Fondamenti di Trasporto Radiativo

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1 Fondamenti di Trasporto Radiativo

2 Luminosità e Flusso della radiazione Sorgente astrofisica che emette energia de in tempo dt. La luminosità è la quantità di energia irraggiata nell unità di tempo: L = de dt la luminosità, e non l energia irraggiata, è la quantità che meglio caratterizza una sorgente astrofisica. Dato un elemento di superficie da, attraversato da una quantità di energia de nel tempo dt posso definire il flusso della radiazione come F = de dadt [ergs 1, oppure L ] ovviamente bisogna considerare con segno opposto la radiazione che entra o esce dalla superficie. Il modulo del vettore di Poynting è pari al flusso di radiazione e.m. attraverso una superficie perpendicolare alla direzione di propagazione ~S = c E 4 ~ B ~ [ergs 1 cm 2 ] da 2

3 Relazione flusso - luminosità Sorgente puntiforme che emette radiazione in modo isotropo (es. una stella); è sorgente di onde sferiche, con luminosità L. Nel tempo Δt irraggia energia ΔE = L Δt. Dopo un certo tempo, questa energia attraversa una superficie sferica di raggio r centrata sulla sorgente, per cui il flusso attraverso quella superficie è r F (r) = E 4 r 2 t = L 4 r 2 questa relazione è valida per ogni r, per la conservazione dell energia (ovvero se non ci sono processi di emissione o assorbimento della radiazione oltre a quelli nella sorgente). F dipende dall inverso del quadrato della distanza dalla sorgente. 3

4 Luminosità e flusso specifici L e F così definite sono quantità bolometriche ovvero integrate su tutto lo spettro e.m. E utile considerare le quantità specifiche, ovvero per unità di banda di frequenza (o lunghezza d onda): L = F = de dt d de da dt d [ergs 1 Hz 1 ] [ergcm 2 s 1 Hz 1 ] L = F = Z +1 0 Z +1 0 L d F d ovviamente risulta F (r) = L 4 r 2 Ricordiamo che il flusso monocromatico è legato allo spettro del campo elettrico F! = c Ê(!, ) 2 Ê(!, ) = 1 2 Z /2 /2! =2 E(t)e i!t dt 4

5 Luminosità e flusso specifici Relazioni analoghe valgono per unità di banda di lunghezza d onda ovvero L = de dt d F = de da dt d L d F d = L d = F d dove le relazioni con le quantità per unità di banda di frequenza si ottengono banalmente dalla conservazione dell energia. Ad esempio nel caso del flusso si ha F = F d d = F (c/ ) c 2 F = F dato che d d = c 2 = 5

6 Intensità (brillanza) della radiazione Il flusso è una misura dell energia trasportata da tutti i raggi che attraversano la superficie da indipendentemente dalla direzione da cui provengono. Come si caratterizza l energia trasportata lungo un raggio ovvero lungo una direzione definita? Consideriamo tutti i raggi che attraversano da attorno alla normale alla superficie. L intensità specifica o brillanza è l'energia per unità di tempo, superficie, angolo solido e banda di frequenza, ovvero I,perp = de da dt d [ergcm 2 s 1 Hz 1 sterad 1 ] [ergcm 2 s 1 Hz 1 arcsec 2 ] d raggio normale da dω dove perp ricorda che si considera solo la radiazione lungo la perpendicolare alla superficie. 6

7 Intensità (brillanza) della radiazione In generale se da non è perpendicolare alla direzione di propagazione la definizione di intensità si generalizza come I = de cos da dt d d dove θ è l angolo tra la direzione di propagazione e la normale alla superficie. Questa definizione si spiega col voler considerare la superficie vista dalla radiazione nella sua propagazione. normale θ dω cosθ da è proprio la superficie proiettata perpendicolarmente alla direzione di propagazione. da Nel caso in cui cosθ = π/2, l energia de che attraversa una superficie vista di taglio è ovviamente 0. 7

