sulla massa invariante Consideriamo i due processi per la produzione di antiprotoni

Transcript

1 sulla massa invariante Consideriamo i due processi per la produzione di antiprotoni e + + e p + p, (1) p + p p + p + p + p. (2) Per entrambi si calcoli l energia cinetica di soglia del processo sia nel sistema di centro di massa (realizzato in acceleratori a fasci incrociati), sia nel sistema di laboratorio in cui una delle particelle nello stato iniziale risulta a riposo (fascio di particelle su targhetta fissa). Se l urto di due particelle, ognuna di massa M è osservato da un sistema di riferimento in cui l urto è centrale con quantità di moto uguale ed opposta, diciamo che siamo nel sistema di centro di massa. L energia totale sia E cm. Mostriamo che: s = (p A + p B ) µ (p A + p B ) µ = (p A + p B ) 2 = E 2 cm dove s è invariante per trasformazioni di Lorentz. Nel CM: p A = (E A, cp) = ( c 2 p 2 + M 2 c 4, cp), p B = (E B, cp) = ( c 2 p 2 + M 2 c 4, cp). Nel LAB: p A = (E A, cp A ) = (E, E 2 M 2 c 4 ), p B = (E B, cp B ) = (Mc 2, 0). s = (p A + p B ) cm = (E A + E B ) 2 c 2 (p A + p B ) = (E A + E B ) 2 Ecm 2, s = (p A + p B ) LAB = (E + Mc 2 ) 2 ( E M 2 c 4 ) 2 = = E 2 + 2EMc 2 + M 2 c 4 E 2 + M 2 c 4 = 2Mc 2 (E + Mc 2 ). L invarianza di s implica Ecm 2 = 2Mc 2 (E + Mc 2 ) 1

2 ovvero E = E2 cm 2Mc 2 Mc2. (3) Gli acceleratori a fasci incrociati hanno dunque un enorme vantaggio rispetto a quelli a targhetta fissa (dal punto di vista energetico), raggiungendo un energia totale nel centro di massa E cm = s (quali i vantaggi degli acceleratori a targhetta fissa?). Applichiamo ora quel che abbiamo imparato alle due reazioni (1),(2). Reazione (1) nel centro di massa. La sogia è fissata da: E cm 2M p c 2. Siccome E cm = 2E = 2(T e + m e c 2 ) 2M p c 2 le energie cinetiche di soglia dei due leptoni devono essere tali che : T e + m e c 2 = E cm /2 M p c 2 ovvero T e + T e + 2 (M p c 2 m e c 2 ) MeV. Nel caso del laboratorio e supponenndo e a riposo, si ha dalla (3) ovvero E e + = T e + + m e c 2 (2M pc 2 ) 2 2m e c 2 m e c 2, T e + (2M pc 2 ) 2 2m e c 2 2m e c MeV. Reazione (2) nel centro di massa. La sogia è fissata da: E cm 4M p c 2. Quindi T p + T p (4M p c 2 2M p c 2 ) MeV. Nel caso del laboratorio e supponenndo un protone a riposo, si ha dalla (3) ovvero E p = T p + M p c 2 (4M pc 2 ) 2 2M p c 2 M p c 2, T p 6M p c MeV. 2

