% della sua massa. Per quanto tempo è in grado di sostenere un emissione con luminosità L? E nuc = M c 2 ovvero τ nuc = E nuc L = M c 2 L = s yr cioè il Sole riprocessando appena il 10% della sua massa è in grado di emettere Lo per 10 miliardi di anni ovvero la catena pp è in grado di alimentare l emissione del Sole e delle stelle. 23

24 Le reazioni di fusione nucleare Quali sono le condizioni perché avvengano le reazioni di fusione nucleare? Consideriamo due nuclei di numero atomico ZA e ZB (numero di protoni). I due nuclei si respingono a causa dell interazione Coulombiana con una energia di barriera E Coul = Z AZ B e 2 r ovvero per portare i due nuclei a distanza r devo avere un energia cinetica Ekin > ECoul. Perché la reazione nucleare avvenga i due protoni devono giungere a distanze dell ordine di r cm r0 è il raggio d azione della forza nucleare forte (quella che tiene insieme protoni e neutroni nei nuclei atomici) e che per r > r0 è praticamente nulla; E kin >E Coul (r 0 ) Z A Z B MeV 24

25 Le reazioni di fusione nucleare L energia tipica dei protoni nei nuclei delle stelle è E th 3 kt 1 kev 2 con T ~ 10 7 kev dalla stima effettuata col teorema del viriale. Apparentemente questa è troppo piccola in quanto la distanza minima a cui i protoni potrebbero giungere è dell ordine di tunnel interazione Coulombiana interazione nucleare forte r 1 Z AZ B e 2 E th Z AZ B e 2 1 kev = Z AZ B e (1 MeV) = 103 Z AZ B e 2 Er r 0 Se l interazione fosse governata solo dalla meccanica classica i protoni al centro delle stelle non potrebbero fondere. 25

26 Le reazioni di fusione nucleare In realtà avviene un fenomeno prettamente quantistico noto come effetto tunnel (vedi corso di Meccanica Quantistica al 3 o anno). In pratica, grazie al principio di indeterminazione di Heisemberg è possibile violare la conservazione di energia di ΔE per un tempo Δt a patto che E t 2 pertanto esiste una probabilità non nulla che i protoni giungendo ad una distanza r~r1 possano superare la barriera Coulombiana e passare a r~r0. Dalla meccanica quantistica si trova che questa probabilità è g(e) e E G /E E energia cinetica del protone, EG energia di Gamow, g(e) fattore di Gamow con EG 500 kev per cui con E~1 kev si ha g(e) e piccolissima, ma NON zero, per cui le reazioni possono avvenire dato anche il grande numero di protoni e collisioni che avvengono nel nucleo delle stelle. 26

27 Reazioni di fusione: termostati Tenendo conto delle sezioni d urto (probabilità) delle varie reazioni nucleari nella catena p-p si può ricavare l emissività ε (energia prodotta per unità di volume e di tempo). Si trova che le reazioni nucleari avvengono principalmente nel nucleo delle stelle (core) dove le temperature sono a quelle temperature ε(t ) T 4 T kev cioè dipende fortemente da T. Per reazioni nucleari con elementi più pesanti la dipendenza da T è ancora maggiore. Questo comporta che la produzione di energia per fusione nucleare agisce come termostato per tutta la struttura stellare. Supponiamo che T cresca aumenta produzione energia; dato il tempo necessario ai fotoni per uscire, inizialmente ETOT aumenta; E TOT = 1 2 E grav = E th quindi per mantenere l equilibrio della struttura, Egrav deve aumentare ovvero la stella si deve espandere. 27

28 Reazioni di fusione: termostati Ma se la stella si espande, Eth deve diminuire, ovvero la stella si raffredda. Se la stella si raffredda a seguito dell espansione, T diminuisce nuovamente, Eth diminuisce e la stella deve contrarsi, aumentando nuovamente la sua temperatura. Analogamente accadrebbe se si partisse da una diminuzione di T. In ogni caso la produzione di energia dalla relazioni nucleari tende a mantenere costante la temperatura della struttura stellare. In seguito a questo effetto di termostato le stelle sulla MS che bruciano H devono avere temperature simili, ovvero T M R ; T cost. M R 28

29 Il problema dei neutrini solari Una predizione chiave del modello riguarda i neutrini. Per ogni ciclo 4p 4 He si ha la produzione di 26.2 MeV di energia e l emissione di 2 neutrini (elettronici νe) che escono senza interazioni dal Sole. Il flusso di neutrini atteso a Terra è pertanto f νe =2 f 26.2 MeV =2 L /4πd MeV = s 1 cm 2 questi attraversano la Terra senza alcuna interazione. Esperimenti sui neutrini solari sono stati condotti fin dagli anni 60 ma i neutrini rivelati erano circa ~1/3 di quelli predetti dal modello. Oltre ai neutrini elettronici esistono anche i neutrini muonici (νµ ) e tauonici (ντ), non rivelati negli esperimenti di ricerca. Con l esperimento di Superkamiokande in Giappone (2001), si sono cercati i neutrini elettronici prodotti dalle centrali nucleari giapponesi (numero ben noto perchè sono noti i processi che li producono) e se ne sono trovati numero inferiore alle attese: i neutrini oscillano tra i vari stati νe νµ ντ e questo spiega perfettamente il problema dei neutrini solari mancanti. Questa è la prova che il Sole è alimentato dalla catena p-p. 29

30 Il ciclo CNO Nelle stelle più massicce del Sole (M > 1.2 M ) la produzione di energia segue una sequenza di reazioni diversa detta ciclo CNO che ha sempre come risultato 4p 4 He. In questo ciclo, C, N ed O presenti in tracce fungono da catalizzatori del processo di bruciamento H He, senza che ulteriori C, N e O vengano sintetizzati. La reazione più lenta è la prima (p+ 12 C) che ha bisogno di T~10 7 K ma la sua velocità è fortemente dipendente da T tanto che ε CNO (T ) T 20 log ε T 20 ε CNO ricordiamo che ε pp (T ) T 4 anche se T~cost., l aumento di M determina piccoli aumenti di T da ~10 7 a oltre K con conseguente dominio il ciclo CNO oltre 1.2 M. T 4 ε pp K log T 30

31 Il ciclo CNO Isotopi di N e O instabili, decadono in pochi minuti.

32 Il trasporto dell energia La produzione di energia nucleare avviene nel nucleo della stella e l energia prodotta deve essere trasportata verso l esterno. In genere il trasporto dell energia avviene attraverso i fotoni (vedi lezione su opacità) ovvero si ha un trasporto radiativo. In certe condizioni si instaura la convezione e si passa al trasporto convettivo, ovvero il plasma caldo fluisce dalle regioni interne alle regioni esterne, e quello freddo viceversa (vedi corso Termodinamica). Si può facilmente dimostrare (vedi libro) che questo avviene quando dt (r) dr > γ 1 γ T P dp (r) dr in tal caso, questa diventa proprio l equazione del trasporto radiativo Per M > 1.2 M la produzione di energia è col ciclo CNO, il nucleo è convettivo ed il mantello radiativo. Per M < 1.2 M la produzione di energia è col ciclo pp, il nucleo è radiativo ed il mantello convettivo. Al diminuire della massa il nucleo convettivo cresce in dimensioni fino ad interessare tutta la stella per M < 0.5 M 32

33 Il trasporto dell energia Zon interna convettiva, zona esterna radiativa Zona interna radiativa, zona esterna convettiva Interamente convettiva Dominate dal ciclo CNO Dominate dalla catena p-p 33