8 Intensità (brillanza) della radiazione raggio dω normale normale ϑ dω da da 8

9 Relazione tra intensità e flusso In base alle definizioni de = I cos da dt d d = F da dt d F = I cos d dove δfν è il contributo al flusso dato dalla radiazione lungo la direzione considerata per Iν. Per ottenere Fν occorre integrare su tutto l angolo solido F = Z 4 I ( ) cos d I = I ( ) per evidenziare la dipendenza dalla direzione di propagazione dω angolo solido e, rispetto a coordinate sferiche, vale d =sin d d 9

10 Relazione tra intensità e flusso Esempi: Campo radiazione isotropo I ( )=cost. F = I Z cos d = Z 2 0 d Z 0 d cos sin =0 I ( )=cost. Se ma la radiazione proviene da un solo lato della superficie da (ad esempio, sulla superficie di una stella) allora F = I Z cos d = Z 2 0 d Z /2 0 d cos sin = I 10

11 Relazione tra intensità e densità energia La densità di energia della radiazione elettromagnetica è de = u d dv u = de d dv [ergcm 3 Hz 1 ] Il contributo alla densità di energia in P dalla radiazione trasportata lungo la direzione Ω è dato dall energia contenuta nel cilindro di altezza c dt Ω da c dt P I = c du ( ) de( ) =du ( ) d da c dt = I da dt d d d Considerando intensità media su angolo solido J = 1 Z I ( ) d 4 J = I per radiazione isotropa Si ottiene: J = c 4 u 11

12 Conservazione della Brillanza 1 2 dω1 R dω2 s da1 da2 Perché la brillanza è utile? Perché si conserva lungo la linea di vista (in assenza di processi di emissione o assorbimento). Consideriamo solo i raggi che attraversano 1 e 2. Lungo la direzione di propagazione, le superfici 1 e 2 sono attraversate dalle quantità di energia de 1 = I 1 da 1 dt d 1 d de 2 = I 2 da 2 dt d 2 d 12

13 Conservazione della Brillanza 1 2 dω1 R dω2 s da1 da2 13

14 Conservazione della Brillanza Consideriamo solo i raggi che attraversano 1 e 2: l energia si conserva ovvero de1 = de2 i raggi passanti per 1 che attraversano 2 sono quelli entro l angolo solido d 1 = da 2 /R 2 i raggi passanti per 2 che attraversano 1 sono quelli entro l angolo solido d 2 = da 1 /R 2 combinando queste tre relazioni con le espressioni per de1 e de2 si ottiene I 1 = I 2 ovvero la conservazione della brillanza (in assenza di processi di emissione o assorbimento lungo la direzione di propagazione). La brillanza osservata è la stessa di quella emessa dalla sorgente. 14

15 Equazione del trasporto radiativo La conservazione della brillanza lungo la direzione di propagazione si può esprimere come: s di ds =0 Se lungo la direzione di propagazione avvengono fenomeni di emissione possiamo aggiungere a secondo membro un coefficiente di emissione s di ds = j il significato fisico del coefficiente jν è facilmente intuibile, infatti de = I d dt da d =(j ds) d dt da d ma ds da è un volume per cui si può scrivere de = j d dt dv d ovvero jν ha le dimensioni [ergcm 3 s 1 Hz 1 sterad 1 ] 15

16 Equazione del trasporto radiativo Se lungo la direzione di propagazione avvengono fenomeni di assorbimento, la diminuzione di intensità deve essere proporzionale all intensità stessa (una frazione della luce è assorbita) per cui si deve avere de = di da d dt d = I (n da ds)d dt d s di ds = I con αν coefficiente di assorbimento. Se l assorbimento è dovuto all interazione con n atomi (elettroni, ecc.) per unità di volume ed il processo ha sezione d urto σν allora il numero di assorbitori nel volume ds da è n ds da e la superficie che assorbe la radiazione è daass = n σν ds da La quantità di energia assorbita sarà pertanto data dalla radiazione emessa nell angolo solido dω che attraversa la superficie daass da cui di = n I ds ovvero = n Mettendo insieme assorbimento ed emissione si ottiene l Equazione del Trasporto Radiativo di ds = I + 16

