FAM A+B C. Considera la disintegrazione di una particella A in due particelle B e C: A B +C.

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1 Serie 19: Relatività VIII FAM C. Ferrari Esercizio 1 Collisione completamente anelastica Considera la collisione frontale di due particelle A e B di massa M A = M B = M e v A = v B = 3/5c, tale che alla fine si ottiene C: 1. Determina M C in funzione di M. A+B C. 2. Determina E cin e Mc 2 in funzione di M. Concludi (la perdita di energia cinetica dove è andata?). Esercizio 2 Disintegrazione Considera la disintegrazione di una particella A in due particelle B e C: A B +C. La massa di A vale M A e si ha v A = 0,8c rispetto al sistema di riferimento del laboratorio R; inoltre M B = M C = M. Determina la velocità della particella emessa relativamente ad R. Risolvi il problema utilizzando dapprima il sistema di riferimento del centro di massa. Esercizio 3 Disintegrazione di un pione Considera la disintegrazione di un pione fermo in R (=laboratorio): π + µ + +ν µ 1. Determina la velocità del muone µ emesso relativamente ad R, in funzione delle masse M µ e M π. 2. Applicazione numerica: M π = 139,57MeV/c 2 e M µ = 105,66MeV/c 2, il neutrino muonico ν µ ha M ν = 0. 1

2 Esercizio 4 Effetto Compton Un elettrone è inizialmente fermo rispetto ad un sistema di riferimento inerziale R. Un fotone di energia E i si dirige verso di lui seguendo l asse x 1 di R. Dopo la collisione il fotone parte in una direzione che forma un angolo θ con l asse x 1 e la sua energia è diventata E f. L elettrone invece parte con una quantità di moto p che forma un angolo φ con l asse x Disegna la situazione prima e dopo la collisione. 2. Dimostra che E f = E i 1+ E i M e c 2 (1 cosθ). 3. L energia del fotone diminuisce o aumenta? Dove va a finire la differenza di energia? Esercizio 5 Collisione elastica di due protoni Considera la collisione elastica di un protone con un protone fermo rispetto al sistema di riferimento R: p+p p+p. Supponi che i due protoni dopo la collisione hanno delle traiettorie simmetriche rispetto alla direzione del protone incidente con stessa velocità. 1. Disegna la situazione prima e dopo la collisione. 2. Dimostra che l angolo tra le direzioni di propagazione dei due protoni dopo l urto è dato dalla relazione: cosθ = E cin p, incidente 4M p c 2 +E cin p, incidente 3. Studia i casi limite: limite non relativistico (v c), limite ultra relativistico v c, con v la velocità del protone incidente rispetto ad R. Esprimi la condizione su questi limiti in termini del rapporto E cin /Mc Applicazione numerica: protone di energia cinetica E cin = 5MeV, protone di energia cinetica E cin = 3MeV, protone di energia cinetica E cin = 28MeV (come accade negli anelli dell acceleratore di particelle al CERN). A che limiti corrispondono? 5. Commenta le due figure qui di seguito che rappresentano la traccia lasciata dai protoni nella collisione elastica.. 2

3 Figura 1: Collisione elastica p +p p+p con protone incidente (da sinistra) di energia 5 MeV. Figura 2: Collisione elastica p +p p+p con protone incidente (da sinistra) di energia 3 MeV. Esercizio 6 Soglia di reazione per la produzione di particelle Quando nella collisione di due particelle A e B vengono create delle particelle C, D,... si parla di produzione di particelle. Lo stesso vale se una particella A decade in altre particelle B, C,... Negli acceleratori di particelle, come per esempio al CERN, si scoprono nuove particelle facendo scontrare frontalmente due particelle. 3

4 Vi sono due modalità: bersaglio fisso (BF): A viene accelerato e collide su B immobile. collisione frontale (CF): A e B sono accelerati e collidono frontalmente. Si introduce il parametro S che rappresenta l energia disponibile nel centro di massa affiché una reazione possa avvenire. Conosciuto S è possibile determinare l energia minima delle particelle prima della collisione, chiamato soglia di reazione. Nel sistema di riferimento del centro di massa R CM si ha p tot = 0 e quindi S è la somma delle energia di riposo delle particelle create nella collisione. Sibombardaunprotonepconunpioneπ ;leparticelleprodottenellacollisionesono un mesone K 0 e una particella Λ se l energia del pione è sufficientemente grande: p+π K 0 +Λ. 1. Determina l energia minima pe pione e la sua energia cinetica minima affiché vi sia produzione delle particelle K 0 e Λ. 2. Applicazione numerica: M π = 139,57MeV/c 2, M p = 938,28MeV/c 2, M K = 497,72MeV/c 2, M Λ = 1115,60MeV/c Quanto vale la velocità minima del pione rispetto al sistema di riferimento del laboratorio? 4. Scrivi una formula generale per l energia minima della particella mobile in una collisione nella modalità bersaglio fisso: A+B C +D. Esercizio 7 Soglia di reazione per la produzione di coppie e e + La produzione di coppie elettrone positrone a partire da un fotone γ e +e + è possibile in determinate condizioni, in particolare è necessaria la presenza di almeno un nucleo affiché sia garantita la conservazione della quantità di moto. Il positrone e + è l antiparticella (=antimateria) dell elettrone e ; elettrone e positrone hanno caratteristiche molto simili (in particolare M e = M e +), ma carica elettrica opposta. 1. Perché devono essere prodotte due particelle di carica elettrica opposta? Su che principio di conservazione puoi giustificare la tua risposta? 2. Supponendo trascurando la variazione di energia del nucleo, determina l energia minima del fotone affiché è possibile avere creazione di una coppia elettrone positrone. 4

5 Figura 3: Un fotone da luogo alla produzione di una coppia elettrone positrone: γ e +e +, in una camera a bolle contenente idrogeno e sottomessa ad un campo magnetico. Esercizio 8 Confronto collisione in BF e in CF 1. Determina l energia disponibile S per la collisione di due particelle di stessa massa M nella modalità bersaglio fisso (BF) e nella modalità collisione frontale (CF) in cui i due fasci hanno stessa energia E. 2. Esprimi la quantità di moto delle particelle da accelerare in funzione di S nelle due modalità. 3. Per un valore fissato di S, che rapporto c è tra la quantità di moto richiesta nella modalità BF e nella modalità CF? Quando è meglio utilizzare la modalità CF? 4. Nell acceleratore SPS (=SuperProtonSynchrotron) del CERN circolano dei protoni e degli antiprotoni di quantità di moto p = 315 GeV/c. Determina il parametro S per questo acceleratore che funziona nella modalità CF. Quanto dovrebbe essere p nella modalità BF per ottenere lo stesso valore di S? 5. Le masse di alcune particelle subatomiche sono particolarmente elevate, per esempiolaparticellaυ(upsilon)haunamassadi9460mev/c 2,ossiacirca1000 volte maggiore della massa del protone. Secondo te perché è stata scoperta più tardi (1977)? 5

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