Spettro di corpo nero, temperatura di brillanza e temperatura di antenna

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Iolanda Colombo
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1 Spettro di corpo nero, temperatura di brillanza e temperatura di antenna Aniello Mennella Università degli Studi di Milano Dipartimento di Fisica

2 Cosa trattiamo oggi Lo spettro di corpo nero Perché il fondo cosmico ha uno spettro di corpo nero? L'evoluzione dello spettro del fondo cosmico di microonde con l'espansione dell'universo La temperatura di brillanza. Definizione e suo utilizzo come misura di intensità La temperatura di antenna. Differenza e conversione fra temperatura termodinamica e temperatura di antenna

3 La radiazione di corpo nero (definizione) Un corpo nero è un oggetto che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente (e quindi non ne riflette). Per la conservazione dell'energia, tutta la radiazione assorbita viene re-irradiata con uno spettro che dipende dalla temperatura assoluta del corpo ed è indipendente dalle caratteristiche della radiazione assorbita. Qualunque corpo a temperatura T è sorgente di radiazione elettromagnetica dovuta al moto degli atomi che lo compongono. Se T è costante (equilibrio termodinamico) allora lo spettro della radiazione è di corpo nero.

4 La radiazione di corpo nero La potenza per unità di superficie, unità di banda ed unità di angolo solido (ovvero la brillanza) di un corpo nero è data da: B( ) = 2hc2 5 (formula e unità) exp µ hc kt 1 1 Le unità di misura sono, ovviamente, W Hz 1 m 2 sr 1 Per convertire B(λ) in B(ν) non basta semplicemente sostituire ν = c / λ nell'equazione. Dobbiamo invece uguagliare la potenza emessa in un intervallo di lunghezze d'onda [λ, λ+δλ] con la potenza emessa in un intervallo di frequenze [ν, ν+δν]

5 La radiazione di corpo nero (rappresentazione in frequenza e lunghezza d'onda) B( )d = B(º)dº Sostituendo º = c= e dº = (c= 2)d si ottiene B(º) = 2hº3 c 2 exp µ hº kt 1 1 Lo spettro della radiazione di corpo nero è parametrizzato unicamente in funzione della temperatura.

6 La radiazione di corpo nero

7 La radiazione di corpo nero (approssimazioni) A bassa frequenza, se h << KT, si ha che: e x» 1 + x (dove x = hº=(kt )) Da qui l'approssimazione di Rayleigh-Jeans della brillanza di un corpo nero: B(º)» 2kº2 T c 2 hº kt

8 La radiazione di corpo nero (approssimazioni) Ad alta frequenza, se hν >> KT, si ha che: e x + 1» e x (dove x = hº=(kt )) Da qui l'approssimazione di Wien della brillanza di un corpo nero: B(º)» 2hº3 c 2 exp µ hº kt hº À kt

9 La radiazione di corpo nero (approssimazioni) Approssimazione di Rayleigh-Jeans Approssimazione di Wien Valida al di sotto dei 5 GHz T = 2:73K Valida oltre i 200 GHz

10 La radiazione di corpo nero (il massimo) Scriviamo lo spettro di corpo nero con x = hº=(kt ) B(x) = 2(kT )3 x 3 (hc) 2 (e x 1) 1 = Cx 3 (e x 1) 1 Calcoliamo ora la derivata di B(x) e poniamola a zero per trovare il massimo db(x) dx = 3Cx 2 (e x 1) 1 Cx 3 e x (e x 1) 2 = = Cx 2 (e x 1) 1 3 xe x (e x 1) 1

11 La radiazione di corpo nero (il massimo) Ponendo la derivata a zero si ha: xe x (e x 1) = 3 x» 2:82 º(Hz)» 5: T

12 L'energia totale Se integriamo lo spettro di corpo nero su tutto l'intervallo di frequenze otteniamo B 0 = 2h c 2 µ kt h 4 Z 1 0 x 3 4 e x dx = ¾T 1 ¼ 4 =15 σ è la costante di Stefan Boltzmann data da 1.80 x 10-8 W m -2 K -4.