17 Equazione del trasporto radiativo Posso definire la profondità ottica d = ds di d = I + In caso di solo assorbimento posso facilmente ottenere la soluzione Iν(0) Iν(s) s di d = I di I di= d = d I I = I (0) I e= I (0) e Posso riuscire a vedere sorgenti solo attraverso una profondità Un esempio è la visibilità nella nebbia: una visibilità di 100 m significa che la profondità ottica diventa ~1 dopo 100 metri. 1 17

18 Equazione del trasporto radiativo La profondità ottica di un mezzo è quindi data da Z Ovvero s Z s (s) = s 0 ds = s 0 n ds Se il mezzo è a densità costante, si può quindi scrivere (s) Z s s 0 n ds = n s d = ds Supponiamo di avere una nube di gas ionizzato (solo H) con n ~ 10 6 cm -3 atomi, come si può trovare nel mezzo interstellare o in un nucleo galattico. Quali sono le sue dimensioni lineari perché la sua profondità ottica sia ~1, ovvero sia otticamente spessa alla radiazione? Nel gas ionizzato il meccanismo di opacità (che è anche quello più semplice considerato) è la diffusione della luce da parte di elettroni liberi (scattering Thomson) caratterizzata da e 2 2 = cm 2 T = 8 3 m e c 2 σt è la sezione d urto Thomson; è la minima sezione d urto per l interazione tra materia e radiazione.

19 Equazione del trasporto radiativo e 2 2 = cm 2 T = 8 3 m e c 2 Ovviamente, poichè σt ~ 1/m 2, l interazione avviene con i soli elettroni, per cui la densità di assorbitori è pari alla densità di elettroni, a sua volta pari alla densità di atomi (solo H, completamente ionizzato). Per avere profondità ottica ~1 si deve quindi avere: s = 1 1 = n T 10 6 cm cm 2 = n 1 cm ' 0.5pc 10 6 cm 3 Quindi per poter diventare opaca alla radiazione la nube deve essere lunga almeno mezzo parsec! Se la nube è più densa, può essere più corta. 19

20 Equazione del trasporto radiativo Torniamo all equazione del trasporto radiativo e definiamo la funzione sorgente di d = I + S = j di d = I + S e utilizziamo la profondità ottica come variabile di integrazione: moltiplichiamo membro a membro per e definiamo le quantità I = I e S = S e l equazione diviene di d = S la cui soluzione è I( )=I(0) + Z 0 S( 0 )d 0 20

21 Equazione del trasporto radiativo La soluzione in termini di I e S è pertanto I( )=I(0)e + Questa rappresenta l intensità iniziale diminuita dall assorbimento più la funzione sorgente diminuita a sua volta dall assorbimento. E una soluzione solo formale perché spesso S dipende da I. Consideriamo il caso in cui Sν sia costante, si può facilmente verificare che la soluzione dell equazione del trasporto radiativo è I ( )=I (0)e + S (1 e ) Nei limiti otticamente sottile e spesso diviene 1 I ' I (0) + [S I (0)] 1 I ' S Z 0 e ( 0 ) S( 0 )d 0 ovvero, ciò che si vede nel limite otticamente spesso è solo la funzione sorgente! 21

22 Equazione del trasporto radiativo Consideriamo adesso il caso in cui Iν(0)=0 e riscriviamo la funzione sorgente a partire dai coefficienti di assorbimento ed emissività I ( )=S (1 moltiplichiamo membro a membro per le dimensioni della sorgente R I ( )= j R R (1 nei limiti otticamente sottile e spesso si ha quindi 1 I ' j R 1 I ' j R cioè l emissione nel limite otticamente sottile è da tutta la sorgente, mentre nel limite otticamente spesso è solo da una buccia di spessore R/τν ovvero lo strato che è otticamente sottile. e )= j (1 e ) e )=j R 1 e 22

23 Equazione del trasporto radiativo Ricapitolando, supponiamo di avere una sorgente sferica e otticamente spessa di radiazione: quella che giunge a noi è solo la radiazione emessa da una buccia di spessore τν (strato otticamente sottile indipendentemente dalle dimensioni della sorgente). S Com è fatta la funzione sorgente? Proviamo a capire qualcosa dalle stelle che si identificano bene con l esempio appena fatto.