3 sulle variabili di Mandelstam Per un processo di diffusione della forma A B C D ci si aspettano due variabili cinematiche indipendenti quali, ad esempio, l energia incidente e l angolo di diffusione. È però possibile (ed anche auspicabile) esprimere le quantità rilevanti per la sezione d urto come funzioni di variabili che siano invarianti per trasformazioni di Lorentz. Avendo a disposizione i momenti delle quattro particelle, si potrebbero utilizzare, come possibili variabili, i prodotti scalari (invarianti) p A p B, p A p C e p A p D. Dato che p 2 A = (m A c 2 ) 2, p 2 B = (m B c 2 ) 2 etc... e p A + p B = p C + p D per la conservazione dell energia e della quantità di moto, solo due delle tre variabili sono indipendenti. Invece dei prodotti scalari è comune usare delle variabili (di Mandelstam) collegate: Dimostrare che Si noti che s = (p A + p B ) 2, t = (p A p C ) 2, u = (p A p D ) 2. s + t + u = (m A c 2 ) 2 + (m B c 2 ) 2 + (m C c 2 ) 2 + (m D c 2 ) 2 (p A + p B ) 2 = p 2 A + p 2 B + 2 p A p B = (m A c 2 ) 2 + (m 2 Bc 2 ) p A p B (p A p C ) 2 = p 2 A + p 2 C 2 p A p C = (m A c 2 ) 2 + (m 2 Cc 2 ) 2 2 p A p C (p A p D ) 2 = p 2 A + p 2 D 2 p A p D = (m A c 2 ) 2 + (m 2 Dc 2 ) 2 2 p A p D ; sommando le tre espressioni si ottiene s + t + u = 3 (m A c 2 ) 2 + (m B c 2 ) 2 + (m C c 2 ) 2 + (m D c 2 ) 2 2p A (p C + p D ) + 2 p A p B = = 3 (m A c 2 ) 2 + (m B c 2 ) 2 + (m C c 2 ) 2 + (m D c 2 ) 2 2p A (p A + p B ) + 2 p A p B = = 3 (m A c 2 ) 2 + (m B c 2 ) 2 + (m C c 2 ) 2 + (m D c 2 ) 2 2p 2 A 2 p A p B + 2 p A p B = = 3 (m A c 2 ) 2 + (m B c 2 ) 2 + (m C c 2 ) 2 + (m D c 2 ) 2 2 (m A c 2 ) 2 = = (m A c 2 ) 2 + (m B c 2 ) 2 + (m C c 2 ) 2 + (m D c 2 ) 2. Prendendo come esempio il processo e e + e e + 3

4 come canale s, si utilizzi il sistema di centro di massa per calcolare le variabili di Mandelstam (che risultano in ogni caso invarianti di Lorentz). La quantità di moto dell elettrone incidente sia k i e quella dell elettrone uscente sia k f (i moduli saranno uguali e potremmo scrivere k i = k f = k e k i k f = k 2 cos θ, dove θ è l angolo di diffusione nel sistema di centro di massa). Si verifichi che valgono le relazioni: s = 4 (k 2 c 2 + m 2 ec 4 ), t = 2k 2 c 2 (1 cos θ), u = 2k 2 c 2 (1 + cos θ). e si studi l intervallo di validità delle precedenti variabili. Si ricorda innanzitutto che le due particelle hanno massa uguale m e Kg, ovvero energia a riposo m e c MeV. Inoltre nel centro di massa le quantità di moto entranti ed uscenti sono nulle. Si ha perciò p A = (E A, cp A ) = ( k 2 i c 2 + m 2 ec 4, ck i ), p B = (E B, cp B ) = ( k 2 i c 2 + m 2 ec 4, ck i ), p C = (E C, cp C ) = ( k 2 f c2 + m 2 ec 4, ck f ), p D = (E D, cp D ) = ( k 2 f c2 + m 2 ec 4, ck f ). Calcoliamo le variabili di Mandelstam Inoltre s = (p A + p B ) 2 = p 2 A + p 2 B + 2 p A p B = = 2 m 2 ec [E A E B p A p B ] = [ ( ) ] 2 = 2 m 2 ec k 2 i c 2 + m 2 ec 4 (cki ) ( ck i ) = = 2 m 2 ec [2 k 2 i c 2 + m 2 ec 4 ] = = 4 (k 2 c 2 + m 2 ec 4 ). 4

5 t = (p A p C ) 2 = p 2 A + p 2 C 2 p A p C = Infine = 2 m 2 ec 4 2 [E A E C p A p C ] = = 2 m 2 ec 4 2 [k 2i c 2 + m 2ec ] 4 k 2 f c2 + m 2 ec 4 (ck i ) (ck f ) = = 2 m 2 ec 4 2 [k 2 c 2 + m 2 ec 4 k 2 c 2 cos θ] = = 2 k 2 c 2 [1 cos θ]. u = (p A p D ) 2 = p 2 A + p 2 D 2 p A p D = = 2 m 2 ec 4 2 [E A E D p A p D ] = = 2 m 2 ec 4 2 [k 2i c 2 + m 2ec ] 4 k 2 f c2 + m 2 ec 4 (ck i ) ( ck f ) = = 2 m 2 ec 4 2 [k 2 c 2 + m 2 ec 4 + k 2 c 2 cos θ] = = 2 k 2 c 2 [1 + cos θ]. Evidentemente l intervallo di validità delle variabili di Mandelstam per il processo precedente risulta (essendo k 0 e 0 θ π) s 4 m 2 ec 4, t 0, u 0. 5