13 Spettro del fondo cosmico (perché è un corpo nero) Nei primissimi istanti (< 1 min) dopo il Big Bang un fondo di fotoni viene a formarsi a causa dell'annichilazione di particelle di elettroni e positroni. Il rapporto fotoni / barioni è dell'ordine di per cui il plasma primordiale, fortemente interagente con i fotoni, è all'equilibrio termodinamico. Da qui la distribuzione di corpo nero della radiazione. Si può dimostrare che le interazioni fra fotoni e materia nel plasma primordiale non alterano la distribuzione dei fotoni Cosa accade dopo il disaccoppiamento? Come mai i fotoni mantengono inalterata la loro distribuzione in frequenza?

14 Spettro del fondo cosmico (durante l'espansione) Dalle equazioni di Einstein che descrivono l'espansione dell'universo si può ricavare l'andamento del fattore di scala a(t) con il redshift z a(t) = R(t)=R 0 = (1 + z) 1 dove R indica una scala di lunghezza presa come riferimento. Se prendiamo come scala di riferimento la lunghezza d'onda (che risente dell'espansione dell'universo) possiamo anche scrivere: (t)= 0 = (1 + z) 1

15 Spettro del fondo cosmico (durante l'espansione) La densità di energia del fondo cosmico è proporzionale al numero di fotoni per unità di volume (che va come a 3 ) e alla lunghezza d'onda (che va come a). Ne segue che la densità di energia con l'espansione va come a 4, ovvero: ½ (t) / (1 + z) 4 D'altra parte la densità di energia è anche proporzionale a T 4 (legge di Stefan-Boltzmann) per cui si ha che la temperatura del fondo cosmico durante l'espansione varia come: T CMB / (1 + z)

16 Spettro del fondo cosmico (durante l'espansione) Ora la forma di corpo nero dello spettro della CMB è dato dal termine esponenziale (e x 1) 1 Se calcoliamo l'argomento della funzione esponenziale a due tempi diversi durante l'espansione si ha che: hc 1kT 1 ; hc 2kT 2 Poiché il prodotto λ T è una costante (sia l va come 1/(1+z) mentre T va come (1+z)) si ha che la forma dello spettro rimane invariata e rimane di corpo nero durante l'espansione

17 Temperatura di brillanza (definizione) Consideriamo un emettitore di brillanza superficiale B e definiamo la seguente quantità che chiamiamo temperatura di brillanza T B = c2 2kº 2 B º Se l'emettitore è un corpo nero e la frequenza è abbastanza bassa (h << kt) allora la temperatura di brillanza corrisponde alla temperatura fisica dell'oggetto ed è indipendente dalla frequenza Se l'emettitore è un corpo nero e la frequenza è elevata allora la temperatura di brillanza dipende dalla frequenza Anche nei casi in cui l'emettitore non sia un corpo nero si ha che la temperatura di brillanza dipende dalla frequenza.

18 Temperatura di brillanza (relazione con temperatura termodinamica) Nel caso generale si ha che: T B = x c2 2kº 2 B º = c2 2hº 3 2kº 2 = hº kt T e x 1 c 2 (ex 1) 1 = In sostanza la relazione fra temperatura di brillanza e temperatura termodinamica nel caso generale è: T B = x e x 1 T

19 Temperatura di antenna Consideriamo un ricevitore accoppiato con un'antenna che osserva una sorgente di corpo nero ad una temperatura T Definiamo la temperatura di antenna, T A la convoluzione della temperatura di brillanza con il pattern di antenna, ovvero: T A = R Vediamo ora come la temperatura di antenna sia legata alla potenza ricevuta dal ricevitore. La potenza W ricevuta è data dalla convoluzione della brillanza con il pattern di antenna W = (1=2)A e Z T B(µ; Á)P n (µ; Á)d R P n(µ; Á)d º Z B º (µ; Á)P n (µ; Á)d dº Il termine ½ dipende dal fatto che i ricevitori a microonde sono sensibili ad una polarizzazione

20 Temperatura di antenna Poiché la brillanza superficiale può essere scritta in funzione della temperatura di brillanza come: Si ha che la potenza ricevuta, W, è data da: W = kº2 A e c 2 Z º Z B = 2kº2 c 2 Poiché A e a = 2 (lo dimostreremo in un'altra lezione) abbiamo che la potenza ricevuta è data da T B T B (µ; Á)P n (µ; Á)d dº ' kt A 2 A e a º W = k ºT A

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