24 Esempi di spettri stellari Scala lineare Perché si usa λfλ in scala logaritmica? Interessa l integrale, ovvero l area sotto la curva: Scala logaritmica log λfλ(λ) F 1,2 = Z 2 1 F d = Z log 2 log 1 F ln 10 d log log λ

25 Spettri stellari Per studiare le proprietà dell emissione continua delle stelle è utile introdurre il concetto di corpo nero. T = K T = K T = 8200 K T = 6450 K T = 5800 K Spettri stellari e spettri dei corpi neri che meglio li approssimano alle temperature indicate in figura T = 4350 K T = 3550 K

26 Il Corpo Nero Il corpo nero (Black Body) è un assorbitore perfetto, ovvero un corpo che assorbe tutta la radiazione a cui è esposto. Il corpo nero ha uno spettro di emissione caratteristico che dipende solo da un parametro ovvero la sua temperatura. Esempio di corpo nero: foro di una cavità molto grande. Tutta la radiazione che entra nel foro dopo molto riflessioni nella cavità viene quasi totalmente assorbita. Cavità di Corpo Nero 26

27 Lo spettro di Corpo Nero L origine fisica dello spettro di corpo nero fu compresa da Planck alla fine dell 800. Planck fece la famosa ipotesi di quantizzazione per il corpo nero (arrivando alla definizione della costante h) e riuscì ad ottenere la forma funzionale dello spettro della radiazione emessa dal corpo nero. Intensità della radiazione di corpo nero: B (T )= 2h 3 c 2 1 e h /kt 1 T temperatura del corpo nero (in gradi Kelvin, K) u = 4 c B (T ) h costante di Planck h = erg s k costante di Boltzmann k = erg K -1 [ hν/kt ] = numero puro [ 2hν 3 / c 2 ] = dimensioni di intensità (es. erg cm -2 s -1 Hz -1 = erg cm -2 ) B d = B d da cui si ottiene B (T )=B d d = 2hc2 5 1 e hc/ kt 1 27

28 Proprietà dello spettro di Corpo Nero L emissione di corpo nero è isotropa. Il flusso emergente dalla superficie di un corpo nero (es. stella) è F = vedi gli esempi della relazione tra intensità e flusso. Il flusso alla superficie di una stella è T temperatura superficiale della stella. La luminosità della stella è perciò pertanto il flusso osservato a Terra è espresso come Z BB I cos d F (r? )= B (T? ) = I = B L =4 r 2?F (r? )=4 r 2? B (T? ) f = L 4 d 2 = r? d 2 B (T? ) funzione di tre parametri fondamentali, r, T e d. 28

29 Proprietà dello spettro di Corpo Nero L emissione del corpo nero integrata su tutto lo spettro è F = Z +1 0 F d = Z h 3 c 2 1 e h /kt 1 d cambio di variabile z = h kt dz = h kt d F = Z h c 2 kt h 4 z 3 1 e z 1 dz = 2 h c 2 kt h 4 Z +1 0 e z z 3 1 dz l integrale vale π 4 /15 e si ha la Legge di Stefan-Boltzmann F = T 4 σ costante di S.-B. = 2 5 k 4 15c 2 h 3 = erg s 1 cm 2 K 4 29

30 Proprietà dello spettro di Corpo Nero La posizione del picco di emissione del corpo nero si ottiene da db d =0 oppure da cui si ottiene la legge di Wien db d h max = 2.8 kt maxt = 0.29 cm K =0 max 6= c/ max poiché deve valere B d = B d pertanto il ν a cui c è il picco di Bν non è lo stesso a cui c è il picco di Bλ Dato che L = f (r? )4 r 2? integrando su ν si ottiene L =4 r 2? T 4? relazione fondamentale che lega L, raggio r, e temperatura superficiale T. 30

31 La temperatura del Sole... Applichiamo al Sole, di cui conosciamo L = L e r = r, la relazione fondamentale L =4 r? 2 T? 4 1/4 L T = 4 R 2 = erg s 1 1/4 = 4 ( cm) erg cm 2 s 1 K 4 = = K Il picco dell emissione solare avviene per max = 0.29 cm K 5700 K ' 5100Å ovvero la luce verde. Gli animali diurni si sono adattati alla luce solare ed i loro occhi hanno la massima sensibilità proprio in corrispondenza del massimo dell emissione solare. 31

