Introduzione alla Meccanica Quantistica (MQ):

Transcript

1 Introduzione alla Meccanica Quantistica (MQ): 1

2 MECCANICA QUANTISTICA ELETTRONI MATERIA MOLECOLE ATOMI NUCLEI La nostra attuale comprensione della struttura atomica e molecolare si basa sui principi della MQ, che costituisce il FONDAMENTO della STRUTTURA della MATERIA. I metodi teorico/computazionali usati per descrivere le proprietà molecolari sono basati sulla MQ. Il moto di nuclei ed elettroni NON segue le regole della Meccanica Classica (MC), F=ma, ma un nuovo set di equazioni, dette equazioni di Schrodinger. 2

3 La QM è una teoria fisica che si è sviluppata e consolidata nella prima metà del XX secolo, per supplire all'inadeguatezza della MC nello spiegare alcune osservazioni sperimentali: 1. la radiazione del corpo nero; 2. il calore specifico dei solidi; 3. l'effetto fotoelettrico e l'effetto Compton; 4. gli spettri atomici e la stabilità degli atomi. Necessità di introdurre l'ipotesi di un comportamento particellare della luce, oltre a quello classico ondulatorio di eredità maxwelliana, e di postulare l'esistenza di livelli discreti di energia. 3

4 La radiazione del corpo nero Quando un solido viene scaldato (T>0), emette luce, i.e. radiazione elettromagnetica (N.B: λν = c, con c= m/s). Corpo nero: sistema ideale che assorbe tutta la radiazione che incide su di esso. Approssimazione: cavità con un apertura molto piccola: la radiazione che entra viene ripetutamente riflessa sulle pareti e praticamente tutta assorbita. Percorso della radiazione nella cavità Posso quindi studiare l intensità della radiazione emessa in funzione della T e della freq. 4

5 1.Legge di Stefan-Boltzmann: I = σ T 4 (σ = W m -2 K -4 ) l energia totale per unità di volume irradiata dal corpo nero è proporzionale a T Legge dello spostamento di Wien: lo spettro di emissione di un corpo nero ha un picco a: λ max = costante / T costante = 2.9 mm K Interpretazione classica: gli atomi che costituiscono l oggetto vibrano; più l oggetto è caldo e più la vibrazione è veloce e quindi la frequenza è alta. 5

6 Intensità della radiazione di corpo nero vs λ a diverse T: I (W cm -2 µm -1 ) la quantita di radiazione emessa (rappresentata dall area sottesa dalla curva) 1. cresce al crescere della temperatura; 6 2. il suo massimo si sposta verso le lunghezze d onda più piccole.

7 Spiegazione della fisica classica: Legge di Raileigh-Jeans: il corpo nero e un insieme di oscillatori che possono assumere qualunque frequenza, e che in transizioni di livello emettono/assorbono quanti di energia: di kt B di di dλ 8π 4 dλ = λ de = dλ de E 2 Indipendentemente da T, dovrei avere un intensità di energia infinita a lunghezze d onda molto piccole (catastrofe ultravioletta!) 7

8 IPOTESI DI PLANCK: Per eliminare la divergenza ultravioletta, suppone che la radiazione possa avere solo frequenze che soddisfano la relazione: E = h ν con ν = frequenza dell oscillatore. Ottiene quindi la relazione: di dλ = 2π c 5 λ hc ( hc / λk 1) BT e che fitta i dati sperimentali per h = Js (costante di Planck). Gli oscillatori elementari possono assumere solo energie quantizzate che soddisfano la relazione E=nhν (i.e.: 0, hν, 2hν, ). La fisica classica permette una variazione continua dell energia, così che anche un oscillatore ad alta frequenza può essere eccitato con un energia molto piccola (catastrofe ultravioletta). 8

9 La legge di Planck costituisce il primo passo fondamentale per il passaggio dalla fisica classica alla fisica quantistica. Compare per la prima volta il concetto di quantizzazione di una grandezza fisica, cioè l idea che una grandezza possa assumere solo valori discontinui. 9

10 Il calore specifico dei solidi Per il calore specifico dei solidi era nota la legge di Dulong-Petit (inizio 1800): C v 3R cal K -1 mol -1 Interpretazione classica: l energia di ciascun oscillatore in una dimensione è kt; assimilando il solido ad un insieme di oscillatori armonici tridimensionali U(T) = 3N A kt C v = 3N A k. La legge di Dulong-Petit è valida a temperature ordinarie, ma a basse temperature si hanno deviazioni da questo valore. Einstein riconobbe la somiglianza fra questo problema e quello del corpo nero: se ciascun oscillatore richiede un energia minima per poter oscillare attivamente e contribuire quindi a C v, allora a basse T alcuni oscillatori possono essere inattivi e C v avrà un valore inferiore a quello atteso. 10

11 Relazione di Einstein: C v =3Rf 2 ) e θ E e θ E / 2T ( θ E / T f = / T 1 con θ E = hν/k temperatura di Einstein 11

12 In realtà per avere una teoria più realistica, occorre tenere conto di TUTTO lo spettro di frequenze del reticolo cristallino (relazione di Debye): C v =3Rf f = T 3 θ D 3 θ D / T 0 ( x x e 4 e x 1) 2 dx Planck ha dimostrato che la RADIAZIONE di ENERGIA è quantizzata; Einstein ha dimostrato che anche la MATERIA è quantizzata. 12

13 L'effetto fotoelettrico Effetto fotoelettrico: la luce incidente sulla superficie di un metallo provoca l emissione di elettroni. Osservazioni sperimentali: - l emissione è istantanea; - per avere emissione la frequenza della luce deve essere superiore ad una certa soglia ν 0 che dipende dalla natura del metallo; - l energia cinetica degli elettroni varia linearmente con la freq. della radiazione ν 13

14 Einstein spiegò il fenomeno assumendo che la radiazione consista di particelle, dette fotoni, dotate di energia E = hν. hν = hν 0 + ½ mv 2 en. incidente en. di soglia per superare le forze che tengono l elettrone legato al metallo en. cinetica elettrone uscente Questa spiegazione indica una natura corpuscolare (singole particelle) della radiazione; in altre esperienze (fenomeni di diffrazione ed interferenza) la radiazine si comporta come un onda. Se i fotoni hanno natura particellare, possiedono una quantità di moto p: p = E / c = hν/ c = h/λ 14

15 DUALITA ONDA-PARTICELLA La dualità onda - particella che abbiamo visto per la luce, è presente anche su scala atomica: De Broglie applica la relazione di Einstein per il fotone p = h/λ ad un elettrone dotato di velocità v: λ proprietà delle onde p proprietà delle particelle λ = h/p = h/(mv) L ipotesi di De Broglie trova conferma nella diffrazione di elettroni da file di atomi in un cristallo metallico (Davisson e Germer, 1925 su un cristallo di nickel). 15

16 Conseguenze della natura ondulatoria degli elettroni (e di tutte le particelle): così come un onda di una definita λ non può essere localizzata in un punto, un elettrone in uno stato con un definito p (e quindi una definita λ) non può essere localizzato in un singolo punto. Principio di indeterminazione di Heisenberg: è impossibile identificare la posizione e la quantità di moto simultaneamente con una precisione arbitraria. In MQ la descrizione del moto delle particelle su scala atomica non può mai essere resa in termini di traiettorie classiche, fornendo ad ogni istante la posizione e la velocità delle particelle. Il moto delle particelle può solo essere espresso in termini probabilistici, dando la PROBABILITA di trovare la particella in un certo punto dello spazio ad un dato tempo. 16