La radiazione di corpo nero - I. Edoardo Milotti CdS Fisica A. A

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1 La radiazione di corpo nero - I Edoardo Milotti CdS Fisica A. A

2 Il flusso lavico che scende dal cratere del vulcano Stromboli verso il mare (6 marzo 2007, foto di M. Fulle,

3 foto dal sito

4 Corpo nero a temperatura ambiente luce visibile luce infrarossa assorbimento pareti a temperatura T 300 K emissione

5 il colore di un corpo nero a diverse temperature

6 Onde elettromagnetiche

7 Onde elettromagnetiche in una cavità 1D pareti della cavità

8 Ciò significa che la cavità può contenere solo un numero intero di mezze lunghezze d onda, così che se L è la lunghezza della cavità, allora il campo stazionario contenuto nella cavità deve avere una lunghezza d onda tale che dove n è un intero > 0 L = n /2

9 le frequenze permesse del campo elettrico sono date da = n c 2L = n 0 e il numero di semionde all interno della cavità è dato da n = 2L c

10 Le onde elettromagnetiche possono essere assimilate a oscillatori: ci sono due gradi di libertà, elettrico e magnetico, e tenendo conto anche della polarizzazione ogni frequenza contribuisce con 2kT all energia media totale, quindi l energia totale è U = n= n=1 2kT È forse sbagliata l approx. 1D??? Proviamo a fare il calcolo in 3D!!!

11 Premessa al calcolo in 3D y posizioni successive dello zero dell ampiezza dell onda direzione di propagazione dell onda piana l y l x x l x = cos periodo in direzione x 1 l y = sin periodo in direzione y l x l y 2 = 1 2

12 consideriamo ora una scatola con lati L x, L y, L z la condizione di periodicità deve valere separatamente per ciascuna direzione z 2L x l x = n x ; 2L y l y = n y ; 2L z l z = n z y n x 0; n y 0; n z 0; x

13 2L x l x = n x ; 2L y l y = n y ; 2L z l z = n z 1 l x = n x 2L x ; 1 l y = n y 2L y ; 1 l z = n z 2L z 1 l x l y l = 1 2 z n x 2 L + n y 2 x L + n z 2 y L = 4 2 z = c 2

14 conteggio del numero dei modi di oscillazione permessi: sono quelli contenuti nell ottante di ellissoide con assi 2L x c,2l y c,2l z c questo guscio contiene i modi di oscillazione permessi

15 Volume dell ottante di ellissoide in cui gli indici n non sono negativi = L x L y L z c 3 = 4V 3c 3 3 (V = volume della cavità) Quindi d = 4V c 3 2 d

16 n = 1 per ciascun indice, allora il volume occupato da ( n) 3 = 1 ciascun modo nello spazio dei modi è, allora d = 4V c 3 2 d è anche il numero di modi nell intervallo di frequenza, e quindi la densità di energia è energia media di singolo modo u()d = 2kT d 4 = 2kT V c 2 d 3 = 8kT 2 d c 3 eq. di Rayleigh e Jeans

17 La densità di energia u() = 8kT c 3 2 diverge alle alte frequenze, quindi il passaggio a 3D non ha risolto il problema. Sperimentalmente non si osserva nessuna divergenza. Come si può fare?

18 ... e se il teorema di equipartizione in realtà non fosse sempre valido? Il teorema si deriva classicamente facendo l ipotesi che l energia sia una quantità continua.... e se l energia fosse in realtà una quantità discreta?

19 Supponiamo ora che gli oscillatori elettromagnetici che entrano nel calcolo possano avere solo energie discretizzate n = nh

20 Se il sistema è in equilibrio a temperatura T la sua energia media vale ( = 1 kt è la temperatura inversa) = n= n=0 n= n=0 n e n e n = d d ln n= n=0 = e n d d = d d ln 1 1 e h = h e h 1 n= n=0 n= n=0 e n e n = d d ln n= n=0 enh

21 = h e h 1 energia media se h = h / kt << 1 = h e h 1 h 1 + h 1 = kt e quindi ad alta temperatura si ritrova l energia media di un singolo oscillatore

22 Nuova formula per la densità di energia energia media di singolo modo u()d = 2 = 8h c 3 h e h 1 d V = 2 3 e h 1 d h e h 1 4 c 3 2 d La costante h introdotta da Planck è una delle costanti fondamentali della fisica, e vale circa J s.

23 Angoli in 3D: l angolo solido questa regione copre l area A sulla superficie di una sfera di raggio R l angolo solido corrispondente è definito dalla formula: = A R 2 l intera superficie della sfera corrisponde a sfera = 4 R2 R 2 = 4

24 Elemento di angolo solido in termini di angolo azimutale e angolo zenitale quest area vale approssimativamente A ( Rsin ) ( R )= R 2 sin l angolo solido elementare si può scrivere nella forma d = d sind = d d cos

25 Potenza irraggiata da una cavità a temperatura T 1. frazione della radiazione all interno della cavità che si muove in una direzione che copre l angolo solido d tutte le direzioni sono equivalenti, quindi dp = d 4

26 2. la radiazione che riesce ad uscire da un foro di sezione A con angolo di uscita nel tempo t è data dal calcolo seguente: altezza del cilindro = volume del cilindro = ct cos Act cos energia contenuta nel cilindro e che si muove in direzione, Act cos d 4 u ( )d ( )

27 quindi l irradianza (potenza irradiata per unità di superficie) è I(,)dd = 1 At d A ct cos 4 u()d = ccos d 4 u()d

28 Integrando sugli angoli di uscita si ottiene l irradianza in funzione della frequenza in seguito all integrazione sugli angoli resta solo la dipendenza dalla frequenza I()d = cos d cu()d = 1 / cosd(cos) cu()d = c 4 u()d ovviamente si integra solo su metà dell angolo solido totale...

29 Integrando su tutte le frequenze si trova l irradianza del corpo nero I = c = 2h c 2 u()d = 2k 4 T 4 c 2 h 3 = 2h c x 3 (h) 4 e x 1 dx x 3 e x 1 dx 3 e h 1 d

30 si può dimostrare che + x 3 e x 1 dx = quindi I = 2k 4 T 4 c 2 h = 2 5 k 4 15c 2 h 3 T 4 = T 4 = 2 5 k 4 15c 2 h W m 2 K 4 costante di Stefan-Boltzmann