32 Proprietà dello spettro di Corpo Nero B (T )= 2h 3 c 2 1 e h /kt 1 h kt 1 B ' 2h 3 1 c 2 1+ h kt 1 = 2kT 2 c 2 h kt 1 B ' 2h 3 c 2 e h kt coda di Rayleigh-Jeans coda di Wien K λbλ(t) νbν(t) K K 5000 K 1000 K

33 Equazione del trasporto radiativo Torniamo all equazione del trasporto radiativo e chiediamoci cosa sia la funzione sorgente di d = I + S S = j Ricordiamo che la soluzione con funzione sorgente costante è I ( )=I (0)e + S (1 e ) Ovvero se Iν > Sν allora si deve avere diν/dτν < 0 e Iν tende a decrescere lungo il raggio. Viceversa se Iν < Sν allora diν/dτν > 0 e Iν tende a crescere. Quindi Sν è la quantità a cui Iν tende, e la raggiunge se si ha una sufficiente profondità ottica. In questi termini l equazione del trasporto radiativo descrive un processo di rilassamento. Se le stelle sono otticamente spesse e gli spettri sono approssimativi come un corpo nero, è naturale supporre che Sν ~ Bν(T). 33

34 Equazione del trasporto radiativo Consideriamo adesso un elemento a temperatura T che emetta termicamente e mettiamolo dentro l apertura di una cavità di corpo nero alla stessa temperatura T. Sia Sν la funzione sorgente. Per quanto appena detto, se Sν < Bν allora anche Iν < Bν (analogamente per Sν > Bν si ha Iν > Bν). Ma la presenza del materiale non può alterare la radiazione di corpo nero che esce dal foro, perché anche con il corpo dentro la cavità è sempre quella di un corpo nero di temperatura T. Se ne deduce che S = B (T ) B (T ) T I 34

35 Legge di Kirchhoff La legge di Kirchhoff comporta che, per tutti i corpi all equilibrio termodinamico, vale sempre ovvero S (T )= j = B (T ) j = B (T ) Quindi, se consideriamo la radiazione termica, l equazione del trasporto radiativo diventa di d = I + B (T ) A questo punto, dobbiamo distinguere tra radiazione di corpo nero per cui Iν = Bν e radiazione termica per cui Sν = Bν. La radiazione termica diventa radiazione di corpo nero in un mezzo otticamente spesso. 35

36 La fotosfera Temperatura di una stella varia con il raggio: T~ K al centro (r = 0); T~ K in superficie (r = r ). Spettro osservato della stella è costituito dai fotoni provenienti dallo strato superficiale esterno detto fotosfera (quello per cui lo spessore ha τν~1) La base della fotosfera è la superficie dove i fotoni subiscono l ultimo processo di diffusione (scattering) all interno della stella. Materiale alla base della fotosfera emette spettro di Planck di corpo nero che viene modificato dal materiale più freddo e trasparente negli strati più esterni che costituiscono il resto della fotosfera. Ultima interazione del fotone FOTOSFERA Interno della stella 36

37 La fotosfera Supponiamo che la fotosfera di una stella abbia profondità h << R allora possiamo considerare un atmosfera piano-parallela. Considerando la coordinata z lungo la direzione verticale e r lungo la linea di vista, e supponendo che la fotosfera abbia profondità ottica infinita si ha d = dr dz = dr cos z r cos di (z, ) = I S d θ I (0, ) = Z 1 0 S e sec sec d Espandendo in serie di Taylor e calcolando l integrale S = S (? )+(? )S 0 (? )+... I (0, ) =S (? ) + (cos? )S 0 (? )+... Scegliendo? = cos si ottiene I (0, ) =B (T [ = cos ]) Ovvero la radiazione che emerge lungo la direzione theta si origina a tau=1 in quella direzione; ad angoli maggiori si osservano profondità minori quindi più fredde; questo dà origine al limb darkening (oscuramento ai bordi). P